2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编
专题10 二次函数综合
一．解答题（共15小题）
1．（静安区）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B （﹣1，m），顶点为点D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．
2．（青浦区）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；
（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．
3．（嘉定区）在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y＝x上，如图．二次函数y＝
ax2+bx﹣2的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC∥x轴，点A的横坐标是2．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标；
（3）设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值．
4．（普陀区）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC．
（1）求m、n的值和抛物线的表达式；
（2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；
（3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标．
5．（松江区）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣
x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当＝时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求△ABC的面积．
6．（金山区）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1）和B（1，4），顶点为点P，抛物线的对称轴与x轴相交于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求∠PAQ的度数；
（3）把抛物线向上或者向下平移，点B平移到点C的位置，如果BQ＝CP，求平移后的抛物线解析式．
7．（崇明区）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别
交于点P，N．
（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
8．（徐汇区）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
（1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；
（2）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标；
（3）当∠BED＝2∠OAB时，求△BDE与△CDA的面积之比．
9．（宝山区）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结BD、CD，试判断△BCD与△AOC是否相似，并证明你的结论；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠PAC＝45°，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
10．（杨浦区）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），点P是该抛物线在第一象限内一点，联结AP、BC，AP 与线段BC相交于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；
（3）过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF＝PH，求线段PH的长度．
11．（虹口区）已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣4ax+3与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C 关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D．
（1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；
（2）当∠ABC＝90°时，求抛物线y＝ax2﹣4ax+3的表达式；
（3）当∠ABC＝2∠BCD时，求OD的
长．
12．（奉贤区）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的表达式的顶点D的坐标；
（2）将抛物线沿y轴上下平移，平移后所得新抛物线顶点为M，点C的对应点为E．
①如果点M落在线段BC上，求∠DBE的度数；
②设直线ME与x轴正半轴交于点P，与线段BC交于点Q，当PE＝2PQ时，求平移后新抛物线
的表达式．
13．（黄浦区）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A （﹣1.0）、B两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标；
（2）如果MD＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的表达式；
（3）在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，∠CFB＝∠BCO，求点F的坐标．
14．（浦东新区）已知，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交点C．
（1）求二次函数解析式；
（2）设点E（t，0）为x轴上一点，且AE＝CE，求t的值；
（3）若点P是直线BC上方抛物线上一动点，联结BC，过点P作PQ⊥BC，交BC于点Q，求线段PQ的最大值及此时点P的坐标．
15．（长宁区）抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C （0，3），其顶点D的纵坐标为4．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）点F在线段CB的延长线上，且∠AFC＝∠DAB，求CF的长．
2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编 专题10 二次函数综合 一．解答题（共15小题） 1．（静安区）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B （﹣1，m），顶点为点D． （1）求直线AB的表达式； （2）求tan∠ABD的值； （3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标． 2．（青浦区）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值； （3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标． 3．（嘉定区）在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y＝x上，如图．二次函数y＝
ax2+bx﹣2的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC∥x轴，点A的横坐标是2． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标； （3）设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值． 4．（普陀区）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC． （1）求m、n的值和抛物线的表达式； （2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标； （3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标． 5．（松江区）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) y=﹣234 x + 94x+3；(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173 ，﹣25 3）． 【解析】 试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣34 m 2+9 4m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解 析式为：y=﹣34 x+3，表示PD=﹣2 334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应 边的比得： =PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365 ，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣ 23n 4 +9 4 n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣3 4n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析: （1）由OC=3OA ，有C （0，3）， 将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：
