中考数学复习考点知识专题讲义第27讲 图形的平移、旋转及对称

初中数学知识归纳平移旋转和对称的基本概念初中数学知识归纳：平移、旋转和对称的基本概念数学作为一门基础学科，是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要工具。

在初中阶段，数学的教学内容涵盖了广泛的概念和技巧，其中平移、旋转和对称是数学中的重要概念。

本文将围绕这三个概念展开讨论，介绍它们的基本概念以及在数学中的应用。

1. 平移：平移是指在平面上把一个图形沿着规定的方向进行“平行移动”，保持图形的形状和大小不变。

平移可以由向量来描述，其中向量的大小和方向决定了平移的幅度和方向。

平移的基本概念包括起点、终点、向量以及平移矢量。

在数学中，平移有着广泛的应用。

它可以用于解决几何问题，比如寻找两个图形之间的关系以及判断两个图形是否相似。

平移还可以应用于向量的运算和矩阵的变换，这些概念在高中数学和物理学中有着重要的地位。

2. 旋转：旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度进行旋转。

旋转可以通过给定旋转中心和旋转角度来确定。

旋转的基本概念包括旋转中心、旋转角度、顺时针旋转和逆时针旋转等。

旋转在数学中是一个重要的几何概念，在解决旋转对称性问题和图形变换中起着关键作用。

旋转可以通过向量运算和矩阵变换来实现，并且在建模和计算机图形学中有着广泛的应用。

3. 对称：对称是指一个图形在某种变换下保持不变或变成自身，这种变换被称为对称变换。

常见的对称变换包括中心对称和轴对称。

中心对称是指图形围绕一个中心点进行对称，而轴对称是指图形围绕一个轴线进行对称。

对称在数学中是一个重要的概念，它可以用于解决关于对称性的问题以及判断两个图形是否相等。

对称也可以应用于线性代数和几何代数中，并在图像处理和密码学中有着广泛的应用。

总结：初中数学中的平移、旋转和对称是三个基本的几何概念，它们在解决几何问题和图形变换中起着重要作用。

通过了解和掌握这些基本概念，学生可以培养几何思维和观察问题的能力，并将其应用于更高级的数学学科中。

通过本文的介绍，我们了解了平移、旋转和对称在数学中的基本概念和应用，而且对它们的关系和联系也有了更深的认识。

二、图形的平移、旋转与轴对称1.图形的平移●平移的定义：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定距离的图形运动。

●平移两要素：平移的方向、平移的距离●平移前的图形：画虚线；箭头：表示平移的方向；平移后的图形：画实线。

●注意：平移几格不是原图形与平移后图形之间的格数，而是指图形的对应点之间的格数。

●关键点：一般是图形的各顶点或线段的交点。

●注意：平移前后，图形的大小、形状、方向都不变，只是位置变了。

●画平移后图形的方法：①找关键点②定平移方向、距离③找对应点④依次连线。

2.图形的旋转●旋转的定义：旋转是指在平面内，将某个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度的图形运动。

这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。

●旋转三要素①旋转中心：点/轴②旋转方向：顺时针方向/逆时针方向③旋转角度●怎样描述图形的旋转：将某图形绕某点沿某时针方向旋转某度到某位置。

●画旋转后图形的方法：①找旋转中心②找准关键线段③旋转关键线段④画出旋转后的图形●旋转中心：一般是两个图形的公共点●关键线段：过旋转中心的线段。

为了保证旋转角度，一般选与方格纸重合的线段作为关键线段。

●注意：旋转前后，图形的大小、形状都不发生改变，但位置和方向一般会发生变化。

3.轴对称图形●定义：轴对称图形沿一条直线对折后，两部分能完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴（对称轴画虚线，画超出图形）。

●轴对称图形至少有一条对称轴。

●轴对称图形中每一组对称点到对称轴的距离相等。

●轴对称图形中对称点的连线与对称轴互相垂直。

●轴对称图形和对称轴的数量：①正方形（4条对称轴）②长方形（2条对称轴）③等腰三角形（1条对称轴）④等边三角形也叫正三角形（3条对称轴）⑤菱形（2条对称轴）⑥圆形（无数条对称轴）⑦等腰梯形（1条对称轴）⑧五角星（5条对称轴）⑨正五边形（5条对称轴）●生活中的轴对称图形或轴对称现象：京剧脸谱、剪纸、国徽、天坛、北京故宫、凯旋门、蝴蝶、空调、人的五官和身体等●画对称轴的方法：①找一组对应点②画对应点间线段的中垂线③画虚线●画轴对称图形另一半的方法：①找关键点②定对称点③依次连线（一般画虚线）4.设计图案●利用平移设计图案的方法：①选好基本图形②确定平移的方向③确定平移的距离④进行多次平移●利用旋转设计图案的方法：①选和基本图形②确定旋转方向和角度③确定旋转中心④依次画出每次旋转后的图形●利用轴对称设计图案的方法：①选好基本图形②确定对称轴③画出基本图形的另一半5.探索规律●观察图形变化时，先确定变化方式（平移、旋转或轴对称），再确定位置变化的规律。

