巧用配方法解题
配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n 次方的形式，通常是指配成完全平方式．
配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．
一、用配方法解方程
例1 解方程：2x 2－3x+1=0．
分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
1． 将二次项的系数化为1；
2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边；
3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4．将方程化为(x+m)2=n 的形式；
5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）．
解：方程两边都除以2，得.02123—
2=+x x 移项，得.2
1—23—2=x x 配方，得222)4
3(21—)43(23—+=+x x ， 16
1)43—(2=x ， 即4143—=x 或.4
1—43—=x 所以x 1=1，.2
12=x 二、用配方法分解因式
例2 把x 2+4x —1分解因式．
分析：在原式中加上4的同时又减去4．
解：原式=x 2+4x+4—4—1=x 2+4x+4—5
=(x+2)2—2)5(=).5—2)(52(+++x x
三、用配方法求代数式的值
例3 已知实数a ，b 满足条件：0454—42
2=+++b a b a ，求—ab 的平方根．
分析：一个方程含有两个未知数，看似无法求出a ，b ．但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b 的值． 解：∵0454—422=+
++b a b a ， ∴0)144()41
—(2
2=++++b b a a ， 即0)12()2
1—(22=++b a ， ∴.2
1—,21==b a ∴±.2
1)21(21——±=×±=—ab 四、用配方法求代数式的最大（小）值
例4 代数式2x 2—3x —1有最大值或最小值吗？求出此值．
分析：代数式2x 2—3x —1的值随x 的变化而变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值．
解：2x 2—3x —1=2(x 2—
23x)—1=2(x —43)2+.8
1 ∴当43=x 时，2)4
3—(x 有最小值0， ∴当43=x 时，2x 2—3x —1有最小值为81． 五、用配方比较两个代数式的大小
例5 对于任意史实数x ，试比较两个代数式3x 3—2x 2—4x+1与3x 3+4x+10的值的大小． 分析：比较两个代数式的大小，可以作差比较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小．
解：（3x 2—2x 2—4x+1）—（3x 3+4x+10）
=—2x 2—8x —9=—2(x+2)2—1<0，
所以对于任意实数x ，恒有
3x 3—2x 2—4x+1<3x 3+4x+10．
六、用配方法证明等式和不等式
例6 已知方程中(a 2+b 2)x 2—2b(a+c)x+b 2+c 2=0中字母a ，b ，c 都是实数．
求证：.x a
b b
c == 分析：一个方程含有四个未知数，看似无法求出a ，b ，c ，x ．但仔细观察发现，方程左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b ，c ，x 之间的关系．
证明：原方程坐标拆成两个二次三项式为：(a 2x 2—2abx+b 2)+(b 2x 2—2bcx+c 2)=0，
∴(ax —b)2+(bx —c)2=0．
∵a ，b ，c ，x 都是实数，
∴(ax —b)2≥0,(bx —c)2≥0．
∴ax —b=0,bx —c=0． ∴.x a b
b c ==
作图法解题 例题1 五（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。五（1）班原有男、女生各多少人？ 练习一 1、两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。这两根电线原来共长多少厘米？ 2、甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？ 例题2同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。红花比紫花多几朵？
练习二 1、奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。奶奶家养的鸡比鹅多几只？ 2、批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。运来的香蕉比苹果少多少筐？ 例题3 甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。原来四个小组各植树多少棵？ 图中实线表示四个小组实际植树的棵数：
练习三 1、甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4后，四个数就正好相等。求这四个数。 2、甲、乙、丙三人分113个苹果，如果把甲分得的个数减去5，乙分得的个数减去24，丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数就相同。三人原来各分得苹果多少个？ 例题4 五（1）班全体同学做数学竞赛题，第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人，第二次及格人数增加5人，使及格的人数是不及格人数的6倍。五（1）班有多少人？
配方法及其应用 初一（ ）班 学号：_______ 姓名：____________ 一、配方法： 将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”． 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ； a 2＋a b ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝(a －b )2 ＋3ab ＝? ????a ＋b 22＋? ????32b 2； a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12 [(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]． 下面举例说明配方法的应用： 一、求字母的值 【例1】已知a ，b 满足a 2＋2b 2－2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值． 分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式,从而求出两个未知数的值. 解：∵a 2＋2b 2－2ab －2b ＋1＝0， ∴a 2＋b 2－2ab ＋b 2－2b ＋1＝0， ∴(a －b )2＋(b －1)2＝0. ∵(a －b )2≥0，(b －1)2≥0， ∴a －b ＝0，b －1＝0， ∴a ＝1，b ＝1， ∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3， ∴a ＋2b 的值是3. 变式练习： 1、已知,6134222x xy x y x =+++则x,y 的值分别为___ ___.
