当前位置：文档之家 › 矩阵分析第三章3.1-2综述

矩阵分析第三章3.1-2综述

  • 格式：ppt
  • 大小：453.00 KB
  • 文档页数：34

下载文档原格式

  / 34

合集下载

第三章_matlab矩阵运算

第三章_matlab矩阵运算
Matlab 仿真及其应用
主讲：陈孝敬 E-mail:chenxj9@
第3章
数学运算
主要内容：
①矩阵运算； ②矩阵元素运算；
3.1 矩阵运算
3.1.1 矩阵分析
1．向量范式定义：
x x x
1

n
k 1
xk
2 k
2

k 1 n
x
n

1/ 2


k 1
xk
向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。
3.1.2 矩阵分解
矩阵分解：把矩阵分解成比较简单或对它性质比较熟悉的若干 矩阵的乘积的形式；
1．Cholesky分解： Cholesky分解是把对称正定矩阵表示成上三角矩阵的转 置与其本身的乘积，即：A=RTR，在Matlab中用函数chol 来计算Cholesky分解 例3-13 求矩阵A=pascal（4）的Cholesky分解， A=pascal(4) R=chol(A) R’*R
例3-18.求解方程组
x1 x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 3 x3 4 x4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
解 先用Matlab函数null求出对应的齐次线性方程组的基础解 系,再利用其系数矩阵的上、下三角阵求出方程组的一个特解, 这样即可得到该方程组的通解,程序如下: >> >> >> >> >> >> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; b=[1 4 0] ′; format rat C=null(A , ′r′); %求基础解系 [L,U]=lu(A); %A=LU,L为上三角阵,U为下三角阵 X0= U\(L\b) %用LU求出一个齐次方程的特解

中科院矩阵分析chapt3

中科院矩阵分析chapt3

矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛A (k )｝,其中A(k)=( a (k )) C m n ,当k a j" a u 时，称矩阵序列｛A (k)｝收敛，并称矩阵 A=( a ij )为矩 阵序列｛A (k)｝的极限，或称｛A (k)｝收敛于A,记为lim A (k)A 或 A (k) Ak不收敛的矩阵序列称为发散的。

由定义，矩阵序列 A (k )发散的充要条件为存在 j 使得数列a (k)发散。

类似地，我们可以定义矩阵收敛的 Cauchy 定义 定义3.1'矩阵序列｛A (k)｝收敛的充要条件为 对任给>0存在N()，当k, l N()时有 ||A (k) A (l)|| <其中||.|为任意的广义矩阵范数。

sin 』)n nsin(k)如果直接按定义我们因为求不出 A (n)的极限从而从而只要I 充分大，则当m, n > l 时就有sin(k)k 2这样A (l)收敛。

定理3.1 A (k) A 的充要条件为 ||A (k) A|| 0证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对 范数可以证明。

即c 1ILA (k) A||||A (k) AII C 2 ||A (k) AII 性质 0 若 A (k)A ，则 ||A (k) II IIAII 成立。

性质 1. 设 A (k)A m n ，B (k) B m n , 则A (k)+ B(k) A+ B ， ,C 性质 2. 设 A (k)A m n ，B (k )B n l ,贝UA (k)B (k)A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的 矩阵范数。

||A (k )B (k) A B|| || A (k) B (k) A B (k)||+||AB (k)A B|||| A (k) A|| ||B (k)||+||A||||B (k) B||例 1 A (n)k m 1k(k 1)相反，由于注意||B(k)|| ||B||，则结论可得。

