中心对称及中心对称图形专题讲义
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中心对称及中心对称图形专题讲义
一、基本概念：
1.图形的旋转：
⑴.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形变换称为图形的旋转。
这个定点称为旋转中心。
旋转的角度称为旋转角。 如果图形上的点P经过旋转变为P＇，那么这两点叫做这个旋转的对应点。
2.性质：
由实验还可得出如下结论：
①.旋转前、后的图形全等。
②.对应点到旋转中心的距离相等。
③.每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
例1.已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形。
3. 中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
关于中心对称的两个图形是全等形。
4.中心对称的性质:
有一个对称中心点；成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；中心对称的两个图形具有（一般地）旋转的一切性质。
5.中心对称图形：
平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。
6.中心对称图形：
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
7.中心对称与中心对称图形之间的关系：
区别：
（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。 （2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。
联系：
若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形。
8.轴对称图形与中心对称图形：
轴对称图形 中心对称图形
有一条对称轴 直线 有一个对称中心 点
沿对称轴对折 绕对称中心旋转180°
对折后与原图形重合 旋转180°后与原图形重合
9.轴对称与中心对称：
轴对称 中心对称
有一条对称轴 直线 有一个对称中心 点
图形沿对称轴对折（翻转180°）后重合 图形绕对称中心旋转180°后重合
对称点的连线被对称轴垂直平分 对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分
【中心对称和中心对称图形基础练习】
1．判断题
（1）三角形一定不是中心对称图形 （ ）
（2）中心对称图形的对称中心是唯一的 （ ）
（3）如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定是平行四边形 （ ）
（4）一个四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形，则这个四边形一定是矩形（ ）
（5）如果关于中心对称的两个图形只有一个交点，那么这个点一定是对称中心 （ ）
2．选择题
（1）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A．角 B．等边三角形 C．线段 D．平行四边形
（2）下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（3）已知下列命题：
①关于中心对称的两个图形一定不全等
②关于中心对称的两个图形是全等形
③两个全等的图形一定关于中心对称
其中真命题的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）． A．菱形 B．矩形 C．五角星 D．线段
（5）下列图形中，一定是轴对称图形，且一定不是中心对称图形的是（ ）．
A．角 B．射线 C．三角形 D．矩形
3．如图4-81，矩形ABCD是一块木板，请画图找出它的对称中心O．
4．已知：四边形ABCD关于O点成中心对称，求证：四边形ABCD是平行四边形．
5．按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆，并且这个图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【针对性训练】
1.下列图形中不是轴对称图形而是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形
2．等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形种数是…………………………………………（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列图形中，是轴对称图形且不是中心对称图形的是………………( )
A、圆 B、正方形 C、等腰梯形 D、菱形
4．下列图形中，不是轴对称图形，但是中心对称图形的是…………………………（ ）
A.等边三角形 B．菱形 C．长方形 D．平行四边形
5．如图（A）（B）（C）（D），将三角形绕直线l旋转一周，可以得到图（E）所示的立体图形的是………………………………（ ）
A．图（A） B．图（B） C．图（C） D．图（D）
图4-81
6．在等腰△ABC中，∠C=90°，BC=20㎝，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在B′处，那么点B′与点B原来位置相距____________．
7．如图，以左边图案的中心为旋转中心，将图案
按 方向旋转 即可得到左边图案。
8．如图，绕着中心最小旋转 能与自身重合。
9．△ABC和△DCE是等边三角形，则在此图中，
△ACE绕着 点 旋转 度可得到△ 。
10. 如图，△ABC按逆时针方向转动了80°后成为△ABC，
已知∠B＝60°∠C＝55°，那么∠BAC＝________°
11．如果一个正多边形绕它中心旋转60°后，能与原来
的图形重合，那么这个多边形是______________
12．如图，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为4，
点O是正方形ABCD的对称中心，则图中阴影部分
的面积为 ．
13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DF=CF，连结AF并延长交BC延长线于点E.
（1）图中哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？
（2）四边形ABCD的面积与图中哪个三角形的面积相等？
（3）若AB=AD＋BC，∠B=70°，试求∠DAF的度数.
第7题 第8题
A
C D
E B
第9题
第10题 【综合测试】
一、选择题
1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则△P1OP2是 （ ）
A．含30°角的直角三角形； B．顶角是30的等腰三角形；
C．等边三角形 D．等腰直角三角形.
4．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则
∠APE的度数是 （ ）
A．45° B．55°
C．60° D．75°
5. 等腰梯形两底长为4cm和10cm，面积为21cm2，则 这个梯形较小
的底角是（ ）度.
A．45° B．30° C．60° D．90°
6．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则 （ ）
A．PA+PB＞QA+QB B．PA+PB＜QA+QB
D．PA+PB＝QA+QB D．不能确定
7．已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，且BC与B1C1交与直线MN上一点O，
则 （ ）
A．点O是BC的中点 B．点O是B1C1的中点
C．线段OA与OA1关于直线MN对称
D．以上都不对
8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，
PD⊥OA，若PC=4，则PD= （ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
9．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离
为5，Q是OB上任一点，则 （ ）
A．PQ＞5 B．PQ≥5
C．PQ＜5 D．PQ≤5
10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为 （ ）
A．3cm或5cm B．3cm或7cm C．3cm D．5cm
二．填空题
11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴．
12．等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距B
A D P
O C P A
E
C B
D 离是__________．
14．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于___________．
15．如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，AD=5，BC=8，且AB∥DE，则△DEC的周长是____________．
16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为
60°，则它的两底长分别为____________．
17．若D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD，
则∠BAC=____________．
18．△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________．
三．解答题
19．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．
20．如图：AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD．
21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60°，求折痕EF的长．
B E C D A
A
C
·
·D
O B
A
C D B
