Schur 引理与正规矩阵定义：设，若存在使得,()n nn nA B CR××∈或n nU U×∈()n n×或E 11()HTU AU U AU B U AU U AU B −−====或则称酉相似或正交相似于.A B ()定理任何一个酉相似A (Schur 引理)：任何个阶复矩阵于一个上(下)三角矩阵。
n证明1A A A 1k −证明：用数学归纳法。
的阶数为1 时定理显然成立。
现设的阶数为时定理成立，考虑时的情况取阶矩阵的一个特征值，对应的单位特征构造以k A 1λk 的阶数为时的情况。
向量为，构造以为第一列的阶酉矩阵，k 1α1α]112[,,,k U ααα="]"112112[,,,[,,,]k k AU A A A A A αααλααα=="因为构成的一个标准正交基，12,,,k ααα"kC令1k kU U ×⎡⎤=∈⎦那么2W ⎢⎥⎣b b λ⎡12110k H H U ⎤⎢⎥21121U U AU R ⎢⎥=⎢⎥#0⎢⎥⎣⎦[] is upper Hessenberg if 0 for 1.ij ij A a a i j ==−>H HAA A A=那么称矩阵为一个正规矩阵.A 那称矩阵为个规矩阵n nA R×∈A 设, 如果同样满足T TAA A A=HHAA A A=即,A 那么称矩阵为一个实正规矩阵.11−⎡⎤⎢⎥例: (1) 为实正规矩阵。
11⎣⎦a b cd ⎡⎤(2)b ad c ⎢⎥−−c d a b ⎢⎥−−⎢⎥d cb a ⎢⎥−−⎣⎦,,,a b c d 其中是不全为零的实数, 容易验证这是个一个实正规矩阵.43462ii i +−−⎡⎤(3)443261i i i ⎢⎥−−−−⎢⎥6226i i +−−⎢⎥⎣⎦是一个正规矩阵.(4) H-阵, 反H-阵, 正交矩阵, 酉矩阵, 对角矩阵都是正规矩阵.正规矩阵的性质与结构定理引理 1 :设是一个正规矩阵, 则与酉相似的矩阵一定是正规矩阵.A A A 引理2 :设是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, A 则必为对角矩阵.定由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理: 设, 则是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵使得n nA C ×∈A U说明可对角化的矩阵不一定可酉对角化举例说明：可对角化的矩阵不一定可酉对角化.设X , Y 是两个线性无关但是不正交的向量，比如⎡⎤⎡取P =[X Y ]=10,21⎢⎥1001D ⎤=⎢⎥−⎦，⎣⎦⎣10⎡⎤⎥10⎡⎤10⎡⎤则1A PDP −==21⎢⎣⎦01⎢⎥−⎣⎦21⎢⎥−⎣⎦⎡1041⎤=⎢⎥−⎣⎦可对角化，但不能酉对角化推论 2 :正规矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交.324⎡⎤例1 :设=202A⎢⎥⎢⎥423⎢⎥⎣⎦Q1Q−求正交矩阵为对角矩阵.使得AQ解: 先计算矩阵的特征值即为所求正交矩阵且有Q 则矩阵1−⎡11Q AQ −⎤⎢⎥=−⎢⎥8⎢⎥⎣⎦2:例 2 :设434624i i i +−−⎡⎤4326A ii i ⎢⎥=−−−−⎢⎥−−62261i i ⎢⎥+⎣⎦使得为对角矩阵Q H AQ 求酉矩阵.Q⎡9H i −⎤99Q AQ i⎢⎥=⎢⎥⎥⎢⎣⎦例3证明:(1)H ;H (1) H-矩阵的特征值为实数; H-矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的.(2)H (2) 反H-矩阵的特征值为零或纯虚数.(3) 酉矩阵的特征值模长为1.A 是正规矩阵A 定理:设, 则(1)H 的特征值为实数A (1) 是H-阵的充要条件是.(2) 是反H-阵的充要条件是的特征值的实部为零.A A (3)是U-阵的充要条件是的特征值的模长为1 .A A 注意:正规矩阵绝不仅此三类. 比如：(1)(1)A 是酉矩阵，2A 也是正规矩阵；(2)B 是反H-阵，也是正规矩阵.2,I B B B ++例4: 设是一个反H-阵, 证明:A U 1()()W A I A I −=+−是U-阵.A 证明: 因为是反H-阵，特征值为零或纯虚数, 所以()()A I A I +−可与都是逆矩阵。