初中数学知识归纳旋转平移与对称的性质初中数学知识归纳—旋转、平移与对称的性质学习数学是培养学生逻辑思维和解决问题的能力的重要途径之一。

在初中数学中，旋转、平移和对称是三个基本的几何变换，它们具有广泛的应用价值。

本文将对旋转、平移和对称的性质进行归纳总结，以帮助初中生更好地理解和运用这些知识。

一、旋转的性质旋转是指物体绕着某个轴心或点旋转一定角度后，其位置和形状发生改变。

旋转变换可以分为顺时针和逆时针两种方式。

下面我们来总结旋转的一些性质：1. 旋转不改变物体的大小和形状，只改变其位置和方向。

2. 旋转有叠加效应，即多次旋转等价于一次旋转，旋转次数的奇偶性决定了旋转后物体是否“回到原位”。

3. 绕一个中心点旋转180°，相当于进行一次对称变换。

4. 绕一个中心点旋转360°，相当于保持不变。

5. 旋转操作可以用角度、弧度制或单位圆来描述。

二、平移的性质平移是指物体在平面上沿着某个方向保持形状和大小不变地移动一定的距离。

平移变换的重要性在于可以帮助我们描述物体在坐标平面上的位置变化。

以下是平移的一些性质：1. 平移保持物体的大小、形状和方向不变，只改变其位置。

2. 不同的平移方式可以组合，得到新的平移操作。

3. 平移操作可以使用向量来表示，向量的模表示平移的距离，方向表示平移的方向。

4. 在平面上，任何平行线上的两个点经过平移后，仍然保持平行。

5. 平移的逆操作是将物体向相反的方向移动相同的距离。

三、对称的性质对称是指物体按照某条直线或某个点的位置关系呈现镜像对称。

对称变换在初中数学中被广泛应用于图形的构造和性质的证明。

以下是对称的一些性质：1. 镜面对称：物体按照一条直线呈现镜像对称，此直线称为对称轴。

对称轴把物体分成两个部分，其中一个部分关于对称轴对称复制得到另一个部分。

2. 点对称：物体按照一个点呈现镜像对称，此点称为对称中心。

对称中心把物体分成两个部分，其中一个部分关于对称中心对称复制得到另一个部分。

初中数学知识归纳平移旋转与对称变换的特点初中数学知识归纳：平移、旋转与对称变换的特点在初中数学学习中，平移、旋转和对称变换是常见的几何变换形式。

它们在几何图形的变换和性质研究中起着重要的作用。

本文将对平移、旋转和对称变换的特点进行归纳总结。

一、平移的特点平移是指在平面上将一个图形沿着固定的方向和距离移动，使得图形的每一个点都按照相同的方式进行移动。

平移的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：平移只改变图形的位置，而不改变它的大小和形状。

2. 保持图形的内外角度不变：平移前后的图形内外角度是相等的。

3. 保持图形的对称性质：如果一个图形在平移前是对称的，那么它在平移后仍然是对称的。

二、旋转的特点旋转是指将一个图形绕着某一点旋转一定角度，使得图形相对于旋转中心发生变换。

旋转的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：旋转只改变图形的位置和方向，而不改变它的大小和形状。

2. 保持图形的对称性质：如果一个图形在旋转前是对称的，那么它在旋转后仍然是对称的。

3. 保持图形的内外角度不变：旋转前后的图形内外角度是相等的。

三、对称变换的特点对称变换是指将一个图形通过镜像等方式进行改变，使得图形的形状相对于某一条直线、某一点或某个轴对称。

对称变换的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：对称变换只改变图形的位置和方向，而不改变它的大小和形状。

