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(优选)第三章矩阵分析及其应用.

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矩阵及其应用ppt课件

矩阵及其应用ppt课件

线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn

矩阵分析方法及应用论文

矩阵分析方法及应用论文

矩阵分析方法及应用论文矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。

矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。

矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。

在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。

首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。

矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。

矩阵的元素可以是实数或复数。

通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。

矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。

当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。

矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。

另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。

矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。

特征向量是与特征值对应的非零向量。

特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。

矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。

下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子：1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。

论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。

2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。

论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。

3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。

论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。

4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。

矩阵分析与应用

矩阵分析与应用

编码理论
象层 步特征分 抽象层面的进一步特征分析
12
教学大纲
第 周 第一周 第二周 第三周 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 第四周 周四 第五周 周一 周 周四 背景介绍，矩阵分析应用 矩阵基础知识复习 向量空间，赋范空间 矩阵标量函数 逆矩阵，伪逆矩阵，MP逆矩阵 矩阵函数 Hermitian矩阵，酉矩阵，Toeplitz矩阵， 循环矩阵 Vandermonde矩阵，Fourier矩阵， Hadamard矩阵，稀疏矩阵 矩阵对角化分解 数值稳定性 矩阵对角化分解，数值稳定性 矩阵三角化分解，三角对角化分解
-1 -1
特征值，特征向量 特征值 特征向量
Ax x
2
矩阵分析课程介绍
起点：线性代数的矩阵基本知识 起点 线性代数的矩阵基本知识 目标：基于分析的语言，学习矩阵理论
特殊矩阵
矩阵 基本理论
矩阵分解
子空间与 投影分析
抽象代数 简介
矩阵特征 分析
3
矩阵基本理论
向量，向量空间，内积空间 加法，标量乘法，闭合 矩阵范数 矩阵“长度” A 矩阵标量函数
13
教学大纲
第六周 第七周 第八周 第九周 第十周 第十一周周 第十 周周 末 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 周四 特征值，特征向量，Hamilton-Cayley定理 KL变换，主分量分析 广义特征值分解 R l i h商 特征值扰动 Rayleigh商，特征值扰动 子空间理论，子空间投影 投影分析 最小二乘 投影分析，最小二乘 稀疏矩阵表示，压缩感知 稀疏矩阵方程求解，优化理论与方法 抽象代数：群，环 抽象代数：域 第一阶段考核
y {A x, x R N }

矩阵的实际应用ppt课件

矩阵的实际应用ppt课件

应用1 生产成本
某工厂生产三种产品. 每种产品的原料费、工资支付
、管理费等见表1.
每季度生产每种产品的数量见表2.
该公司希望在股东会议上用一个表格 直观地展示出以下数据：
(1) 每一季度中每一类成本的数量； (2) 每一季度三类成本的总数量； (3) 四个季度每类成本的总数量.
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两张表格中


2
2
1

44
52



3
15
1 1 1 43 43 20 14
反过来查表：
123
24 25 26
ABC
即可得到信息action．
XY Z
我们选择不同的可逆矩阵 A（密钥），则可得到不同的密文。
如： 选择可逆矩阵
1 2 3
A


应用3 应用矩阵编制Hill密码
密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用。现在密码学涉及很多 高深的数学知识，这里只做简单介绍。
密码学中将信息代码称为密码，尚未转换成 密码的文字信息称为明文，由密码表示的信息称为密文。从明文到密文的过程 称为加密，反之为解密。
信源 加密 信道 解密 信宿
1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密 码史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。
0.02 0.3 0.98 0.7
Ax0


0.2960 0.7040
人口迁徙模型
从初始到k年，此关系保持不变，因此上 述算式的递推式为
xk Axk1 A2 xk2 Ak x0 输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98],

矩阵分析及其应用

矩阵分析及其应用

1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn Cmn，如果mn个常数项级数
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
k 1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
A(k )
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
ck J1k (1),
ck
J
k 2
(2
),,
ck
J
k r
(r
))
P
1
k 0
k 0
k 0
其中
ck ik
k0
k 0
ck
J
k i
(i
)
ck ck1ik1
k 0
ck ik
k 0
di 1 k di 1 c c k k i
k 0
ck ck1ik1
k 0
ck ik
k 0
di di
当 ( A) R 时，幂级数
k 1
k 1 i1 j1
i1 j1 k 1
根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。
矩阵幂级数
定义 设 A(k) (aikj )mn Cnn ，称形如
ck Ak c0I c1A c2 A2 ck Ak
k 0
的矩阵级数为矩阵幂级数。
定理 设幂级数 ck xk 的收敛半径为R，A为 n 阶方阵。
同样可以证明其余的结论。
注意：这里矩阵 A 与 B 的交换性条件是必不可少的。
例：设
1 1 1 1
A 0 0 , B 0 0

