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三角函数综合应用解题方法总结(超级经典)

精锐教育学科教师辅导教案

例3：求函数y=f(x)=cos 2

2x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x-

23)2-4

5, ∴当cos2x=1,即x= k π,(k ∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k π+

,( k ∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法

y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角?，化为y=22b a +sin （x+?）,利用函数()1sin ≤+?x 即可求解。Y=asin 2

x+bsinxcosx+mcos 2

x+n 型亦可以化为此类。

例4：已知函数()R x x x x y ∈+?+=

1cos sin 2

3cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。 [分析] 此类问题为x c x x b x a y 2

cos cos sin sin +?+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为

x b x a y cos sin +=型求解。

解： ().4

7,6,2262,4562sin 21452sin 23

2cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+??? ??+=+???? ??+=++=+?++?=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ

5. 利用数形结合例5：求函数y x

+s in c o s 2的最值。

解：原函数可变形为y x x =

---s i n c o s ()

这可看作点Ax xB (c o s s i n )()

，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 2

1+=上的动点。由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，y y m a x m i n .=

=-333

，

6、换元法例6：若0

，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.

当时

，

如

下

图

所

示

，

有

≤

a a

n m

(

)(

)

(

)

，

为

和

中

的

较

大

者

，

即y a a

y a a

m a x

()

=--≤≤

=+<≤

3410

3401

当时，如下图所示，有

y g a

=-=+

==-

134

m a x

m i n

()

().

10. 判别式法

例10求函数

tan

sec

tan

sec

=的最值。

[分析]同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。

解：()()()

()π

π∈

∴

tan

sec

tan

sec

≠

y时此时一元二次方程总有实数解

()()()()

≤

∴

≤

∴

≥

∴

由y=3，tanx=-1，()3

4max

∈

∴y

倍（横坐标不变），得到)sin(φω+=x A y 的图像。

函数y=Asin （ωx＋φ）的图像可由y=sinx 的图像经过如下变换而得到：

其中相位变换中平移量|φ|个单位，φ＞0时，向左移，φ＜0时向右移；周期变换中的纵坐标不变，横坐标

为原来的倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的A 倍．

例1．把函数的图像适当变动就可以得到y=sin(－3x)的图像，这种变动可以是（）

A.向右平移

B.向左平移

C.向右平移

D.向左平移

解析：∵，

∵按“左加右减”的规律，把函数y=sin(－3x)的图像向右平移能得到函数的图像，

∴反过来，把函数的图像平移成函数y=sin(－3x)的图像只需向左平移，故选D.

当变换顺序改变后，即先周期变换，后相位变换时，平移量变为个单位．

图象变换过程还可表述为：

???

?????? ?

?+=ωφωx A y sin 即 )sin(φω+=x A y

例2．要得到)3

2sin(π

=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（）个单位长度

（A ）向左平移

3π （B ）向右平移3π （C ）向左平移6π （D ）向右平移6

π 分析：因为03

=π

φ，由图象变换可知应将函数x y 2sin =的图象向右平行移动，移动单位为

ωφ=，即有)32sin(π

=x y )6

(2sin π

-=x ，于是选（D ）。变式：要得到)321cos(π--

=x y 的图像，只需将)2

cos(x y -=的图像（）个单位长度（A ）向左平移

3π （B ）向右平移3π （C ）向左平移32π （D ）向右平移3

2π 分析：因为)3

2(21321π

π+-=--

x x ，即32πωφ=，所以选（C ）。评注：进行图像变换时应切记无论是哪种变换都是对字母x 而言的，注意到这一点就无须担心到底是先作相位变换还是先作周期变换。

二．三角函数y=Asin （ωx+φ）中的对称

（1）△＝

21ah a ＝21bh b ＝21

ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2

ac sin B ；

（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)

sin(2sin sin 2B A B

A c +；

（4）△＝2R 2

sin A sin B sin C 。（R 为外接圆半径）（5）△＝

abc

4；（6）△＝)

)()((c s b s a s s ---；??

? ?

?++=)(2

1c b a s ；（7）△＝r ·s 。

4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：

设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。（1）角与角关系：A +B +C = π；

（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ；（3）边与角关系：

正弦定理

C c

B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）；余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos

C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2

－2bc cos A ；

它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b a B A =sin sin ，bc

c b A 2cos 2

22-+=

。 5．三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换

因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

sin 2cos ,2cos 2sin C

B A

C B A =+=+；

（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。

r 为三角形切圆半径，p 为周长之半。

（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。

典例解析：

题型1：正、余弦定理

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值．例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是．对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为．对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．2 3

三角函数知识点及题型归纳

三角函数高考题型分类总结一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为最大值为。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是（）.

高一三角函数题型总结

1.已知角范围和其中一个角的三角函数值求任意角三角函数值方法：①画直角三角形 ②利用勾股定理先算大小后看正负例题：1.已知α∠为第二象限角，13 5 sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值 2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值 2. 2. 3. 4.利用“加减πk 2”大角化小角，负角化正角，求三角函数值例题：求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133 π= ;

1.已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于（） (A)3 4 (B)43 - (C)43 (D)4 3 - 2.已知sin αcos α=8 1,且4π<α<2π ，则cos α－sin α的值为（） 33 (D)± 3 3.) 4. ） 5.） * 6.）

三角函数诱导公式诱导公式可概括为把 απ ±?k 2 的三角函数值转化成角α的三角函数值。（k 指奇数或者偶数， α相当锐角）口诀“奇变偶不变，符号看象限。”其中奇偶是指2 π 的奇数倍还是偶数倍，变与不变指函数名称的变化。公式一：=+)2sin(απk =+)2c o s (απk =+)2t a n (απk

三角函数诱导公式练习题 1．若(),2,5 3 cos παππα<≤= +则()πα2sin --的值是（） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 5 4 - 2．sin （－6 π 19）的值是（） A 3 6 )= . 10.α是第四象限角,,则αsin 等于________． 13 12 cos =α

锐角三角函数经典总结

锐角三角函数与特殊角专题训练【基础知识精讲】一、正弦与余弦： 1、在ABC ?中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos . 斜边的邻边斜边的对边 A A A A ∠= ? ∠= cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ，则c a A = sin ，c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<