2. 保持图形的内外角度不变：对称变换前后的图形内外角度是相等的。

3. 保持图形的对称性质：对称变换前后的图形仍然是对称的，对称轴或对称中心位置可能发生改变。

综上所述，平移、旋转和对称变换是初中数学中常见的几何变换形式。

它们在图形位置、形状和对称性质的研究中具有重要的作用。

通过对它们的特点进行归纳总结，我们可以更好地理解和应用这些数学概念。

当然，除了这几种几何变换外，还有其他形式的变换，如放缩变换、剪切变换等，它们在实际问题中也有广泛的应用。

通过学习和掌握这些变换的特点，我们可以更好地理解和分析几何图形的性质，并应用于解决实际问题。

第27讲图形的平移与旋转1．图形的平移(1)定义：在平面内，将某一图形沿着某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移；平移不改变图形的大小和形状．(2)平移的要素：平移方向、平移距离．(2)性质：①平移后的图形与原来的图形全等；②对应线段平行且相等，对应角相等；③对应点所连的线段平行且相等．2．图形的旋转(1)定义：把一个图形绕着某一个点O转动一定角度的图形变换叫做旋转，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点；(2)要素：确定一个旋转运动的条件是要确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；(3)性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.考点1：关于平移问题【例题1】在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是() A．向下移动1格 B．向上移动1格C．向上移动2格 D．向下移动2格解析：结合图形按平移的定义判断．【同步练】在由相同的小正方形组成的3×4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，则还需要涂黑的小正方形序号是(D)A．①或②B．③或④C．⑤或⑥D．①或⑨【解析】：根据题意可涂黑①和⑨，涂黑①时，可将左上和左下两个黑色正方形向右平移1个单位即可得；涂黑⑨时，可将左上和左下两个黑色正方形向右平移2个单位、再向下平移1个单位可得；故选：D．归纳：1．平移前后图形的形状、大小都不变，平移得到的对应线段与原线段平行且相等，对应角相等．2．判断时选择某一特殊点，验证其平移情况即可．考点2：关于旋转问题【例题2】(2016·娄底改编)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转角为α旋转到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别相交于点E、F.(1)试判断A1D和CF的数量关系；(2)当∠C＝α时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AB＝BC，∠A＝∠C，由旋转的性质得到A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，根据全等三角形的判定及性质即可求解；(2)由旋转的性质得到∠A1＝∠A，根据平角的定义得到∠DEC ＝180°－α，在四边形A 1BCE 中，根据四边形的内角和得到∠A 1BC ＝360°－∠A 1－∠C －∠A 1EC ＝180°－α，进而证得四边形A 1BCE 是平行四边形，由A 1B ＝BC 即邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．【解析】：(1)∵△ABC 是等腰三角形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C，∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转α度到△A 1BC 1的位置，∴A 1B ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠A 1＝∠C，∠A 1BD ＝∠CBC 1，在△BCF 与△BA 1D 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A 1＝∠C，A 1B ＝BC ∠A 1BD ＝∠CBF ，∴△BCF ≌△BA 1D(ASA )，∴A 1D ＝CF ；(2)四边形A 1BCE 是菱形，∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转到△A 1BC 1的位置， ∴∠A 1＝∠A，∵∠ADE ＝∠A 1DB ，∴∠AED ＝∠A 1BD ＝α，∴∠DEC ＝180°－α，∵∠C ＝α，∴∠A 1＝α，在四边形A 1BCE 中，∠A 1BC ＝360°－∠A 1－∠C－∠A 1EC ＝180°－α， ∴∠A 1＝∠C，∠A 1BC ＝∠A 1EC ， ∴四边形A 1BCE 是平行四边形， ∴A 1B ＝BC ，∴四边形A 1BCE 是菱形归纳：图形的旋转为背景的探究问题，常涉及的设问有：探究两条线段的数量关系、特殊四边形形状的判定，解决此类问题，需掌握如下方法：1．探究两条线段的数量关系一般指的是两条线段的倍数关系，常考虑利用特殊三角形、全等三角形、特殊四边形的性质或根据题中对应角的关系得到相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例进行求解．2．探究特殊四边形的形状，通常先判定该四边形是否是平行四边形，再结合旋转的性质，根据其边或角的之间的等量关系进一步判定其为哪种特殊的平行四边形． 考点3：关于旋转的综合探究问题【例题3】（2018·湖北江汉·10分）问题：如图①，在Rt△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 BC=DC+EC ； 探索：如图②，在Rt△ABC 与Rt△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD 的长．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，故答案为：BC=DC+EC；（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，∴∠ED C=90°，∴DE==6，∵∠DAE=90°，∴AD=AE=DE=6．一、选择题：1. （2017山东泰安）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A 对应，则角α的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】C【解答】解：如图：显然，旋转角为90°，故选C．2. （2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B的对应点的坐标为（）A．（5，3）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，﹣1）D．（0，﹣1）【答案】C【解答】解：∵A（1，3）的对应点的坐标为（﹣2，1），∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减2，∵点B（2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣1）．故选：C．3. （2018·广西贺州·3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是．A．60° B．65° C．70° D．80°【答案】B【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴BC=B′C，∴△BCB′是等腰直角三角形，∴∠CBB′=45°，∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°．故答案为：65°．4. （2018·辽宁大连·3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α【答案】C【解析】解：由题意可得：∠CBD=α，∠ACB=∠EDB．∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°．∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α．故选C．5. 如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【答案】D【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D二、填空题：6. (2019•湖南常德•3分)如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠A BD的度数是．【答案】22.5°．【解答】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，∴∠ABD＝22.5°．故答案为22.5°．7. （2019湖北宜昌3分）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B ＝30°，OA ＝2，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B'的坐标是 .【答案】，3），【解答】解：如图，作B′H⊥y 轴于H ．由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴AH′＝A′B′＝1， ∴OH＝3，3），8. (2019，山西，3分）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm ，点D 为△ABC 内一点，∠BAD=15°，AD=6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为 cm.【答案】6210-【解析】过点A 作AG⊥DE 于点G ，由旋转可知：AD=AE ，∠DAE=90°，∠CAE=∠BAD=15° ∴∠AED=45°；在△AEF 中：∠AFD=∠AED+∠CAE=60° 在Rt△ADG 中：AG=DG=232=AD在Rt△AFG 中：2GF AF FG ====∴10CF AC AF =-=- 故答案为：6210-三、解答题：9. 如图所示，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ，将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′.(1)判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形，并说明理由；(2)由△BCG 经过怎样的变换可得到△DAE′？请说出具体的变换过程．解：(1)四边形E′BGD 是平行四边形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∵将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE ＝AE′， ∵CE ＝CG ，∴AE ′＝CG ，∴BE ′＝DG ， ∴四边形E′BGD 是平行四边形；(2)∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠BCD ＝90°.∵∠BCD ＋∠DCE＝180°，∴∠BCD ＝∠DCE＝90°.在△BCG 和△DCE，⎩⎪⎨⎪⎧∠BCG＝∠DCE BC ＝DC ∠CBG＝∠CD E ，∴△BCG ≌△DCE(ASA )；∴由△BCG 绕点C 顺时针旋转90°可得到△DCE，再绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′10. （2018·浙江宁波·10分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 边上一点（点D 与A ，B 不重合），连结CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连接BE ．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【考点】旋转的性质、全等三角形的判定与性质【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠D CB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=67.5°11. （2018·浙江临安·3分）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．不能确定【考点】梯形的性质和旋转的性质【分析】如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明△DCG与△DEF全等，再根据全等三角形对应边相等可得EF的长，即△ADE的高，然后得出三角形的面积．【解答】解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD，又∵∠CDF+∠CDG=90°，∴∠CDG=∠EDF，在△DCG与△DEF中，，∴△DCG≌△DEF（AAS），∴EF=CG，∵AD=2，BC=3，∴CG=BC﹣AD=3﹣2=1，∴EF=1，∴△ADE的面积是：×AD×EF=×2×1=1．故选：A．12. (2019•江苏苏州•8分)如图，ABC=，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使△中，点E在BC边上，AE AB得CAF BAE∠=∠，连接EF，EF与AC交于点G（1）求证：EF BC=；（2）若65∠=︒，求FGC∠的度数.ACB∠=︒，28ABC（1）CAF BAE∠=∠∴∠=∠BAC EAFAE AB AC AF==又，()BAC EAF SAS∴△≌△EF BC∴=（2）65AB AE ABC=∠=︒，18065250BAE∴∠=︒-︒⨯=︒50FAG∴∠=︒BAC EAF又△≌△28F C∴∠=∠=︒502878FGC∴∠=︒+︒=︒13. （2019•湖北十堰•10分）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．（1）填空：∠CDE＝2（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若α＝90°，AC＝，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝α，即可求解；（2）由旋转的性质可得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可证△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝EF，即可求解；（3）分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α∴CD＝CE∴∠CDE＝1802α-故答案为：1802α-（2）AE＝理由如下：如图，∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE∴DF＝EF∵AE＝AD+DF+EF∴AE＝CF（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10∵∠ACB＝90°＝∠AGB∴点C，点G，点B，点A四点共圆∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG∴∠AGC＝∠ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°∴AG＝8∵AC2＝AE2+CE2，∴（）2＝（8﹣CE）2+CE2，∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，同理可得：CF＝7∴点C到AG的距离为1或7．。

