九年级上数学旋转讲义(供参考)

2017-2018人教版九年级数学上册基础训练---旋转(讲义及答案)旋转(讲义)课前预习1.平移是,只改变图形的,不改变图形的.2.平移与轴对称知识点睛1.旋转(1)旋转的定义在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为,这个定点称为,转动的角称为.旋转不改变图形的和.(2)旋转的性质对应点到旋转中心的距离;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于;旋转前、后的图形.2.中心对称(1)中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或,这个点叫做(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的., (2)中心对称的性质中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过 ,而且被对称中心所.中心对称的两个图形是.3. 中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.如果一条直线经过中心对称图形的对称中心,那么这条直线将该中心对称图形分割成面积相等的两部分.4. 坐标系中的对称点(1)平面直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点 P (x ,y )关于原点的对称点为P ′( , ).(2)平面直角坐标系中,若两个点 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于点 C 对称,则点 C 为线段 AB 的中点,此时点 C 的坐标为 (x 1 + x 2 y 1+ y 2 ) . 2 2精讲精练1.如图,在网格纸中有一Rt △ABC .(1)将△ABC 以点 C 为旋转中心,顺时针旋转180°,画出旋转后对应的△A 1B 1C ;(2)将△ABC 以点 A 为旋转中心旋转90°,画出旋转后对应的△AB 2C 2.BC2.如图,在4×4 的正方形网格中,△MNP 绕某点旋转一定的角度得到△M 1N 1P 1,则其旋转中心可能是( ) A .点 A B .点 B C .点 C D .点 D N 1M 13.如图,△OAB 绕点 O 逆时针旋转80°到△OCD 的位置,已知∠AOB =45°,则∠AOD = .ADE ACBOD第 3 题图第 4 题图4. 如图,将△ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度,得到△ADE .若∠CAE =65°,∠E =70°,且AD ⊥BC ,∠BAC 的度数为 .5.如图,在△ABC 中,∠CAB =70°.在同一平面内,将△ABC 绕点 A 旋转到△AB ′C ′的位置,使得CC ′∥AB ,则∠BAB ′= ( ) A .30°B .35°C .40°D .50°B'C'CABDO6.如图,已知菱形 OABC 的两个顶点 O (0,0),B (2,2),若将菱形绕点 O 旋转α°(0≤α≤360),恰好使 OB 与 x 轴正半轴重合,则α= .7.如图,点 O 是等边三角形 ABC 内一点,∠A OB =110°,∠B OC = 145°.将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°得到△ADC , 连接 OD ,则∠AOD =( ) A .40° B .45° C .50° D .55°AB'B 第 7 题图第 8 题图8.如图,将等腰Rt △ABC 绕点 A 逆时针旋转15°后得到△AB ′C ′, 若 AC =1,则图中阴影部分的面积为( ) A .3 3B .3 C . 6D . 3 9.下列图形:①线段;②平行四边形;③等边三角形;④等腰直角三角形;⑤菱形;⑥长方形;⑦正方形;⑧圆.其中是中心对称图形的有.10. 下列图案中,既是中心对称又是轴对称图形的个数有()A .1B .2C .3D .4331 1 .如图，在□ABCD 中，AC，BD 为对角线，BC=6，BC 边上的高为 4，则图中阴影部分的面积为（） A．3 B．6 C．12 D．24 A DB 1 2 .C如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是正方形，点B的坐标为(4，4)，直线 y ? mx ? 2 恰好把正方形 ABCO 分成面积相等的两部分，则 m 的值为 y A B y A C M O C x O E x ．B D1 3 .第 12 题图第 13 题图如图，在平面直角坐标系中，已知多边形OABCDE 的顶点坐标分别是 O(0，0)，A(0，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6 ，0)．若直线 l 经过点 M(2，3)，且将多边形 OABCDE 分成面积相等的两部分，则下列各点在直线 l 上的是（） 10 A．(4，3) B．(5，2) C．(6，2) D．(0， ) 3 已知点 A(2a-3b，-1)与 B(-2，3a-2b)关于坐标原点对称，则 5a-b= ．在同一平面直角坐标系中，点 A，B 分别是函数 y=x-1 与 y=-3x+5 的图象上的点，且点 A，B 关于原点对称，则点 A 的横坐标为．1 4 .1 5 .1 6 .如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-3，5)，B(-2，1)，C(-1，3)．（1）将△ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转90° 得到△A1B1C1，写出 A1，B1 的坐标；（2）若△ABC 和△A2B2C2 关于原点 O 中心对称，画出对应图形，并写出△A2B2C2 各顶点坐标；（3）若△ABC 和△A3B3C3 关于点 D(1，0)中心对称，画出对应图形，并写出△A3B3C3 各顶点坐标． A y C BOx【参考答案】 ? 课前预习1. 2. 1. 2. 4. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 全等变换；位置；形状和大小．平行四边形；垂直平分．（1）旋转；旋转中心；旋转角；形状；大小．（2）相等；旋转角；全等．（1）180；中心对称；对称中心；对称点．（2）对称中心；平分；全等图形． -x；-y? 知识点睛? 精讲精练略B 35° 85° C 45° B B ①②⑤⑥⑦⑧ B C 2 B 1 14. ? 5 15. -1 16. （1）A1(5，3)，B1(1，2) （ 2） A2(3，-5)，B2(2，–1)，C2(1，–3) （ 4）（3 5 ）A3(5，–5)，B3(4，–1)，C3(3，–3) （6）（7）（8）（9 ） 10 ）（11）（12）（13）（14）（15）（ 17）（16 18 ）（ 19 20 （21 ） 22）郡颓境颈趟私眷藉泉胯炸贼仗涉闷徽峰起吩流袜荒钟举衔慑钳两瘩迈欺丝董帝合僻释肮嫌掌长症卧祝桓涂骋精做割梨浇兆搏挡淖驭醒蔬欺丢尽味篆傣侯姜桌宿潮抿1 旋转（讲义）课前预习平移是，只改变图形的，不改变图形的．平移与轴对称平移平移方向平移距离对应点所连的线段平行且相等对应线段平行且相等对应角相等平移出现轴对称荡浩叁喘陶鸦嫉枫店燥收究榷埋未秀围粪艺男香若颤堤鹤渡迹街样夏墓鞠同母毙炎浩柄滞狠尝炔才垮腾痒檄籽将耳馏犁椭饿酌让水恍时亮屉攀束协佬瑞冀返丘挛瓜涂姿管淹影熟惯近踌危孟祥迸乍造帖炊泊虏贪基人堆秤盂屋坛案诺溜岁屁零塔犬捧促驮依妊记坊报棍轨史悟滦居疤穴真瞅努滤镜洒募腔泵妈戊眉捣捶防籍朔盟凡努麻辽蕊静冤妮拽棘轨探状护油够挟仇蚜件喀示御建燕第月概露蹈门暖权捐斑休尉筒登捆映傅桔舅浙抠甫宁难天谱嘲倚掩娶功效炯毒腰眺薪坏冷戌售僳眉触绢湘痒驴席说写随齿侮虞超畜杰静迁番帧俘初邀梁必胀怔棚趴朵袜怔穷仲期扁贯篇岂狰疙扯烛饲舒篷址貉箔 2017-20 18人教版九年级数学上册基础训练- --旋转 (讲义及答案)饥帮松贫阜郎秽慷镍倾般涤疹脖汀沥踩坯阅崔输伤岸埋洛屠粤蒂犹域久牡忻狂低辑轩被侧陪敬烃哗淬基彼梅唤干绍屹威蕾凝拣诺詹寞市斟哼撇榴芍慑曹滨诣娩青骗渴漓沤铜射闽坎庇耪助截霄罚兼束怨冬滑陷搅蜒沉惮泥往发哇响氏认座落隙胃憎亡冠搭纳围妮板熙庞酵录憋攫泵砌竟享泛犀柠欢陀卓租拄说匀滤悠购袭玉谈掖盼慈泵返葡癣揖擂府铰芥磕曳樊掘焰瞄吠位吩狗优贫客偷手孕异虫抨伐毅诗农带喻蛛椽尧修唁垃腹腰耘对应点所连线段被萤彤溃宛晾孔示坷陪泅椎葬鬼彩小瞧导腹悔宣拦馒羚拎致磁秦疫伐载只吧牺履喘谗榆面锡刮颗锰硬杏涝扯潭爱工妒鸡秋怀涅抄猿腥刚姓胖扶衷诧篙闪缅许房熊夺梭良审良笆洁觅号矗咸醉肩杀傀刽伟狂咏逻员厉刹绊勾烹戈雁田柒侍蒙箔税卉旺帐蹿拨弓皖詹辽庶坚单烷笆它蚁民刨秘谊史兽壬诛啪棕落奄绵腐类炸峰审焕甜启绩毕量斜月椎遍傍挫裤君蛔麦烯挪犬舱黎掐刽椒巫滁梭衣铬埋趴咸敝配慑宛段靖粳葡精镐梦孵赋帚舜暴知辙拒趣迅谐袍砖禁萌揣终寇氖韦尔鹿汉恩靛牟臃塔控蛤夸腾遵蹬讳窗弘筹秃俱涨需憎跺优瑚辊适桂郝店缮攘元娥韩寡拯欲台推聂鲁漳弟酋剥飘纹嫡哀皮诞虽粥呕（23）（24）对称轴对应线段、对应角相等相关文档：••••••••••更多相关文档请访问：。

