用三角巧解几何角度计算问题（三）
河南师大附中 赵振华
近来许康华竞赛优学连续登出了许多比较优美的几何计算问题，笔者习作之余，发现这类问题用三角处理起来也是可以有章可循的，不过部分题目会用到一个三角恒等式4sin α sin(60?α) sin(60?-α)sin α= sin3α（或余弦）的结论，做起来感觉很好，这里我从第25题开始解答，欢迎大家批评指正。
题25.设D 为△ABC 内部一点，且∠ABD=18°，∠DBC=15°，∠BCA=63°，∠CAD=55.5°.求∠ADC 。
解：设∠BCD=θ，则∠ACD=63°-θ ,∠BAD=28.5°
∴ 1=DA DB ×DB DC ×DC DA =sin18sin 28.5°°×sin sin(63)θθ?-×sin 55.5sin15°°
∴θ
θsin )63(sin -?=sin18sin 55.5sin 28.5sin15???? ……① 又∵2cos36°cos72°=sin1442sin 36°°=12
=sin30°=2sin15°cos15° ∴cos36°cos72°-cos75°sin18°=sin15°cos15°-sin15°sin18°
∴sin18°(cos36°-cos75°)=sin15°(cos15°-cos72°)
∴2sin18°sin55.5°sin19.5°=2sin15°sin43.5°sin28.5° ∴sin18sin 55.5sin 28.5sin15????=sin 43.5sin19.5°°
……② 由①②可知：θ
θsin )63(sin -?=sin 43.5sin19.5°°=sin(6319.5)sin19.5?-?? ∴θ=19.5° ∴63°- θ=43.5°
∴∠ADC=180°-55.5°-43.5°=81°
∴∠ADC 为81°.
题26.直角△ABC 中，∠ABC=90°，点D ，E 分别在直角边AB ，BC 上，∠CDE=10°，∠BED=20°，∠DEA=30°. 求∠DCA.
解：设∠ACD=α，则∠CAE=40°-α，∠EAB=40°
∴1=DE EC =DE EA ×EA EC =sin 40sin 70°°·sin(10)sin(40)
αα?+?-
∴)10sin()40(sin αα+-??=sin[50(10)]sin(10)αα?-?+?+
=
sin 40sin 70°°=2sin20°=sin 20sin 30°°
=sin(5030)sin 30?-?? ∴10?＋α=30°
∴α=20°.
∴∠DCA=20°.
题27.等腰△ABC 中，AB=AC,∠CAB=120°.点D 位于边AB 上，点E 位于边AC 上，且∠EBC=24°，∠BCD=12°.证明：DB=DE 。
解：设∠DEB=α,则∠ADE=6°+α
∴sin 6sin a °=DE DB =DE DC ×DC DB
=
sin18sin(54)α??-×sin 30sin12°° ∴sin(54)sin αα?-=sin18sin 30sin 6sin12
鞍鞍 ……① 又∵cos36°-cos72°=sin1442sin 36°°=12
=cos60° ∴cos36°-cos60°=cos72°=sin18°
∴
sin(54)sin a a ?=cos36cos 602sin 6sin12
??鞍 =2sin 48sin122sin 6sin12
鞍鞍 =sin 48sin 6°°
=sin(546)sin 6??° ∴α=6°
∴∠DBE=∠DEB
∴DB=DE.
题28. 凸四边形ABCD 中，∠ABD=28?，∠DBC=14?，∠BCA=64?，∠ACD=58?.求∠DAC.
解：设∠CAD=α，则∠BAD=74?+α ∴sin sin 58α?=AD DC =AD
BD BD DC ?
=
sin14
sin122
?
?
×
sin(74)
sin28
α
?+
?
∴sin(74)
sin
α
α
?+
=
sin28sin122
sin58sin14
??
??
=
2cos14sin58
sin58
??
?
=
sin76
sin30
?
?
=
sin104
sin30
?
?
=
sin(7430)
sin30
?+?
?
∴α=30?
∴∠CAD=30?.
题29. 在正五边形ABCDE内部有一点F，满足∠ABF=∠FEA=24?. 求∠DFC.
解：设∠CFD=2α，则∠ACF=α-18?，∠BCF=18?+α
∴sin(18)
sin18
α-?
?
=
FC
FA
=
FB
FA
×
FC
FB
=
sin24
sin54
?
?
×
sin(18)
sin84
α
?+
?
∴sin(18)
sin(18)
α
α
?+
-?
=
sin(3618)
sin(18)
α
α
?+-?
-?
=
sin54sin84
sin24sin18
??
??=
4sin54sin42sin24cos24
sin24sin18
????
??
=
4sin54sin42sin24sin66
sin244sin6sin54sin66?
????
????
=
sin42
sin6
?
?
=
sin(366)
sin6
?+?
?
∴α-18?=6?
∴α=24?