矩阵分析课件

矩阵分析课件
一、线性空间的概念 几何空间和 n 维向量空间的回顾 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
常见的线性空间
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 i 1 R mn ；C mn 。 ix a i aiR} Pn [x]={p(x)= ：
0
1
]
5 向量的长度 定义： || || = ( , ) 性质： || k || =k || || ；
Cauchy 不等式：
， [Vn(F)；(，)], | (，) | || || || || 。 || ＋|| || || ＋|| ||
如果
W1=L{1，2，…， m }，
W2=L{1，2，…， k}，
则 W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…， k }
3 、维数公式
子空间的包含关系： W1 W1 W2 W1 W2 Vn ( F ) W2
dimW1W2 dim Wi dimW1＋W2 dimVn（F）。
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ： 定理1· 8 设 W=W1＋W2，则下列各条等价： （ 1） W=W1W2 （ 2） X W，X=X 1＋X2的表 是惟一的 （ 3） W中零向量的表示是惟一的 （ 4） dim W =dimW1＋dimW2
例1 P12 eg18 例2 设在Rn×n中，子空间 W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。 例3 子空间W的“直和补子空间”

矩阵分析第三章ppt课件

矩阵分析第三章ppt课件

2
我们知道，向量是特殊的矩阵。所有 m n阶的实矩 阵的集合 R m n 对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满
足上述8条运算律。因此也是“实向量空间”。 不过这里的“向量”是实矩阵！！
二、线性空间(Linear Space)的概念
定义1.1如果非空集合 V 对于加法及数乘两种运算 封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那 么就称集合 V 为数域 F 上的线性空间或向量空间：
例1.2 闭区间 [ a , b ] 上的所有实值连续函数按通常 函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C [a , b ] 例1.3 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常 多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P [ x ] n 例1.4 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数
乘，构成线性空间 l
( A 2 ) 加 法 结 合 律 ： ( ) ( ) ，

(A 3) 具有加法单位元（零向量） R2 ，使得 (A4) 具有加法逆元（负向量） R2 ，使得 ( )
( M 1 ) 数 乘 的 结 合 律 ： k () l ( k l )
( M 1 ) 数 乘 的 结 合 律 ： k () l ( k l )
( M 2 ) 数 乘 的 单 位 元 ： 1
( D 2 ) 分 配 律 2 : ( k l ) kl
( D 1 ) 分 配 律 1 : k ( ) k k


例1.1所有 m n阶的实（复）矩阵按矩阵的加法 m n m n 和数乘，构成线性空间 R (C ) 。
三、线性空间的基本性质
如果 V 是数域 F 上的线性空间，则
(1 )

鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式

鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式

k<r
则 A 与秩为 k 的任一矩阵 B 之差的 L1 和 L2 范数分别为
min A − B =
rank (B )=k
1
A − Ak
1 = σ k +1
和
(3.1.30)
3－5
第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
min A − B 2 =rank (B )=k2A − Ak
2 2
=
σ
2 k +1
+
L
∂A ∂θ
= [ ∂A ∂θ1
,
∂A ∂θ 2
,L ,
∂A ∂θ n
]
(3.1.12)
4） 标量对矩阵求导仍为矩阵。设 J 为标量， M 为矩阵，则 ∂J 是以 ∂J 为第 ij 元素的矩阵，
∂M
∂mij
其中 mij 表示 M 矩阵的第 ij 元素。
在上述约定下，有如下一些结果：
1） ∂ (aT x) = aT ； ∂x
−
A21
A -1 11
A12
]
(3.1.5) (3.1.6)
证明：因为
所以有
⎡ A11
⎢ ⎣
A21
A12 ⎤ ⎡ I
A22
⎥ ⎦
⎢⎣−
A−1 22
A21
0⎤
A−1 22
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A11
⎣
−
A12 0
A−1 22
A21
A12
A−1 22
I
⎤ ⎥ ⎦
det
A ⋅ det
A −1 22
=
det[ A11
3.1.2 矢量与矩阵的微分运算
在鲁棒控制理论和系统建模中，矢量与矩阵的微分运算是非常重要的。本节我们不加证明地给出 一些常用到得运算定理和公式。为了叙述方便，采用下列约定。