复习初中数学平移旋转与对称的应用初中数学是中学阶段的重要学科之一，其中平移、旋转和对称是数学中常见的几何变换。

本文将重点介绍平移、旋转和对称在初中数学中的应用及其相关概念和性质。

一、平移的应用平移是指在平面上将图形沿着指定的方向和距离移动，保持图形的大小和形状不变。

在初中数学中，平移常常用于解决与位置、方向和相对位置有关的问题。

1.1 平移的基本概念平移可以用向量来表示，即将图形中的每个点沿着指定的方向和距离平移。

平移时，图形上的每个点的新坐标都可以由原来的坐标加上一个向量得到，表达式为：新坐标 = 原坐标 + 平移向量1.2 平移的性质平移具有以下性质：性质1：平移不改变图形的大小和形状。

性质2：平移不改变图形的内部角度大小。

性质3：平移保持图形之间的相对位置关系不变。

性质4：平移保持图形之间的距离和角度不变。

1.3 平移的应用示例以某学校为例，学校附近有一个公园和一个商场，分别位于学校东侧2公里和西侧3公里处。

现需要建设一个新的足球场，使之距离公园和商场的距离相等。

为了解决这个问题，可以使用平移的概念。

首先，我们可以以学校为原点建立坐标系，假设公园的位置为坐标点A（2，0），商场的位置为坐标点B（-3，0）。

为了使新建的足球场与公园和商场距离相等，我们可以将整个坐标系沿着x轴正方向平移1.5个单位。

经过平移后，新建足球场的位置为坐标点C（1.5，0）。

可见，新建的足球场与公园和商场的距离相等，解决了题目中的要求。

二、旋转的应用旋转是指图形按照一定的角度和中心点进行旋转操作。

在初中数学中，旋转常常用于解决与方向、相似图形和坐标轴有关的问题。

2.1 旋转的基本概念旋转可以用旋转中心、旋转角度和旋转方向来描述。

旋转中心是图形固定的点，旋转角度是以旋转中心为中心旋转的角度，旋转方向是顺时针或逆时针。

2.2 旋转的性质旋转具有以下性质：性质1：旋转不改变图形的大小和形状。

性质2：旋转保持图形的对称性。

初中数学知识归纳平移旋转对称平移、旋转和对称是初中数学中常见的几何变换，它们在解决几何问题和实际应用中起着重要的作用。

本文将对平移、旋转和对称进行归纳总结。

1. 平移：平移是指将图形沿着直线方向上的某个距离移动。

在平移过程中，图形的形状和大小保持不变，只是位置发生变化。

平移可以表示为向量形式，其中平移向量表示了图形沿着横坐标和纵坐标方向上的移动距离。

平移的性质：（1）平移不改变图形的大小和形状。

（2）平移保持图形的所有内角大小和相对位置不变。

（3）平移是可逆的，即可以通过相反方向的平移将图形还原到原来的位置。

2. 旋转：旋转是指将图形绕一个点或一个轴进行转动，旋转的中心点称为旋转中心。

旋转可以是顺时针或逆时针方向，旋转的角度可以为正数或负数。

旋转的性质：（1）旋转不改变图形的大小。

（2）旋转保持图形的所有内角大小和相对位置不变。

（3）旋转是可逆的，即可以通过逆向旋转将图形还原到原来的位置。

3. 对称：对称是指图形相对于某个轴、点或中心呈现镜像关系。

对称分为对称轴对称和中心对称两种类型。

对称的性质：（1）轴对称：图形相对于对称轴对称，对称轴上的任意一点与其相对称点距离对称轴的距离相等。

（2）中心对称：图形相对于中心对称，中心对称点是图形的中心，对称图形的任意一点与其相对称点之间的距离相等。

4. 平移、旋转和对称的应用：（1）平移：平移常用于几何问题的解决和图形的构造，如将一个图形精确移动到另一个位置。

（2）旋转：旋转常用于解决图形的排列、对称和判断两个图形是否相似等问题。

（3）对称：对称广泛应用于图案的设计、建筑设计等领域，通过对称可以使图案更具美感和平衡感。

在初中数学学习中，平移、旋转和对称是重要的数学概念和技巧。

通过学习和掌握这些几何变换的性质和应用，可以提高图形思维能力，解决几何问题，并在日常生活中运用数学的知识。

因此，初中数学学习中的平移、旋转和对称对培养学生的几何直观和创造力起着重要的作用。

中考考点形的平移旋转和对称的性质与应用中考考点：形的平移、旋转和对称的性质与应用形的平移、旋转和对称是中学数学中的重要内容，也是中考数学考试中的常见考点。

掌握形的平移、旋转和对称的性质，能够运用它们解决各类几何题目，提高数学解题的能力。

本文将分别介绍形的平移、旋转和对称的概念及性质，并通过几个具体例子展示它们在数学中的应用。

一、形的平移形的平移是指将一幅图形按照一定的方向和距离移动，使图形的每一点按照相同的方向和距离移动到另一个位置，这个过程称为形的平移。

平移是一种保持图形大小、形状和方向不变的变换。

平移的性质：1. 平移是保持图形的大小、形状和方向的，所以平移之后的图形与原图形完全相同。

2. 平移是一种等距变换，即平移之前和平移之后，图形中两点的距离保持不变。

3. 平移是可逆的，即平移之后再进行逆向平移，可以还原回原来的图形。

4. 平移可以作用于任意图形，不仅仅局限于平面图形。

形的平移在中考数学中的应用：几何题中常常会给出一幅图形进行平移，要求求出平移后的图形的一些性质。

掌握形的平移的性质，可以通过几何分析求解这类题目。

例题1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为A(2,2)，B(4,2)，C(5,4)的三角形ABC向右平移5个单位，分别标记出平移后三角形的顶点。