新质量工具第五讲PUGH矩阵及其在方案优选中的应用

新质量工具第五讲PUGH矩阵及其在方案优选中的应用

新质量工具第五讲PUGH矩阵及其在方案优选中的应用一,引言无论在工作还是在生活中,当我们面临多种选择的时候,对问题的决策能力就显得非常重要.我们每天面临着大量需要作决定的问题.这些问题有的比较简单,有的比较复杂.但它们有共同的特点,就是需要进行比较和权衡,以作出最优的选择.作任何决策,决策者都需要知道两点,一是我们有哪些可能的选择,二是根据哪些判断准则来判定各种选择方案的优劣.对于只有一个判断准则的简单情况,决策可以非常简单,但是,判断准则较少的情况不太多见,大部分决策过程都有许多准则需要我们考虑.当存在多个判断准则的时候,情况就变得很复杂,此时我们需要对照多个准则来判定哪个选择方案最好.另外,在为数众多的判断准则中,往往有很多准则是相互矛盾,相互制约的.此时,我们的决策过程就变得更加复杂,需要综合考虑多种因素来作判断.权衡分析方法为解决这类问题提供了很好的工具.二,权衡分析工具在我们的产品开发过程中,众多的选择和相互冲突的判断准则都会使决策的过程变得很复杂,因此,权衡分析就显得作用很大,也很有必要.设计的权衡分析工具为比照关键准则来评价可能的选择方案提供了正规的,结构性的方法.这样的工具很多,最典型的就是概念权衡分析(Tradeoff) 和PUGH矩阵,它们都是用来帮助设计人员识别出最好的方案.这些不同的工具往往具有很多共同点:通常都列出所有的可选择项,列出判断准则,对照判断准则对每个选择项进行评分,比较2005年第2期(患第116期)各选择项相互之间豹得分,识别出总分最高的选择项.投衡分析应用矩阵霞蒲方蔷孵龚霉立橱详细初步概念低中高定性的定量的图1权衡分析工具的应用如图l中所示,PUGH矩阵可以运用在设计的任何阶段,对设计概念进行快速,定性的评估.它有助于选择明确的有利概念,在进行概念比较时提供迅速的搜索,或者进行从多种概念到少数优势概念的选择.在概念设计中,概念权衡分析可以在系统,子系统和部件级对多种可选择方案作出决策,它通过电子表格的形式提供定性和定量的分析数据.而PUGH矩阵是最常用的一种权衡分析工具,它帮助我们在面临多种可能时作出正确的选择,通常在我们进行概念设计时用来选择多种方案.相对概念权衡分析而言,PUGH矩阵的权衡分析进行得比较粗略,往往不提供定量的分析结论.在设计过程中,PUGH矩阵通常用于进行快速,定性的评估,帮助我们选择比较明显的优胜概念,在各种概念的相互比较中得到一个快速的判断,或者从众多的可选择概念中筛选出少数几个有希望的概念,以便继续观察,比较.三,PUGH矩阵的原理和方法如前所述,权衡分析工具的共同点是列出所有的可选择项,列出判断准则,对照判断准则对每个选择项进行评分,比较各选择项相互之间的得分,识别出总分最高的选择项.PUGH矩阵也符合这个特点.图2是一个空白的PUGH矩阵.PUGH矩阵可选择方案图例更好+n寸In相同s瑚}瑚}瑚}瑚}瑚}瑚}瑚}更差一嗽蝈蝈蝈判断准则1}田l{1ABCDEFGHIJ"更好"总数000000"更差"总数000000"相同"总数000000"更好"加权总数000000"更差"加权总数000000图2PUGH矩阵的模板如图2所示,PUGH矩阵是最简单的权衡分析工具,它从众多的可选择方案中选出一个基准(标杆)方案,然后对照判断准则,将其它方案与基准方案进行定性的比较,从而进行权衡分析.现在我们来看如何使用PUGH矩阵.首先,根据选择决策的关键因素建立选择的判断准则项.举例来说,这些判断准则项可以是成本,交付时间,风险,复杂程度等等.一般的原则是要避免太多的判断准则,通常以不超过20项为好,也不对判断准则项进行加权.在PUGH矩阵的结构中,把需要考虑的方案列在矩阵上端的一行,每个方案占一列.判断准则放在左边的一列,每个判断项为一行.为了清晰地判断各个方案,一定要保证参加分析的所有成员对可选择的方案和判断准则都有很好的理解.选择一个方案作为基准方案,通常挑选大家认为最好的方案作为基准方案.将每一个方案与基准方案进行比较,每次评估一个判断准则.然后在方案和判断准则对应的方框中填人一个符号:用"加号"表示这个方案在这个判断准则上比基准方案更好,用"减号"表示比基准方案差,用"S"表示与基准方案相等.在此过程中,记录下可能产生新方案和新判断准则的想法,以便把这些新想法融人迭代进行的下一次PUGH矩阵分析.统计所有的评价符号.在每列的下面累加"加号","减号"和"S"的总数.注意不能从"加号"的数量中减去"减号"的数量.评估总体评分.寻找"加号"最多,"减号"最少的方案,同时也寻找融合多种方案的方法,将一个方案的最强项应用到另一个方案,以加强其较弱的方面.这个过程将导致混合方案的产生.这些新产生的方案和以前记录的方案和判断准则都应该加入到矩阵中来,同时,将那些不能进一步改进的弱势方案从矩阵中删除.