2022中考数学真题汇编——二次函数解答题 1.(2022·浙江省绍兴市)已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，-3）， （-6，-3）． 2.（1）求b，c的值． 3.（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值． 4.（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 5.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）． 6.（1）求抛物线L1的函数表达式． 7.（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点 关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． 8.（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s）， Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围． 9.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c 经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． 10.（1）求抛物线的解析式； 11.（2）求点P的坐标； 12.（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上 是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13.(2022·浙江省丽水市)如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y=a（x-2） 2-1（a＞0）的图象上，且x2-x1=3． 14.（1）若二次函数的图象经过点（3，1）． 15.①求这个二次函数的表达式； 16.②若y1=y2，求顶点到MN的距离； 17.（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异 侧，求a的取值范围． 18. 19.(2022·山东省滨州市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于 点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC． 20.（1）求线段AC的长； 21.（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标； 22.（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
2022年中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊三角形问 题） 1．抛物线23y ax bx =++过点A （－1，0），点B （3，0），顶点为C ． (1)求抛物线的表达式及点C 的坐标； (2)如图1，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若△DAC 是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点E 是线段AC 上（与点A ，C 不重合）的动点，连接PE ，作PEF CAB ∠=∠，边EF 交x 轴于点F ，当AF 的长度最大时，求点E 的坐标． 2．如图1，抛物线21 4 y x bx c =-++经过点()2,0A -，()6,0B ，顶点为C ． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线上是否存在一点Q ，使△QBC 为以BC 为底的等腰三角形．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
逆时针旋转90°，记点P 的对应点为E ，点B 的对应点为F ．当直线EF 经过点3,0 时，直接写出它与抛物线2 14y x bx c =-++交点的坐标． 3．如图，抛物线25y x mx =--与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且对称轴l 为直线2x =． (1)求该抛物线的表达式． (2)在对称轴l 上是否存在点P ，使CPB △为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，二次函数23(0)y ax bx a a =+-<的图像与x 轴交于A 、B （点A 在点B 左侧）两点，与y 轴交于点C ，已知点(30)B ， ，P 点为抛物线的顶点，连接PC ，作直线BC ． (1)点A 的坐标为_______；
2022年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()2,0A -、 ()3,0B ，与y 轴交于点()0,3C -，点P 是二次函数图象上的一点． (1)求二次函数和直线BC 的解析式； (2)若点P 在直线BC 的下方，当PBC 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)当1 5 PBC ABC S S =△△时，求点P 的横坐标． 2．平面直角坐标系中，已知抛物线1C ： ()21(y x m x m m =-++-为常数)与x 轴交于点A ，B 两点(点A 在点B 左边)，与y 轴交于点C ． (1)若4m =，求点A ，B ，C 的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，D 为抛物线x 轴上方一点，连接BD ，若90DBA ACB ∠∠+=︒，求点D 的坐标； (3)如图2，将抛物线1C 向左平移n 个单位长度(0)n >与直线AC 交于M ，(N 点M 在点N 右边)，若1 2 AM CN =，求m ，n 之间的数量关系．
3．如图1，已知抛物线2=+y x x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，连接CD ，过点D 作 DH x ⊥轴于点H ，过点A 作AE AC ⊥交DH 的延长线于点E ． (1)求线段DE 的长度； (2)如图2，试在线段AE 上找一点F ，在线段DE 上找一点P ，且点M 为直线PF 上方抛物线上的一点，求当CPF ∆的周长最小时，MPF ∆面积的最大值是多少； (3)在（2）问的条件下，将得到的CFP ∆沿直线AE 平移得到P C F '''∆，将P C F '''∆沿C P '' 翻折得到ΔC P F ''''，记在平移过称中，直线F P ''与x 轴交于点K ，当F F K '''为等腰三角形，直接写出OK 的值 4．综合与探究 如图，抛物线()2 30y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），与y 轴交 于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点P 是直线BC 上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线BC 上方的抛物线上找一点P ，作PG ⊥BC ，当PG 为最大值时，求线段PD 的长；
2022年年年年年年年年年年 ——年年年年年年年年年年 1.(2022·辽宁省铁岭市) 某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y(千克)与每千克售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获 得的利润最大？最大利润为多少元？ 2.(2022·山东省临沂市) 第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究： 如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA=65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB=100m.在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y(m)与水平方向移动的距 x2+bx+c． 离x(m)具备二次函数关系，其解析式为y=−1 60
(1)求b，c的值； (2)进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x(m)与飞行时间t(s)具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t=0，x=0；空中飞行5s后着陆． ①求x关于t的函数解析式； ②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离ℎ最大，最大值是多少？
