2019年中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）4的算术平方根是（）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（）
A．3x﹣x＝3 B．a3÷a4＝
C．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
4．（3分）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
5．（3分）下列对一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根D．没有实数根
6．（3分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是
（）
A．4，1 B．4，2 C．5，1 D．5，2 7．（3分）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（）
A．60（）米B．30（）米C．（90﹣30）米D．30（﹣1）米
8．（3分）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同．若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为（）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（）
A．10°B．20°C．30°D．40°10．（3分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝2，则k的值为（）
A．4 B．2C．2 D．
12．（3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：
①△CAM∽△DEM；②CD＝2BE；③MP?MD＝MA?ME；④2CB2＝CP?CM．其中正确的是（）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）因式分解：x3﹣25x．
14．（3分）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是cm．
15．（3分）当x＝2时，代数式（+x）÷的值是．16．（3分）直角三角形的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则此三角形周长为．
17．（3分）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，那么a4+a11﹣2a10+10的值是．
三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
18．（6分）计算：（﹣1）2018﹣+（π﹣3）0+4cos45°．
19．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
20．（6分）已知直线y＝kx+b与直线y＝2x+1平行，且过点（1，﹣3）
（1）求这个一次函数的关系式？
（2）画出函数图象．
（3）该函数图象与两个坐标轴围成的三角形的面积？
21．（6分）完全相同的四张卡片，上面分别标有数字1，2，﹣1，﹣2，将其背面朝上，从中任意抽出两张（不放回），把第一张的数字记为a，第二张的数字记为b，以a、b分别作为一个点的横坐标与纵坐标；求点（a，b）在第四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
四、（本题7分）
22．（7分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO
＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
五、（本题7分）
23．（7分）今年是我市全面推进中小学校“社会主义核心价值观”
教育年．某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A （优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图．
等级频数频率
A a0.3
B35 0.35
C31 b
D 4 0.04
请根据图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽取的样本容量为；
（2）a＝，b＝；
（3）请在图2中补全条形统计图；
（4）若该校共有学生800人，据此估算，该校学生在本次检测中
达到“A（优秀）”等级的学生人数为人．
六、（本题8分）
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：∠CBF＝∠CAB；
（2）若CD＝2，tan∠CBF＝，求FC的长．
七、（本题10分）
25．（10分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各40盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共80盆，设培植的盆景比第一期
增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
八、（本题13分）
26．（13分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；
（2）当点Q与点C重合时，求t的值；
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t 的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）4的算术平方根是（）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵2的平方为4，
∴4的算术平方根为2．
故选：A．
2．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
【解答】解：A、此图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意；
D、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
3．（3分）下列计算正确的是（）
A．3x﹣x＝3 B．a3÷a4＝
C．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝2x，故A错误；
（C）原式＝x2﹣2x+1，故C错误；
（D）原式＝﹣8a6，故D错误；
故选：B．
4．（3分）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
【分析】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，据此可得．【解答】解：由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，
所以其主视图为：
5．（3分）下列对一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×（1）×（﹣3）＝13＞0，
∴方程x2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（3分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是（）
A．4，1 B．4，2 C．5，1 D．5，2
【分析】根据题目中的数据可以直接写出众数，求出相应的平均数和方差，从而可以解答本题．
【解答】解：数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数是4，
，
则
＝2，
故选：B．
7．（3分）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段
河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（）
A．60（）米B．30（）米C．（90﹣30）米D．30（﹣1）米
【分析】作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD＝xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：作BD⊥CA交CA的延长线于D，
设BD＝xm，
∵∠BCA＝30°，
∴CD＝＝x，
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x，
则x﹣x＝60，
解得x＝＝30（），
答：这段河的宽约为30（）米．
故选：B．
8．（3分）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同．若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为（）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【分析】设乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲每小时搬运（x+30）件电子产品，根据300÷甲的工效＝200÷乙的工效，列出方程．
【解答】解：设乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲每小时搬运（x+30）件电子产品，
依题意得：＝
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】根据旋转的性质得到∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，根据平行线的性质得到∠C1AB1+AB1B＝180°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，
∴∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，
∵BB1∥AC1，
∴∠C1AB1+AB1B＝180°，
∴∠AB1B＝80°，
∵AB＝AB1，
∴∠ABB1＝∠AB1B＝80°，
∴∠BAB1＝20°，
∴∠CAC1＝20°，
故选：B．
10．（3分）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点
数之和是7或超过9
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【解答】解：A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意；
故选：D．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝2，则k的值为（）
A．4 B．2C．2 D．
【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC＝AB＝2，BD＝AD＝CD＝，再利用AC⊥x轴得到C（，
2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．【解答】解：作BD⊥AC于D，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴BD＝AD＝CD＝，
∵AC⊥x轴，
∴C（，2），
把C（，2）代入y＝得k＝×2＝4．
故选：A．
12．（3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：
①△CAM∽△DEM；②CD＝2BE；③MP?MD＝MA?ME；④2CB2＝CP?CM．其中正确的是（）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
【分析】（1）求出∠CAM＝∠DEM＝90°，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）求出△BAE∽△CAD，得出比例式，把AC＝AB代入，即可求出答案；
（3）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；
（4）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．
【解答】解：∵在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC＝∠AED＝90°，
∴∠BAC＝45°，∠EAD＝45°，
∴∠CAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
即∠CAM＝∠DEM＝90°，
∵∠CMA＝∠DME，
∴△CAM∽△DEM，故①正确；
由已知：AC＝AB，AD＝AE，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAE＝∠CAD
∴△BAE∽△CAD，
∴＝，
即＝，
即CD＝BE，故②错误；
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA＝∠CDA
∵∠PME＝∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴＝，
∴MP?MD＝MA?ME，故③正确；
由②MP?MD＝MA?ME
∠PMA＝∠DME
∴△PMA∽△EMD
∴∠APD＝∠AED＝90°
∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2＝CP?CM
∵AC＝AB，
∴2CB2＝CP?CM，故④正确；
即正确的为：①③④，
故选：C．
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）因式分解：x3﹣25x＝x（x+5）（x﹣5）．
【分析】首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：x3﹣25x＝x（x2﹣25）＝x（x+5）（x﹣5）．
故答案为：＝x（x+5）（x﹣5）．
（3分）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是5 14．
cm．
【分析】由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可求出圆锥的高．
【解答】解：∵半径为10cm的半圆围成一个圆锥，
∴圆锥的母线l＝10cm，圆锥底面半径r＝5cm，
∴圆锥的高h＝＝5cm．
故答案为：5．
15．（3分）当x＝2时，代数式（+x）÷的值是 3 ．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（+）?
＝?
＝x+1，
当x＝2时，
原式＝2+1＝3．
故答案为：3．
16．（3分）直角三角形的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则此三角形周长为24 ．
【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD＝CF＝2，根据切线长定理得出AD＝AE，