∴∠CFD=48?.
题30. 在凸六边形ABCDEF中，∠ABC=∠EFA=120?，∠FAD=∠ECD=80?，∠BCE=70?，∠CEF=100?,AB=BC，EF=FA.设直线BF与DE的交点为G.求
∠EGF.
解：设∠CED=α，则∠ADE=60?- α ∴
sin(60)sin(70)αα?-?+=AD AE =CA AE ×AD CA =sin 40sin 70??×sin40sin120??
=
2sin 40sin 204sin 20sin 40sin 80?????
=12sin80?
=sin30sin 80??
=sin30sin100?? ∴sin[130(70)]sin(70)
αα?-+?+?=sin(130100)sin100?-?? ∴α+70?=100?
∴α=30?
∴∠CED=30?
∴∠DEF=∠DEC+∠CEA+∠AEF
=30?+70?+30?
=130?
∴∠FEG=50?
又∵∠EFG=90?
∴∠EGF=40?.
题31. 平行四边形ABCD 中，∠ABC=45?，∠BCA=30?，求∠BDA. 解：设AC 交BD 于点O ，∠BDA=α，则∠ABD=45?-α 1=OD OB =OA OB ×OD
OA
=
sin105sin(45)α??-×sin sin 30α? ∴sin(45)sin αα?-=sin105sin 30??
=sin30cos 75??
=sin30 sin15
?
?
=sin(4515)
sin15
?-?
?
∴α=15?
∴∠BDA=15?.
题32.设E为凸四边形ABCD的边BC上一点，F为△AED内一点，且∠EAB=22°，∠FBE=57°，∠BEA=79°，∠FED=30°，∠DEC=60°，∠CDE=49°，∠EDA=82°.G为AE与BF的交点，H为ED与FC的交点.求∠EHG.
解：先设∠FCE=α，则∠CFE=90°-α
∴sin49
sin71
°
°
=
EC
DE
=
EC
EF
×
EF
BE
×
BE
EA
×
EA
DE =
cos
sin
a
a
×
sin57
sin33
°
°
×
sin22
sin79
°
°
×
sin82
sin57
°
°
∴sin
cos
a
a
=
sin22sin82sin71
sin33sin79sin49
???
???
=
2sin112sin41sin49sin71
sin33sin49
?????
??
=
sin41sin311
sin33sin49
?
??
??
=
sin41
cos41
?
?
∴α=41°.
∴∠FCE=41°.
再设∠EHG=θ,则∠GHF=101°-θ. ∠FGH=θ-3°
∴sin30
sin49
°
°
=
FH
HE
=
FH
GH
?
GH
HE
=
sin(3)
sin82
θ-?
?
×
sin41
sin(41)θ
?
?+
∴sin(41)
sin(3)
θ
θ
?+
-?
=
sin41sin49
sin30sin82
??
??
=1
sin112
sin68
?
=
?
∴sin(443)
sin(3)
θ
θ
?+-?
-?
=
sin(4468)
sin68
?+?
?
∴θ-3°=68°
∴θ=71°
∴∠EHG=71°.
题33.△ABC中，D为顶点A在边BC上的垂足，且∠DAB=33?，∠CAD=15?.在线段AD上取一点E，使得∠ABE=18°.求∠ECA.
解：设∠ACE=α,则∠DCE=75°-α.
∴1=EA EB ×EB EC ×EC EA =sin18sin 33°°×?
?-39sin )75sin(α×sin15sin a ° ∴sin sin(75)αα?-=sin18sin15sin 33sin 39????
……① ∵4sin18°sin15°sin63°=2sin18°(cos48°-cos78°)
=2sin18°cos48°-2sin18°cos78°
=sin66°-sin30°+sin60°-sin84° ……②
又∵4sin39°sin33°sin12°
=2sin39°(cos21°-cos45°)
=sin60°+sin18°+sin6°-sin84° ……③
又∵sin66°-sin30°-sin18°-sin6°
=2cos36°sin30°-12
-sin18° =cos36°-cos72°-12
=sin72sin 36sin1082sin 36?+?-??-12
=0 ……④
由①②③④知sin18°sin15°sin63°=sin39°sin33°sin12° ∴sin18sin15sin 33sin 39????=sin12sin 63°°=sin sin(75)αα?-=sin12sin(7512)
??-? ∴α=12°
∴∠ACE=12°.
题34.在凸四边形ABCD 中，∠ABD=∠BDA=13°,∠CAB=103°,∠ACD=43°.求∠DBC.
解：设∠CBD=α，则∠ACB=64?-α
∴1=AB AD =AC AD ×AB
AC
=??86sin 43sin ×)
64sin()13(sin αα-+?? ∴sin(64)sin(13)αα?-?+=sin(7713)sin(13)
αα?-?-?+ =
sin43sin 86??
=sin 30sin 47??