对不能帮助我们识别不同方案的判断准则也要删除.重新选择一个基准方案,还是象以前那样选择当前认为最强势的方案,通常都是从以前的筛选中得到的混合方案.重复这个过程直到产生出最好的方案.四,PUGH矩阵的应用实例在我们设计某一产品的过程中,形成了5种可选择的初始设计方案(方案的概念阶段, ConceptualDesign).我们需要根据可靠性,成本,产品性能,设计简单性,设计可实现性,设计通用性,商务和风险等判断准则来挑选优胜的设计方案.选择一个我们认为较好的设计方案作为基准方案,将其它的方案与之进行比较,得到如下的PUGH矩阵.从图3中可以看出,可选方案C具有明显的优势.2005年第2期(总第116期)1^【r'可选择的方案图例更好+∞U0相同S田日}更差一硪关键准则1}咖{醐可靠性++S成本S+性能S+简单性++S可实现性+通用性S+S商务+++风险S+S"更好"总数2451"更差"总数3324"相同"总数3113"更好"加权总数2451"更差"加权总数3324图3说明PUGH矩阵举例五,PUGH矩阵的优缺点分析最后,简单讨论一下PUGH矩阵的优缺点. PUGH矩阵有几个优点.首先,它对设计方案的定量细节要求得很少,因此在设计项目很早的阶段就可以应用于设计方案的比较.另外,PUGH矩阵的应用也比较简单,可以很快去除弱势的方案,帮助我们清晰和精炼方案的细节.同时,也可以识别出哪些判断准则对方案选择有重大的影响,从而帮助我们得到混合方案.PUGH矩阵关注所有的判断准则,力争使这些准则都能得到较好的满足,从而避免挑选出只对某一准则满足得很好的不合理的方案.PUGH矩阵也有2个缺点:第一,它对"更好"和"更坏"的程度没有进行详细的区分,只要都是"更好"或"更坏"就给予相同的评价.第二,在等级相近的时候,需要进一步进行风险分析.六,结束语本文简单介绍了权衡分析的基本思想以及PUGH矩阵的方法和应用.总体来说,PUGH矩阵是一种较为粗略的定性的权衡分析方法,主要应用在设计过程的早期阶段,用于对多个方案进行快速的比较和选择.如果在设计的后期,希望进行较为细致的分析,可以考虑权衡分析中其它更为详细的工具.-+一+一+一+一++一+一+?-+一+一+一+一+一+-+一+一+一+一+一+一+-+一+一+一+一+一+一+一+一+一+-+一+一+一+一+一+-+一+一+-+-+一+-+一+-(上接第28页)[3】GrubbsFE.ApproximateFiducialboundson reliabilityforthetwoparameternegativeexpo—nentialdistribution,Technometrics,13(2),1971,873—876.[4】EngelhardtM,BainLJ.Tolerancelimitsand confidencelimitsonreliabilityforthetwo--0araln- eterexponentialdistribution,Technometrics,20 (1),1978,37-39.[5】LawlessJF.Statisticalmodelsandmethodsforli~timedata,Wiley,1982.[6】周源泉等.可靠性评定.北京:科学出版社, 1990.[7】BainLJ,EngelhardtM.Statisticalanalysisof reliabilityandlifetestingmodel,(2nded.),Dekker,1991.[8】MartzHF,WallerRA.Bayesianreliability analysis,Wiley,1982.[9】EvansIG,NigmAHM.Bayesianprediction2005年第2期(总第116期)f0rthelefttruncatedexponentialdistribution. Technometrics,22(2),1980,201-204.[10】EpsteinB,SobelM.Sometheorensrelervant tolifetestingfromanexponentialdistribution,Ann.Math.Stat.,1954,25:373-381.[11】陈希孺.数理统计引论.北京:科学出版社, 1981.[12】周源泉.Gamma分布拟合及其应用.强度与环境,1988(4),44-50.[13】WilsonEB,HilfertyMM.Thedistribution ofChisquare,Proc.oftheNationalAcademy ofScience(U.S.),17(1931),684-688.[14】周源泉等.可靠性下限与可靠寿命下限间的对称原理.系统工程与电子技术,1993(3),64～72.[15】周源泉.质量可靠性增长与评定方法.北京航空航天大学出版社,1997.。