3. (2022·辽宁省) 某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 4. (2022·内蒙古自治区包头市) 由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x 天(x 取整数)时，日销售量y(单位：千克)与x 之间的函数关系式为y = {12x,0≤x ≤10−20x +320,10 2022年中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问 题） 一、解答题 1．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(2,0),(4,0)A B -，与y 轴正半轴交于点C ，且 2OC OA =，抛物线的顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．直线y mx n =+经过B ，C 两 点． (1)求抛物线及直线BC 的函数表达式； (2)直线(0)y kx k =>交线段BC 于点H ，若以点O ，B ，H 为顶点的三角形与ABC 相似，求k 的值； (3)连接AC ，若点P 是抛物线上对称轴右侧一点，点Q 是直线BC 上一点，试探究是否存在以点E 为直角顶点的Rt PEQ ，且满足tan tan EQP OCA ∠=∠．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为 ()60A ，，()03C ，，直线39 42 =-+y x 与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)若抛物线()2 0y ax bx a =+≠经过A 、D 两点，试确定此抛物线的解析式； (3)在（2）中的抛物线的对称轴与直线AD 交于点M ，点P 在对称轴上，且△P AM 与△ABD 相似，求点P 的坐标． 3．如图，抛物线y ＝ax 2﹣ax ﹣6a 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 点左边)，与y 轴负半轴交于C 点，OC ＝2OA ． (1)求抛物线的解析式； (2)E 是x 轴上方，抛物线上一点，若12 ∠AEB +∠BAE ＝45°，求E 点纵坐标； (3)如图2，P 是线段AC 上一个动点，F 点在线段AB 上，且AF ＝m ，若P 点总存在两个不同的位置使∠BPF ＝∠BAC ，求m 满足的条件． 4．如图，已知抛物线1C 的顶点坐标是()1,4D ，且经过点()2,3C ，又与x 轴交于点 A 、(E 点A 在点E 左边)，与y 轴交于点 B ． (1)抛物线1C 的表达式是______ ； (2)四边形ABDE 的面积等于______ ； (3)问：AOB 与DBE 相似吗？并说明你的理由； (4)设抛物线1C 的对称轴与x 轴交于点F ，另一条抛物线2C 经过点2(E C 与1C 不重合)，且顶点为(),M a b ，对称轴与x 轴交于点G ，并且以M 、G 、E 为顶点的三角形与 2022年中考数学试题汇编：二次函数（填空题） 1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）． 2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是． 3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米． 4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m 的值为． 5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D （m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为． 6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是． 7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x 轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为． 8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：． 9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y 函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为． 10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论： ①b＞0； ②若m＝，则3a+2c＜0； ③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2； ④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根． 其中正确的是（填写序号）． 11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为m2． 二次函数 考点1：二次函数的图象和性质 1．（2020•株洲）二次函数y ＝ax 2+bx +c .若ab ＜0.a ﹣b 2＞0.点A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）在该二次函数 的图象上.其中x 1＜x 2.x 1+x 2＝0.则（ ） A ．y 1＝﹣y 2 B ．y 1＞y 2 C ．y 1＜y 2 D ．y 1、y 2的大小无法确定 【分析】首先分析出a .b .x 1的取值范围.然后用含有代数式表示y 1.y 2.再作差法比较y 1.y 2的大小． 【解析】∵a ﹣b 2＞0.b 2≥0. ∵a ＞0． 又∵ab ＜0. ∵b ＜0. ∵x 1＜x 2.x 1+x 2＝0. ∵x 2＝﹣x 1.x 1＜0． ∵点A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）在该二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象上. ∵y 1=ax 12+bx 1+c .y 2=ax 22+bx 2+c =ax 12−bx 1+c ． ∵y 1﹣y 2＝2bx 1＞0． ∵y 1＞y 2． 故选：B ． 2．（2021·广东深圳市·中考真题）二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【分析】 先分析二次函数21y ax bx =++的图像的开口方向即对称轴位置.而一次函数2y ax b =+的图像恒过定点(,0)2b a -.即可得出正确选项． 【详解】 二次函数21y ax bx =++的对称轴为2b x a =- .一次函数2y ax b =+的图像恒过定点(,0)2b a - .所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为(,0)2b a -.只有A 选项符合题意． 故选A ． 3．（2021·山东泰安市·中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象.图象过点 (3,0).对称轴为直线1x =.有下列四个结论：∵0abc >；∵0a b c -+=；∵y 的最大值 为3；∵方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）． 【答案】∵∵ 【分析】 根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可． 【详解】 解：∵抛物线的开口向下.与y 轴的交点在y 轴的正半轴. ∵a ＜0.c ＞0. ∵抛物线的对称轴为直线x =1. 2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数综合题》专题突破训练（附答案）一．选择题 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则： ①b＝﹣2； ②该二次函数图象与y轴交于负半轴； ③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上； ④若a＝1，则OA•OB＝OC2． 以上说法正确的有（） A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②③ 2．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，在保持抛物线的形状与大小不变的前提下，顶点P在线段CD上移动，点C、D的坐标分别为（﹣1，1）和（3，4）．当顶点P移动到点C时，点B恰好与原点重合．在整个移动过程中，点A移动的距离为（） A．1B．2C．3D．4 3．如图，O为坐标原点，边长为的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式为（） A．y＝x2B．y＝﹣x2C．y＝﹣x2D．y＝﹣3x2 4．如图，已知抛物线y＝mx2﹣6mx+5m与x轴交于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线l∥x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙P与E、F两点，若EF ＝2，则MN的长为（） A．2B．4C．5D．6 5．已知：如图，直线y＝﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别以1个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；过E点作EG∥OA交抛物线y＝a（x﹣1）2+h（a＜0）于E、G两点，交AB于点F，连接DE、BG．若抛物线的顶点M恰好在BG上且四边形ADEF是菱形，则 a、h的值分别为（） A．﹣、B．﹣、C．﹣、D．﹣、 6．