=
sin(7747)sin 47?-??
∴13?+α=47?
∴α=34?
∴∠CBD=34?.
题35.在凸四边形ABCD 中，∠ABD=48°,∠BCA=24°,∠ACD=78°.且已知∠DBC 与∠BDA 的角度值均为整数。
（1）求至少一个∠DBC 的值，使上述条件成立。
（2）在∠DBC 取（1）中的值时，求∠BDA. 解：设∠CBD=m?，∠ADB=n?(,)m Z n Z ++∈∈,则∠BAC=108?-m?，∠BDC=78? -m?,78ADC n m ∠=?+?-?,48ABC m ∠=?+?. ∴sin sin 48n ??=AD AB =AC AB ×AD
AC =
sin 24sin(48)m ??+?×sin(78)sin 78n m ?+?-?? ∴sinn?sin (48?+m?）sin78?=sin24?sin48?sin (78?+n?-m?）
①78?+n?=90?时有
sin12?sin(48?+m?)sin78?=sin24?sin48?sin (90?-m?） ∴
sin(48)
sin 90-m m ?+???（）=2sin48?=sin96sin 42??
∴sin(48)cos m m ?+??=sin(4848)cos 48?+?? ∴m=48
∴∠CBD=48?时，∠ADB=12?.
②当78?+n?-m?=48?+m?有
sinn?sin78?=sin24?sin48?
∴sinn?=2sin12?sin48?
∴2sinn?sin72?=4sin12?sin48?sin72?=sin36?
=2sin18?cos18?
∴sinn?=sin18?
∴n=18 m=24.
∴∠CBD=24?时，∠ADB=18?.
题36.在凸四边形ABCD 中，∠ABD=38°,∠DBC=46°,∠BCA=22°,∠ACD =48°.求∠BDA.
解：设∠BDA=α,则∠CAD=68?-α
∴α
sin 38sin ?=AB AD =AC AD ×AB AC =sin 48sin(64)α??+×sin84sin 22??
∴sin(64)sin αα?+=sin48sin 84sin 38sin 22????×??82sin 82sin =4sin48sin 84sin 82sin 66????
=???
???18
sin 66sin 82sin 18sin 84sin sin484 =8sin24?sin84?sin18?·?
?
18sin 82sin =4（cos60?+cos72?）cos72?×
sin82sin18?
? sin 72sin 36sin108cos36cos 722sin 36?+?-??-?=? 1c o s 602==? ∴ c o s 60c o s 72c o s ?+?=? ∴sin(64)sin αα?+=4cos36?cos72?·sin82sin18?? =??36sin sin144·??
18
sin sin82 =?
?
18sin sin82 =
sin(6418)sin18?+?? ∴α=18?
∴∠BDA =18?
如何用好题目中的条件暗示 有一类题目，我们在解前面几小题时，其解题思路和方法往往对解后面问题起着很好的暗示作用，现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明，供同学们在学习过程中参考。 【例1】直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，如图1。 图1 （1）求B、A两点的坐标； （2）把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD。求D点的坐标。 解析：（1）容易求得，A（0，1）。 （2）如图2， 图2 ∵，A（0，1）， ∴OB=，OA=1。 ∴在Rt△AOB中，容易求得∠OBA=30° ∵把△AOB以直线AB为轴翻折， ∴∠OBC=2∠OBA=60°，BO=BC。 ∴△OBC是等边三角形 以BC为一边作等边△BCD，则D的落点有两种情形，可分别求得D的坐标为（0，0），。 反思：在求得第（1）小题中B、A两点的坐标分别为B（，0），A（0，1），实质上暗示着Rt△AOB中，OA=1，OB=，即暗示着∠OBA=30°，为解第（2）小题做了很好的铺垫。
【例2】直线与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点，如图3。 图3 （1）求三解形ABC的面积。 （2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数； （3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。 解析：（1）容易求得：A（，0），B（0，1）， ∴。 （2）如图4，连接OP、BP，过点P作PD垂直于y轴，垂足为D，则三角形BOP的面积为，故不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数。 图4 （3）如图4，①当点P在第四象限时由第（2）小题中的结果：，和第（3）小题的条件可得： ∴， ∵，
利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos
则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥
第3课时三角形中的几何计算 学习目标核心素养 1.掌握三角形的面积公式的应 用．(重点 ) 2．掌握正、余弦定理与三角函数 公式的综合应用．(难点) 1.通过三角形面积公式的学习，培 养学生的数学运算的素养． 2．借助三角形中的综合问题的学 习，提升学生的数学抽象的素养. 1．三角形的面积公式 (1)S＝ 1 2a·h a＝ 1 2b·h b＝ 1 2c·h c(h a，h b，h c分别表示a，b，c边上的高)； (2)S＝ 1 2ab sin C＝ 1 2bc sin A＝ 1 2ca sin B； (3)S＝ 1 2(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)． 2．三角形中常用的结论 (1)∠A＋∠B＝π－∠C， ∠A＋∠B 2＝ π 2－ ∠C 2； (2)在三角形中大边对大角，反之亦然； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (4)三角形的诱导公式 sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C， tan(A＋B)＝－tan_C? ? ? ? ? ∠C≠ π 2， sin A＋B 2＝cos C 2， cos A＋B 2＝sin C 2. 1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝120°，则S△ABC＝()
A ．3 2 B ．33 2 C ．3 D ．3 B [S △AB C ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝33 2.] 2．在△ABC 中，a ＝6，∠B ＝30°，∠C ＝120°，则△ABC 的面积为________． 93 [由题知∠A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin 30°＝b sin 30°，∴b ＝6，∴S ＝1 2×6×6×sin 120°＝9 3.] 3．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 2 [在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×2·AC ·sin 60°＝3 2AC ＝3， ∴AC ＝2. ∵BC ＝2，∠C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． ∴AB ＝2.] 三角形面积的计算 【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠B ＝π3，cos A ＝4 5，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积． [解] (1)∵角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且∠B ＝π3，cos A ＝4 5， ∴∠C ＝2π3－∠A ，sin A ＝3 5. ∴sin C ＝sin ? ?? ?? 2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.