矩阵分析课件精品PPT

矩阵分析课件精品PPT

典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法

(完整word版)矩阵分解及其简单应用

(完整word版)矩阵分解及其简单应用

对矩阵分解及其应用矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、QR 分解、满秩分解和奇异值分解。

矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用。

秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。

1. 矩阵的三角分解如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU 则称A可作三角分解。

矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0, 即?k工0.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。

矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU勺分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。

矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle 分解和Crout 分解，它们用待定系数法来解求 A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。

矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。

由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LU x=b，即有如下方程组：Ly = b{{Ux = y先由Ly = b依次递推求得y i, y2, ........ ，y n，再由方程Ux = y依次递推求得X n，x n-1 ， ... ，X1 .必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k工0时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA 的n个顺序主子式全不为零，此时有：Ly = pb{{ Ux = y 这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。

2. 矩阵的QF分解矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。

QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Give ns方法和Householder方法，而且各有优点和不足。

第三章矩阵分析及其应用

第三章矩阵分析及其应用

第三章矩阵分析及其应用矩阵是线性代数中的重要概念，不仅在理论上有广泛应用，也在实际问题中具有重要的应用价值。

本章将介绍矩阵的基本概念和常用运算，以及矩阵在各个领域中的应用。

1.矩阵的基本概念矩阵是由m行n列的数排成的矩形阵列，通常用A、B、C等大写字母表示，其中A的第i行第j列的元素记作a_ij。

矩阵的大小用m×n表示，m表示行数，n表示列数。

特殊的矩阵有零矩阵、单位矩阵等。

矩阵的转置、相等、相加、相乘等运算是矩阵分析中的基础。

2.线性方程组与矩阵运算线性方程组是线性代数中的基本问题，可以使用矩阵运算来求解。

矩阵运算包括矩阵的相加、相乘等，可以用来简化计算过程，提高求解效率。

矩阵的转置能够将列向量转换为行向量，从而方便计算。

3.矩阵的逆与行列式行列式是矩阵的一个重要特征，可以判断矩阵是否可逆。

如果一个矩阵的行列式不等于0，则称该矩阵可逆，且可以使用其逆矩阵来求解线性方程组。

逆矩阵的计算方法有求伴随矩阵、幻方阵等多种方法。

4.矩阵的应用矩阵在各个领域中都有广泛应用。

在物理学中，矩阵可以描述电磁场、力学系统等；在经济学中，矩阵可以描述供求关系、价格变动等；在计算机科学中，矩阵可以用于图像处理、模式识别等。

总的来说，矩阵分析及其应用是线性代数中一个重要的分支，它不仅有着广泛的理论基础，还具有重要的实际应用价值。

掌握矩阵的基本概念和常用运算，能够帮助我们解决实际问题，提高计算效率。

同时，矩阵也是其他高级数学领域的重要工具，如微积分、概率论等。

因此，矩阵分析的学习和应用具有非常重要的意义。

矩阵分析与应用

矩阵分析与应用

j 2 (i1)
M N , ai e N
A
a1
...
a2
...
aN
... ... ...
a1M
1
aM 1 2
...
aNM
1
Hadamard矩阵：CDMA
稀疏矩阵：稀疏表示
绝大多数元素为零 极少数元素非零
1 1 1 1
Hardmard4
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1
1
矩阵分析与应用
线性代数：以矩阵元素为单元的分析 矩阵分析：以矩阵为单元的分析，训练矩阵的
各种基本运算 矩阵分析基本运算：
加法，乘法，逆矩阵 矩阵求导，矩阵积分 特征值，特征向量 …
1
线性代数：矩阵基本知识
ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵运算：加法，乘法
AMNBNK CMK
a11 a12 ... a1N
A
AAT =I， A*conj(AT) =I
Toeplitz矩阵，循环矩阵：ISI信道
A = [ai,j], ai,i+n仅仅与n有关
1 2 3 4
A
0
1
1 0
2 3 1 2
2 1 0 1
5
特殊矩阵
Vandermonde矩阵：多项式拟合
Fourier矩阵： Fourier变换 1 1 ... 1
A
F
M m1
N
| amn
n1
|2 1/ 2
a1
a2
...
aN
矩阵标量函数
二次型，迹，行列式，秩
逆矩阵，广义逆矩阵
不可逆矩阵 广义逆矩阵
信号空间 信号空间基

第三章_矩阵分析及其应用

第三章_矩阵分析及其应用
1
( A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不 可逆。
解
a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k 2 k k2 2
显然每一个 A(k) (k 1, 2, ) 均可逆，但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A lim A(k) 3
A(k) A A B(k) B A(k) A B A(k) A B(k) B A B(k) B A(k) A B 0
（4） PA(k)Q PAQ P( A(k) A)Q P A(k) A Q 0
（5） A1 ( A(k) )1 A1 [ A ( A(k) A)]1 A1 A1( A(k) A) 1 A1( A(k) A)
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都绝对收敛， 则称以上矩阵级数绝对收敛。
例 如果设 A(k ) (aikj )22 C 22 ，其中
a (k) 11
k 1
k 1
1, k(k 1)
a (k) 12 k 1
k 1
1 k3
a (k) 21 k 1
k 1
2k
,
a (k) 22 k 1
1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn C mn，如果mn个常数项级数
a (k ij
)
,
i 1, 2,
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数