解：根据平移的性质，将原来的三角形ABC中的每个顶点都向右平移5个单位，可以得到平移后的三角形A'B'C'，如图所示。

（图略）例题2：如图，矩形ABCD的对角线AC及平移后的矩形A'B'C'D'的对角线A'C'相交于点E。

已知AC=8cm，A'C'=10cm，求矩形ABCD 的面积。

解：由于平移是保持图形形状和大小的，所以可以得知矩形ABCD 和平移后的矩形A'B'C'D'面积相等。

设矩形ABCD的长和宽分别为a和b，则矩形ABCD的面积为S=ab。

专题26 平移、旋转与对称☞解读考点知识点名师点晴图形的平移1．平移的概念知道什么是图形的平移．2．平移的性质掌握平移的性质．3．平移的条件了解平移条件．4．平移作图能准确利用平移作图．图形的旋转 5．旋转的定义知道什么是旋转．6．旋转的性质掌握旋转的性质．7．中心对称及中心对称图形了解中心对称和中心对称图形概念，能区分两个概念． 8．中心对称的性质能掌握中心对称的性质，能正确作图．图形的轴对称 9．轴对称、轴对称图形的定义能区别两个概念．10．轴对称的性质能正确应用性质．11．轴对称作图会正确作出一个图形关于某直线的轴对称图形．☞2年中考1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C．考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．2．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ）A ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 2 【答案】B ． 【解析】试题分析：如图，当AC ⊥AB 时，三角形面积最小，∵∠BAC =90°∠ACB =45°，∴AB =AC =4cm ，∴S △ABC =12×4×4=8cm 2．故选B ．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．最值问题．3．如图，在平面直角坐标系中，将点M （2，1）向下平移2个单位长度得到点N ，则点N 的坐标为（ ）A．（2，﹣1） B．（2，3） C．（0，1） D．（4，1）【答案】A．【解析】试题分析：将点M（2，1）向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为（2，1﹣2），即（2，﹣1）．故选A．考点：坐标与图形变化-平移．4．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，﹣1）【答案】D．考点：坐标与图形变化-平移．5．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A．【解析】试题分析：根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴m=2且m﹣n=﹣3，∴m=2，n=5，∴点M（m，n）在第一象限，故选A．考点：关于原点对称的点的坐标．6．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（）A．15B．25C．35D．45【答案】C ．考点：1．概率公式；2．中心对称图形．7．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n +1B 2n +1（n 是正整数）的顶点A 2n +1的坐标是（ ）A ．（4n ﹣13B ．（2n ﹣13C ．（4n +13D ．（2n +13 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，∴A 1的坐标为（13，B 1的坐标为（2，0），∵△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，∴点A 2与点A 1关于点B 1成中心对称，∵2×2﹣1=3，2×03-3-点A 2的坐标是（3，3-，∵△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，∴点A 3与点A 2关于点B 2成中心对称，∵2×4﹣3=5，2×0﹣（3-3A 3的坐标是（53，∵△B 3A 4B 4与△B 3A 3B 2关于点B 3成中心对称，∴点A 4与点A 3关于点B 3成中心对称，∵2×6﹣5=7，2×03-3-A 4的坐标是（7，3-， …，∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…， ∴A n 的横坐标是2n ﹣1，A 2n +1的横坐标是2（2n +1）﹣1=4n +1，∵当n 为奇数时，A n 3n 为偶数时，A n 的纵坐标是3-A 2n +13∴△B 2n A 2n +1B 2n +1（n 是正整数）的顶点A 2n +1的坐标是（4n +1，3）．故选C ． 考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．8．如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 、在y 轴上，Rt △ABC 经过变换得到Rt △ODE ．若点C 的坐标为（0，1），AC =2，则这种变换可以是（ ）A ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1 C ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1D ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移3 【答案】A ．考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．坐标与图形变化-平移．9．如图，把RI △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°， BC =5．点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线26y x =-上时，线段BC 扫过的面积为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．82【答案】C ． 【解析】试题分析：∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB =3，BC =5，∵∠CAB =90°，∴AC =4，∴点C 的坐标为（1，4），当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，∴令y =4，得到4=2x ﹣6，解得x =5，∴平移的距离为5﹣1=4，∴线段BC 扫过的面积为4×4=16，故选C ．考点：1．一次函数综合题；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．平行四边形的性质；4．平移的性质． 10．在数轴上截取从0到3的对应线段AB ，实数m 对应AB 上的点M ，如图1；将AB 折成正三角形，使点A 、B 重合于点P ，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为（0，2），PM 的延长线与x 轴交于点N （n ，0），如图3，当m =3时，n 的值为（ ）A ．423-B ．432-C ．332-D ．332【答案】A ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．实数与数轴；3．等边三角形的性质；4．平移的性质；5．综合题；6．压轴题．11．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =12，AD ⊥BC 于D ，点E 、F 分别在AB 、AC 边上，把△ABC 沿EF 折叠，使点A 与点D 恰好重合，则△DEF 的周长是（ ）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B．考点：翻折变换（折叠问题）．12．如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B．【解析】试题分析：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON．∵N关于AB的对称点N′，∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，∵N是弧MB的中点，∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，∴∠MON′=60°，∴△MON′为等边三角形，∴MN′=OM=4，∴△PMN周长的最小值为4+1=5．故选B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．圆周角定理；3．综合题．13．如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A．（4，8） B．（5，8） C．（245，325） D．（225，365）【答案】C．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．坐标与图形性质；3．综合题．14．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．15．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．7【解析】考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题．16．