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巧用三角函数线解题

江西省南康中学刘光训邮编：341400

[摘要]数学家认为：“三角学其实就是三角形的解析几何，它是整个解析几何的基础所在，也是用解析法系统研究几何的基础工具。” 三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．要深入理解应用单位圆求解三角不等式的方法的实质，培养数形结合的意识．三角函数线的主要作用是求函数的定义域、解不等式、证明简单三角不等式等．

解三角函数的有关题目经常用到数形结合的思想方法,而三角函数线又是三角函数的“形”的重要体现形式, 单位圆结合三角函数线，是研究三角函数的一种重要工具，恰当地利用它往往可以快速解题，在此介绍几方面的应用以飨读者。

一、利用三角函数线解三角不等式。

例1：已知的取值范围。

求x x ,2

sin ≥ 解：如图所示，解题步骤如下 (1) 作平面直角坐标系xoy (2) 作单位圆，

(3) 标出终边落在坐标轴的

四个正弦函数值，

,12sin ,00sin ==π

(4) 找出2

sin =

x 在[)π2,0内x 的值，即323ππ==x x 或，图

中为OA 是3π的终边、OB 是32π

的终边。(点A 、B 即为直线

y 与单位圆的两个交点) (5) 根据正弦函数的单调性，找出在[)π2,0内x 的取值范围，即

23|

{π

≤

≤x x ，图中为阴影部分。 (6) 写

出

在

上

所

求

x 的取值范围：

},23

223

{Z k k x k x ∈+≤

≤+ππ

ππ

【评注】解三角函数不等式要把三角函数线和三角函数的单调性结合起来，一般先求[)π2,0内的取值范围，在根据周期性写出R

例2:已知

0cos 22≥+x ,求x 的取值范围。

解：由0cos 22≥+x 得2

cos -≥x

接下来的解题步骤与例1相似， OA 是

43π的终边，OB 是4

5π的终边，即4

3π

的终边，所以x 的取值范围是图中的阴影部分，即},24

3243|{Z k k x k x ∈+≤≤+-

ππππ，【评注】（1）如果角的取值范围跨越x 轴的正半轴，则通常用负角表示范围。（2）类似这种题用三角函数线的方法解更具优越性。

二、利用三角函数线证明三角不等式。

已知πα20<≤，用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1。

即证明不等式 1cos sin ≥+αα成立。

证明：作平面直角坐标系xoy 和作单位圆。

（1）当角α的终边落在坐标轴时, 不妨设为ox 轴,设它交单位圆于A,

如图,显然,1co s

,0sin ===OA αα 成立。所以1cos sin =+αα (2)当角α的终边不是坐标轴,不妨设为OP ,设它交单位圆于A,过A 作 AB ⊥x 轴于B,如图所示,则

OB BA ==ααcos ,sin 。

在三角形OAB 中,|BA|+|OB|>|OA|=1

所以1cos sin >+αα成立。综上所述：1cos sin ≥+αα

三、利用三角函数线比较大小

例1：已知2

0π

α<

<，求证：αααtan sin <<。,若在单位圆中作出正弦线、

正切线及α弧段，借助几何直观图，建立面积不等式，就能比较容易地获得结论。

分析：这是一个超越不等式，直接利用代数方法很难得证证明：如图所示，α的终边交单位圆于P ，

过P 作PM ⊥x 轴于M ，过x 轴与单位圆的交点A 作单位圆的切线AT ，交α的终边于 T ，连接AP ，则有：

MP=αsin ，AT=αtan ，O AP O AP S S S ?

?<<扇形。

∵ ,sin 21

21α=?=

?MP OA S OAP αα2

212=?=r S OAP 扇形， ,tan 2

21α=?=?AT OA S OAT ∴

αααtan 2

21sin 21<<, ∵ αααtan sin <<。

【评注】此题巧妙地利用三角函数线和三角形、扇形的面积公式证明了结论，很值得我们讨论，对于“当??