矩阵分析3ppt课件

矩阵分析3ppt课件

3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
应用 计算矩阵多项式
1 0 2
例 A0 1 1 ，求(A) 2A8 3A5 A4 A2 4
0 1 0
特征多式E- A 3 21，于是A3 2A10 (A) (2A5 4A3 5A2 9A)(A3 2A1)
24A2 37A10E
0 0 ( 2 ) ( 1)( 2 )
1 0
0
0 0
0
(
0 1)(
2)
4. 多项式矩阵与史密斯标准形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
性质 初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子及秩 史密斯标准形中的d i 即是不变因子
充要条件 两个矩阵等价，则它们具有相同的行列式因 子，相同的不变因子，相同的初等因子
2
n
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
充要条件 n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条 件，是A有n个线性无关的特征向量
充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似
1
1
0
1 2 1
2
P －1 A P
1
1
2
100
2100 2 2101 2 0
A100
P
1
P －1
2100 1
2101 1
0
1
2100 1 2101 2 1
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
并非每个矩阵都可以相似于对角矩阵。当矩阵 不能相似于对角阵的时候，能否找到一个比较 简单的分块对角阵与它相似？

《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答


例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得

第3讲 矩阵分析

( 使得对一切k 都有 aijk ) M (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n).
定义 设A为方阵, 且k 时, A( k ) 0, 则称A为收敛矩阵.
西南林业大学
矩阵论
矩阵分析
matrix theory
定理 Ak 0的充要条件是 ( A) 1. 定理 Ak 0的充要条件是只要有一种 矩阵范数 , 使得 A 1. 1/ 2 1/ 3 例: A 是否为收敛矩阵？ 1/ 4 1/ 5 解： A
2
1 -1 1 -1 1 -1 B BB B 0 00 0 0 0
2
A A2 A3 ; B B 2 B 3
西南林业大学
矩阵论
矩阵分析
matrix theory
1 2 1 3 e I A A A 2! 3!
西南林业大学
矩阵论
矩阵分析
matrix theory
矩阵函数 - - -以n阶矩阵为自变量和函数值的一种函数. 定义 设一元函数f ( z )能够展开为z的幂级数 f ( z ) ck z k
k 0
z r
其中r 0表示该幂级数的收敛半径. 当n阶矩阵A的谱半径 ( A) r时, 把收敛的矩阵幂级数 ck Ak 和称为矩阵函数, 记为f ( A), 即
1 1 1 1 1 N 1 1 2 2 3 N 1 N 1 N 1
N 1 1 2 0
S
(N )
A( k )
k 1
N
1 N 1 9 4 N N 1
3 4k 的收敛性. 1 k ( k 1)

矩阵分析技术综述

矩阵分析技术综述矩阵分析技术是一种数学方法，在不同领域的应用中发挥着重要的作用。

矩阵分析技术可以用来建模、求解、优化等。

在机器学习、信号处理、计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将对矩阵分析技术进行综述，包括矩阵的基本概念、特征分解、奇异值分解、矩阵多项式、矩阵分解等。

矩阵的基本概念矩阵是由一个数集合按照一定规律排列成的一个矩形数组。

矩阵通常用方括号或圆括号来表示。

矩阵中每一个元素都可以用下标表示，如$A_{ij}$表示矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵的加、减、乘法以及转置等运算也是基本的矩阵操作，在很多算法中都有应用。

特征分解矩阵的特征分解是指将一个矩阵分解成特定形式的矩阵乘积，其中第一因子是一个特征向量矩阵，第二因子是由特征值构成的对角矩阵。

特征分解是线性代数中的一个重要概念，在很多领域的应用中都有应用。

例如，在机器学习中，特征分解可以用来降维，加快计算速度；在信号处理中，特征分解可以用来提取信号的特征信息。

奇异值分解奇异值分解是将一个矩阵分解成三个矩阵乘积的形式，其中第一因子是一个列正交矩阵，第二因子是一个对角线上的奇异值矩阵，第三因子是一个行正交矩阵。

奇异值分解是矩阵分析中的另一个重要概念。

奇异值分解可以用来求解线性方程组、求解最小二乘问题、降维等。

在图像处理以及信号处理中也有很广泛的应用。

矩阵多项式矩阵多项式是将矩阵看作一个多项式的形式，即是将多项式中的常数项、一次项、二次项以及高次项分别对应为矩阵中的常数矩阵、矩阵本身、矩阵相乘、矩阵的高次幂等。