如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB ．若C （32，3），则该一次函数的解析式为 ．【答案】33y x =- 【解析】试题分析：连接OC ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，∵将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB ，C （32，32），∴AO =AC ，OD =32，DC =32，BO =BC ，则tan ∠COD =CD OD =33，故∠COD =30°，∠BOC =60°，∴△考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．待定系数法求一次函数解析式；3．综合题．17．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，点D 落在D ′处，C ′D ′交AE 于点M ．若AB =6，BC =9，则AM 的长为 ．【答案】94． 【解析】试题分析：根据折叠的性质可知，FC =FC ′，∠C =∠FC ′M =90°，设BF =x ，则FC =FC ′=9﹣x ，∵222''BF BC FC +=，∴2223(9)x x +=-，解得：x =4，∵∠FC ′M =90°，∴∠AC ′M +∠BC ′F =90°，又∵∠BFC′+BC′F=90°，∴∠AC′M=∠BFC′，∵∠A=∠B=90°，∴△AMC′∽△BC′F，∴'' AC AM BF BC，∵BC′=AC′=3，∴AM=94．故答案为：94．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．综合题．18．如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm．BC=2cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为cm．【答案】7．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．矩形的性质；4．平移的性质．19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线34y x=-上，则点B与其对应点B′间的距离为．【答案】8．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．坐标与图形变化-平移．20．如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′B′C，点A恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′=．【答案】110°．【解析】试题分析：∵∠A=70°，AC=BC，∴∠BCA=40°，根据旋转的性质，AB=BA′，BC=BC′，∴∠α=180°﹣2×70°=40°，∵∠∠CBC′=∠α=40°，∴∠BCC′=70°，∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°；故答案为：110°．考点：旋转的性质．21．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是．【答案】（5，2）．考点：坐标与图形变化-旋转．22．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为．【答案】37．考点：1．旋转的性质；2．等边三角形的性质；3．解直角三角形；4．综合题．23．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析，134π．考点：1．作图-旋转变换；2．作图-轴对称变换；3．作图题；4．扇形面积的计算． 24．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是矩形，AD ∥x 轴，A （3-，32），AB =1，AD =2． （1）直接写出B 、C 、D 三点的坐标；（2）将矩形ABCD 向右平移m 个单位，使点A 、C 恰好同时落在反比例函数ky x=（0x >）的图象上，得矩形A ′B ′C ′D ′．求矩形ABCD 的平移距离m 和反比例函数的解析式．【答案】（1）B （3-，12），C （1-，12），D （1-，32）；（2）m =4，32y x =．考点：1．反比例函数综合题；2．坐标与图形变化-平移；3．综合题． 25．如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例函数ky x=（k 为常数，且0k ≠）的图象交于A （1，a ）、B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使PA +PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积．【答案】（1）3 yx=，()3,1B；（2）P5,02⎛⎫⎪⎝⎭，32PABS∆=．试题解析：（1）由已知可得，143a=-+=，1133k a=⨯=⨯=，∴反比例函数的表达式为3yx=，联立43y xyx=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得13xy=⎧⎨=⎩或31xy=⎧⎨=⎩，所以()3,1B；（2）如答图所示，把B点关于x轴对称，得到()'3,1B-，连接'AB交x轴于点'P，连接'P B，则有，''PA PB PA PB AB+=+≥，当P点和'P点重合时取到等号．易得直线'AB：25y x=-+，令0y=，得52x=，∴5',02P⎛⎫⎪⎝⎭，即满足条件的P的坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，设4y x=-+交x轴于点C，则()4,0C，∴()12PAB APC BPC A BS S S PC y y∆∆∆=-=⨯⨯-，即()153431222PABS∆⎛⎫=⨯-⨯-=⎪⎝⎭．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．最值问题；3．轴对称-最短路线问题；4．综合题．26．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）42 25．（2）根据等边三角形性质，得到△AEP三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由AP=EB，利用AAS即可得证；（3）过P作PM⊥CD，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，利用面积求出BQ，再根据BP=2BQ求出BP，在Rt△ABP中，利用勾股定理求出AP，根据AF-AP求出PF，由PM与AD平行，得到△PMF与△ADF相似，由相似得比例求出PM ，再由FC =AE =3，求出△CPF 面积即可．（2）∵△AEP 为等边三角形，∴∠BAP =∠AEP =60°，AP =AE =EP =EB ，∵∠PEC =∠BEC ，∴∠PEC =∠BEC =60°，∵∠BAP +∠ABP =90°，∠ABP +∠BEQ =90°，∴∠BAP =∠BEQ ，在△ABP 和△EBC 中，∵∠APB =∠EBC =90°，∠BAP =∠BEQ ，AP =EB ，∴△ABP ≌△EBC （AAS ），∵△EBC ≌△EPC ，∴△ABP ≌△EPC ；（3）过P 作PM ⊥DC ，交DC 于点M ，在Rt △EBC 中，EB =3，BC =4，根据勾股定理得：EC =2234+=5，∵S△EBC=12EB •BC =12EC •BQ ，∴BQ =345⨯=125，由折叠得：BP =2BQ =245，在Rt △ABP 中，AB =6，BP =245，根据勾股定理得：AP =22AB BP -=185，∵四边形AECF 为平行四边形，∴AF =EC =5，FC =AE =3，∴PF =1855-=75，∵PM ∥AD ，∴PF PM AF AD =，即7554PM=，解得：PM =2825，则S △PFC =12FC •PM =1283225⨯⨯=4225．考点：1．四边形综合题；2．翻折变换（折叠问题）；3．综合题；4．压轴题．27．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =15，BC =9，点P ，Q 分别在BC ，AC 上，CP =3x ，CQ =4x （0＜x ＜3）．把△PCQ 绕点P 旋转，得到△PDE ，点D 落在线段PQ 上． （1）求证：PQ ∥AB ；（2）若点D 在∠BAC 的平分线上，求CP 的长；（3）若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为T ，且12≤T ≤16，求x 的取值范围．【答案】（1）证明见试题解析；（2）6；（3）1≤x ≤136．试题解析：（1）∵在Rt △ABC 中，AB =15，BC =9，∴AC 22AB BC -22159-=12．∵393PC x xBC ==，4123QC x x AC ==，∴PC QCBC AC=．∵∠C =∠C ，∴△PQC ∽△BAC ，∴∠CPQ =∠B ，∴PQ ∥AB ； （2）连接AD ，∵PQ ∥AB ，∴∠ADQ =∠DAB ，∵点D 在∠BAC 的平分线上，∴∠DAQ =∠DAB ，∴∠ADQ =∠DAQ ，∴AQ =DQ ，在Rt △CPQ 中，PQ =5x ，∵PD =PC =3x ，∴DQ =2x ．∵AQ =12﹣4x ，∴12﹣4x =2x ，解得x =2，∴CP =3x =6； （3）当点E 在AB 上时，∵PQ ∥AB ，∴∠DPE =∠PEB ．