论述题的答题方法与技巧 一、认真读材料，仔细审题目 论述题的设问方式一般是两种类型：“怎么办？”和“为什么？” 1.“怎么办？”型：常见表述有“运用政治（经济）常识的知识论述如何（怎样）??” 2.“为什么？”型：常见表述有“运用政治（经济）常识的知识论述??的重要性或必要性”、“请论述?? 的政治（经济）意义” 、“请运用政治（经济）常识的知识论述?? 对??的重要性或必要性或意义”等等。 二、搜索教材相关知识，根据设问归纳论点 1、“怎么办？”型 论点表述方式一般把设问的对象放在后面，根据教材获取的对象放在前面。基本格式 是：（教材知识点） +“可以、能够等” +（设问的对象） 例：运用经济常识的知识论述如何切实增加农民收入？ 答：①扩大农民就业可以增加农民收入。 （教材知识点） +“是” +（设问的对象） +“基础、保障、方式、环节、措施”等词 语 2.“为什么？”型 论点表述方式一般把设问的对象放在前面，根据教材获取的对象放在后面。基本格式 是： 1）问意义：（设问的对象） +“可以、有利于、有助于、能够”+（教材知识点） 2）问重要性或必要性：（设问的对象） +“是” +（教材知识点） +“要求、需要、体 现”等词语 三、寻找论据，围绕论点，适当展开论述 不管是哪一种设问方式，论述展开过程大致相似。论述过程实际上就是将所归纳的论 点运用科学的原理或事实进行展开，最后又回到论点的过程。 例1：扩大农民就业可以增加农民收入。随着农业劳动生产率的提高，我国农村出 现了大量的剩余劳动力，扩大农民就业是解决我国“三农”问题的当务之急。就业是民生治 本。扩大农民就业不但能更加充分地利用农村丰富的劳动力资源，而且能够促进广大农民 收入的普遍增长，从而形成收入增长→内需扩大→经济繁荣→就业增加→收入增长的良性 循环。 四、要注意的问题
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
五年级奥数讲义：作图法解题 图形具有直观性,用作图的方法可以将复杂应用题的数量关系直观地表示出来,使题目的已知条件和所求问题一目了然,并借助直观的图形进行分析、推理,进而很快找到解决问题的策略.这种方法我们称为作图法解题,特别是对解答条件复杂、数量关系不明显的应用题,能起到化难为易的作用. 例题选讲 例1:鸡与兔同笼共100只,一共有240只脚鸡与兔各多少只? 【分析与解答】这是鸡兔同笼问题,我们在前几讲已学会用其它方法解答,现在用作图法来解答,让同,学们体会一下这种方法的作用.图1中两个长方形的总面积表示的是鸡与兔脚的总个数,宽表示每只鸡与兔的脚的个数.则长就是要求的鸡与兔的只数.仔细观察图2,阴影部分的面积表示鸡与兔多出的脚,它应该等于总面积减空白面积,即240—2 x 100=40(只),那么阴影部分的长,也就是兔的只数应为40÷(4—2)=20(只),鸡的只数就是1OO-20=80(只)． 例2:甲、乙两车同时从A、B两地相向开出,第一次相遇时离A地有90千米,然后各按原速度继续行驶,到达目的地后立即沿原路返回,第二次相遇时离B地70千米处,求A、B两地的路程. 【分析与解答】求A、B两地的路程,题中既没有给出甲、乙 的速度,也没有给出相遇时间,解答比较困难.下面我们借助 线段图来帮助分析.从图上可以看出,甲、乙两车从出发到第一次相遇共行驶了一个全程,当两车共行驶1个全程时,甲车行驶了90千米.从第一次相遇到第二次相遇,甲、々两车又共行驶了2个全程.因此从出发到第l二次相遇甲、乙两车共行驶了3个全程,那么甲车就行驶了3个90千米,即90×3=270千米,而甲车比全程多行70千米.所以A、B的距离为270—70=200(千米). 练习与思考 1.有10分和20分的邮票共18张,总面值为2．80元.请问：10分和20分的邮票各有几张? 2.张红与李明同时从甲、乙两地相向而行,第一次两人相遇时离乙地400米.然后两人继续步行,各自到达目的地后立即返回,第二次相遇时离甲地200米,求甲、乙两地的距离.