??∈2,

0πα时，有αααtan sin <<”这个结论，也是我们在三角函数判断中常用的结论。

例2：1tan ,1sin ,1cos 的大小关系是（） A ：1tan 1cos 1sin << B ：1cos 1sin 1tan << C ：1sin 1tan 1cos << D ：1tan 1sin 1cos <<

分析：如图，∵AT MP OM <<，

∴ 1tan 1sin 1cos << ∴ 应选择D 。

从上面的几个典型题目可以看出，利用单位圆中的三角函数线解决三角不等式的问题十分简便，是数形结合思想的重要体现，所以我们应该重点掌握好它，并在解题中应用自如。

锐角三角函数--特殊角的函数值

25.2锐角三角函数（2）教学目标：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 教学重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 教学难点：进一步体会三角函数的意义. 教学方法：自主探索法。教学准备：一副三角尺、多媒体演示。教学过程：一：.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法 ) 提示：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 问题1：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，你能求出30°角的三个三角函数值吗? 二.新知学习 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝ 2 1. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin30°＝ 2 12=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝ 2 323=a a . tan30°= 333 13==a a

二倍角的三角函数的化简与证明

课题：二倍角的三角函数本节考试要求为B 级一、知识梳理 1、二倍角公式 =α2sin ；=α2cos ；=α2tan ． 2、公式变形 =α2sin ；=α2cos ；=-αcos 1 ； =+αcos 1 ；=-α2sin 1 ；=+α2sin 1 ． 3、技巧：（1）巧变角；（2）切化弦；（3）变逆用；（4）幂升降；（5）变结构；（6）1代换；（7）三兄妹．二、三基能力强化 1、已知5 3 )4sin( = -x π ，则=x 2sin ． 2、已知θ是第三象限角，且9 5cos sin 4 4=+θθ，那么θ2sin ＝． 3、在ABC ?中，6cos 4sin 3=+B A ，1cos 3sin 4=+A B ，则C sin 的值为． 4、教材习题改编）已知1tan 2tan 1=+-θθ，则=++)4 tan(42tan π θθ ． 5、已知βα,均为锐角，且α αα αβsin cos sin cos tan +-=，则=+)tan(βα ．三、典例互动三角函数式的化简：化简的要求例1：（1）化简)4 cos(6)4sin( 2x x -+-π π ；（2）α αααα2sin ) 1cos )(sin 1sin (cos +--+ 规律总结：三角函数式的求值：求值的方法例2：求值：0 01000 1cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 又如： 78sin 66sin 42sin 6sin ＝

例3：已知),43(ππα∈，3 10 tan 1tan =+αα，求 ) 2 sin(28 2 cos 112 cos 2 sin 82 sin 52 2 π αα α α α --++的值。变题：本题条件不变，求 ) 3 sin(cos 22sin 2π ααα- -的值。例4：已知ββαsin 3)2sin(=+，设x =αtan ，y =βtan ，记)(x f y = （1）求)(x f 的解析式；（2）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数)(x f 的值域四、课堂反馈 1．已知cos2α＝1 4 ，则sin 2α＝________． 2．2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α 等于________． 3．已知α，β，γ∈(0，π 2)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则α－β的值等于________． 4．定义运算a b ＝ab 2＋a 2b ，则sin15°cos15°的值是________． 5．(原创题)已知sin θ＝4 5 ，且cos θ－sin θ＋1<0，则sin2θ＝________． 6．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋ 1 2 2tan(π4－x )·sin 2(π 4＋x ) .

(完整版)三角函数化简求值证明技巧

第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧 1、网络

2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。 2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。练习已知，求的值

【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α ＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x

锐角三角函数之间的关系和特殊角Word版

课题：锐角三角函数之间的关系和特殊角学习目标： 1、熟练掌握正弦和余弦、正切的关系和互化. 2、了解同一锐角三角函数间的平方关系、商数关系 3、掌握30度、45度、60度的三角函数值，能够用它们进行计算。自主学习一.正弦和余弦的关系 1.任意锐角的正弦值都等于它的余角的值.cos sin =α 2.任意锐角的余弦值都等于它的余角的值.sin cos =α 二..平方关系：1.推导：=+αα22cos sin 1 2、已知α为锐角，且5 3sin = α，则αcos = . 3、已知α为锐角，且13 12cos =α，则=αsin . 三.商数关系：1.推导：αα αtan cos sin = 2、已知α为锐角，且5 3sin =α，那么=αtan . 3、已知α为锐角，且13 5cos =α，那么=αtan . 4、已知α为锐角，且2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+= . 四、特殊角：根据直角三角形边角关系把108页表格填写完整。合作再探一、填空（正弦和余弦、正切和余切互化） ①sin48°= . ②cos63°= .sin54°= . ○ 4cos72°= . 2. 已知α为锐角，且sin α= 5 4,那么cos α= . 3. 已知α为锐角，且cos α=13 12,则tan α= . 4. 已知α为锐角，且tan α=3,则ααααcos sin cos sin +-= . 5、若sinA=cos 245°,则∠A= 。 6、 △ABC 中，有01sin 22 3cos =-+-B A ,那么∠C= 。 7、若∠A=60°，则化简=-2)sin 1(A . 8、Rt ?ABC 中，∠C=?90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值