∵∠CPQ =∠DPE ，∠CPQ =∠B ，∴∠B =∠PEB ，∴PB =PE =5x ，∴3x +5x =9，解得x =98． ①当0＜x ≤98时，T =PD +DE +PE =3x +4x +5x =12x ，此时0＜T ≤272； ②当98＜x ＜3时，设PE 交AB 于点G ，DE 交AB 于F ，作GH ⊥FQ ，垂足为H ，∴HG =DF ，FG =DH ，Rt △PHG ∽Rt △PDE ，∴GH PG PH ED PE PD ==，∵PG =PB =9﹣3x ，∴93453GH x PH x x x -==，∴GH =45（9﹣3x ），PH =35（9﹣3x ），∴FG =DH =3x ﹣35（9﹣3x ），∴T =PG +PD +DF +FG =（9﹣3x ）+3x +45（9﹣3x ）+[3x ﹣35（9﹣3x ）]=125455x +，此时，272＜T＜18．∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，∴T=12时，即12x=12，解得x=1；TA=16时，即125455x+=16，解得x=136．∵12≤T≤16，∴x的取值范围是1≤x≤136．考点：1．几何变换综合题；2．分类讨论；3．相似三角形的判定与性质；4．压轴题．28．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG 按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长；（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE 与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】（1）理由见试题解析；（2）26+；（3）6．（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS 得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到DG=BE，如图2，过点A作AM⊥DG交DG 于点M ，∠AMD =∠AMG =90°，在直角三角形AMD 中，求出AM 的长，即为DM 的长，根据勾股定理求出GM的长，进而确定出DG 的长，即为BE 的长；（3）△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH ，点H 在以EG 为直径的圆上，即当点H 与点A 重合时，△EGH 的高最大；对于△BDH ，点H 在以BD 为直径的圆上，即当点H 与点A 重合时，△BDH 的高最大，即可确定出面积的最大值．试题解析：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 都为正方形，∴AD =AB ，∠DAG =∠BAE =90°，AG =AE ，在△ADG 和△ABE 中，∵AD =AB ， ∠DAG =∠BAE =90°，AG =AE ，∴△ADG ≌△ABE （SAS ），∴∠AGD =∠AEB ，如图1所示，延长EB 交DG 于点H ，在△ADG 中，∠AGD +∠ADG =90°，∴∠AEB +∠ADG =90°，在△EDH 中，∠AEB +∠ADG +∠DHE =180°，∴∠DHE =90°，则DG ⊥BE ；（3）△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH ，点H 在以EG 为直径的圆上，∴当点H 与点A 重合时，△EGH 的高最大；对于△BDH ，点H 在以BD 为直径的圆上，∴当点H 与点A 重合时，△BDH 的高最大，则△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为2+4=6．考点：1．几何变换综合题；2．最值问题；3．综合题；4．压轴题．29．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，且OC =OB ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A ′恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =--+；（2）当a =32-时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为638，此时，点E 坐标为（32-，154）；（3）P （﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．（3）由P 在抛物线的对称轴上，设出P 坐标为（﹣2，m ），如图所示，过A ′作A ′N ⊥对称轴于N ，由旋转的性质可证明△A ′NP ≌△PMA ，得到A ′N =PM =|m |，PN =AM =2，表示出A ′坐标，将A ′坐标代入抛物线解析式中求出相应m 的值，即可确定出P 的坐标．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），∴OB =3，∵OC =OB ，∴OC =3，∴c =3，∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）如图2，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E （a ，223a a --+）（﹣3＜a ＜0），∴EF =223a a --+，BF =a +3，OF =﹣a ，∴S四边形BOCE=ΔBEF FOCES S +梯形=12BF •EF +12（OC +EF ）•OF =2211(3)(23)(26)()22a a a a a a +--++--+-=2399222a a --+=23363()228a -++，∴当a =32-时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为638．此时，点E 坐标为（32-，154）；考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．旋转的性质；5．综合题；6．压轴题．1．将点P （﹣2，3）向右平移3个单位得到点P 1，点P 2与点P 1关于原点对称，则P 2的坐标是（ ） A ．（﹣5，﹣3） B ．（1，﹣3） C ．（﹣1，﹣3） D ．（5，﹣3） 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵点P （﹣2，3）向右平移3个单位得到点P 1，∴根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加，得P 1（1，3），∵点P 2与点P 1关于原点对称，∴根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的性质，得P 2的坐标是：（﹣1，﹣3）．故选C ．考点：1．坐标与图形的平移变化；2．关于原点对称的点的坐标特征．2．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A． B． C． D．【答案】B．考点：1．面动平移问题的函数图象问题；2．由实际问题列函数关系式；3．二次函数的性质和图象；4．分类思想和排它法的应用．3．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）A．223C31 D．1【答案】C．考点：1．旋转的性质；2．等边三角形的判定和性质；3．全等三角形的判定和性质；4．勾股定理．4．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（2，5），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为（）A．（203，103） B．（16345） C．（20345） D．（163，3）【答案】C．【解析】试题分析：如答图，过O’作O’F⊥x轴于点F，过A作AE⊥x轴于点E，∵A的坐标为（2，5，∴AE5 OE=2．由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，在Rt△ABE中，由勾股定理可求AB=3，则A’B=3，由旋转前后三角形面积相等得OB AE A'B O'F22⋅⋅=，453O'F2⋅⋅=，∴O’F45·在Rt△O’FB中，由勾股定理可求BF=22458433⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭，∴OF=820433+=．∴O’的坐标为（2045,33）．故选C．考点：1．坐标与图形的旋转变化；2．勾股定理；3．等腰三角形的性质；4．三角形面积公式．5．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A．6 B．12 C．25 D．45【答案】D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．翻折对称的性质；3．矩形的判定和性质；4．勾股定理；5．方程思想的应用．6．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动次后该点到原点的距离不小于41．【答案】28．∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．①当3n﹣2≥41时，解得：n≥433．∵n是正整数，∴n最小值为15，此时移动了29次．②当3n﹣1≥41时，解得：n≥14．∵n是正整数，∴n最小值为14，此时移动了28次．综上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．考点：1．探索规律题（图形的变化类）；2．数轴；3．不等式的应用；4．分类思想的应用．