浅谈配方法在高中数学中的应用 中实学校 王春雨 摘 要 应用配方变形来解数学题的方法叫做配方法，配方是一种以“出现平方式” 为思维指向的恒等变形，因而，配方法既具有恒等变形的功能，又具有“平方式”，从而在数学范围内产生非负数的特殊功能。本文从利用配方法求最值等四方面简单阐述说明配方法在解高中数学题中的应用 关键字 配方法 解题方法 一、 利用配方法化简、求值 如：化简442121721217-++ 原式=223223) 223()223(42 42 -++=-++ =221212)21)21(22=-++=-++ 再如：设的值，求ca bc ab c b a c b b a ---++-=-+=-2 2232,32 可利用配方 22 2222b bc ac ab c b b a ca bc ab c b a -+-+-+-=---++）（）（ 15 ) 32)(32()32()32())(()()() ()()()(2 2 2222=-++-++==--+-+-=-+-+-+-=c b b a c b b a b c b c b a c b b a 二、 利用配方法求最值 （1） 代数应用 一般含参数的一元二次方程在某段区间上的参数的最值问题通常运用判别式求解，但一般只能求得一个最值，如果用配方法便可求得，举例来说明一下 方程01)22 1(22=-+-+a x a x 的解集在区间[]2,0上，求实数a 的最大值和最小值。 通常用判别式法求解，由 △=8 17 04172)1(4)221(22≤ ≥+ -=---a a a a 得，只求得最大值，无法求最小值。今用配方法，不但可求得完整的解答，而且实践易行，有很好 的推广价值。因所求解为a 的最值，故调整原方程，以a 为主元。具体方法如下：把原方程化为
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例3：求函数y=f(x)=cos 2 2x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x- 23)2-4 5, ∴当cos2x=1,即x= k π,(k ∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k π+ 2 π ,( k ∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法 y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角?，化为y=22b a +sin （x+?）,利用函数()1sin ≤+?x 即可求解。Y=asin 2 x+bsinxcosx+mcos 2 x+n 型亦可以化为此类。 例4：已知函数()R x x x x y ∈+?+= 1cos sin 2 3cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。 [分析] 此类问题为x c x x b x a y 2 2 cos cos sin sin +?+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为 x b x a y cos sin +=型求解。 解： ().4 7,6,2262,4562sin 21452sin 23 2cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+??? ??+=+???? ??+=++=+?++?=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ 5. 利用数形结合 例5： 求函数y x x = +s in c o s 2的最值。 解：原函数可变形为y x x = ---s i n c o s () .0 2 这可看作点Ax xB (c o s s i n )() ，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 2 2 1+=上的动点。由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，y y m a x m i n .= =-333 3 ， 6、换元法 例6：若0 函数问题的题型与方法 一．复习目标： 1．了解映射的概念，理解函数的概念。 2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法， 并 能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。 3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。 5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。 二．考试要求： 1．灵活运用函数概念、性质和不等式等知识以及分类讨论等方法，解函数综合题。 2．应用函数知识及思想方法，解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问题，提高分 析问 题和解决问题的能力。 三．教学过程： 1.设函数1 10,f x x x =->（）， (1) 证明: 当0< a < b ,且()()f a f b =时,ab >1; (2) 点P (x 0, y 0 ) (0< x 0 <1 )在曲线()y f x =上,求曲线在点P 处的切线与x 轴和y 轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x 0表达). 证明：（I ） ???????+∞∈-∈-=-=),1(,11]1,0(,11|11|)(x x x x x x f Θ 故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0 作图法解题 作者悦读越好 解决应用题一般有四个步骤： 第一步：弄清已知条件和问题； 第二步:分析数量关系； 第三步:列式计算； 第四步:检验作答。 