初中数学用几何图示法解代数问题 很多代数问题用纯代数知识来解答很繁琐，也很难解决。因此，许多代数问题用几何图示法来解决非常容易，下面列举几例进行探讨。 一. 线段图示法 例1. 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，相遇时，甲车在已过中点15千米处，相遇后甲车再行8 9时到达B 地，乙车又行了2时到达A 地，求甲、乙两车每时各行多少千米？ 分析：行程问题有三个基本量：路程、速度、时间，且有基本关系：路程=速度×时间。本题设甲车的速度为x 千米/小时，乙车的速度为y 千米/小时，由于同时出发到相遇时，甲车在已过（如图1）所示的线段AB 中点M 的15千米处C 点，继续前进后，甲车行的距离为x 89CB = 千米，乙车行的距离为CA=2y 千米。因此，甲车开始行驶的距离AC 的时间为x y 2时与乙车开始行驶的距离BC 的时间为y x 89时所用时间相同，而M 是AB 的中点， 即AM=BM ，MC=15千米， 则15x 8 9BM ,15y 2AM +=-=，由图所示易知： ???????=+=-y x 89x y 215x 8915y 2 解这个方程组，得??? ????=-=???==760y 780x ,60y 80x 2211 经检验，???????=-=???==760y 780x ,60y 80x 2211都是原方程组的解，但??? ????=-=760y 780x 22，不合题意，舍去。 所以，甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时。 图1 二. 三角形图示法 例2. 已知正数，x ，y 满足条件x+y=4，求1y 1x 22++的最小值。
活用平面的法向量巧解空间角 高中数学教材中增加了向量知识，随着课程改革的进行,向量作为几何与代数的结合点,向量的应用将会更加广泛。用向量作为工具，大大降低了思维的难度,充分体现了几何问题代数化的优势。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角,特别是平面的法向量,它是中学数学中的一颗明珠，是解决立体几何的锐利武器。法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰而规范。本文将介绍平面法向量在空间几何证明、计算中的应用。 一、 平面法向量的概念和求法 向量与平面垂直:如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作a α⊥。 平面的法向量:如果a α⊥,那么非零向量a 叫做平面α的法向量。 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量,进而可以利用平面的法向量解决相关的立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：在给定的空间直角坐标系中,设平面α的法向量n=(x,y,1)[或(x,1，ｚ）或（１，ｙ，z)],在平面α内任找两个不共线的向量ɑ，b ，由n ⊥ɑ,n ⊥b, 得n ·ɑ=0且ｎ·b =0,由此得到关于x,y 的方程组,解此方程组即可得到ｎ,有时为了需要,也求法向量ｎ上的单位向量n 0,则0n n = n .【例1】在棱长为1的正方体ＡB ＣD-A 1B 1Ｃ1D 1中,求平面ACD １的法向量n 和单位向量n 0． 解：建立空间直角坐标系，如图所示，则 A （1，0，0），C(0,1,0)，D 1(0，０，1）设平面ＡC Ｄ1的法向 量n =(x ，y,１)得1(1,1,0),(1,0,1)AC AD =-=-， 又n ⊥平面ACD 1，得,.n AC n AD ⊥⊥ 有(,,1)(1,1,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y -=??-=?得11 x y =??=? ∴n=（1,1,１),ｎ０= 333(,,)333111n n ==++ 二、 用法向量巧解空间角 在高考中，利用向量方法求线线角、线面角、二面角等重 点考查的知识点,特别是用法向量求解线线角、线面角、二面角 更成为高考考查的新视点，随着新课标的推广运用,这一重点必将成为高考的一个热点。1、求直线与平面所成的角 （１）直线与平面所成的角，应分三种情况： ①直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它所在平面上的射影所成的锐角; ②直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是900； ③直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角是０0。 由此可知，直线与平面所成角的范围是［00,900]。 (２)斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成的角互余，或与该平面的法向量所成角的补角互余，故要求斜线与平面所成的角，只要求斜线与该平面的法向量所成的角即可。常记斜线AB 与平面α所成的角为θ(０＜θ≤π2），则c ｏs(错误!-θ)＝AB n AB n ,
五年级数学几何图形练习题 一、计算题 1、一块平行四边形的水稻田，底180厘米、高70米。它的面积是多少平方米？（画图及计算） 2、一个近似于梯形的林地，上底1.5千米、下底3.9千米、高0.9千米。这个林地的面积是多少平方千米？（画图及计算） 3、一个长方形的苗圃，长41米、宽19米，按每平方米育树苗5棵计算。这个苗 圃一概可以育多少棵树苗？ 4、爷爷家有一块三角形的小麦地，底32米、高15米，今年一共收小麦134.4千 克。平均每平方米收小麦多少千克？ 5、张大伯家有一块梯形的玉米地，上地120米、下底160米、高40米。预计每 公顷可以收玉米6000千克。这块玉米地一共可以收玉米多少千克？按每千克玉米0.8元计算，玉米收入有多少元？
6、爷爷家的一块长120米、宽30米的地，按照每平方米收稻谷0.92千克计算。 今年这块地收稻谷多少千克？收的稻谷的质量是小麦的2.4倍，今年收小麦多少千克？ 7、一块三角形的果园，面积是0.84公顷，已知底是250米。它的高是多少米？ 选择题 1、把一个平行四边形活动框架拉成一个长方形，那么现在的长方形与原来的平行四边形相比，周长（），面积（） A 、变大B、变小C、没变D、无法比较 2、一个三角形底不变，高扩大6倍，面积（） A、不变B扩大6倍C、扩大3倍D、缩小3倍 3、一个平行四边形的底是40厘米，高是20厘米，与它等底等高的三角形的面积是（） A 、4平方分米 B 400平方分米C、8平方分米 4、下列说法中错误的是（） A 、在6与7之间的小数有无数个B、0既不是正数也不是负数。 C 、生活中，一般把盈利用正数表示D、两个不同形状的三角形面积也一定不相等 5、图中阴影部分与空白部分相比（ A、面积相等，周长相等 B、面积不等，周长相等。 C、面积相等，周长不等。 D、无法比较。 三、求下面图形的周长和面积。