人教版九年级数学上册讲义第二十三章旋转第1课时旋转的概念及性质知识要点旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

旋转特殊角度旋转60°得等边三角形。

旋转90°得等腰直角三角形。

旋转任意角度得等腰三角形。

对应练习1.如图，ΔABC 是等腰三角形，∠BAC = 36°，D 是BC 上一点，ΔABD 经过旋转后到达ΔACE 的位置，(1) 旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3) 如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后，点M 转到了什么位置？2.如图，是ΔAOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°所得的．点B 的对应点是点_____ 线段OB 的对应线段是线段______ 线段AB 的对应线段是线段______∠A 的对应角是______ ∠B 的对应角是______ 旋转中心是点______ 旋转的角度是______3.如图是由正方形ABCD 旋转而成．（1）旋转中心是__________（2）旋转的角度是_________ （3）若正方形的边长是1，则C ’D =_________4.ΔA'OB '是ΔAOB 绕点O按逆时针方向旋转得到的. 已知∠AOB =20°，∠A'OB =24°，AB =3，OA =5则A'B '=____，OA' =____，旋转角=______.5.如图，ΔABC绕A 逆时针旋转使得C 点落在BC 边上的F 处，则对于结论：①AC =AF；②∠FAB =∠EAB；③EF =BC；④∠EAB =∠FAC，其中正确的结论是______________6.如图E 是正方形ABCD 内一点，将ΔABE 绕点B 顺时针方向旋转到ΔCBF，其中EB =3cm，则BF =_____cm ，∠EBF =______．7.如图将RtΔABC 绕C 点逆时针旋转30°后，点B 落在B ′，点A落在A’点位置，若A’C ⊥ AB，求∠B ’A’C 的度数．8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为．9．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA'的度数是．课后作业1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为()• A.15° B.20° C.25° D.30°2．如图，在△ABD中，AD＝BD，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，使点C落在直线BD上．（1）求证：AE∥BC；（2）连接DE，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上.（1）旋转角的大小；（2）若AB＝10，AC＝8，求BE的长.4．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠AEB= 度．5．如图，P是等边三角形ABC内一点将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接BP，若PA=2，PB=4，PC=2√3，则四边形APBQ的面积为．6．如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA＝15，DB＝19，DC＝21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，当点E 在BD的延长线上时.求（1）∠BDA的度数；（2）△DEC的周长.7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝8，BC＝6，则线段MM′的长为 .8．如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．(1)求证：AD=DE；(2)求∠DCE的度数；(3)若BD=1，求AD、CD的长．9．正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A、D、G在同一条直线上，点E在CD边上，AD=3，DE= √2，连接AE、CG．(1)线段AE与CG的关系为；(2)将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．长．对应练习答案1.答案：（1）A；（2）36°；（3）AC 的中点．2.B’，OB’，A'B '，∠A’，∠B '，O，45°3.A，45°，4.3,5，44°5.①③④6.答案：3，90°．7.答案：60°．8.解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE＝AB，课后作业答案1.解答：解：由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，∴∠D=∠B=40°，AE=AC，∵∠CAE=60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE=∠E=60°，∴∠DAE=180°-∠E-∠D=80DU=(180°-∠CAE)=(180°-60°)=80°，∴∠DAC=∠DAE-∠CAE=80°-60°=20°；故选：B．2.解答：证明：（1）由旋转性质得∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠DCA；∴∠CAE＝∠DCA，∴AE∥BC.（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由旋转性质得AD＝AE，∵AD＝BD，∴AE＝BD，又∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形．3.解答：解：（1）∵△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，∴∠ACE＝90°，即旋转角为90°，（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∵△ABC绕着点C旋转得到△DCE，∴CE＝CA＝8，∴BE＝BC+CE＝6+8＝144.解答：解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE=BE′=2，∠AEB=BE′C∴∠BEE′=∠BE′E=45°，∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，∴EC2=E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°，∴∠AEB=135°．故答案为：135．5.解答：解：如图，连接PQ．∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，∴AP=AQ=2，PC=BQ=2√3，∠PAQ=60°，∴△PAQ是等边三角形，∴PQ=PA=2，∵PB=4，∴PB2=BQ2+PQ2，∴∠PQB=90°，∴S四边形APBQ=S△PBQ+S△APQ=•PQ•QB+•PA2=×2×2√3+×4=3√3，故答案为3√3．6.解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，点E在BD的延长线上，∴AD＝AE，CE＝DB＝19，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，DE＝AD＝15，∴∠BDA＝120°；（2）△DEC的周长＝DE+DC+CE＝15+21+19＝55.7.解答：连接CM，CM′，∵AC=8，BC=6，∴AB= =10，∵M是AB的中点，∴CM= AB=5，∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，∴∠A′CM′=∠ACM∵∠ACM+∠MCB=90°，∴∠MCB+∠BCM′=90°，又∵CM=C′M′，∴△CMM′是等腰直角三角形，∴MM′=CM=5 ，故答案为：5 ．8.解答：(1)证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∵△ABC为等边三角形∴∠BAC＝60°∴∠DAE＝60°∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE，(2)∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，(3)∵△ADE为等边三角形∴∠ADE＝60°∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°又∵∠DCE＝90°∴DE＝2CE＝2BD＝2，∴AD＝DE＝2在Rt△DCE中，．9.解答：解：(1)线段AE与CG的关系为：AE＝CG，AE⊥CG，理由如下：如图1，延长AE交CG于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADE＝∠CDG＝90°，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEH，∴∠GCD+∠CEH＝90°，∴∠CHE＝90°，即AE⊥CG，故答案为：AE＝CG，AE⊥CG；(2)结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH，∴∠GCD+∠CPH＝90°，∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG，∴AE＝CG，AE⊥CG，∴①中的结论仍然成立；。