其中：前两步是关键。怎么分析问题呢？有时候可以借助于画图来分析问题，比如例1。 例1.一个木器厂要生产一批桌子。原计划每天生产48张，实际每天比原计划多生产2张，结果提前一天完成生产任务。原计划要生产多少张桌子？ 在看本文分析之前，大家可以自己先动手做一下，然后我们给出我们的解题方法。 分析：要求原计划生产多少张，也就是原计划的生产总量，拿原计划每天的工作量乘原计划的天数就可以了，题目中只有每天的量没有天数，因此需要先求出计划天数。 或者，原计划的生产总量与实际的生产总量相同，因此用实际每天的生产量乘实际的天数也是可以的。同样，题目只有实际每天的生产量，没有实际的天数，因此如果能够求出实际的天数也能解决问题。 本题在不用方程的情况下，可以用作图法解法解决。 图1 图2 图1中长方形的长代表计划的天数，宽代表计划的每天的生产量，那么图1的面积就是计划生产总量。 图2中长方形的长代表实际的天数，宽代表实际的每天的生产量，那么图2的面积就是实际生产总量。 比较图1和图2，图2的长比图1的长“少一天”，图2的宽比图1的宽“多2个”。 我们知道，计划的生产总量和实际的生产总量是一样，因此将图1和图2 做一个叠加。得到图3，图3被分成3个区域①②③，如图4所示，我们应该能够分析出②和③的面积相等。 图3 图4 详细分析一下②和③，如图5所示。不难看出③的长就是计划每天的生产量48，③的宽是计划比实际多的1天，因此③的面积为48×1=48，同样②的面积 语文阅读理解答题方法和技巧的整理汇总 一、常用阅读理解答题方法一般可以概括为下列六个步骤： ?看标题信息，揣摩记叙类型； ?抓记叙要素，了解大致内容； ?理行文线索，分清段落层次； ?辨叙述方式，领会布局特点； ?挖中心思想，理解作品意义； ?析表现手法，以供习作借鉴。 总结多年的经验，在考场上遇到阅读理解类的考试题，一般按以下程序进行较为快捷有效，当然这个程序不光指记叙文阅读，对其他文体的阅读也适用。 具体过程是：阅读理解题目——阅读文章——看清文章后面的试题——按试题要求回头有重点地再看原文——答题。 一、通读全文，把握文章内容，理清脉络。 答题时切忌文章都没完整的阅读就匆匆忙忙地写答案。最好先把文章从头到尾通读一遍，对文章有一个整体的认识和理解。 二、弄清题意，确定解决问题的阅读空间。 在通读全文的基础上再去浏览所设试题，经过初步的思考，确定解决问题的阅读空间。 三、从文章中直接提取信息。 有些试题可以用文中的原话来作答，这时就可以“从文章中直接提取信息”，回答问题。 四、挖掘句子的隐含信息和深层含义。 有些试题则需要结合全文内容，挖掘句子的隐含信息，经过缜密的思考，寻求完美的答案。 五、组织语言规范答题，认真书写。 答案基本考虑成熟之后，还需要注意一下表述的语言。语言简洁明了，能达到事半功倍的效果；啰嗦重复，不得要领，往往会出力不讨好。从长远角度考虑，语文阅读理解能力的提高非一日一时之功。它需要在长期的学习过程中多关注最新信息，多阅读名家名著，开阔视野，增加实践，培养对语言的品评、赏析、感悟的能力，培养学习语文、陶冶性情的兴趣，在多读深思中进入学习语文的崭新境界。 有些同学做阅读题时，全凭自己的感觉答题，其实，答阅读题也是有技巧可寻的。 以下是针对《考试说明》，提出的几种答题技巧： 一、看分值答题法： 可以从试题的分值中推测答题的要点。如一道题给的分值是3分，答案可能就有3个要点，一个要点一分，所以从试题所给的分值中，我们就能推测答案的要点和要求的字数。例如：陕西省中考题：目前一般有哪几种消暖雾的方法？文中提到的咱们陕西的消雾作业属于其中哪一种？（3分）答案是：3种。“加热法”、“吸湿法”、“人工搅动混合法”。文中提到的属于第二种。 二、用原文答题法： 做题要牢牢地记住：“答案不在你的脑子里，答案只在原文中。”无论在任何情况下作答，既要体现个性和独特见解，又要较好地忠实于作者的主张。 1．尽量利用原文语句。注意摘取原文，离开了原材料恐怕谁也答不准，答不全。因此，准确解答阅读题最重要最有效的方法是在原文中找答案。大多数题目在文章里是能够抠出答案的。当然，找出的语句不一定能够直接使用，还必须根据题目要求进行加工，或摘取词语或压缩主干或抽取要点或重新组织。即使是归纳概括整段整篇文意也必须充分利用原文。 这里，提供十六字诀的解题方法供你参考。 （1）、字不离词。 汉语中一词多义现象相当普遍。在理解词语中某个字的意思的时候，必须把它放到这个词语中去考察，即字不离词，这样才能准确的理解这个字的意思。如：道听途说，道，指道路；志同道合，道，指道理 （2）、词不离句。 在综合阅读题中，常常要求理解词语在上下文中的含义和作用。这类要求有以下几方面情况：一词多义。这在文言文中是常见的。如：策之不以其道，策，驱使；执策而临之，策，马鞭在现代文中则多表现为语境义，这些，都应根据具体的语言环境即句子本身去推断它的意思，也就是词不离句。如：“见教”一词的本意是客套话，指教（我）的意思。它在不同的语言环境中则表现为不同的意义。在《范进中举》一文中，范进中举前面对胡屠户的“教导”，称“岳父见教的是”。至于某个词在句中的表达作用，更要根据具体的语言环境去理解，而不能离开句子作单独解释。 （3）、句不离段。 也就是说，对句子的分析理解不能离开具体的语段，不能离开具体的语言环境。如果离开具体的语段，离开具体的语言环境，许多句子只能狭隘的理解甚至于不知所云。只有结合具体的语段和语言环境，才会知道这句话在全文中占着什么样的位置。 （4）、段不离文。 段落是文章的有机组成部分，体现了作者的写作思路。因此，对语段的阅读理解不能离开文章的主要意思，不能偏离文章的中心。否 巧用配方法解题 配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n 次方的形式，通常是指配成完全平方式． 配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面． 一、用配方法解方程 例1 解方程：2x 2－3x+1=0． 分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 1．