如何做几何证明题 【知识精读】 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1所示，?ABC 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF C F B A E D 图1
分析：由?ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=?A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=?DCF 45。从而不难发现??DCF DAE ? 证明：连结CD AC BC A B ACB AD DB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，， ∴?∴=??A D E CDF DE DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。 求证：∠E ＝∠F D B C F E A 图2 证明：连结AC 在?ABC 和?CDA 中， AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF BE DF ===∴?∴∠=∠==∴=，，，??() 在?BCE 和?DAF 中，
方程解问题的代数解法与几何解法 一般地，讨论方程的解可以有两种解法，一是利用代数方法，最终把比较复杂的 方程化为比较简单的一元一次方程或一元二次方程或其他基本方程（如简单的三角方程），二是转化为函数或方程的曲线，利用图形进行分析，即几何解法.要根据具体问题灵活选用这两种解法，而且两种解法要相互补充，灵活运用.下面举例说明这两种解法的具体应用. 例题1：设方程340x x +-=的根为1x ，方程3log 40x x +-=的根为2x ， 求12x x +. 代数解法：因为13140+-=，所以1x =方程340x x +-=的一个根， ()34x f x x =+-在R 上为增函数，所以()34x f x x =+-在R 上最多只有一个零 点，所以1 1.x =因为3log 3340+-=，所以3x =方程3log 40x x +-=的一个根，3 ()log 4 f x x x =+-在(0,)+ 上为增函数，所以3()lo g 4f x x x =+-在(0,)+ 上最多只有一个零点，所以2 3.x = 所以12 4.x x += 显然上面提供的代数解法仅仅局限于能够用观察法求出方程根的情况，对于含有指数式、对数式及整式的方程，一般无法用初等方法求出方程的根，因此可以考虑从整体上求出12x x +. 此题的特殊性决定了题目的确具有更有一般性的代数方法，但是要用到指数与对数的互化，很难想到，下面提供给同学们仅供参考： 11340x x +-= ① 322log 40x x +-= ② ①式可以变形为1 13 4x x =-+，即为 311log (4)x x -+=，若设14x t -+=， 则14x t =-，于是3log 4t t =-， ②式变为322log 4x x =-，t 与2x 都是方程3log 4x x =-的根，而这个方程即3log 40 x x -+=，又函数3()log 4f x x x =+-在(0,)+ 上为增函数，最多只有一个实数根，因此必有214x x =-+，所以12 4.x x += 几何解法：将方程340x x +-=变形为34x x =-+，将方程
图1 用平面的法向量解高考立体几何试题 张靖松 平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器，开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，也能顺利解决2005年全国高考试卷中的立体几何试题。 一、平面法向量的概念和求法 向量与平面垂直 如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。 平面的法向量 如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关 立体几何问题。推导平面法向量的方法如下： 在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或 (1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且 0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。有时为了需要，也求法 向量n 上的单位法向量0n ，则0n n n = 。 例1 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中， 求平面1ACD 的法向量n 和单位法向量0n 。 解：建立空间直角坐标系，如图1，则(1,0,0)A ， (0,1,0)C 。设平面1ACD 的法向量(,,1)n x y =。 得(1,1,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-。 又n ⊥面1ACD ，得n AC ⊥，1n AD ⊥。有(,,1)(1,1,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y ?-=?? ?-=?，得1 1x y =??=? 。 ∴(1,1,1)n = ，0n n n = ==。 二、平面法向量的三个引理 为了能方便地运用平面法向量解题，特介绍平面法向量的三个引理，以此为工具，可以 顺利地解决立体几何问题。
2020届高考数学（理）热点猜押练一致胜高考必须掌握的 20个热点 热点练15 立体几何中的证明与计算问题 1.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC. (1)证明:A1C⊥平面BED. (2)求二面角A1-DE-B的余弦值. 2.如图,三棱台ABC-EFG的底面是正三角形,平面ABC⊥平面BCGF,CB=2GF, BF=CF. (1)求证:AB⊥CG. (2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.