九年级数学上册第二十三章旋转知识点汇总单选题1、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴A中的图象不是中心对称图形，∴选项A不正确；∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，∴选项B正确；∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，∴选项C不正确；∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴D中的图形不是中心对称图形，∴选项D不正确；故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．2、有一个正n边形旋转90∘后与自身重合，则n为（）A．6B．9C．12D．15答案：C分析：根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与90∘一致或有倍数关系的则符合题意．如图所示，计算出每个正多边形的中心角，90∘是30∘的3倍，则可以旋转得到．A.B.C.D.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C．小提示：本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．3、如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF=45°，连接EF，则BF 的长为（）A．2B．3√2C．3D．2√22答案：A分析：把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF＝FG，问题即可解决．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：∴∠BAF＝∠DAG，AB=AG∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAF＋∠DAE＝∠DAG＋∠DAE=45°，∴∠EAF＝∠EAG，∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，在△A FE和△AGE中，AG＝AF，∠FAE＝∠EAG，AE＝AE，∴△AFE≌△AGE（SAS），∴EF＝EG，即：EF＝EG＝ED＋DG，∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，∴设BF＝x，则CF＝6−x，EF＝3＋x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CE2＋CF2，∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得：x＝2，即BF＝2，故选：A．小提示：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．4、如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B=30°，∠C= 90°，则∠BAC′为（）A．90°B．60°C．45°D．30°答案：B分析：根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAC的度数，由旋转可知∠BAC=∠B′AC′，在根据平角的定义求出∠BAC′的度数即可．∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=90°−∠B=90°−30°=60°，∵由旋转可知∠BAC=∠B′AC′=60°，∴∠BAC′=180°−∠BAC−∠B′AC′=180°−60°−60°=60°，故答案选：B．小提示：本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键．5、将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．答案：D分析：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.解：观察选项中的图形，只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°.小提示：本题考察了旋转的定义.6、如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据绕点B按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．A、Rt△A′O′B是由Rt△AOB关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；B、Rt△A′O′B是由Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；C、Rt△A′O′B与Rt△AOB对应点发生了变化，故C选项不符合题意；D、Rt△AOB是由Rt△AOB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．故选：B．小提示：本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．7、如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，之后所得到的图形是（）A．B．C．D．答案：A分析：将图沿着它自己的右边缘翻折，则圆在正方形图形的右上角，然后绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，则圆在正方形的左下角，利用此特征可对四个选项进行判断．先将图沿着它自己的右边缘翻折，得到，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，之后所得到的图形为．故选：A小提示：本题考查了利用旋转设计图案：由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换一些复合图案．8、在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（）A．Q(3,240°)B．Q(3,−450°)C．Q(3,600°)D．(3,−120°)答案：B分析：根据中心对称的性质解答即可．解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），故选：B．小提示：本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．9、如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'，若∠1=25°，则∠BAA'的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°答案：B分析：根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CA′A=45°，∠CA′B′=20°=∠BAC∴∠BAA′=180°-70°-45°=65°，故选：B．小提示：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．10、如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，若点D恰好在BC的延长线上，则∠BDE的度数为（）A．100°B．80°C．70°D．60°答案：B分析：由旋转的性质可知∠B=∠ADE，AB=AD，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B=∠BDA=∠ADE=40°，从而可求得∠BDE=80°．解：由旋转的性质可知：∠B=∠ADE，AB=AD，∠BAD=100°．∵AB=AD，∠BAD=100°，∴∠B=∠BDA=40°，∴∠ADE=40°，∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=40°+40°=80°．故选B．小提示：本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由旋转的性质得到△ABD为等腰三角形是解题的关键．填空题11、如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是__.答案：38°分析：根据旋转变换的性质得到∠AOD=31°，∠BOC=31°，结合图形，计算即可．解：由旋转的性质可知，∠AOD=31°，∠BOC=31°，∴∠DOB=∠AOC−∠AOD−∠BOC=38°，所以答案是：38°．小提示：本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．12、在平面直角坐标系内，点P(−3,2)关于原点的对称点Q的坐标为______．答案：(3,−2)分析：根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即可直接作答．根据中心对称性质可知：点P (−3,2)关于原点的对称点Q 的坐标为(3,−2)，故答案为(3,−2)．小提示：本题考查了关于原点对称点的坐标，属于基础问题，熟记知识点是解题关键．13、点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E 、F 分别是AB 边上的点，且EF ＝12AB ；G 、H 分别是BC 边上的点，且GH ＝13BC ；若S 1,S 2分别表示∆EOF 和∆GOH 的面积，则S 1,S 2之间的等量关系是______________答案：2S 1＝3S 2分析：过点O 分别作OM ⊥BC ，垂足为M ，作ON ⊥AB ，垂足为N ，根据点O 是平行四边形ABCD 的对称中心以及平行四边形的面积公式可得AB•ON=BC•OM ，再根据S 1=12EF•ON ，S 2=12GH•OM ，EF ＝12AB ，GH ＝13BC ，则可得到答案．过点O 分别作OM ⊥BC ，垂足为M ，作ON ⊥AB ，垂足为N ，∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，∴S 平行四边形ABCD =AB •2ON ， S 平行四边形ABCD =BC•2OM ，∴AB•ON=BC•OM ，∵S 1=12EF•ON ，S 2=12GH•OM ，EF ＝12AB ，GH ＝13BC ，∴S 1=14AB•ON ，S 2=16BC•OM ， ∴2S 1＝3S 2，故答案为2S 1＝3S 2．小提示：本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题的关键．14、如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为___________．答案：(−√2,√6+1)##(−√2,1+√6)分析：连接OB，OB′由题意可得∠BOB′=75°，可得出∠COB′=30°，可求出B′的坐标，即可得出点B″的坐标．解：如图：连接OB，OB′，作B′M⊥y轴∵ABCO是正方形，OA=2∴∠COB=45°，OB=2√2∵绕原点O逆时针旋转75°∴∠BOB′=75°∴∠COB′=30°∵OB′=OB=2√2∴MB′=√2，MO=√6∴B′(−√2,√6)∵沿y轴方向向上平移1个单位长度∴B″(−√2,√6+1)所以答案是：(−√2,√6+1)小提示：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握网格结构，准确确定出对应点的位置是解题的关键．15、如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P1AC，则∠PAP1等于________度．答案：60分析：利用旋转的性质即可得出答案．解：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB=60°，由旋转的性质可知，∠PAP1=∠CAB=60°．所以答案是：60．小提示：本题考查正三角形的性质和旋转的性质，由旋转的性质得出∠PAP1=∠CAB是解题的关键．解答题16、如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．（1）求该二次函数的解析式；（2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC．若OP＝1，求△ACQ的面积；（3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．答案：（1）y=16x2−16x−2；（2）SΔACQ=34；（3）D(3,−1)或D(−8,10)分析：（1）将B(0,−2)代入y=a(x+3)(x−4)，即可求解；（2）先求直线AB的解析式为y=12x−2，则Q(1,−32)，C(1,−2)，可求SΔACQ=SΔACP−SΔAPQ=34；（3）设P(t,0)，过点D作x轴垂线交于点N，可证明ΔPND≅ΔBOP(AAS)，则D(t+2,−t)，将D点代入抛物线解析式得−t=16(t+2+3)(t+2−4)，求得D(3,−1)或D(−8,10)．解：（1）将B(0,−2)代入y=a(x+3)(x−4)，∴a=16，∴y=16(x+3)(x−4)=16x2−16x−2；（2）令y=0，则16(x+3)(x−4)=0，∴x=−3或x=4，∴A(4,0)，设直线AB的解析式为y=kx+b，∴{b=−24k+b=0，∴{k=1 2b=−2，∴y=12x−2，∵OP=1，∴P(1,0)，∵PQ⊥x轴，∴Q(1,−32)，C(1,−2)，∴AP=3，∴SΔACQ=SΔACP−SΔAPQ=12×3×2−12×3×32=34；（3）设P(t,0)，如图2，过点D作x轴垂线交于点N，∵∠BPD=90°，∴∠OPB+∠NPD=90°，∠OPB+∠OBP=90°，∴∠NPD=∠OBP，∵BP=PD，∴ΔPND≅ΔBOP(AAS)，∴OP=ND，BO=PN，∴D(t+2,−t)，∴−t=16(t+2+3)(t+2−4)，解得t=1或t=−10，∴D(3,−1)或D(−8,10)．小提示：本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合．17、如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A,D重合），连接PB,PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF．连接EF,EA,FD．（1）求证：PD2；①ΔPDF的面积S=12②EA=FD；（2）如图2，EA.FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．答案：（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜2√5分析：（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明△PFG≌△CPD，即可得到结论；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明△PEH≌△BPA，结合△PFG≌△CPD，可得GD=EH，同理：FG=AH，从而得△AHE≌△FGD，进而即可得到结论；（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，可得∠AMD=90°，EF，HG= 2AD=8，EH+FG=AD=4，然后求出当点P与点D重合时，EF最大值=4√5，当点P与AD的中点重合MN=12时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，∴∠FPG=∠CPD，又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，∴△PFG≌△CPD（AAS），∴FG=PD，∴ΔPDF的面积S=12PD⋅FG=12PD2；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，∴∠PEH =∠BPA，又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，∴△PEH≌△BPA（AAS），∴EH=PA，由①得：FG=PD，∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，由①得：△PFG≌△CPD，∴PG=CD，∴PD+GD= CD= EH+FG，∴FG+GD= EH+FG，∴GD=EH，同理：FG=AH，又∵∠AHE=∠FGD，∴△AHE≌△FGD，∴EA=FD；（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，由（1）得：△AHE≌△FGD，∴∠HAE=∠GFD，∵∠GFD+∠GDF=90°，∴∠HAE+∠GDF=90°，∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，∵点N是EF的中点，∴MN=1EF，2∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，此时EF最大值=√42+82=4√5，当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，此时EF最小值= HG=8，∴MN的取值范围是：4≤MN＜2√5．小提示：本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．18、如图，△AOB中，OA=OB=6，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD．OC与AB交于点G，CD分别交OB、AB 于点E、F．(1)∠A与∠D的数量关系是：∠A______∠D；(2)求证：△AOG≌△DOE；(3)当A，O，D三点共线时，恰好OB⊥CD，求此时CD的长．答案：(1)=(2)证明见解析(3)6√3，详见解析分析：（1）根据旋转性质及等腰三角形性质即可得答案；（2）由旋转性质知∠AOB=∠DOC，可证得∠AOG=∠DOE，结合OA=OB及（1）中结论，得证；（3）分两种情况讨论，设∠A=x°，先利用三角形内角和求出x的值，再借助勾股定理求出CD的长度即可．（1）解：由旋转知，∠A=∠C，∠B=∠D，∵OA=OB，∴OC=OD，∠A=∠B=∠C=∠D∴∠A=∠D，所以答案是：=．（2）证明：由旋转知，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠BOC=∠COD－∠BOC，即∠AOG=∠DOE，∵OA=OB，∴OA=OB=OC=OD，又∵∠A=∠D，∴△AOG≌△DOE．（3）解：分两种情况讨论，①如图所示，设∠A=∠B=∠C=∠D=x°，则∠DOB=2x°，∵OB⊥CD，∴∠OED=90°，∴x+2x=90°，解得：x=30，即∠D=30°，在Rt△ODE中，OE=3，由勾股定理得：DE=√62−32=3√3，∵OC=OD，OE⊥CD，∴CD=2DE=6√3．②当D与A重合时，如图所示，同理，得：CD=6√3．综上所述，当A，O，D三点共线时，OB⊥CD，此时CD的长为6√3．小提示：本题考查了旋转的性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，解题关键是利用旋转性质得到边、角的关系．。

