(优选)第三章矩阵分析及其应用.

矩阵分析第三章3.1-2综述

第三章1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ=（1） 证明在上述定义下，nC 是酉空间； （2） 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣

矩阵分析及其应用

Schur 引理与正规矩阵定义：设，若存在使得,()n nn nA B CR××∈或n nU U×∈()n n×或E 11()HTU AU U AU B U AU U AU B −−====或则称酉相似或正交相似于.A B ()定理任何一个酉相似A (Schur 引理)：任何个阶复矩阵于一个上(下)三角矩阵。n证明1A A A 1k −证明：用数学归纳法。的

第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)R对m C满足加(AR是m C的非空子集，即验证)(A法和数乘的封闭性。1.10.证明同1.9。1.11.rankA n A N r

第三章1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ=（1） 证明在上述定义下，nC 是酉空间； （2） 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣

ckc1 k1 kik0ckikk0didi当 (A) R时，幂级数ck ik, ckc1 k ik 1, , ckck di 1ikdi 1k 0k 0k 0都是绝对收敛的，故矩

第二步单位化1 2 r 1 ,2 ,,r 1 2 r显然 1 ,2 ,,r 是一个标准的正交向量组。 例 1 运用正交化与单位化过程将向量组1 1,1,0,0 ,2 1

i 1 i 1 n n n( 4)( , ki i ) ki ( , i ).i 1 i 1n2. 酉空间的性质(1)( , k ) k ( , ); ( 2)(

第三章1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ=（1） 证明在上述定义下，nC 是酉空间； （2） 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣

定理8.3： 若A是n阶复矩阵，则A是n阶Hermite矩阵的充要条件是 存在酉矩阵U，使得，U H AU diag (1, 2 ,, n )定理8.2： 若A是n阶实矩阵，则A

而C n 成为一个酉空间。例 2 设 C [ a , b ] 表示闭区间 [ a , b ] 上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义b(f,g):a f(x)g(x)dx容易验证

这样，当lim A(k ) A 0k时同样可得lim A(k ) A 0k因此定理对于任意一种范数都成立。矩阵序列极限运算的性质。（1）收敛矩阵序列的极限是唯一的。（2）设 lim

第一章 线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。 1.10.证明同1.9。1.11.rankA

1234特殊矩阵(5) 伴随矩阵MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中 p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前， 低次幂排在后。例如，为了求多项式的x3-7x

内积空间正规矩阵与第三章内积空间、正规矩阵与H -矩阵定义：设是实数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一V R n V ,αβ个实数，这个实数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：αβ(,)αβ1()(,)(,)αββα=2()(,)(,)(()(k k αβαβ=34000),,)(,)()(,),(,).αβγαγβ

1 / 192 / 193 / 194 / 195 / 196 / 197 / 198 / 199 / 1910 / 1911 /1912 / 1913 /19下题（例3-24）为3-17（3-15，3-16没有答案）14 /1915/1916 / 1917/1918 / 1919 /19

+∞，则矩阵幂级数k绝对收敛； 绝对收敛；若 ρ ( A) > r ，则∑c Ak =0 k+∞发散。 发散。证明设 A 的Jordan标准形为 标准形为J

1( A) lim Ak k k例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不 可逆。解a(k) 11k 1, 3ka(k) 12kka(k) 21k5,a(k) 223k