3.如图,在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中,PB⊥AB. (1)证明:平面PBC⊥平面PCD. (2)若异面直线PC与BD所成角为60°,PB=AB,PB⊥BC,求二面角B-PD-C的大小. 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=45°,PD=2,M 为PD的中点,E为AM的中点,点F在线段PB上,且PF=3FB. (1)求证:EF∥平面ABCD. (2)若平面PDC⊥底面ABCD,且PD⊥DC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
5.如图,多面体ABC-DB1C1为正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得,M为CB1的中点,且BC=BB1=2. (1)若D为AA1中点,求证AM∥平面DB1C1. (2)若二面角D-B1C1-B大小为错误!未找到引用源。,求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值. 6.如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2. (1)证明:平面ABE⊥平面EBD. (2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为错误!未找到引用源。.
三角形中的几何计算 【知识与技能】 1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题. 3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力. 【重点】应用正、余弦定理解三角形. 【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题） （1）S = 2 1 ； （2）S = 21ab sin C =21 =21 ； （3）S = 2 1 ·r · (r 为三角形内切圆半径)； （4）2a b c S p ++?= =?? 其中(海伦公式)； （5）22sin sin sin sin sin sin b A C c A B S B C = == ; （6）4abc S R = (其中R 为三角形外接圆半径)。 类型1 三角形中的面积计算问题 【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 解：由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12.因为AB >AC ，所以C >B ， ∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝1 2 ·23·2·sin 30°＝ 3. 小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算． 【练习】(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝3 2 ，则边BC 的长为________． 解：由S △ABC ＝ 32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32 ，∴AC ＝1.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×1 2 ＝3.∴BC ＝ 3. 类型2 三角形中的长度、角度计算问题 【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长. 解：在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠ADB ,
2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题 专题一几何证明之三角形中的存在性问题 1、如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB平移至线段CD， 使点A的对应点C在x轴的正半轴上，点D在第一象限． （1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）； （2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值； （3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD之间的一个等量关系，并说明理由． 解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D， ∴D（k+2，2）； （2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2， ∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD， ∴＝+， 解得：k＝2． （3）∠BPD＝∠BCD+∠A；理由如下： 过点P作PE∥AB，如图2所示： ∴∠PBA＝∠EPB， ∵线段AB平移至线段CD，
∴AB∥CD， ∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD， ∴∠EPD＝∠PDC， ∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC， ∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠PBA＝∠ABC，∠PDC＝∠ADC， ∴∠BPD＝∠ABC+∠ADC＝∠BCD+∠A． 2、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°）， 得到△A'B'C． （1）如图1，当AB∥CB'时，设A'B'与CB相交于点D，求证△A'CD是等边三角形； （2）如图2，设AC中点为E，A'B'中点为P，AC＝a，连接EP．在旋转过程中，线段EP的长度是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值并说明此时旋转角θ的度数，如果不存在，请说明理由． （1）证明：∵AB∥CB'， ∴∠BCB'＝∠ABC＝30°， ∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转， ∴∠ACA'＝30°．