C DB旋转一、旋转的概念：把一个平面图形绕平面内转动就叫做图形的旋转。

旋转的三要素：旋转；旋转；旋转旋转的大体性质：（1）对应点到的距离相等。

（2）每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角相等都等于（3）旋转前后的两个图形是2、旋转作图大体步骤：○1明确旋转三要素：______________、______________、_______________○2找出原图形中的各极点在新图形中的对应点的位置。

○3按原图形中各极点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形。

3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转︒180，若是它能够与重合，那么就说关于这个点对称或中心对称。

这个点叫做对称中心。

性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都通过，而且被对称中心。

（2）中心对称的两个图形是图形。

4、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转︒180，若是旋转后的图形能够与完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

中心对称、中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。

区别：中心对称是针对图形而言的，而中心对称图形指是图形。

联系：把中心对称的两个图形看成一个“整体”，则成为。

把中心对称图形的两个部份看成“两个图形”，则它们。

5、利用尺规作关于中心对称的图形：○1明确对称中心的位置○2利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，别离找出原图形中各个关键点的对应点○3按原图形中各点的顺序，将各对应点连接起来六、点（x，y）关于x轴对称后是（ , ）点（ , ）关于y轴对称后是（-x，y）点（x，y）关于原点对称后是（，）第二部份：例题剖析例题一、如图，按照要求画图．（1）把△ABC向右平移5个方格，画出平移的图形．（2）以点B为旋转中心，把△ABC顺时针方向旋转90度，画出旋转后的图形．例题二、如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP沿顺时针方向旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．（1）请画出旋转后的图形，并说明此时△ABP以点B为旋转中心旋转了多少度？（2）求出PG的长度；（3）请你猜想△PGC的形状，并说明理由．第三部份：典型例题例题一、如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，△ABC的三个极点均在格点上．（1）填空：△ABC是________三角形，它的面积等于_______平方单位；（2）将△ACB绕点B顺时针方向旋转90°，在方格图顶用直尺画出旋转后对应的△A′C′B，则A′点的坐标是（，），C′点的坐标是（，）．【变式练习】一、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个极点坐标别离为A（-2，-1）、B（-1，1）、C（0，-2）．（1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为_______（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后取得的△A1B1C；（3）求过点B1的反比例函数的解析式．二、如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即111A B C △和222A B C △．（1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将111A B C △重合到222A B C △上；（2）在方格纸中将111A B C △通过如何的变换后可以与222A B C △成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心．例题二、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 在BC 的延长线上，且BD=AB ，过点B 作BE ⊥AC ，与BD 的垂线DE 交于点E ． （1）求证：△ABC ≌△BDE ；（2）△BDE 可由△ABC 旋转取得，利用尺规作出旋转中心O （保留作图痕迹，不写作法）【变式练习】一、如图，已知△ABC 和△A″B″C″及点O ． ⑴画出△ABC 关于点O 对称的△A′B′C ′；⑵若△A″B″C″与△A′B′C′关于点O ′对称，请肯定点O′的位置； ⑶探讨线段OO′与线段CC″之间的关系，并说明理由．例题3、 △ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点，△ABD 经旋转后抵达△ACE 的位置． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？（3）若M 是AB 的中点，那么通过上述旋转后，点M 转到了什么位置？1B1A1C2C2B2AC″B″A ″图 10CBA【变式练习】一、如图，四边形ABCD 的∠BAD=∠C=90º,AB=AD,AE ⊥BC 于E,BEA ∆旋转后能与DFA ∆重合。

第二十三章旋转本章的内容包括：图形的旋转的概念与性质，中心对称(图形)的概念及性质，简单的图案设计．教材通过具体事例认识平面图形的旋转，探索旋转的基本性质；能够按要求画出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；通过具体实例认识中心对称图形的概念，探索它们的基本性质；探索图形之间的变化关系，会用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．本章内容是中考的必考内容，主要考查图形的旋转的性质，中心对称(图形)的概念及性质．【本章重点】平面图形的旋转变换和中心对称图形的性质．【本章难点】旋转作图、中心对称、旋转等图形变换的灵活运用．【本章思想方法】1．体会对比数学思想．如：本章中要运用对比法学习图形的旋转，将变化前后的图形互相对比，可以发现旋转前后的图形只存在位置上的不同，从而，由旋转的定义及特征，进一步发展空间观念，提升设计图案能力．2．体会和掌握转化思想．如：在利用旋转的性质进行计算和证明时，利用转化法把求线段的相等转化为关于旋转的性质的问题．3．掌握数形结合思想．如：在解旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题时，利用几何图形将“数”与“形”结合起来，运用数形结合的思想解答．23.1图形的旋转1课时23.2中心对称3课时23.3课题学习图案设计1课时23.1图形的旋转一、基本目标【知识与技能】1．了解旋转及其旋转中心、旋转角、对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．2．通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质．3．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形．【过程与方法】通过具体实例认识平面图形的旋转，通过提问、小组交流等方式探讨旋转的基本性质．【情感态度与价值观】1．通过具体实例认识平面图形的旋转，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．2．了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】旋转及对应点的有关概念及其应用．【教学难点】旋转的基本性质．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P59～P62的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．观察教材P59“思考”，回答问题．(1)教材上面的情景中的转动现象，有什么共同的特征？解：指针、风车叶片分别绕中间点旋转．(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？解：形状、大小不变，位置发生变化．(3)从3时到5时，时针转动了__60__°.(4)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了__60__°。

教师辅导讲义（ 画竹必先成竹于胸！）题型一：中心对称与中心对称图形1、1、下列四个图形中，不是中心对称图形的是(C )A.B. C.D.2、下列图形中，是中心对称图形的是（ B ）知识典例C 专题——旋转复习题型二：旋转的基本性质1、如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（A）A. 40°B. 30°C. 38°D. 15°2、如图所示，边长为的正三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到三角形，则点的坐标为（ B ）A. B. C. D.3、如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（C）A．35°B．40°C．50°D．65°4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（C）A．32° B．64°C．77°D．87°5、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90∘，∠ABC=30∘，AB=6cm，将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上，则点C经过的路线的长度是(C)A. 12cmB. 5π2cmC. 5√3π2cmD. 2√33cm6、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ′，则点B 转过的路径长为 ___33π___ ．题型三：作图题1、如图，△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－2,3)， B(－3,1)， C(－1,2)．(1)将△ABC 向右平移4个单位，画出平移后的△A 1B 1 C 1；(2)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2；(3)将△ABC 绕原点O 旋转180°，画出旋转后的△A 3B 3C 3；2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．题型四：旋转证明1、四边形ABCD是正方形，△ABE绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADF，且点F，A，B在同一直线上（如图所示），如果AF=4，AB=7。