矩阵分析与应用 第2讲应用部分

矩阵分析与应用 第2讲应用部分

假设L和N 分别有n对特征对，记L和N 的右和左特征向量及其对应的特征值 为： Lai = αi ai
T bT i N = βi bi
(2.2.12)
容易验证如下关系式 (I n ⊗ L + N T ⊗ I n )(bj ⊗ ai ) = (I n ⊗ L)(bj ⊗ ai ) + (N T ⊗ I n )(bj ⊗ ai ) = (I n bj ) ⊗ (Lai ) + (N T bj ) ⊗ (I n ai ) = (αi + βj )(bj ⊗ ai ) (2.2.13)
⎡1 2⎤ ⎥ ⎣ 2 4⎦
更多的命令可以参考 Matlab 的 help 文档。
2.1.2 编程介绍 与其他的编程语言一样，Matlab 编程也应尽量遵循一些公 认的规则，比如： ¾ 良好的程序结构和功能模块化 ¾ 尽量使用局部变量 ¾ 尽量注释 ¾ 代码书写规范性 不同的地方是：在 Matlab 程序中，我们应该尽量使用向量化的 语言，避免过多使用循环分支判断等（Matlab 是解释执行的） 。 这样可以显著提高程序效率。 然而， 向量化的语言有时会有损程 序的易读性。 我们来读两段程序。 例 1 矩阵求伪逆源码解读。
矩阵分析与应用补充材料 第2讲
常冬霞 cdx05@
Matlab 介绍 应用举例 习题选讲
2.1 Matlab 介绍
1
2.1 Matlab 介绍
MATLAB 语言特点 z 简单易学； z 具有高性能数字计算的算法，特别适合矩阵代数领域； z 有大量事先定义的命令和函数，这些函数能通过用户自定 义函数进一步扩展； z 图形表达能力强，有强有力的二维、三维图形工具； z 可以与其他程序一起使用; z 具有丰富的领域型工具箱。

《矩阵分析》课件

《矩阵分析》课件

Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
将矩阵分解为一个正交矩阵Q和 一个上三角矩阵R的乘积。
Jordan标准型及其性质
Jordan标准型定义： 设A是n阶方阵，如果 存在一个可逆矩阵P， 使得P^(-1)AP为 Jordan矩阵，则称A 可以相似对角化为 Jordan标准型。
Jordan标准型的性质
Jordan标准型是唯一 的，即对于给定的方 阵A，其Jordan标准 型是唯一的。
Jordan标准型中的每 个Jordan块对应A的 一个特征值。
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不 能由其中的部分向量线性表示出来。换句话说， 只有当这组向量中任何一个向量都不能由其余向 量线性表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
初等变换和行阶梯形式
初等变换：对矩阵进行以下三种变换称为初等变 换 对调两行（列）。
以数k≠0乘某一行（列）中的所有元。
初等变换和到另一行（列）的对应元上去。
02
行阶梯形式：一个矩阵经过初等行变换可以化为行阶梯形式，
其特点是
非零行在零行的上面。
03
初等变换和行阶梯形式
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。

《矩阵分析》PPT课件

《矩阵分析》PPT课件

握时机，以寻求更大的发展。
2.抑制性（机会+劣势）
抑制性意味着妨碍、阻止、影响与控制。当环境提
供的机会与企业内部资源优势不相适合，或者不能相互
重叠时，企业的优势再大也将得不到发挥。在这种情形
下，企业就需要提供和追加某种资源，以促进内部资源
劣势向优势方面转化，从而迎合或适应外部机会。
3.脆弱性（优势+威胁）
（2）现金牛产品（cash cow）， 又称厚利产品。它是指处于低增 长率、高市场占有率象限内的产 品群，已进入成熟期。其财务特 点是销售量大，产品利润率高、 负债比率低，可以为企业提供资 金，而且由于增长率低，也无需 增大投资。因而成为企业回收资 金，支持其它产品，尤其明星产 品投资的后盾。收获战略；适合 于事业部制组织结构；选拔市场 营销型人物来负责。
说明 相对市场份额
以公司在某个领域的市场份额除以该领域最大竞争对手的 市场份额
通常以1.0把相对市场份额分为高低两部分。
市场增长率
可以用经济增长率作为标准，或者用10%。
圆圈反映了一个领域的份额和增长情况，面积反映了企业 从这个领域得到的销售收入占全部收入的比例。
各象限产品的定义及战略对 策 （1）明星类产品 增长较快速，略显资金不足； 一般水平的利润率和负债比 率。 扩大投资战略；采用事业部 形式的组织结构；选拔对生 产技术和销售都很内行的人 负责 。
缺乏具有竞争意义的技能技术。
缺乏有竞争力的有形资产、无形资产、人力资源、组织 资产。
关键领域里的竞争能力正在丧失。
机会 公司面临的潜在机会（O）：潜在的发展机会可能是： 客户群的扩大趋势或产品细分市场。
技能技术向新产品新业务转移，为更大客户群服务。
前向或后向整合。 市场进入壁垒降低。 获得购并竞争对手的能力。 市场需求增长强劲，可快速扩张。 出现向其他地理区域扩张，扩大市场份额的机会。