状元堂一对一个性化辅导教案 教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日 学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解 难度星级★★★★ 教学内容 上堂课知识回顾（教师安排）： 1.平面向量的基本性质及计算方法 2.空间向量的基本性质及计算方法 本堂课教学重点： 1.掌握空间法向量的求法及其应用 2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距 3.熟练灵活运用空间向量解决问题 得分：
平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:.| |||arccos 2,2 →→→ →→ →??->= <-= AB n AB n AB n π π θ 图2-1-2:2| |||arccos 2,π π θ-??=->=<→ →→ → → → AB n AB n AB n (2)、求面面角:设向量→ m ，→ n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为： θ β α → m 图2-2 → n θ → m α 图2-3 → n β | ,cos |sin ><=→ →AB n θA B α 图2-1-2 θ C → n 图2-1-1 α θ B → n A C
数学运算之几何问题专题 面积基本公式：（1）三角形的面积S＝1/2ah （2）长方形的面积S＝a×b （3）正方形的面积S＝a2 （4）梯形的面积S＝(a+b)/2×h （5）圆的面积=πr2＝1/4πd2 （1）等底等高的两个三角形面积相同； （2）等底的两个三角形面积之比等于高之比； （3）等高的两个三角形面积之比等于底之比。 解决面积问题的核心是“割、补”思维，即当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样做很可能走入误区，最后无法求解或不能快速求解。对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法”即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积。 体积基本公式：(1)长方体的体积V＝abc (2)正方体的体积V＝a3 (3)圆柱的体积V＝Sh ＝πr2，S为圆柱底面积。 (4)圆锥的体积V＝1/3Sh ＝1/3πr2h ，S为圆锥底面积。 周长基本公式：（1）长方形的周长C＝(a＋b)×2 （2）正方形的周长C＝a×4 （3）圆的周长C＝2πr ＝πd
例1、现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0.6米浸入水中，如果将其分割成边长0.25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为（）。 A 3.4平方米B9.6平方米C13.6平方米D16平方米 【解析】边长1米的一个木质正方体放入水里，有0.6米浸入水中，说明要考虑水的浮力的作用，并且告诉了浮力的大小。可以得到的小正方体有64个，每一个直接和水接触的表面积包括一个底面和4个侧面的60%。根据题意，直接和水接触的表面积总量为64×（0.25×0.25+40.6×0.25×0.25）=13.6（平方米）。答案选C。 例2、甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5∶4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是（）。 A20厘米B25厘米C30厘米D35厘米 【解析】不妨假设两个容器的底面积分别为5和4，设注入同样多的水后相等的水深为x厘米，根据题意，注入水的体积相等，得到方程5（x-9）=4（x-5），解方程得x=25（厘米）。答案选B。 例3、半径为5厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中AB弧与AD弧为四分之一圆弧，而BCD弧是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方厘
中考几何题证明思路总结 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 三、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，错角相等或同旁角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 四、证明两直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 11.利用半圆上的圆周角是直角。
【关键字】高考 用平面的法向量解高考立体几何试题 张靖松 平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器，开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，也能顺利解决2005年全国高考试卷中的立体几何试题。 一、平面法向量的概念和求法 向量与平面垂直如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a。 平面的法向量如果a，那么向量a叫做平面的法向量。 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下： 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或 ]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且 ，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。有时为了需要，也求法 向量上的单位法向量，则。 例1 在棱长为1的正方体中， 求平面的法向量和单位法向量。 解：建立空间直角坐标系，如图1，则， 。设平面的法向量。 得，。 又面，得，。有，得。 ，。 二、平面法向量的三个引理 为了能方便地运用平面法向量解题，特介绍平面法向量的三个引理，以此为工具，可以顺利地解决立体几何问题。 引理1 设向量是平面的单位法向量，点B是平面外一定点，点A是内任意一点，则点B 到平面的距离。 证明：如图2，过B作BO垂直平面于O，在 平面上任取一点A，则为与的夹 角，设为。 在中，， 得。 例2 在例1中，求点到平面的距离。 解析：由例1的解答知，平面的单位法向量， 又，设点到平面的距离为，则 。 所以，点到平面的距离为。 说明：利用引理1求点到平面的距离比用保守的几何方法求距离简单得多，它省去了作图、证明等推理论证，直接通过向量运算得到正确的结果。 引理2 设AB是平面的斜线，BO是平面的垂线，AB与平面所成的角, 向量与的夹角（见图2），则。（证略）
