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例 2 求下面齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 x1 2 x2 3x3 4 x4 0 2 x1 3x2 4 x3 5 x4 0
;向量组 i 为标准正交向量组的充分必要条 件是
1 i j (i , j ) ij { 0 i j
定理：正交的向量组是一个线性无关的向量 组。反之，由一个线性无关的向量组出发可 以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正 交向量组。 Schmidt正交化与单位化过程: 设 1 , 2 , , r 为 n 维内积空间 V 中 的 r 个线性无关的向量，利用这 r 个向量完 全可以构造一个标准正交向量组。
3
2 1 2 2 2 1 1 [ , , ], 2 [ , , ] 3 3 3 3 3 3 1 2 2 3 [ , , ] 3 3 3
与向量组
1 [ cos ,0, i sin ], 2 [0,1,0] 3 [i sin ,0, cos ]
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( ki i , ) ki ( i , )
i 1 i 1 t t t
(4) ( , ki i ) ki ( , i )
b
a
f ( x ) g ( x )d ( x )
b
2
a
f ( x) d ( x)
b
2
a
g ( x) d ( x)
定义：设 V 为欧氏空间，两个非零向量 , 的夹角定义为
, : arccos
于是有
( , )
0 ,
定理：
2
,
2
( , ) 0
( f , g ) : f ( x) g ( x)dx
a
b
, ) 是 C[a, b] 上的一个内 容易验证 ( 积，于是 C[a, b] 便成为一个酉空间。
例 3 在
n
2
维线性空间
C
n n
H
中，规定
( A, B) : Tr( AB ) H 其中 B 表示 B 中所有元素取共轭复数后再 ( , ) 是 C nn 上的一 转置，容易验证 n n 个内积，从而 C 连同这个内积一起成为
再单位化
1 1 1 1 , ,0,0 1 2 2 2 1 1 2 2 , , ,0 2 6 6 6 3 1 1 1 3 3 , , , 3 2 3 2 3 2 3 2 3
那么
1,2 ,3 即为所求的标准正交向量组。
H
例
判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。
2 i 4 2i 4i 2 i (1) i 1 2i 4 2i 1 1 2i 3i 6 1 2i (2) 9 1 i 1 i 7 3i
1 i 8i 0 1 i (3) 0 4i 4 i 0 8i 1 3i 2i 3 1 3i (4) 4 1 5i 5 2i 1 5i
gij gij , (G ) G
定义：设 A C ，用 A 表示以 A 的元素 的共轭复数为元素组成的矩阵，记
nn
A ( A)
H
T
则称 A 为 A 的复共轭转置矩阵。不难验证 复共轭转置矩阵满足下列性质：
H
(1)
A (A )
H T H H H H H H
(2) ( A B ) A B (3) ( kA) ( , )
i j i j
令
gij (i , j ), i, j 1, 2,, n
g11 g 21 G gn1
g12 g1n g22 g2 n gn 2 gnn
T
称 G 为基底 i 的度量矩阵，而且
n m
n m
( f , g ) : f ( x) g ( x)dx
a
b
容易验证 ( f , g ) 是 C[a, b] 上的一个内积， 这样 C[a, b] 对于这个内积成为一个欧氏空间。 定义： 设 是复数域 上的 维线性空间， n 按照某一确定 V 对于 中的任意两个向量 C V 法则对应着一个复数，这个复数称为 与 , 的内积，记为 ，并且要求内积满足下 列运算条件： ( , )
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意实数 ，只有当 0 时 ( , ) 0 ，我们称带有 这样内积的 n 维线性空间 V 为欧氏空间。
例 1 在 R n 中，对于
( x1 , x2 ,, xn ), ( y1, y2 ,, yn )
规定
( , )1 x1 y1 x2 y2 xn yn ( , )1 是 R n上的一个内积，从 容易验证 n 而 R 成为一个欧氏空间。如果规定
H
(4) ( AB ) B A
H
(5) ( A ) ( A )
k H
H k
(6) ( A ) A (7) A A
H 1 1 H
H H
(8) ( A ) ( A )
nn
定义：设 A C ,如果 A A ，那么称 H A 为Hermite矩阵；如果 A A ，那么 称 A 为反Hermite矩阵。
1 1 1,1,0,0
2 , 1 1 , 1 ,1,0 2 2 1 2 2 1 , 1 3 , 1 3 , 2 1 , 1 , 1 ,1 3 3 1 2 3 3 3 1 , 1 2 , 2
（5） （6） （7） （8）
实对称矩阵 反实对称矩阵 欧氏空间的度量矩阵 酉空间的度量矩阵
内积空间的度量 定义：设 V 为酉（欧氏）空间，向量 V 的长度定义为非负实数
( , )
例 在 C 中求下列向量的长度
4
(1) (1 2i, i,3, 2 2i ) (2)
第二步
单位化
1 2 r 1 ,2 ,,r 1 2 r
显然 1 ,2 ,,r 是一个标准的正交向量组。 例 1 运用正交化与单位化过程将向量组
1 1,1,0,0 ,2 1,0,1,0, 3 1,0,0,1
化为标准正交向量组。 解：先正交化
都是标准正交向量组。
定义：在 n 维内积空间中，由 n 个正交向 量组成的基底称为正交基底；由 n 个标准的 正交向量组成的基底称为标准正交基底。
注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题 中可以发现这一问题。 定理：向量组 i 为正交向量组的充分必要 条件是
(i , j ) 0, i j
定理：向量长度具有如下性质
(1)
(2) (3)
0
当且仅当
k k , k C
(4)
( , )
例 1： 在线性空间
H
M nn (C ) 中，证明
H H
Tr ( AB ) Tr ( AA ) Tr ( BB )
例 2 设 C[a, b] 表示闭区间 [a, b]上的所有 连续复值函数组成的线性空间，证明：对于 任意的 f ( x ), g ( x ) C[a, b] ，我们有
( , )2 x1 y1 2 x2 y2 nxn yn
( , )2 也是 R n 上的一个内积 容易验证 n ，这样 R 又成为另外一个欧氏空间。
例 2 在 维线性空间 R nm 中，规定 nm
( A, B) : Tr ( AB )
T
容易验证这是 R 上的一个内积，这样 R 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例 3 在线性空间 C[a, b] 中，规定
i 1 i 1
t
定义：设 V 是 n 维酉空间， i 为其一组 基底，对于 V 中的任意两个向量
xii , y j j
那么 与 的内积
i 1 j 1 n n n
n
n
( , ) ( xii , yii )
i 1 j 1
矩阵分析
• 主讲教师：魏丰
第三章
内积空间，正规矩阵与H-阵
定义： 设 V 是实数域 R 上的 n 维线性空间， 按照某一确 , V 对于 中的任意两个向量 定法则对应着一个实数，这个实数称为 与 (，并且要求内积满足 , ) 的内积，记为 下列运算条件：
(1) ( , ) ( , ) (2) ( k , ) k ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0
(1, 2,3, 4)
解： 根据上面的公式可知
5 1 9 6 21 1 4 9 16 30
一般地，我们有: 对于 C 中的任意向量
n
(a1 , a2 ,, an )
其长度为
这里
a
i 1
n
2 i
ai
表示复数
ai 的模。
0 时， 0
例 1 设C 是
n
n 维复向量空间，任取
(a1, a2 ,, an ), (b1, b2 ,, bn )
规定
( , ) : ( ) a1b1 a2b2 anbn
T
, ) 是 C n上的一个内积，从 容易验证 ( n 而C 成为一个酉空间。
例 2 设 C[a, b] 表示闭区间 [a, b] 上的所有 连续复值函数组成的线性空间，定义