中考数学专题复习——锐角三角函数的实际应用

课题：锐角三角函数的实际应用【基础知识回顾】知识点1：锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切、余切）技巧点拨： ①弦——分母都是斜边 ②正弦——分子是正对的边（谐音“正邪”) ③切——垂直的意思，只与直角边有关 ④正切——分子是正对的边 ⑤余——剩余的意思余弦——分子是剩下的直角边（即邻边）余切——分子是剩下的直角边（即邻边）简记为：正弦——对比斜(或正比斜）正切——对比邻余弦——邻比斜知识点2：常见的锐角三角函数值三角函数 30° 45° 60° 技巧点拨 sin α 21 22 23 分母都是2，分子分别是 √13 cos α 2 3 22 21 分母都是2，分子分别是 3√1 tan α 33 1 3 分母都是3，分子分别是 3、1、3 【新课知识讲解】知识点3：解直角三角形 1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（三角形角和）（3）边角之间的关系：（锐角三角函数） b a B a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a A ========cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin 知识点4:直击中考——解直角三角形的实际应用：测距、测高、测长等例1、如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处，此时飞机离地面的高度PO ＝450 m ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得∠α＝30°，∠β＝45°，求大桥 AB 的长(结果保留根号)．【分析】第一步：确定相关直角三角形本题中∠α、∠β分别在Rt ΔAOP 、Rt ΔBOP 中（由平行线错角相等转化已知角）第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值第三步：代入已知条件求值，并简答【答案】由题意得，ΔAOP 、ΔBOP 均为直角三角形， ∠PAO=∠α＝30°，∠PBO=∠β＝45°，PO=450m

高中数学必修4三角函数常考题型三角函数线及其应用(供参考)

三角函数线及其应用【知识梳理】 1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段． 2．三角函数线图示正弦线 α的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于x 轴，有向线段MP 即为正弦线余弦线有向线段OM 即为余弦线正切线过A (1,0)作x 轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T ，有向线段AT 即为正切线题型一、三角函数线的作法【例1】作出3π4 的正弦线、余弦线和正切线． [解] 角3π4 的终边(如图)与单位圆的交点为P . 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4 的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT . 【类题通法】三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT . 【对点训练】作出－9π4 的正弦线、余弦线和正切线．

解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT . 题型二、利用三角函数线比较大小【例2】分别比较sin 2π3与sin 4π5；cos 2π3与cos 4π5；tan 2π3与tan 4π5 的大小． [解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x 轴非负半轴为始边作2π3 的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox ，垂足为M .由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3 ＝AT . 同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5 ＝AT ′.由图形可知，MP >M ′P ′，符号相同，则sin 2π3>sin 4π5；OM >OM ′，符号相同，则cos 2π3>cos 4π5 ；AT MP >OM ；当π2<α<3π4 时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切

三角函数的求值、化简与证明(教案)

三角函数的求值、化简与证明教学目标 1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值； 2、培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。教学重点掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。教学难点能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值教学过程一、知识归纳 1、两角和与差公式： ()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±= ， ()t a n t a n t a n 1t a n t a n αβαβαβ±±= 2、二倍角公式：sin 22sin cos ααα=， 22t a n t a n 21t a n αα α=- 22cos 2cos sin ααα=-22cos 1α=-212sin α=- 公式变形：1sin cos sin 22 ααα= 21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+= 3、三角函数式化简的一般要求： ①函数名称尽可能少， ②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值 ④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数 4、求值问题的基本类型及方法： (1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的关系。（2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键在于变角，使其角相同。（3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。 5、证明三角恒等式的思路和方法： ①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。 ②证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。二、典例分析：题型一：三角函数式的化简例1：化简： 22221sin sin cos cos cos 2cos 22 αβαβαβ?+?-? 分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。

锐角三角函数的实际应用问题

锐角三角函数的实际应用问题一、《数学新课程标准》课标要求《数学新课程标准》中要求：运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题，考纲中的能级要求为C(掌握)。数学离不开生活，生活也离不开数学。在实际生活中，有不少问题的解决都涉及到数学中直角三角形的边、角关系。而锐角三角函数的实际应用注重联系学生的生活实际，侧重于解决与学生生活比较接近的实际问题，突出了学数学、用数学的意识与过程。二、考向分析结合近五年中考试题分析,锐角三角函数的内容考查主要有以下特点: 1.命题方式为运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题. 题型解答题,以中档题出现.分值都是9分； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型,然后用解直角三角形的知识解决问题；三、锐角三角函数的实际应用这道题的价值 1.它是代表初中几何图形的计算中的一个最高水平； 2.此题蕴含的数学思想比较多，如化归思想、方程思想等； 3.能加入实际生活的背景，增强学生的数学应用意识； 4.能把学生的基本思想、基本方法、基本能力呈现出来。四、近五年锐角三角函数的实际应用中考试题变与不变 1.价值不变