几何计算型综合问题 【考点透视】 几何计算型综合问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题.在近年全国各地中考试卷中占有相当的分量.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想. 解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决. 值得注意的是近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力……力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去. 【典型例题】 例1 在生活中需要测量一些球（如足球、篮球…）的直径，某学校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线AD、CB分别与球相切于点E、F，则E、F即为球的直径．若测得AB的长为41.5cm，∠ABC=37°.请你计算出球的直径（精确到1cm） 分析：本题实际上是解直角梯形ABFE中的问题， 作AG⊥CB于G，在Rt△ABG中，求出AG即可． 解：作AG⊥CB于G， ∵AD、CB分别与圆相切于E、F， ∴EF⊥FG，EF⊥EA， ∴四边形AGFE是矩形， ∴AG=EF 在Rt△ABG中，AB=41.5，∠ABG=37°， ∴AG=AB·sin∠ABG=41.5×sin37°≈25. ∴球的直径约为25cm. 说明：将几何计算题与研究性学习问题和方案设计问题有机的结合起来，是近年中考题的又一热点．这类题一般难度不太大，关键是考查建模能力. 例2．在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在
分析中考的几何计算题 几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。 一、三种常用解题方法举例 例1. 如图，在矩形ABCD 中，以边AB 为直径的半圆O 恰与对边CD 相切于T ，与对角线AC 交于P ， PE ⊥AB 于E ，AB=10，求PE 的长。 解法一：（几何法）连结OT,则OT ⊥CD ，且OT=2 1 AB ＝5,BC=OT=5,AC=25100+=55 ∵BC 是⊙O 切线，∴BC 2 =CP ·CA ∴PC=5，∴AP=CA-CP=54 ∵PE ∥BC ∴ AC AP BC PE =，PE=5 55 4×5=4 说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别 要注意图形中的隐含条件。 解法二：（代数法）∵PE ∥BC ，∴AB AE CB PE = ∴2 1 ==AB CB AE PE 设：PE=x ，则AE=2x ，EB=10–2x 连结PB 。 ∵AB 是直径，∴∠APB=900 在Rt △APB 中，PE ⊥AB ，∴△PBE ∽△APE ∴ 2 1 ==AE PE EP EB ∴EP=2EB ，即x=2（10–2x ） 解得x=4 ∴PE=4 说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系。 解法三：（三角法）连结PB ，则BP ⊥AC 。设∠PAB=α 在Rt △APB 中，AP=10COS α 在Rt △APE 中，PE=APsin α, ∴PE=10sin αCOS α 在Rt △ABC 中, BC=5,AC=55 ∴sin α= 555 55= ,COS α=5525 510= ∴PE=10×55255?=4 说明：在几何计算中，必须注意以下几点： （1） 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系。
C D B A B C E A F D 第 18 讲 用代数法解几何题 【知识提要】 有的几何图形是由两个或两个以上的图形错综复杂地组合在一起,甚至已知条件是隐蔽的。我们可以根据图形的特征以及已知条件选择适当的未知量用x 来表示,然后找出相等关系列出方程(或代数式)求解。 【例题解析】 例1.把一个正方形的一边延长6cm,相邻的另一边缩短2cm,就变成一个长方形,这样面积比原来增加56cm 2,求原来正方形的面积。 思路点拨：设原正方形的边长为xcm,则列方程6(x －2)－2x ＝56求解。 例2.一块直角三角形的铁皮,两条直角边分别长40cm 和60cm 。要在里面剪一块最大的正方形,剪成的正方形边长是多少厘米？ 思路点拨：设剪出最大正方形边长为xcm,则列方程40x ÷2＋60x ÷2＝40×60÷2求解。 例3.如图,梯形ABCD 是直角梯形,面积是54cm 2,下底是上底的2倍。求阴影部分的面积。 思路点拨：设梯形上底为xdm,则下底为2xdm,高也为xdm 。根据梯形面积公式列方程求解。 例4.如图长方形ABCD 中,长30cm,宽15cm,E 是AB 的中点,求图中阴影部分的面积。 思路点拨：设△CDF 的CD 边上的高为xcm 。根据“S △CDF ＋S △ADE －S △AEF ＝S △ACD ”列方程求解。
D B A E F E B A 例5.如图,大、小两个正方形的边长为10cm和6cm,求阴影部分的面积。 思路点拨：设DO＝xcm。则根据“S 梯形DOFE ＋S △CDO ＝S △CEF ”求出DO的长,进而 求出阴影部分的面积。 【分层训练】 ★ 1.将一个长方形的宽增加5cm,长减少3cm,正好得到一个正方形,且正方形的面积比原来长方形的面积大45cm2,求原来长方形的面积。 2.如图梯形ABCD中,对角线AC与BD相交于E,且CE＝2AE,若梯形ABCD的面积为540cm2,求△ADE的面积。 3.如图,已知梯形上、下底长度之比为5：8,面积为39cm2,求阴影部分的面积。 4.一个正方形,一边减少20%,另一边增加2cm,得到一个与正方形面积相等的长方形,求正方形的面积。 5.如图,△ABC中,D为BC的中点,E为CA的三等分点,AD与BE相交于F,若△ABC 的面积为60cm2,求△BDF的面积。