矩阵在数据分析中的应用

矩阵在数据分析中的应用

▪ 谱聚类
1.谱聚类是一种基于图论的方法，将数据点看作图中的节点， 通过计算图的拉普拉斯矩阵的特征向量来进行聚类。 2.谱聚类的核心思想是将数据点之间的相似度关系转化为图上 的边权重，通过对图的谱进行分析来发现数据点的聚类结构。 3.谱聚类可以应用于各种形状和大小的数据集，具有较好的鲁 棒性和可扩展性。
矩阵在数据分析中的应用
时间序列分析中的矩阵操作
时间序列分析中的矩阵操作
矩阵运算在时间序列分析中的基础
1.矩阵运算能够提供一种系统化的方式来描述和处理时间序列数据，通过这种方式，可以将时间序 列数据转化为矩阵形式，进而利用其强大的计算能力和数据处理技术。 2.在时间序列分析中，矩阵运算可以用来计算各种统计量，例如均值、方差、协方差和相关系数等 ，这些统计量是时间序列分析的基础。 3.矩阵运算可以用于时间序列数据的平滑和滤波，这种技术可以消除数据中的噪声和异常值，提高 数据分析的准确性。
层次聚类
1.层次聚类是一种基于数据间相似度矩阵进行聚类的算法，可 以根据相似度矩阵逐步合并数据点或分裂数据簇。 2.层次聚类可以分为凝聚型层次聚类和分裂型层次聚类两种类 型，分别对应自底向上和自顶向下的聚类策略。 3.层次聚类的结果可以通过树状图进行可视化展示，便于理解 和分析。
矩阵聚类方法及其实现
矩阵在数据分析中的应用
矩阵分解技术及其应用
矩阵分解技术及其应用
▪ 矩阵分解技术概述
1.矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵的过程，有助于提取数据 中的隐藏信息和特征。 2.常见的矩阵分解技术包括奇异值分解（SVD）、非负矩阵分解（NMF）和QR分解等。
▪ 奇异值分解（SVD）
▪ 主成分的Biblioteka 解和解释1.主成分是通过将数据投影到协方差矩阵的特征向量上得到的 。 2.主成分的个数通常小于原始数据的维度数，可以达到数据降 维的目的。 3.通过分析主成分，我们可以更好地理解数据的结构和变异性 。

04.矩阵理论与方法_矩阵分析及其应用

04.矩阵理论与方法_矩阵分析及其应用

0 0 0 0
0 0 1 0
求 sin A
16
矩阵函数值的求法

求法三（对角形法） 前提：矩阵 A 相似于对角矩阵 ，即有可逆矩阵 P ，使得
1 P 1 AP n 1k 则 1 Ak P k P 1 P P k n k c k 1 f (1 ) k 0 f ( A) Pf ( ) P 1 P P 1 P k c k n k 0

12
矩阵函数值的求法

求法一（待定系数法） 第一步：求 n 阶矩阵 A 的特征多项式 ( ) det( I A)，以及多项
( ) 整除 ( ) ，并求 ( ) 的互异零点及相应 式 ( ) ，满足 ( A) 0 ，
的重数 1 ,..., s , r1,..., rs 。
(k )
(k )
(k )
mn
lim A( k ) A 或 k

A( k ) A
不收敛的矩阵序列称为发散的。 性质

(k ) (k ) A( k ) B ( k ) ) A B, , C 。 若 A A, B B ，则 lim( k
13
矩阵函数值的求法

例：设
2 0 0 A 1 1 1 1 1 3
求 e A , e A , etA
14
矩阵函数值的求法

求法二（数项级数求和法） 第一步：同待定系数法找到首1多项式 ( )，即有
Am b1 Am1 ... bm1 A bm I 0
4
矩阵级数的收敛性

矩阵论课程学习指南

矩阵论课程学习指南

《矩阵论》课程学习指南The theory of matrices任课教师课程基本信息：选修课程课程编码：课程名称：矩阵论（The theory of matrices）授课教师：授课对象：计算数学研究生授课地点：授课时间：第三学期授课形式：课堂讲授与课堂讨论联系方式：课程教材：1.程云鹏张凯院徐仲，《矩阵论（第3版）》，西北工业大学出版社，2006年课程简介：矩阵理论在数学及其他科学技术领域如数值分析、最优化理论、多元统计分析、运筹学、控制、力学、电学、管理科学与工程等学科中都有十分重要的作用，越来越引起人们的重视。