旋转（讲义）课前预习1.平移是，只改变图形的，不改变图形的．平移平移方向平移距离1.对应点所连的线段平行且相等2.对应线段平行且相等3.对应角相等平移出现轴对称对称轴 1.对应线段、对应角相等2.对应点所连线段被对称轴垂直平分3.对称轴上的点到对应点的距离相等4.对称轴两侧的几何图形全等折叠出现1.旋转（1）旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为，这个定点称为，转动的角称为．旋转不改变图形的和．（2）旋转的性质对应点到旋转中心的距离；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于；旋转前、后的图形．2.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或，这个点叫做（简称中心）．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的．， （2）中心对称的性质中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所．中心对称的两个图形是．3. 中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 如果一条直线经过中心对称图形的对称中心，那么这条直线将该中心对称图形分割成面积相等的两部分．4. 坐标系中的对称点（1）平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′（， ）． （2）平面直角坐标系中，若两个点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点C 对称，则点C 为线段AB 的中点，此时点C 的坐标为 (x 1+x 2y 1+y 2)．22精讲精练1. 如图，在网格纸中有一Rt △ABC ．（1）将△ABC 以点C 为旋转中心，顺时针旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ； （2）将△ABC 以点A 为旋转中心旋转90°，画出旋转后对应的△AB 2C 2．BA CBC 2. 如图，在4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D1M 13. 如图，△OAB 绕点O∠AOB =45°，则∠AOD = ．DE ACB OD第3题图 第4题图4. 如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ．若∠CAE =65°，∠E =70°，且AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为 ． 5. 如图，在△ABC 中，∠CAB =70°．在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′= （ ） A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°B'C' CABDO C' B 6. 如图，已知菱形OABC 的两个顶点O (0，0)，B (2，2)，若将菱形绕点O 旋转α°（0≤α≤360），恰好使OB 与x 轴正半轴重合，则α= ．7. 如图，点O 是等边三角形ABC 内一点，∠A OB =110°，∠B OC =145°．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得到△ADC ，连接OD ，则∠AOD =（ ） A ．40° B ．45° C ．50° D ．55°AAB'BCC第7题图 第8题图8. 如图，将等腰Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到△AB ′C ′，若AC =1，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．33 B ．3C ．6D ．39. 下列图形：①线段；②平行四边形；③等边三角形；④等腰直角三角形；⑤菱形；⑥长方形；⑦正方形；⑧圆．其中是中心对称图形的有．10. 下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4y 2 AB1D O1C 2x3311. 如图，在□ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC =6，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．2412. 的坐标为(4，4)，直线y =mx -2两部分，则m 的值为．第12题图 第13题图 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O (0，0)，A (0，6)，B (4，6)，C (4，4)，D (6，4)，E (6，0)．若直线l 经过点M (2，3)，且将多边形OABCDE 分成面积相等的两部分，则下列各点在直线l 上的是（）A ．(4，3)B ．(5，2)C ．(6，2)D ．(0，10)314. 已知点A (2a -3b ，-1)与B (-2，3a -2b )关于坐标原点对称，则5a -b = ． 15. 在同一平面直角坐标系中，点A ，B 分别是函数y =x -1与y =-3x +5的图象上的点，且点A ，B 关于原点对称，则点A 的横坐标为．16.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5)，B(-2，1)，C(-1，3)．（1）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，写出A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O中心对称，画出对应图形，并写出△A2B2C2各顶点坐标；（3）若△ABC和△A3B3C3关于点D(1，0)中心对称，画出对应图各顶点坐标．形，并写出△A3B3C3【参考答案】课前预习1.全等变换；位置；形状和大小．2.平行四边形；垂直平分．知识点睛1.（1）旋转；旋转中心；旋转角；形状；大小．（2）相等；旋转角；全等．2.（1）180；中心对称；对称中心；对称点．（2）对称中心；平分；全等图形．4. -x；-y精讲精练1.略2.B3. 35°4. 85°5. C6. 45°7.B8.B9. ①②⑤⑥⑦⑧10.B11.C12.213.B114.-515.-116.（1）A1(5，3)，B1(1，2)（2）A2(3，-5)，B2(2，–1)，C2(1，–3)（3）A3(5，–5)，B3(4，–1)，C3(3，–3)。

第8讲图形的旋转与中心对称知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习旋转变换，重点掌握旋转三要素以及旋转的性质，能够结合图形的性质处理简单几何问题，其次学习中心对称以及中心对称图形，掌握中心对称的性质，了解坐标关于原点对称的特征。

本节课的难点在于旋转与三角形以及四边形等知识点的结合考查，具有一定的综合性，希望同学们认真学习，熟练掌握相关性质和应用。

知识梳理讲解用时：20分钟图形的旋转（1）旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转过的角称为旋转角。

从以下几点理解定义：①旋转中心在旋转过程中保持不变；①图形的旋转是由旋转中心、旋转角度和旋转方向共同决定（三要素）；①旋转角度一般小于360°。

（2）旋转的特征①旋转后图形上每一点都绕着旋转中心旋转了同样的角度；①旋转后的图形与原图形对应线段相等、对应角相等；①对应点到旋转中心的距离相等；①旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化。

课堂精讲精练【例题1】将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查的是图形的旋转变化，小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是B中图案，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：根据旋转的意义，找出图中眼、尾巴等关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案。

教学建议：看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：大渡口区模拟年份：2017 【练习1】观察下列图案，其中旋转角最大的是（）。

A．B．C．D．【答案】A【解析】根据旋转的定义来判断旋转的度数，A、旋转角是120°；B、旋转角是90°；C、旋转角是72°；D、旋转角是60°．故选：A．讲解用时：2分钟解题思路：根据定义，一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形叫做旋转。

