考研数学公式大全(pdf清晰版,)

考研24个基本求导公式(一)考研24个基本求导公式本文将列举考研数学中的24个基本求导公式，并结合实例进行解释和说明。

一、基本函数及常数的求导公式1. 常数函数：y=C，C为常数常数函数的导数为0。

因为常数函数表示的是一个固定的值，其斜率为0，不随自变量的变化而变化。

例如：y=5，由于此函数为常数函数，其导数为0。

2. 线性函数：y=kx，k为常数线性函数的导数为其系数k。

线性函数的图像表示一条直线，斜率恒定为k。

例如：y=3x，由于此函数为线性函数，其导数为3。

3. 幂函数：y=x n，n为常数幂函数求导时，通过求导公式y′=nx n−1可得。

例如：y=x2，求导后得到y′=2x。

4. 指数函数：y=a x，a为常数，a>0且a≠1指数函数的导数为其本身乘以自然对数e。

例如：y=2x，求导后得到y′=2x ln2。

5. 对数函数：y=log a x，a为常数，a>0且a≠1。

对数函数的导数可以通过换底公式得到y′=1xlna。

例如：y=log2x，求导后得到y′=1xln2二、基本运算法则的求导公式6. 和差法则和差法则指出，两个函数相加（减）的导数等于两个函数分别求导后再相加（减）。

例如：y=f(x)+g(x)，求导后得到y′=f′(x)+g′(x)。

7. 乘积法则乘积法则描述了两个函数相乘的导数和原函数的关系。

例如：y=f(x)⋅g(x)，求导后得到y′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)。

8. 商积法则商积法则指出，两个函数相除的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分子函数乘以分母函数的导数再除以分母函数的平方。

例如：y=f(x)g(x)，求导后得到y′=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)g(x)2。

9. 复合函数法则复合函数法则说明了两个函数复合的导数与原函数的导数之间的关系。

例如：y=f(g(x))，求导后得到y′=f′(g(x))⋅g′(x)。

三、特殊函数的求导公式10. 正弦函数：y=sin(x)正弦函数的导数为余弦函数，即ddx(sin(x))=cos(x)。

考研数学三公式大全高等数学公式导数公式： 基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππA.积化和差公式：B.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 1.正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2..余弦定理：a2=b2+c2-2bc A cos b2=a2+c2-2ac B cosc 2=a 2+b 2-2ab C cos bca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C BA c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)(④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -=④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±=②2cos 12sin 2θθ-=③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=-⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 多元函数微分法及应用将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；1. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积；④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：AO A C A BCB O B==、(1)m n CA OA A BBO B C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n kk k E A S λλλ-=-=+-∑，其中kS 为k 阶主子式； 3. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n=（是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解；⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是nR 的一组基； ⇔A是nR 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；4. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12sA A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块）④、11111A C A A CB O B O B-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、 若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B-，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、12n ⎛⎫ ⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，iλ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质： ①、0()min(,)m nr A m n ⨯≤≤；②、()()Tr A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）； Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-； 6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ②、型如101001a c b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C ab C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()na b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n nn n n n n m n CC C m m n mⅢ、组合的性质：11112---+-===+==∑nmn mm m m r nr r nnn nnnn n r CCCC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A AA X X λλλ- == ⇒ =；③、*1AA A -=、1*n AA-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程； ②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程： ①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m个方程，n 个未知数）③、()1212n n x xaa a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）；④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,mααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T T mβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 Ax b⇔=是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m nA ⨯与l nB ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()Tr A A r A =；(101P 例15)5. n 维向量线性相关的几何意义： ①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）； ③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,sααα线性相关，则121,,,,ss αααα+必线性相关；若12,,,sααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3）向量组A 能由向量组B 线性表示AX B⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论） 8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,lP P P ，使12lA P PP =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）；③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m nA ⨯与l nB ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等； ②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m ss n m nAB C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，TA 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解； ②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解； 12. 设向量组12:,,,n rrBb b b ⨯可由向量组12:,,,n ssAa a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K=（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法） 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵m nA ⨯，存在n mQ ⨯，mAQ E=()r A m⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m nA ⨯，存在n mP ⨯，nPA E=()r A n⇔=、P 的行向量线性无关； 14.12,,,sααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,sk k k ，使得1122s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r sααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-； 16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n rξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n rηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵TA A E ⇔=或1TAA -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1TAA -=也为正交阵，且1A =±；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=TCAC B，其中可逆； ⇔T x Ax与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数；③、A 与B 相似 1-⇔=PAP B；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则TC AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；7. n 元二次型Tx Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使TC AC E =；A ⇔的所有特征值均为正数； A⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)考研概率论公式汇总1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)(反演律：B A B A =⋃BA AB ⋃= ni ini i A A 11=== ni i ni iA A11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂)()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有)()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 3．条件概率乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==ni i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()( 4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λnn np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk n n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U (2) 指数分布 )(λE (3) 正态分布 N (μ , σ2 ) *N (0,1) — 标准正态分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数8.连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) (2)二维正态分布9.二维随机变量的条件分布 10.随机变量的数字特征 数学期望随机变量函数的数学期望X 的k 阶原点矩)(k X E X 的k 阶绝对原点矩)|(|k X EX 的k 阶中心矩)))(((k X E X E -X 的方差)()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的二阶混合原点矩)(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -= 方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

2024考研数学常见泰勒公式展开式泰勒公式是数学分析中的一个重要定理，它给出了一个函数在其中一点附近的多项式逼近。

它的形式如下：设函数f在点x=a处n+1次可导，则它在点x=a处的泰勒展开式为：\[f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)\]其中，Rn(x)为泰勒余项，余项有以下形式：\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\]其中a<c<x为函数f在区间[a,x]上的其中一点。

常见的泰勒公式展开式如下：1.指数函数的泰勒展开式：\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n! }+R_n(x)\]其中\[R_n(x)=\frac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1}\]2.正弦函数的泰勒展开式：\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_n(x)\]其中\[R_n(x)=(-1)^n\frac{\cos c}{(2n+2)!}x^{2n+2}\]3.余弦函数的泰勒展开式：\[\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+R_n(x)\]其中\[R_n(x)=(-1)^n\frac{\sin c}{(2n+1)!}x^{2n+1}\]4.自然对数函数的泰勒展开式：\[\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+R_n(x)\]其中\[R_n(x)=(-1)^n\frac{(1+c)^{-n}}{n+1}x^{n+1}\]5.三角函数的泰勒展开式：\[\begin{align*} \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad \text{(奇次项展开式)} \\ \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \quad \text{(偶次项展开式)} \end{align*}\]除了上述常见的泰勒展开式之外，还有一些其他函数的泰勒展开式，如二次函数、指数对数混合形式等，这些展开式在不同的数学问题中有着重要的应用。