矩阵不仅表述简洁，易于理解，而且具有适合计算机数值计算的特点。

因此，矩阵理论是从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。

通过本课程的学习，掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质。

通过学习使学生能将向量空间及其变换的问题化为矩阵问题,用矩阵运算加以解决.课程说明：1. 教学方式：课堂讲授＋课堂讨论+课后实践2．考核方式：期末考试+课堂讨论+出勤情况学期总评成绩（100%）=出勤（10%）+课堂讨论（30%）+期末考试（60%）3.实验、实习、作业要求: 每次课后安排阅读作业，提交学习笔记；课堂发言与小组讨论。

教学进度与教学内容概览主要内容及学时安排：第一章：线性空间与线性变换(4学时)·重点内容：特征值和特征向量、正交矩阵·第一节线性空间·第二节线性变换及其矩阵·第三节两个特殊的线性空间第二章：范数理论及其应用(6学时)·重点内容：矩阵范数·第一节向量范数及其性质·第二节矩阵的范数·第三节范数的一些应用第三章：矩阵分析及其应用(8学时)·重点内容：矩阵级数、矩阵函数·第一节矩阵序列·第二节矩阵级数·第三节矩阵函数·第四节矩阵的微分和积分·第五节矩阵函数的一些应用第四章：矩阵分解(16学时)·重点内容：矩阵的QR分解、矩阵的奇异值分解·第一节Gauss消去法与矩阵的三角分解·第二节矩阵的QR分解·第三节矩阵的满秩分解·第四节矩阵的奇异值分解第五章：特征值的估计及对称矩阵的极性(10学时)·重点内容：特征值的估计、广义特征值问题·第一节特征值的估计·第二节广义特征值问题·第三节对称矩阵特征值的极性第六章：广义逆矩阵（12学时）·重点内容：广义逆矩阵·第一节投影矩阵·第二节广义逆矩阵的存在、性质及构造方法·第三节广义逆矩阵的计算方法第七章：若干特殊矩阵类介绍（8学时）·重点内容：正定矩阵、对角占优矩阵·第一节正定矩阵与正稳定矩阵·第二节对角占优矩阵·第三节非负矩阵目的与要求：通过本课程的学习，掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质。

矩阵学习心得体会

矩阵学习心得体会

矩阵学习心得体会篇一：在线性代数的基本知识基础上，我通过矩阵的学习，系统地掌握了矩阵的基本理论和基本方法，进一步深化和提高矩阵的理论知识，掌握各种矩阵分解的计算方法，了解矩阵的各种应用，其主要内容包括矩阵的基本理论，矩阵特征值和特征向量的计算,矩阵分解及其应用，矩阵的概念，了解单位阵、对角距阵、三角矩阵、零矩阵、数量矩阵、对角距阵等。