将二次项的系数化为1； 2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边； 3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4．将方程化为(x+m)2=n 的形式； 5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）． 解：方程两边都除以2，得.02123— 2=+x x 移项，得.2 1—23—2=x x 配方，得222)4 3(21—)43(23—+=+x x ， 16 1)43—(2=x ， 即4143—=x 或.4 1—43—=x 所以x 1=1，.2 12=x 二、用配方法分解因式 例2 把x 2+4x-1分解因式． 分析：在原式中加上4的同时又减去4． 解：原式=x 2+4x+4-4-1=x 2+4x+4-5 =(x+2)2-2)5(=).5—2)(52(+++x x 三、用配方法求代数式的值 例3 已知实数a ，b 满足条件：0454—42 2=+++b a b a ，求—ab 的平方 根． 分析：一个方程含有两个未知数，看似无法求出a ，b ．但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b 的值． 解：∵0454—422=+ ++b a b a ， ∴0)144()4 1—(22=++++b b a a ， 即0)12()2 1—(22=++b a ， ∴.2 1—,21==b a ∴±.2 1)21(21——±=×±=—ab 四、用配方法求代数式的最大（小）值 例4 代数式2x 2-3x-1有最大值或最小值吗？求出此值． 分析：代数式2x 2-3x-1的值随x 的变化而变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值． 解：2x 2-3x-1=2(x 2-23x)-1=2(x-43)2+.8 1 ∴当43=x 时，2)4 3—(x 有最小值0， ∴当43=x 时，2x 2-3x-1有最小值为8 1． 五、用配方比较两个代数式的大小 例5 对于任意史实数x ，试比较两个代数式3x 3-2x 2-4x+1与3x 3+4x+10的值的大小． 分析：比较两个代数式的大小，可以作差比较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小． 解：（3x 2-2x 2-4x+1）-（3x 3+4x+10） =-2x 2-8x-9=-2(x+2)2-1<0， 所以对于任意实数x ，恒有 首先我做题的顺序是： 1.听力 2.作文 3.选词填空 4.翻译 5.阅读理解（为什么这个要比6先做呢，因为这个题的分数比较高，而且多花点时间的正确率要高点，所以这个题先多花点时间来提高分数，对于6再用技巧快速解决，实在没有时间了还可以乱选） 6.段落大意选择 我先说一下总的方案。我重点强调一下，对于每套真题，不管什么题型，做完了都要把不认识的单词查出来写在卷子上，没事的时候就要去记忆，有很多次是反复出现的。技巧不是有了就能过四级的，还要靠你的一些努力。后面我会说给大家列举些词汇，还有我后面让你们记下来的词，不是记下来就好了，是要记忆的。 所谓技巧嘛，就是尽力让你花最少的功夫过四级！ 1、听力 (1)使用具有增加信息接受方注意力功能的词汇，例如most, only, just, particularly, really, new, free, famous, strange , unusual, surprise, shocked, always , each, ever, every, little, few, any, nothing, full of, complete, throughout, all, almost, nearly, total, i mportant, must, stress, note, notice, range, insist, add , laugh, desperation, horror, fear, disaster, ke y, minimum等等; (2)使用特殊结构及句式，例如比较级、最高级、as…as结构、not so…as结构、different from、similar to、强调结构、否定结构、感叹句、if丛句、完成进行时态、as…as possible、make it clear that、you can imagine that、don’t forget that等结构; (3)含有数字、时间及相关词汇的句子，例如first(start, pioneer), second, millions of, figure, many，one day, years ago, today等等; (4)重复和自问自答; (5)引用：语气语调一般会有明显的变化。 因果原则: 含有表示因果关系的词汇的句子，命题的可能性很大，这些词汇包括because, why, reason, so, as a result, as a sign of, thanks to, therefore, due to等等。 转折原则: 含有表示转折关系的词汇的句子，命题的可能性很大，这些词汇包括but, however, whereas, otherwise, unfortunately, yet等等。 前8个题一般听到什么就不要去选他，这个8个题要靠推测，这8个题你用几天练习一下，很简单，应该就会对个5、6个。 把握关键词和关键句。在听录音的过程中，考生要注意把握一些关键词和关键句。首先要注意听表示转折关系的词汇，例如but、however、unfortunately、unexpectedly、to tell the truth 等。其次也要注意听关键句。在对话题中，往往会有一些表示建议或劝告的句子，例如“Why…?”“Why…not…?”“Why don’t you/we…?”“It would be better to do...”