2.基本模型不变； 3. 2012.201 4.201 5.2016四年都是考察解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2013年考察解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 4. 2012. 2013. 2016年的都能在图中找到与已知和未知相关联的直角三角形，2014.2015年要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 5.外形变化，实际背景变化，一些条件和结论的变化。五、近五年锐角三角函数的实际应用中考试题回顾 1.（河南省2012）（9分）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅。如图所示，一条幅从楼顶A 处放下，在楼前点C 处拉直固定。小明为了测量此条幅的长度，他先测得楼顶A 点的仰角为45°，已知点C 到大厦的距离BC =7米，∠ABD =90°.请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数。参考数据：tan31°≈0.60,sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）. 考点：解直角三角形的应用- 【解析】设AB x =米， ∴45,90.AEB ABE BE AB x ??∠=∠=∴== 在Rt ABD 中，tan ,AB D BD ∠= 即tan 31.16x x ?=+ ∴16tan 31160.624.1tan 3110.6 x ???=≈=-- 第20题

三角函数线的解题功能(教师版)

∵MP1,也可以利用三角函数线来证明,此外该结论还可推广,若θ为任意角,则有|sin θ|+| cos θ|≥1. [三角函数线基础练习一] 1、= 2205sin A ． 2 1 B ．2 1- C ． 2 2 D ．2 2- 2、角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为（） A ．π4 B ．3π4 C ．7π4 D ．3π4 或 7π4 3、若0<α<2π，且sin α< 2 3 , cos α> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是（） A ．（－π３，π３） B ．（0，π３） C ．（5π３，2π） D ．（0，π３）∪（5π ３，2π） 4、若π4 <θ < π 2 ，则下列不等式中成立的是（） A ．sin θ>cos θ>tan θ B ．cos θ>tan θ>sin θ C ． tan θ>sin θ>cos θ D ．sin θ>tan θ>cos θ 5、函数| tan |tan cos |cos ||sin |sin x x x x x x y ++=的值域是（） A ．{1} B ．{1，3} C ．{-1} D ．{-1，3} 6、依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6 =sin 7π6 ；②cos （－π4 ）=cos π4 ；③tan π8 >tan 3π8 ；④sin 3π5 >sin 4π 5 ．其中判断正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、若－2π３ ≤θ≤π 6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是． 8、若∣cos α∣＜∣sin α∣，则∈α ． 9、利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合． ⑴ sin x ≥ 2 2 ；⑵ cos x ≤ 12 ；⑶ tan x ≥－1 ；（4）21sin ->x 且21cos >x ．

特殊角的锐角三角函数值教学设计

新人教版九年级数学(下册)第二十八章 §28.1 特殊角的三角函数值（3）教学设计学习目标 1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。学习重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值学习难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程学习过程一、回顾锐角三角函数如图，在Rt △ACB 中,∠C=90° 二、自主探究 1、思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？分别是多少度？ 2、如图（1）在Rt △ACB 中,∠C=90°， ∠A=30°，若BC=a ，求：AB 、AC 、∠B 、 sinA 、cosA 、tanA 、sinB 、cosB 、tanB 3、如图（2）在Rt △ACB 中,∠C=90°，∠A=45°，若BC=m ，求：AB 、AC 、∠B 、sinA 、cosA 、tanA sinA = = cosA= = tanA= = B C （1） a B m

锐角a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 仔细观察上表,小组讨论从这张表你能发现哪些规律? 三、自我检测四、范例讲解例3 求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）ο ο ο45tan 45 sin 45cos - 例4、(1)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB= 6 , BC=3 。求∠A 的度数。 (2)如图,已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的 3 倍,求α. A C （2）

三角函数在实际生活中的应用

三角函数在实际生活中的应用目录摘要：1 关键词：3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract

Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要：三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，

