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Hermite 第三章 内积空间、正规矩阵、矩阵解析几何中，是用向量的长度和夹角来定义内积，而在矩阵理论中是先定义内积概念，再引入向量的长度、夹角等概念。
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映，局限了线性空间的应用。
现在我们借助内积把度量概念引入到线性空间中。
&3.1 欧氏空间、酉空间一、概念,,,(,3.1),,(,).1V R n V 设是实数域上的维线性空间如果对中任意两个向量、有唯一确定的实数与之对应这实数记为并且满足下列四个条 件则这实数称为与的内定积义:αβαβαβαβ(1) (,)(,)(2) (,)(,)(3) (,)(,)(,)(4) (,)0,0(,)0,,,;.k k V k R V n αββααβαβαβγαγβγααααααβγ==+=+≥==∈且仅当时其中是中任意向量称定义有这样内积的线性空间为维欧氏空间112211 (..,)... (,) Tn na b a b a b αβαβαβαβ==+++nT T12n 12n nn设R 是n 维实向量空间，若=(a ,a ,...,a ),=(b ,b ,...,b )令容易验证，所规定的是R 的内积，从而R 成为欧例3氏空间。
注: 1.今后欧氏空间R n 中的内积都指如上例3.1.1定义的内积运算.2.对同一个线性空间,可以定义不同的内积,因而得到不同的欧氏空间.212122312 (,)(,) .(. ,TTR a a b b R αβαβ==11122122 设在中对向量和规定内积为,)=2a b +a b +a b +a b 证明按照如上的内积运算构成是欧例氏空间。
313.. ∀∈⎰ba 用表示C[a,b]闭区间[a,b]上的所有实值连续函数构成的实线性空间，f(x),g(x)C[a,b],规定(f(x),g(x))=f(x)g(x)dx容易验证，这样规定的(f(x),g(x))是C[a,b]上的一个内积，从而C[a,b]成为一个欧 例氏空间。
内积空间正规矩阵与第三章内积空间、正规矩阵与H -矩阵定义：设是实数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一V R n V ,αβ个实数，这个实数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：αβ(,)αβ1()(,)(,)αββα=2()(,)(,)(()(k k αβαβ=34000),,)(,)()(,),(,).αβγαγβγααααα+=+≥==当且仅当时这里是中任意向量，为任意实数，我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间。
,,αβγV k n V 例1在中，对于nR 1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==""规定11122(,)n nx y x y x y αβ=+++"容易验证是上的一个内积，从而成1(,)n R n R 为一个欧氏空间。
如果规定211222(,)n nx y x y nx y αβ=+++"容易验证也是上的一个内积，这样又成为另外一个欧氏空间2(,)n R n R又成为另外个欧氏空间。
例2在维线性空间中，规定n mR×nm T容易验证这是上的一个内积，这样对于(,):Tr()A B AB =n mR ×n mR ×这个内积成为一个欧氏空间。
例3在维线性空间中，规定2n n nC×(,):()HA B Tr AB =其中H表示中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证是上的一个内积，从而连同这个内积一起成为酉空间。
B B (,)n n×n nC ×连同这个内积起成为酉空间。
C欧氏空间的性质)()β欧氏空间的性质：(1)(,,k k αβα==(2)(,)(,)(,))()ttαβγαβαγ++11(3)(,,i i i i i i k k αβαβ===∑∑(4)(,)(,)tti i i i k k αβαβ===∑∑11i i4242ii i ++⎡⎤(1)21i i ⎢⎥−+⎢⎥4212i i ⎢⎥−+−−⎣⎦6123i i +⎡⎤(2)1291i i ⎢⎥−−⎢⎥317i i ⎢⎥−+−⎣⎦⎡018(3)4i i −⎤⎢⎥100i i −−−⎢⎥−−⎦84i i ⎢⎥⎣3132i i +⎡(4)13415i i ⎤⎢⎥−+2155i i ⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦标准正交基底与Schmidt 正交化方法定义为一组不含有零向量的向量组如果：设为组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交向量组{}i α{}i α量组。