“Wouldn’t it be better to do…?”很多答案都是在这些词出现的 解题方法-----用作图法解题 姓名 知识、规律、方法 把应用题中的已知条件和问题用画图的形式表示出来，使问题的内容具体形象，便于我们理解题意，分析题目中的数量关系，从而找到解题的方法，这就是作图法。 作图，除了打架常用的线段图，有时，根据题目的需要，也可以用条形图、流程图等图形来表示。 作图时，一般情况下，首先要分清题中有哪几种数量，用几条线段来表示比较合适；然后抓住数量之间的倍数关系、多少关系等，正确地画出不同的长短的线段。 范例、拓展 例1 甲、乙两筐苹果的个数相同。从甲筐里拿出了54个苹果，从乙筐中拿出了78个苹果后，甲筐剩下的苹果数是乙筐苹果个数的3倍。两筐原来各有多少个苹果？ 拓展一有三捆布，已知第一捆的米数是第二捆的一半，第二捆比第三捆少18米，第三捆的米数是第一捆的5倍。三捆布总共多少米？ 拓展二四年级有三个班，如果把甲班的1名学生调到乙班，两班人数相等；如果把乙班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人。调动前甲班和丙班哪个班人多？多几人？ 拓展三小明问李老师今年有多少岁，李老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”李老师今年多少岁？ 例2 四年级一班有42名同学，全部参加了学校的兴趣小组活动。其中参加版画组的有32人，参加鼓号队的有21人。两个队都参加的有多少人？ 拓展一三年级一班参加期末考试的41名同学中，有27人数学得了优秀，有20人语文得了优秀，两门都没得优秀的有5人。那么，有多少人两门都得了优秀？ 拓展二某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂得英语的有75人，既懂英语又懂俄语的有20人，那么懂俄语的教师为多少人？ 拓展三六年级一班有学生46人，其中会骑自行车的有17人，会游泳的有14人，既会骑车又会游泳的有4人。两样都不会的有多少人？ 拓展四在100名学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人，最多有多少人？ 练习： 1、一个班有45人做语文、数学作业，下课时，每人至少都做完了一门作业。其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有32人。语文、数学两门作业都做完的有多少人？ 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b 2 )2＋（ 3 2 b）2； a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝1 2 [(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2； x2＋1 2 x ＝(x＋ 1 x )2－2＝(x－ 1 x )2＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n }中，a 1 ?a 5 +2a 3 ?a 5 +a 3 ?a 7 =25，则 a 3 ＋a 5 ＝_______。 2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 初中数学解题方法与技 巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初中数学解题方法与技巧 要学好数学，学会解题是关键。在进行解题的过程中，不仅需要加强必要的训练，其还要掌握一定的解题规律与技巧。 一、数学思想方法在解题中有不可忽视的作用 解题的学习过程通常的程序是：阅读数学知识，理解概念；在对例题和老师的讲解进行反思，思考例题的方法、技巧和解题的规范过程；然后做数学练习题。 基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后要及时总结反思改错，交流学习好的解法和技巧。著名的数学教育家波利亚说“如果没有反思，就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。” 教师在教学设计中要让解学生好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。 1. 函数与方程的思想 函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。 2. 数形结合的思想 数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。 3. 分类讨论的思想 分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。 解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。常见的类型：类型 1 ：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；类型 2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类型 3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型 4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。类型5 ：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。 分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。分类的原则：分类不重不漏。