已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A 作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接P A、PD，PD交AB于点E，△P AD与△PEA相似吗？（） A．始终不相似B．始终相似 C．只有AB＝AD时相似D．无法确定 2022年春浙教版九年级数学中考复习《二次函数综合解答题》专题提升训练（附答案）1．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C，点D为OC的中点． （1）求二次函数的表达式； （2）若点E为直线BC上方抛物线上一点，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，EH与BC、BD分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段EF的长度； ②若EF＝FG，求此时点E的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使∠CPB＝90°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）经过点A（﹣3，5），B（5，3），交y轴于点C，以AB为直径的圆，经过点O，C，交x轴于点D，连结AO，AC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求点D的坐标； （3）点E在x轴上，连结BD，BE．当△BDE与△OAC相似时，求满足条件的OE长． 3．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，点P为线段AB上一动点（不与点B重合），连接PC、AC、BC，将△BPC沿直线BC翻折得到△BP'C，P'C交抛物线的另一点为Q，连接QB． （1）求抛物线的表达式； （2）求四边形QCOB面积的最大值； （3）当CQ：QP'＝1：2时，点N为抛物线上一点，直线NQ交y轴于点M； ①若△NQP'的面积为△MQC面积的8倍，求出点N的坐标； ②在①的条件下，点D在直线NQ上，点E在x轴负半轴上，当△ADE∽△ABC时，求 点E的横坐标．（直接写出答案） 4．已知抛物线：y＝ax2﹣6ax﹣16a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点G是AC的中点． （1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴． （2）直线y＝﹣x与抛物线交于点M，N且MO＝NO，求抛物线解析式． （3）已知点P是（2）中抛物线上第四象限内的动点，过点P作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．若以点C，P，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点P的坐标． 2022年春苏科版九年级数学中考复习《二次函数综合解答题》专题提升训练（附答案）1．如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝x2+bx+c，经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式． （2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M 的坐标． 2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在一点Q，使△QBC为以BC为底的等腰三角形．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y＝﹣x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标． 3．如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点． （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标； （2）过定点Q（1，3）的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数的图象相交于M，N两点． ①若S△PMN＝2，求k的值； ②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形． 4．如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣6a与x轴交于A、B两点（A在B点左边），与y轴负半轴交于C点，OC＝2OA． （1）求抛物线的解析式； （2）E是x轴上方，抛物线上一点，若∠AEB+∠BAE＝45°，求E点纵坐标； （3）如图2，P是线段AC上一个动点，F点在线段AB上，且AF＝m，若P点总存在两个不同的位置使∠BPF＝∠BAC，求m满足的条件． 2021-2022学年北师大版九年级数学中考一轮复习《二次函数综合》专题训练（附答案）1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与直线y＝﹣3有且只有一个公共点． （1）直接写出抛物线的顶点D的坐标，并求出c与a的关系式； （2）若点P（x，y）为抛物线上一点，当t≤x≤t+1时，y均满足﹣3≤y≤at2﹣3，求t 的取值范围； （3）过抛物线上动点M（x，y）（其中x≥3）作x轴的垂线l，设l与直线y＝﹣ax+2a ﹣3交于点N，若M、N两点间的距离恒大于等于1，求a的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+1+m． （1）求此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）如果当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，求该抛物线的表达式； （3）如果（2）中的抛物线与x轴相交于A、B（点A在点B左侧），现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：y＝﹣x+k 与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围． 3．如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集； （3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围． 4．已知：函数y＝（m为常数）的图象记为G． （1）若点（﹣2，﹣5）在图象G上，求m的值． （2）若点（m，1）在图象G上，求函数y随x增大而减小时，x的取值范围． （3）当m＝1，﹣2≤x≤2时，求函数y的取值范围． （4）已知正方形ABCD的中心为原点O，点A的坐标为（1，1）．当图象G与正方形ABCD的边有2个交点时，直接写出实数m的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，A，B分别是直线y＝x﹣3，抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的动点，其横坐标分别为m，n+2． （1）点B的纵坐标用含有n的式子可表示为． （2）连接AB，当AB∥x轴，A在B的右侧且AB＝4时，求m的值； （3）当4≤m≤7，﹣3≤n≤时，作直线AB交y轴于点C，请直接写出C点纵坐标y 的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．（1）求c的值，并用含a的代数式表示b． （2）当a＝时， ①求此函数的表达式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值． ②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛 物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若线段GH的端点G、H的坐标分别为（﹣5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点，求出a的取值范围． 专题10 二次函数 一．选择题 1．（2022·山东泰安）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表： 下列结论不正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下 B ．抛物线的对称轴为直线12x = C ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0 D ．函数2y ax bx c =++的最大值为 254 2．（2022·新疆）已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（ ） A ．抛物线开口向上 B ．抛物线的对称轴为直线2x = C ．抛物线的顶点坐标为(2,1) D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大 3．（2022·湖南株洲）已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（2022·陕西）已知二次函数y =x 2−2x −3的自变量x 1，x 2，x 3对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3．当−12022年中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)
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