矩阵多项式可以用来求解矩阵的特征值、特征向量，还可以用来解决自然科学领域相关的微分方程问题、动力学问题等。

矩阵分解矩阵分解是一种将一个矩阵分解为多个子矩阵的技术，这些子矩阵能够同时刻画矩阵的核心信息。

矩阵分解可以分为多种方法，包括LU分解、QR分解、Cholesky分解等等。

在很多领域中，如机器学习、推荐系统、计算机视觉等，矩阵分解都是一个非常重要的技术。

数值分析第三章小结

第三章矩阵特征值与特征向量的计算--------学习小结一、本章学习体会本章我们学习了矩阵特征值与特征向量的计算方法即幂法、反幂法、Jacobi方法和QR方法。

下边介绍一下四种方法各自的特点和适用范围。

幂法：主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量；反幂法：主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；Jacobi法：用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；QR法：则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。

归结起来，这四种方法有一个共同的特点，即都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量。

还有利用用MATLAB自带的解法求解特征值和特征向量，其自带函数Eig即得到结果是虚数也可以算出，并且结果自动正交化。

二、本章知识梳理在工程技术中，计算矩阵的特征值和特征向量主要使用数值解法。

本章将阐述幂法、反幂法、Jacobi 方法、和QR 方法，并且只限于讨论实矩阵的情况。

3.1 幂法和反幂法（1）幂法幂法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量，其思想是迭代。

设n ⨯n 实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,,...,,321n x x x x 其相应的特征值n λλλ...21，，满足如下不等式 n λλλλ≥≥≥> (321)其中i i i x Ax λ= ）。

（n i ,...2,1=现在要求出1λ和相应的特征向量。

任取一n 维非零向量0u ，从0u 出发，按照如下的递推公式 1-=k k Au u ），，（...21=k 因n 维向量组n x x x ,...,21线性无关，故对于向量0u ，必存在唯一的不全为零的数组n ααα,...,21，使得n n x x x u ααα...22110++=n k n k k k k k k x A x A x A u A u A Au u ααα+++=====--......22110221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n kn n k kn k n n k k x x x x x x 12122111222111......λλαλλααλλαλαλα 设01≠α。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)在欧氏空间中: 度量矩阵是正定矩阵; 度量矩阵是可逆的.
x1 x2 xn T A x1 x2 xn ( , )
x11 x22 xnn
Hermite矩阵 : 规定记号:
AH
T
A,
称AH为A的复共轭转置。
复共轭转置有运算性质 : (1)AH ( A)T ; (2)( A B)H AH BH ; (3)(kA)H k AH ; (4)( AB)H BH AH ; (5)( AH )H A; (6)若A可逆，则( AH )1 ( A1 )H .
&3.1 欧氏空间、酉空间
一、概念
定义3.1.1 设V是实数域R上的n维线性空间,
如果对V中任意两个向量、 ,有唯一确定 的实数与之对应,这实数记为(, ),并且满足 下列四个条件,则这实数(, )称为与的
内积:
(1) (, ) ( , ) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (, ) 0,当且仅当 0时(, ) 0 其中 , , 是V中任意向量,k R;称定义有这
例3.1.5设n2维空间Rnn中对向量(n阶矩阵)A, B 规定内积为
( A, B) tr( AT B), A, B Rnn , 则Rnn是欧氏空间。
定义3.1.2 : 设V是复数域C上的n维线性空间,
如果对V中 任意两个向量、 ,有唯一确定的
复数与之对应,这复数记为(, )且满足下列四个 条件,则这复数(, )称为与的内积 :
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
在线性空间中，向量之间的基本运算只有 加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映， 局限了线性空间的应用。现在我们借助内积把 度量概念引入到线性空间中。
解析几何中，是用向量的长度和夹角来定 义内积，而在矩阵理论中是先定义内积概念， 再引入向量的长度、夹角等概念。
i 1
i 1
设1,2 , ,n为n维酉空间V的一组基,
n
n
, V且 xii , y j j 则
i 1
j1
n
n
nn
( , ) xii , y j j
xi y j (i , j )
i1
j 1
i1 j1
令gij (i , j ) i, j 1, 2, , n .
样内积的线性空间V 为n维欧氏空间.
例3.1.1 设Rn是n维实向量空间，若
=(a1,a2 ,...,an )T , =(b1,b2,...,bn)T 令 ( , ) T a1b1 a2b2 ... anbn 容易验证，所规定的 ( , )是Rn的内积，从而
Rn成为欧氏空间。
注: 1.今后欧氏空间Rn中的内积都指如上例3.1.1定
义的内积运算.
2.对同一个线性空间,可以定义不同的内积,因 而得到不同的欧氏空间.
例3.1.2 设在R2中对向量 (a1, a2 )T 和
(b1, b2 )T 规定内积为
( , )=2a1b1+a1b2 +a2b1+a2b2 ,
证明R2按照如上的内积运算构成是欧氏空间。
例3.1.3 用表示C[a,b]闭区间[a,b]上的所有实值 连续函数构成的实线性空间，f(x),g(x) C[a,b], 规定
( , )
T
a1b1 a2 b2 ... an bn H 容易验证，所规定的 ( , )是Cn的内积，
从而Cn成为酉空间。
二、酉（欧氏）空间的性质
1. 欧氏空间的性质
(1)( , k ) k( , );
(2)( , ) ( , ) ( , );
n
n
(3)( kii , ) ki (i , );
i 1
i 1
n
n
(4)( , ki i ) ki ( , i ).
i 1
i 1
2. 酉空间的性质
(1)( , k ) k( , );
(2)( , ) ( , ) ( , );
n
n
(3)( kii , ) ki (i , );
i 1
i 1