分类的步骤：①确定讨论的对象及其范围；②确定分类讨论的分 初中数学解题技巧：六种方法教你解决难题 初中数学解题技巧：六种方法教你解决难题 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2bxc=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的 函数的值域与最值 （一）、最值与值域的高考地位 传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大（或最小），最少的人力、物力等，均可归结于最值与值域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取值范围问题很大一部分归结于最值与值域的求解 通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会，提高运用数学思想解题的能力。 （二）、最值与值域的关系 1、有的函数知道值域就可以求最值 如：函数2 x y =的值域是{}0|≥y y ，可知0min =y 2、有的函数知道最值就可以求值域 3、有的函数有值域但无最值 如：函数x y 1 = 的值域是{}0|≠y y ，但无=min y ,无=max y 4、有的函数有最大值但无最小值 如：函数2 x y -=，0max =y ，但无=min y 5、有的函数有最小值但无最大值 如：函数2 12 x y +- =，2min -=y ，但无=max y 6、值域有可能是一个数，也可能是几个数构成的集合，但大多是一个不等式构成的集合 如：常数函数2)(=x f 的值域是{}2 7、求最值与值域的方法大同小异 8、在由值域确定函数的最值时，需注意等号成立的条件下才能取到。 如：已知值域{}13|<≤-y y ，只有3min -=y ，而无=max y 9、最值存在定理：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值 （四）、函数的最值与值域的求解技巧 即是求函数值的集合或是找到的y 的不等式出来（以后者为重） 如：已知函数12)(-=x x f ，{}5,3,2,1,0∈x 则此函数的值域是（ ） A 、{}5,3,2,1,9；B 、{}3,1,1-；C 、{}5,3,1,1,9-；D 、{}91|≤≤-x x 法（一）：观察法 【及时反馈】 1、函数12)(-=x x f 的值域是（ ） A 、)1,(--∞；B 、),1[+∞；C 、R ；D 、),1(+∞- 法（二）：反函数法 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”） ①求)(y x Φ=；②x 、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域 【及时反馈】 （1）、求函数1 4 2)(-+= x x x f 的值域 作图法解题 一、知识点回顾 专题简析： 用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。 在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一个数或者几个数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。 二、典型例题 例题1 五（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。五（1）班原有男、女生各多少人？ 分析根据题意作出示意图： 例题2 同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。红花比紫花多几朵？ 分析通过线段图来观察： 例题3 甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。原来四个小组各植树多少棵？ 分析图中实线表示四个小组实际植树的棵数： 例题4 五（1）班全体同学做数学竞赛题，第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人，第二次及格人数增加5人，使及格的人数是不及格人数的6倍。五（1）班有多少人？ 分析 例题5 用绳子测井深，把绳了三折来量，井外余16分米；把绳子四折来量，井外余4分米。求井深和绳长。 三、课堂练习 1．两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。这两根电线原来共长多少厘米？ 2．甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。原来两筐水果各有多少个？ 21.2.2配方法解一元二次方程（1） 教学目标 1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 【课前预习】 导学过程 阅读教材部分，完成以下问题 解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 填空： （1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？ 思考？ 1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本 4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程 （1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 （4）2x 2+2=5 总结：用配方法解一元二次方程的步骤： 【课堂活动】 活动1、预习反馈 活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程： （1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0高考数学解题方法攻略函数理
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