三角函数的化简求值与证明试题

第1页，总5页绝密★启用前 xxx 学校_____学年度数学（理）试卷注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息\r\n2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题0 分，共0分） 1. 已知1tan()42π α+=，且02 π α-<<，则22sin sin 2cos()4 ααπα +-等于 A ． B ． C ． D 2. 已知函数()3sin 4cos 1f x x x =++，实常数,,p q r 使得()()2018pf x qf x r ++=对任意的实数x R ∈恒成立，则cos p r q +的值为( ) A ．-1009 B ．0 C.1009 D ．2018 3. 已知向量a =（k ，cos 3π），向量b =（sin 6π，tan 4π ），若a ∥b ，则实数k 的值为（） A ．4 1 - B ．﹣1 C ．41 D ．1 4. 已知,,,66t R ππαβ?? ∈-∈????，且5sin 30t αα+-=，5181sin3 03t ββ++=，则()ln 3cos 3αβ-+=????（） A ．ln2 B ．ln3 C ．5 ln 2 D ．ln 3? ?? 5. 若1 tan()43π α-=-，则cos2α=（） A ．35 B ．35- C ． 45- D ．45 6. 设f (n )=cos( 2n π+4 π )，则f (1)+ f (2)+ f (3)+…+ f (2006)=（） A ．－2 B ．－ 2 C ．0 D ． 2 7. 2cos553sin 5 -的值为（） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ．1 8. 设函数()cos sin f x x x =-，把)(x f 的图象按向量)0,(m 平移后，图象恰为函数 ()y f x '=的图象，则m 的值可以是 A. 2π B.4 π C.4π- D.2π- 9. 已知2sin 23 α=，则2 cos (4 πα+=（） A ．16 B ．16 C ．12 D ．23 10. 将函数()2cos f x x x =-的图象向左平移?（0?>）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则?的最小值为 ( ) A ． 6π B ． 3π C ．23π D ．56 π 11. 若 )4 2sin(21 )22cos( cos 22π+α-α+π +α=4，则tan （2α+4π）=（） A ．21 B ．31 C ．41 D ．5 1 12. 若sin(2cos )4 π ααα+=+，则sin 2α=（） A ．45- B ．45 C. 35- D ．3 5

中考数学全面突破：第十二讲锐角三角函数及其实际应用

第十二讲锐角三角函数及其实际应用命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现． 1. sin 60°的值等于( ) A . 12 B . 22 C . 3 2 D . 3 1. C 2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30° 2. D 选项逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1 tan75° ×tan75°＝1 √ C sin 2A ＋cos 2A ＝1 √ D ∵sin60°＝ 32，2sin30°＝2×1 2 ＝1，∴sin60°≠2sin30° × 3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12 |＋（tan β－1）2 ＝0，则α＋β＝________． 3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝1 2，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°， β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34 B . 43 C . 35 D . 45

(完整版)特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值的巧记特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背．那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法．首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系．对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、斜边的比是3掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意一个锐角三角函数值，如：0013sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点．在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶12，那么，就不难记住：002sin 45cos 452 ==，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义．二、列表法：

说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1→22→23→1变化，其余类似记忆．三、口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°==tan45°=13=．这种方法有趣、简单、易记．四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ．例1.tan30°的值等于（）

初三三角函数、几何证明

初三期中复习(一) 考点归纳：一、三角函数 1、运用特殊三角函数值进行计算和化简 2、锐角三角函数间的转化 3、三角函数的实际应用（一）锐角三角函数之间的几种关系 1.平方和关系： 2.倒数关系： ; 3.商的关系：; 4.互余关系： (二)锐角三角函数值的特殊性质 1.有界性： 2.增减性：若反之亦然. (三)坡度（坡比）、坡角、仰角、俯角、方位角等基本概念视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角坡面的铅直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡度（或坡比）设坡角为α，坡度为i ，则i=h:l 坡度一般写成1∶m 的形式坡度越大，则坡角越大，坡面就越陡拓展：任意三角形的面积公式：对于△ABC ，已知两边b a ,及其夹角θ，那么有θsin 2 1 ?= ?ab S ABC

二、几何证明及计算。 1、线段、角度之间的关系 2、周长及面积的计算例题解析：考点一、三角函数的计算 1、31 08330tan )60(sin )2010(+-?-?+--π 2、 12009 |3.14π| 3.1412cos 451)(1)-?-+÷-++-?? ??° 3、 4、已知0°＜α＜45 °，sin cos αα?==αsin 5.已知的值. ? -??+?60tan 45cot 30cot 45tan

6.计算：2sin 48°+2sin 42°—tan 44°·tan 45°·tan 46° 7、2sin 1°＋2sin 2°＋···＋2sin 88°＋2sin 89°。考点二：锐角三角函数性质的应用 1.在下列不等式中，错误的是（） A ．sin45○＞sin30○ B ．cos60○＜cos30○ C ．tan45○＞tan30○ D ．cos30○＜cos60○ 2.已知，则锐角A 的取值范围是（） A ． B ． C ． D ． 3.若∠A 为锐角，且2 3cos