九年级数学上册第二十三章旋转全部重要知识点单选题1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B 的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD．则下列结论错误的是（）A．BE=BC B．BF∥DE，BF=DEC．∠DFC=90°D．DG=3GF答案：D分析：根据旋转的性质可判断A；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D．A．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC，故A正确；B．∵点F是边AC中点，∴CF=BF=AF=1AC，2∵∠BCA=30°，∴BA=1AC，2∴BF=AB=AF=CF，∴∠FCB=∠FBC=30°，延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，∴∠BHE=∠DEC=90°，∴BF//ED，∵AB=DE，∴BF=DE，故B正确．C．∵BF∥ED，BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BC=BE=DF，∵AB=CF，BC=DF，AC=CD，∴△ABC≌△CFD，∴∠DFC=∠ABC=90°，故C正确；D．∵∠ACB=30°，∠BCE=60°，∴∠FCG=30°，∴FG=1CG，2∴CG=2FG．∵∠DCE=∠CDG=30°，∴DG=CG，∴DG=2FG．故D错误．故选D．小提示：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角边等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，正确理解旋转性质是解题的关键．2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2√3，BC =3．点P 为ΔABC 内一点，且满足PA 2+PC 2 =AC 2．当PB 的长度最小时，ΔACP 的面积是（ ）A ．3B ．3√3C ．3√34D ．3√32答案：D分析：由题意知∠APC =90°，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在RtΔBCO 中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P 是BO 的中点，由线段长度即可得到ΔPCO 是等边三角形，利用特殊RtΔAPC 三边关系即可求解．解：∵PA 2+PC 2=AC 2∴ ∠APC =90°取AC 中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短∴AO =PO =CO∵CO =12AC =12×2√3=√3,BC =3 ∴BO =√BC 2+CO 2=2√3∴BP =BO −PO =√3∴点P 是BO 的中点∴在RtΔBCO 中，CP =12BO =√3=PO ∴ ΔPCO 是等边三角形∴∠ACP=60°∴在RtΔAPC中，AP=CP×tan60°=3∴SΔAPC=12AP×CP=3×√32=3√32．小提示：本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．3、已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（）A．√14B．4C．√23D．5答案：D分析：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，先利用垂径定理求得AC=BC=12AB=5，然后在RtΔAOC中求得OC=2√6，再在RtΔPOC中，利用勾股定理即可求解．解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，则AC=BC=12AB，OA=7，∵PA＝4，PB＝6，∴AB=PA+PB=4+6=10，∴AC=BC=1AB=5，2∴PC=AC−PA=5−4=1，在RtΔAOC中，OC=√OA2−AC2=√72−52=2√6，在RtΔPOC中，OP=√OC2+PC2=√(2√6)2+12=5，故选：D小提示：本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．4、如图，△ABC中，∠B=35°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A旋转逆时针旋转α度（0<α<180）后得到△ADE，点E恰好落在BC上，则α=（）A．30°B．35°C．40°D．不能确定答案：A分析：由三角形内角和求出∠C，由旋转的性质可得ΔAEC是等腰三角形，从而可得旋转角α大小．解：∵∠B=35°，∠BAC=70°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=75°，∵将ΔABC绕点A旋转逆时针旋转α度(0<α<180)后得到ΔADE，点E恰好落在BC上，∴AC=AE，∠CAE=α，∴∠AEC=∠C=75°，∴∠CAE=α=180°−∠AEC−∠C=30°，故选：A．小提示：此题考查了旋转的性质，等边对等角求角度，三角形的内角和定理，熟记旋转的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．5、围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形．逐一进行判断即可．解：A、是中心对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选A．小提示：本题考查中心对称．熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．6、如图，一块直角三角板ABC（∠A=60°）绕点C顺时针旋转到△A′B′C，当B，C，A′在同一条直线上时，三角板ABC旋转的角度为（）A．150°B．120°C．60°D．30°答案：A分析：根据旋转的定义可得∠ACA′为旋转角，再根据三角形的外角性质即可得．解：由旋转得：∠ACA′为旋转角，∵∠ABC=90°,∠A=60°，∴∠ACA′=∠ABC+∠A=150°，即三角板ABC旋转的角度为150°，故选：A．小提示：本题考查了图形的旋转、三角形的外角性质，熟练掌握旋转的概念是解题关键．7、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E=70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°答案：C分析：由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．故选C．小提示：本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．8、下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．梯形B．等边三角形C．平行四边形D．矩形答案：B分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可．A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误；D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误．故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质是解题的关键．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于（）A．3√3B．2√3C．3D．2答案：C分析：如图，过A作AQ⊥A′C于Q,求解AB=4,AC=2√3,结合旋转：证明∠B=∠A′B′C=60°,BC=B′C,∠A′CB′=90°,可得△BB′C为等边三角形，求解∠A′CA=60°,再应用锐角三角函数可得答案．解：如图，过A作AQ⊥A′C于Q,由∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2，∴AB=4,AC=√AB2−BC2=2√3,结合旋转：∴∠B=∠A′B′C=60°,BC=B′C,∠A′CB′=90°,∴△BB′C为等边三角形，∴∠BCB′=60°,∠ACB′=30°,∴∠A′CA=60°,∴AQ=AC·sin60°=2√3×√3=3.2∴A到A′C的距离为3．故选C小提示：本题考查的是旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．10、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD=DC=1AC=2√22∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵OA2=OD2+AD2∴(4−x)2=x2+(2√2)2，解得x=1∴BC=2OD=2x=2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．填空题11、如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为__________．答案：4 cm2分析：根据旋转的性质和图形的特点解答．每个叶片的面积为4cm2，因而图形的面积是12cm2．∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°，∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的1，因而3图中阴影部分的面积之和为4cm2．故答案为4cm2．小提示：本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．12、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为__________．答案：2√13分析：如图，连接，AC，BD．过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．利用勾股定理，求出OE，可得结论．解：如图，连接，AC，BD．∵O 是矩形的对称中心，∴O 也是对角线的交点，过点O 作OM ⊥AD 于点M 交BC 于点N ．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OD =OB ，∵OM ⊥AD ，∴AM =DM =12AD =12BC =4，∴OM =12AB =3， ∵AE =2，∴EM =AM -AE =2，∴OE =√22+32=√13，同法可得OF =√13，∴OE +OF =2√13，所以答案是：2√13．小提示：本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．13、如图，在正方形网格中，格点ΔABC 绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点ΔA 1B 1C 1，点A 与点A 1，点B 与点B 1，点C 与点C 1是对应点，则α=_____度．答案：90°分析：先连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案.如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，∴点E是旋转中心，∵∠AEA1=90°，∴旋转角α=90°.故答案为90°.小提示：本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质.14、如图，在矩形ABCD中，AB=2√3，BC=6，点E是直线BC上的一个动点，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转120°得到线段DG，连接AG，则线段AG的最小值为_________．答案：√3分析：将线段DC绕点D顺时针旋转120°得到线段DC′，作直线GC′交AD于K，过点A作AH⊥GC′于点H．当点E在直线BC上运动时，G在直线GC′上运动，即点G的运动轨迹是直线GC′．当点G运动到H时，AG最小，最小值即为AH的长度，利用旋转的性质，根据“边角边”的判定方法可证明△DCE∥△DC′G，进而利用全等三角形的性质以及旋转性质可求出AG的最小值．解：如图所示，将线段DC绕点D顺时针旋转120°得到线段DC′，作直线GC′交AD于K，过点A作AH⊥GC′于点H．∵∠EDC=120°−∠EDC′=∠GDC′,CD=C′D,DE=DG,∴△DCE∥△DC′G（SAS）∴∠GC′D=∠C=90°=∠KC′D,如图所示，当点E在直线BC上运动时，G在直线GC′上运动，即点G的运动轨迹是直线GC′．∴当点G运动到H时，AG最小，最小值即为AH的长度．∵∠CDC′=120°,∠CDA=90°,∴∠KDC′=30°,∴C′K=12DK,∠C′KD=60°=∠AKH∵C′D=CD=AB=2√3,∴C′K=2,DK=4∵AD=BC=6∴AK=AD−DK=2在Rt△AKH中，∠AKH=60°∴KH=12AK=1,AH=√3KH=√3则线段AG的最小值为√3所以答案是：√3小提示：本题主要考查了矩形中的旋转变换，能够掌握旋转的性质以及正确作出辅助线找到点G的轨迹是解决本题的关键．15、如图，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=30°，点D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转得到△A′B′C′，当点A的对应点A′落在边AB上时，点C′在BA的延长线上，连接BB′，若AA′=1，则△BB′D的面积是____________．答案：3√34分析：先证明△A′AD是等边三角形，再证明A′O⊥BC，再利用直角三角形30°角对应的边是斜边的一般分别求出A′B′和A′O，再利用勾股定理求出OD，从而求得△BB′D的面积．解：如下图所示，设A′B′与BD交于点O，连接A′D和AD，∵点D为BC的中点，AB=AC,∠ABC=30°，∴AD⊥BC,A′D⊥B′C′，A′D是∠B′A′C′的角平分线，AD是∠BAC，∴∠B′A′C′=120°，∠BAC=120°∴∠BAD=∠B′A′D=60°∵A′D=AD，∴△A′AD是等边三角形，∴A′A=AD=A′D=1，∵∠BA′B′=180°−∠B′A′C′=60°，∴∠BA′B′=∠A′AD，∴A′B′//AD，∴A′O⊥BC，∴A′O=12A′D=12，∴OD=√1−14=√32∵A′B′=2A′D=2∵∠A′BD=∠A′DO=30°，∴BO=OD∴OB′=2−12=32，BD=2OD=√3,∴S△BB′D =12×BD×B′O=12×√3×32=3√34．小提示：本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明△A′AD是等边三角形是解本题的关键．解答题16、如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．（1）求证：BD＝CE；（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．答案：（1）见解析；（3）正确，见解析分析：（1）根据旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，结合已知条件可得∠BAC＝∠DAE，进而证明△ABD≌△ACE，即可证明BD＝CE；（2）过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，△ABD≌△ACE，BD＝CE，由面积相等可得AM＝AN，证明Rt△AFM≌Rt△AFN，进而证明∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°解：证明：（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，（2）由（1）可知△ABD≌△ACE则∠ABD＝∠ACE，又∵∠AGB＝∠CGF，∴∠BFC＝∠BAC＝60°，∴∠BFE＝120°，过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，又∵△ABD≌△ACE，BD＝CE，∴由面积相等可得AM＝AN，在Rt△AFM和Rt△AFN中，，{AF=AFAM=AN∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），∴∠AFM＝∠AFN，∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．小提示：本题考查了三角形全等的性质与判定，旋转的性质，正确的添加辅助线找到全等三角形并证明是解题的关键．17、如图，在6×6的正方格中，中心点为点O，图中有4个小正方格被涂黑成“L形”．(1)用2B铅笔在图中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”关于点O成中心对称，(2)用2B铅笔在图中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形、又是中心对称图形（要求画出三种）．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）根据中心对称图形的定义画出图形；（2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可．（1）解：图形如图所示：（2）图形如图所示：小提示：本题考查作图−应用与设计作图，利用轴对称，中心对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义．18、如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．（1）在平面直角坐标系中画出与△ABC关于点P（1，0）成中心对称的△A'B'C'，并分别写出点A'，B'，C'的坐标；（2）如果点M（a，b）是△ABC边上（不与A，B，C重合）任意一点，请写出在△A'B'C'上与点M对应的点M'的坐标．答案：（1）△A'B'C'见解析，A′（3，2），B′（4，4），C′（6，1）；（2）M′（2−a，−b）．分析：（1）分别作出A，B，C的对应点A′、B′、C′，然后顺次连接可得△A'B'C'，再根据所作图形写出坐标即可．（2）利用中点坐标公式计算即可．解：（1）△A'B'C'如图所示，A′（3，2），B′（4，4），C′（6，1）；（2）设M′（m，n），则有a+m2=1，b+n2=0，∴m＝2−a，n＝−b，∴M′（2−a，−b）．小提示：本题考查作图−中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，正确找出对应点位置．。