这些内容与方法是许多应用学科的重要工具。

矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

我通过学习得知，矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。

从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的，而矩阵本身所具有的性质是依赖于元素的。

在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。

利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。

矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。

矩阵这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。

矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。

1801年德国数学家高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体。

1844年，德国数学家爱森斯坦讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。

1850年，英国数学家西尔维斯特首先使用矩阵一词。

1858年，英国数学家凯莱发表《关于矩阵理论的研究报告》。

他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。

《矩阵分析》课件

《矩阵分析》课件

行列式的计算方法
代数余子式法
01
利用代数余子式展开行列式，将行列式化为三角形或对角线形
式，从而简化计算。
递推法
02
根据行列式的性质和展开定理，利用递推关系式计算行列式的
值。
公式法
03
对于一些特殊的行列式，可以利用已知的公式直接计算其值。
如三阶行列式公式、范德蒙德公式等。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
逆矩阵的求法
高斯-约当消元法是求逆矩阵的一种常用方法，通过一系列行 变换将矩阵变为单位矩阵，其伴随矩阵即为所求的逆矩阵。
行列式的定义与性质
行列式的定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)或|A|， 是一个标量，其值是所有n阶排列的 代数和，每个排列对应一个二项式系 数。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换 律、结合律、分配律等。此外，行列 式的值也可以通过对角线元素、主子 式、余子式等计算得到。
04
矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标量λ和相应的非零向量v，使得A×v=λ×v成立，则称λ为矩阵A的特征值，v为 矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
特征向量的性质
特征向量与特征值是对应的，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的，特征向量与特征值之间满足特定的关 系式。
高斯消元法
通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
迭代法
通过迭代的方式逼近方程组的解，常 用的方法有雅可比迭代法和SOR方法 等。
共轭梯度法
一种用于求解大规模稀疏线性方程组 的方法，通过迭代寻找方程组的解。
最小二乘法
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（3）设 lim A(k) A, lim B(k) B ，其中 A(k) Cml , B(k) Cln
k
k
那么 lim A(k)B(k) AB
k
（4）设 lim A(k) A ，那么 lim PA(k)Q PAQ
k
k
其中 A(k ) Cmn , P C mm ,Q C nn
k 1
都绝对收敛， 则称以上矩阵级数绝对收敛。
例 如果设 A(k) (aikj )22 C22 ，其中
a (k) 11 k 1
k 1
1, k(k 1)
a (k) 12 k 1
k 1
1 k3
a (k) 21 k 1
k 1
2k
,
a (k) 22 k 1
sin
k 1
2k
那么矩阵级数
（5）设 lim A(k) A，且 {A(k )} , A均可逆，则 {( A(k ) )1} k 也收敛，且 lim( A(k) )1 A1 k
证明： （2） aA(k) bB(k) aA bB a A(k) A b B(k) B 0 （3） A(k)B(k) AB A(k)B(k) A(k)B A(k)B AB
（优选）第三章矩阵分析及其 应用.
矩阵序列与极限
定义 设已知矩阵序列 {A(k )}，其中 A(k) (aikj )mn Cmn，当
k→∞， aikj aij时，称{A(k)}收敛，并称矩阵
A
(aij
)
为
mn
{A(k)}的极限，或称{A(k)}收敛于A，记为
lim A(k) A 或
k
不收敛的矩阵序列称为发散。
这样，当
lim A(k) A 0
k
时同样可得
lim A(k) A 0
k
因此定理对于任意一种范数都成立。
矩阵序列极限运算的性质。
（1）收敛矩阵序列的极限是唯一的。
（2）设 lim A(k) A, lim B(k) B
k
k
则 lim aA(k) bB(k) aA bB, a,b C k
c1 k1 ki ik
di di
ckl k(k 1)
(k l 1) (当l k) l!
ckl 0
(当l k)
于是 因此
lim
k
J
k i
(i
)
0
的充要条件是 i 1。
lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1
k
例3 设 有
是 Cnn 的相容矩阵范数，则对任意 ACnn ，都
A(k ) A(1) A(2)
k 1
是收敛的，而且是绝对收敛的。
A(k )
定理 设 A(k) (aikj )mn Cmn，则矩阵级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
绝对收敛的充分必要条件是正项级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
aij
0
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
即
lim
k
aij (
k
)
aij
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
故有
lim
k
A(k )
A
(aij )
现在已经证明了定理对于所设的范数成立。如果 A 是另
外一种范数，那么由范数的等价性可知
d1 A(k) A A(k) A d2 A(k) A
收敛，其中 A 为任意一种矩阵范数。
mn
证明 取矩阵范数 A(k)
a (k) ij
，那么对每一对 i,j
都有
i1 j1
因此如果
A(k )
a (k) ij
A(k ) A(1) A(2) A(k )
A1 2 A(k ) A
0
1 A1 A(k) A
例 1 若对矩阵A的某一范数 A 1 ，则 lim Ak 0
k
例 2 lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1 。 k
证明 设A的Jordan标准形 J diag(J1(1), J2(2 ), , Jr (r ))
i 1
J
i
(i
)
i
(i 1, 2, , r) 1
i di di
于是
Ak
Pdiag(
J
k 1
(1
),
J
k 2
(2
),
,
J
k r
(r
))
P
1
显然，
lim Ak 0
k
的充要条件是
lim
k
J
k i
(i
)
0, i
1,
2,
,r
又因 其中
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
c di 1 kdi 1 ki
A(k) A
定理 矩阵序列{A(k)} 收敛于A的充分必要条件是
lim A(k) A 0
k
其中 A(k) A 为任意一种矩阵范数。
证明 取矩阵范数
mn
A aij
i1 j1
必要性：设
lim
k
A(k )
A
[aij ]
那么由定义可知对每一对i, j 都有
lim
k
a (k) ij
aij
0
A(k) A A B(k) B A(k) A B A(k) A B(k) B A B(k) B A(k) A B 0
（4） PA(k)Q PAQ P(A(k) A)Q P A(k) A Q 0
（5） A1 ( A(k ) )1 A1 [ A ( A(k ) A)]1 A1 A1( A(k ) A) 1 A1( A(k) A)
1
( A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不 可逆。
解
a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k 2 k k2 2
显然每一个 A(k) (k 1, 2, ) 均可逆，但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A lim A(k) 3
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
从而有
mn
lim
k式即为
lim A(k) A 0
k
mn
充分性：设
lim
k
A(k ) A
lim k i1
j 1
a (k) ij
aij
0
那么对每一对 i, j 都有
lim
k
a (k) ij
1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn Cmn，如果mn个常数项级数
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
k 1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
A(k )
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n