10(),i A λ±≠从而U-11H H HA I A I A I A I −−=+−−+根据U 阵的定义()()[()]()W W H-, 这样A HA I A I +=−+11[()]()H A I A I −−−=−+是反阵,样()11H H H−−−−11()()[()]()HW W A I A I A I A I A I A I A I A I −−=++=−+−++1()()()()()[()()]()A I A I A I A I −=−++−−+1()[()()]()A I A I A I A I −=−+−+−+11()()()()A I A I A I A I −−=++−−I=这说明为酉矩阵.W:是一个H-,n k 例5: 设是个阶H 阵且存在自然数使得, A 0,kA =0.A =证明A 证明: 由于是H-矩阵, 所以存在一个酉矩阵⎡n nU U ×∈使得1λ⎤⎢⎥2,H i A U U R λλ⎢⎥=∈⎢⎥%n λ⎢⎥⎣⎦于是可得1kλ⎡⎤20kk H A UU λ⎢⎥⎢⎥==%k ⎢⎥⎢⎥n λ⎢⎥⎣⎦0,ki i Rλλ=∈从而0,1,2,i nλ=="0.A =即,,,,i正规矩阵同时酉对角化问题例都是正规矩阵那么设都是正规矩阵，那么同时酉对角化的充要条件是。
AB BA =,A B ,A BHermite 二次型(Hermite 二次齐次多项式)Hermite 矩阵的基本性质n nH×引理:设则(1)H HHH,,A CA A ∈=(1) 都是H-阵.,,A A AA A A +(2)H HA A −(2) 是反H-阵.(3)如果是H-阵, 那么也是H-阵, 为任意A kA k 正整数.(4)如果是可逆的H-阵, 那么也是可逆的H-A 1A −H阵.(5)如果是H-阵(反H-阵), 那么是反H-矩阵(H )A iA (H-阵), 这里为虚数单位.i(6)H-,H-,A kA lB +(6) 如果都是H 阵, 那么也是H 阵, 这里均为实数.,B ,k l (7) 如果都是H-阵, 那么也是H-阵,A B ,AB BA 的充分必要条件是.AB BA =定理:(1) 设, 则是H-阵的充分必要条件是对于任意的是实数。
n nA C ×∈A HX AX ,n X C ∈条件对任实数(2)是H-阵的充分必要条件是对于任意的阶方阵为H-阵.A n ,HB B AB H-阵的结构定理定理:设, 则是H-阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵n nA C ×∈A n n×是存在个酉矩阵使得U U ∈⎡λ12H AU λλ⎤⎢⎥⎢⎥=12,,,n R λλ∈"阵酉相似于,U λ⎢⎥⎢⎥⎦%H-实对角矩阵n ⎣推论:实对称阵正交相似于实对角矩阵.例:设为一个幂等H-阵, 则存在酉矩阵A n n×U U∈使得0r HI AU ⎡⎤00U =⎢⎥⎣⎦证明:为一个H-阵, 所以存在酉矩阵A n nW U ×∈使得λ⎡⎤12HW AW λ⎢⎥⎢⎥=λ⎢⎥⎢⎥%n ⎣⎦A 为一个幂等H-阵,λ=1λ=或将1 放在一起, 0 放在一起, 那么可找到一个酉矩,i i 放起,放起,那找到个矩阵使得n nU U ×∈0⎡,00r H I U AU ⎤=⎢⎥为矩阵的秩.A r ⎣⎦为一个A n 推论：设为个阶矩阵，则2H A A A==的充分必要条件是存在一个型次酉矩阵n r ×n r×使得1rU U ∈11HA U U =其中。
rank()r A =0r HI AU ⎡⎤=r HI ⎡⎤=⎡00U ⎢⎥⎣⎦00rA U I U⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦H1U 1U在书上的证明中的列向量组的个,我们是任取A 的列向量组的一个极大无关组，经过Schmidt 方法得出r 个两两正交的单位向量以这个向量为列构成个的单位向量，以这r 个向量为列构成一个次酉矩阵而这里是的标准正交基,两者之间1.n rr U U ×∈1U 1V λ=()()N I A R A −=有何关系？提示:,可得2H A A A ==1V λ==。