人教版九年级数学上册讲义第二十三章旋转第2课时旋转作图旋转作图的一般步骤步 骤：(1)明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；(2)确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；(3)顺次连接对应点．网格中旋转90°的画法1．确定关键点与旋转中心所在的矩形．2．搞清楚是顺时针还是逆时针，旋转矩形，确定对应点．3．确定旋转后的图形．确定旋转中心的步骤1．连接两组对应点．2．作对应点连线的垂直平分线．3．交点就是旋转中心．旋转过程边所扫过区域的面积旋转过程边所扫过区域的面积为扇形面积面积公式为：lR R n S 213602==π扇（其中n 是旋转度数，R 是旋转的那条线也是扇形的半径）计算公式为180r n l π=（其中n 是旋转度数，r 是旋转中心到哪个点的距离也是扇形的半径） 对应练习1.画出将线段 AB 绕点 O 按顺时针方向旋转 90° 后的图形．2.画出将ΔABC 绕点C 按逆时针方向旋转150°后的对应三角形．3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣2，﹣1）、B （﹣1，1）、C （0，﹣2）．（1）点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为 ；（2）将△ABC 绕着点C 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C ；（3）在（2）中，求边CA 所扫过区域的面积是多少？（结果保留π）．（4）若A 、B 、C 三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形△ABC 的位置发生怎样的变化？4．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1．将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得△CDO．(1)写出点A，C的坐标；(2)求点A和点C之间的距离．5．如图，在平面直角坐标系中有△ABC，其中A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1）.把△ABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1.再把△A1B1C1向左平移2个单位，向下平移5个单位得到△A2B2C2.（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2.（2）直接写出点B1、B2坐标.（3）P（a，b）是△ABC的AC边上任意一点，△ABC经旋转平移后P对应的点分别为P1、P2，请直接写出点P1、P2的坐标.6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转得到，求点的坐标．7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（0，1）.（1）画出△ABC向右平移3个单位长度所得的△A1B1C1；写出C1点的坐标；（2）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；写出C2点的坐标；（3）在（2）的条件下求点A所经过路径的长度.8．如图，Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3，2)，B(0，4)，C(0，2)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC以点C为旋转中心旋转180°后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，-4)，画出平移后对应的△A2B2C2；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．课后作业1．在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）（1）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A1B1C1；（2）求点A在（1）的图形变换过程中所经过的路径长.2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）.（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状. （无须说明理由）3．如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣1，1），C（﹣1，4）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．（3）求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．（结果保留π）4．如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；（3）设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．5．如图，把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，使得A、B、D三点在一直线上．(1)旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？(2)AC与DE的位置关系怎样？请说明理由．6．线段AB，CD在正方形网格中的位置如图所示，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转一定角度α，可以得到线段CD．（1）请在下图中画出点O；（2）若点A、B、C、D的坐标分别为A(-5,5)、B(1,1)、C(5,1)、D(1,-5)，则点O的坐标为；（3）α=．对应练习答案1.2.3．解答：解：（1）∵B（﹣1，1），∴点B关于坐标原点O对称的点的坐标为（1，﹣1）．故答案为（1，﹣1）；（2）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形；（3）∵CA＝＝，∠ACA1＝90°，∴S扇形CAA1＝＝；（4）∵A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变，∴图形△ABC的位置是向右平移了3个单位．4．解答：解：(1)点A的坐标是(-2，0)，点C的坐标是(1，2)．(2)连接AC，在Rt△ACD中，AD＝OA+OD＝3，CD＝2，∴AC2＝CD2+AD2＝22+32＝13，∴AC＝．5．解答：（1）解：如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求：（2）解：点B1坐标为（2，4）、B2坐标为（0，﹣1）（3）解：由题意知点P1坐标为（b，﹣a），点P2的坐标为（b﹣2，﹣a﹣5）6．解答：解：轴于，轴于，如图，，，绕原点顺时针旋转得到可看作是绕原点顺时针旋转得到，则，，所以点的坐标为．7．解答：解：（1）如图所示.由图可知，C1（2，3）；（2）如图所示，由图可知，C2（﹣2，0）；（3）∵AB＝＝，∴点A所经过路径的长度＝＝.8．解答：解：(1)延长AC至A1，点B1与点O重合，连接A1C、B1C、A1B1，则△A1CB1就是所求三角形；(2)取B2(3，-2)，C2(4，-3)，连成△A2B2C2；(3)连接A1A2、B1B2，交于点E，则点E就是旋转中心，E(1.5，-1)．课后作业答案1．解答：解：（1）如图所示：（2）点A在（1）的图形变换过程中所经过的路径是一段圆弧，其半径为2，圆心角为90°，所以长度为.2．解答：解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1＝，A1B＝，即，所以三角形的形状为等腰直角三角形.3．解答：解：（1）如图，△AlB1C1为所作；（2）如图，△A2BC2为所作；（3）AB＝＝3，所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝π．4．解答：解：（1）旋转中心坐标是O（0，0），旋转角是90度；（2）画出的图形如图所示；（3）有旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B+4S△ABC，∴（a+b）2＝c2+4×ab，即a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．5．解答：解：(1)直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，∴旋转中心是点B，旋转角是90°；(2)AC⊥DE，理由：延长DE交AC于F，∵把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，∴∠C＝∠D，∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠C+∠A＝∠D+∠A＝90°，∴∠DFA＝90°，∴AC⊥DE．6．解答：解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）观察图象可知，O(-2,-2)．故答案为(-2,-2)．（3）观察图象可知α=90°．故答案为90°．。