7．如图，在在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点A2014的坐标为．【答案】（﹣22014，0）．考点：1．探索规律题（图形的变化类型----循环问题）；2．点的坐标．8．如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，，则PA+PC的最小值为．【答案】72【解析】试题分析：由于A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．因此，如答图，连接BC，OB，OC，过点C作CH垂直于AB于H．∵AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，∴BE=12AB=4，CF=12CD=3．∴22222222OE OB BE543OF OC CF534--=-=-，．∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7．在Rt△BCH中根据勾股定理得到2222BC BH CH7772+=+，即PA+PC 的最小值为72考点：1．轴对称的应用（最短路线问题）；2．勾股定理；3．垂径定理．9．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF，如图2，展开再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为M，EM交AB于N，则tan∠ANE= ．【答案】34．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．勾股定理；4．锐角三角函数定义；5．方程思想、转换思想和特殊元素法的应用．10．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）成立．（2）成立，证明如下：如答图，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°．∵∠EAB+∠BAH=180°，在△ABH与△ACD中，∵AH=AD，∠BAH=∠CAD，AB=AC，∴△ABH≌△ACD（SAS）．∴BH=DC．∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH．∵EF=FB，∴BH=2AF．∴CD=2AF．考点：1．面动旋转问题；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰三角形的性质；4．三角形中位线定理；5．旋转的性质．☞考点归纳归纳 1：判断图形的平移基础知识归纳：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移．基本方法归纳：方向一致．注意问题归纳：平移前后图形方向相同，大小一样．【例1】在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（）A．向下移动1格 B．向上移动1格C．向上移动2格 D．向下移动2格【答案】D．考点：平移的性质．归纳 2：作已知图形的平移图形基础知识归纳：画平移图形，必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．基本方法归纳：关键是平移的方向和距离要相同．注意问题归纳：平移的距离要准确一致．【例2】在图示的方格纸中：（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？【答案】（1）作图见解析；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．考点：作图-平移变换．归纳 3：识别中心对称图形基础知识归纳：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．基本方法归纳：解这类问题的关键是看图形旋转180°之后是否能完全重合．注意问题归纳：是旋转不是翻折．【例3】下列四个图案中，属于中心对称图形的是（）【答案】D．【解析】试题分析：根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．考点：中心对称图形．归纳 4：旋转的性质应用基础知识归纳：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．基本方法归纳：解这类问题的关键是看图形旋转180°之后是否能完全重合． 注意问题归纳：是旋转不是翻折．【例4】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，AB =2．将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ，则点B 转过的路径长为（ ）A ．3π B ．3π C ．23π D ．π【答案】B ．考点：旋转的性质． 归纳 5：与旋转有关的作图基础知识归纳：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 基本方法归纳：连接点和对称中心并倍长． 注意问题归纳：找准确对称中心．【例5】在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （－2，1），B （－4，5），C （－5，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．（2）△A2B2C2如图所示．考点：作图-轴对称变换；作图-旋转变换．归纳 6：识别轴对称图形基础知识归纳：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．基本方法归纳：解这类问题的关键是看图形翻折180°之后是否能完全重合．注意问题归纳：对称轴是直线．【例6】下列图案中，不是轴对称图形的是（）【答案】A．考点：轴对称图形．归纳 7：作已知图形的轴对称图形基础知识归纳：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．基本方法归纳：过点作对称轴的垂线并倍长找到对应点．注意问题归纳：是翻折不是旋转．【例7】在平面直角坐标系中，已知点A（-3，1），B（-1，0），C（-2，-1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．【答案】如图．考点：作图-轴对称变换．归纳 8：轴对称性质的应用基础知识归纳：轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，对应线段、对应角相等．基本方法归纳：解这类问题的关键是作出对称点．注意问题归纳：正确作图．【例8】如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是【答案】5．【解析】试题分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．试题解析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CP=12AC=3，BP=12BD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5．考点：轴对称-最短路线问题．☞1年模拟1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．平行四边形【答案】B．考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．2．在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C．【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可判断出只有C选项符合要求．故选C．考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．3．如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（）A．a户最长 B．b户最长 C．c户最长 D．三户一样长【答案】D．【解析】试题解析：∵a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，∴将a向右平移即可得到b、c，∵图形的平移不改变图形的大小，∴三户一样长．故选D．考点：生活中的平移现象．4．在4张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、矩形、菱形和圆，在看不见图形的情况下随机抽取1张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）A．14B．12C．34D．1【答案】C．考点：1．概率公式；2．中心对称图形．5．如图，已知⊙O的半径是R．C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为（）A．2R B．3R C．2R D．R【答案】B．【解析】试题分析：连接DC′，根据题意以及垂径定理，得弧C′D的度数是120°，则∠C′OD=120度．作OE⊥C′D于E，则∠DOE=60°，则DE=3R，C′D=3R．故选B．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理；3．轴对称-最短路线问题．6．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A 恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有（）A．①④⑤ B．①②④ C．③④⑤ D．②③④【答案】A．。