n
n
(4)( , ki i ) ki ( , i ).
注 在复数域C上定义内积时，不能象实数 域上内积定义方式，否则会出现矛盾。如
(,)>0, (i,i)=i2(,)=-(,), 这样(,)<0,矛盾！实际上(,k )=k(, )
例3.1.6 设Cn是n维复向量空间，若
=(a1,a2 ,...,an )T , =(b1,b2,...,bn)T
令
显然，实对称矩阵是实Hermite矩阵;酉空间的度 量矩阵是Hermite矩阵.欧氏空间的度量矩阵是实对称 阵。
定义3.1.4 : 设A C nn , 若AH A,则称A为Hermite矩阵;
若AH A,则称A为反Hermite矩阵.
容易证明： （1）AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji );
(2)AH A Re(aij ) Re(a ji ), Im(aij ) Im(a ji ).
(f(x),g(x))= b f(x)g(x)dx a
容易验证，这样规定的(f(x),g(x))是C[a,b]上的一 个内积，从而C[a,b]成为一个欧氏空间。
例3.1.4 设A为n阶正定矩阵，对于Rn中的任意两 个列向量X,Y，规定
(X,Y)=X T AY 容易验证(X,Y)是Rn上的一个内积，于是Rn成为一 个欧氏空间。
称n阶方阵： G gij
为基1,2 , ,n的度量矩阵.
g11 g12
G
gij
g21
g22
gn1 gn2
1 2
,1 ,1
n ,1
1,2 2,2
n,2
g1n
g2n
gnn
1 2
, ,
n n
n ,n
度量矩阵性质：
(1)设G为度量矩阵,则G GT ;
(1)( , ) ( , ), (2)(k , ) k( , ), (3)( , ) ( , ) ( , ), (4)( , ) 0, 当且仅当 0时(, ) 0.
其中、、 为V中任意向量,任意复数k C;
称定义有这样内积的线性空间V 为n维复欧氏 空间或酉空间.
欧氏空间与酉空间统称为内积空间.