2021九年级数学上册19.5 相似3角形的判定课堂导学+北京课改版

19.5 相似三角形的判定基础能力训练★回归教材 注重基础◆相似三角形的判定1.(2008·哈尔滨)已知菱形ABCD 的边长是6,点E 在直线AD 上,DE=3,联结BE 与对角线AC 相交于点M,则AMMC 的值是______. 2.如图19－5－4所示,E 是平行四边形ABCD 的一边BA 延长线上的一点,CE 交AD 于点F,图中共有______对相似三角形,按对应顶点写出图中的相似三角形____________________.3.如图19－5－5所示,已知△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC,则BD=_______=_______.4.如图19－5－6所示,∠l=∠2,若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立,则这个条件可以是_______.5.如图19－5－7所示,△ACD 和△ABC 具备下列哪个条件时,它们相似( ) A.BC AB CD AC = B.ACBC AD CD = C.CB 2=AD ·BD D.AC 2=AD ·AB 6.用—个放大镜看一个直角三角形,该直角三角形的边长放大到原来的5倍后,下列结论正确的是( )A.每个内角是原来的5倍B.周长是原来的5倍C.面积是原来的5倍D.两条直角边的比值是原来的5倍7.下列条件能判别△ABC～△DEF 的是( )A.AB=4 cm,AC=3.2 cm,DE=2 cm,DF=1.6 cm,∠B=∠E=50°B.AB=6 cm,BC=9 cm,AC=7.5 cm,DE=8 cm,EF=12 cm.DF=10 cmC.∠A=∠D=70°,∠B =50°,∠E=60°D.∠B=∠E=90°,EFBC DF AB = 8.某班在布置新年联欢会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条,如图19－5－8所示,在Rt△ABC 中,∠C =90°,AC=30 cm,AB=50 cm,依次裁下宽为1 cm 的纸条a 1、a 2、a 3、…,若使裁得的矩形纸条长度不小于5 cm,则每张直角三角形彩纸能裁成矩形纸条的条数为( )A.24B.25C.26D.279.已知,如图19－5－9,Rt△∠ABC 和Rt△A′B′C′中∠C=∠C′=90°,''''C A AC B A AB =.△ABC 与△A′B′C′是否相似,并说明理由.10.如图19－5－10所示,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,∠1=∠2,∠3=∠4,指出图中哪些三角形相似,并说明理由.11.如图19－5－11所示,点C 、D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形.(1)当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时,△ACP ~△PDB?(2)当△ACP～△PDB 时,求∠APB.12.如图19－5－12所示,在△ABC中,AH是BC边上的高,四边形DEFG是△ABC的内接矩形,DG交AH于点I,则图中相似的三角形共有多少对?分别表示出来.13.如果两个三角形中有两边和其中一边上的高对应成比例,则这两个三角形相似吗?综合创新训练★登高望远课外拓展◆创新训练14.已知：如图19－5－13,在平面直角坐标系中,矩形AOBC有两个顶点的坐标分别是A(0,6),C(8,6),x轴的正半轴上有一动点E(E与B不重合),作直线AE交对角线OC于D,或AE与BC相交于点F.当点E在O、B间运动到某些位置时,作直线AE后,图中会出现相似不全等的三角形,请你把这个相似三角形写出来：_______；当E点运动到B点的右边时,请你写出此时图中三对相似而不全等的三角形：__________________.15.如图19－5－14所示,在△ABC中,AB=8 am,BC=16 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒钟△PBQ 与原△ABC相似?16.一个圆柱形油桶,半径为1米,高为1.5米,用一根2米长的木棒从桶盖小口斜插桶内,另一端在小口处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,试求：(1)油面的高度是多少?(2)桶内有油多少升?(1立方分米=1升,π取3.14,取后结果精确到1升)◆开放探索17.如图19－5－15,在△ABC 中,∠C=90°,P 为AB 上一点且点不与点A 重合.过点P 作PE⊥AB 交AC 边于E,点E 不与点C 重合.若AB=10,AC=8,设AP 的长为x,四边形PECB 的周长为y,试用x 的代数式表示y.参考答案1答案：2或32 解析：当点E 在线段AD 上时，如图(1)，因为AB ∥CD ，所以△ABE～△DFE.所以EDAE DF AB =，故DF=6.又因为△AMB ～△CMF ，所以2612===AB CF AM MC . 当点E 在线段AD 的延长线上时，如图(2)，容易得到△BCM ～△EAM ， ∴32366=+==AE BC AM MC .2答案：3 △EAF ～△EBC ，△EAF ～△CDF ，△EBC ～△CDF3答案：BC AD4答案：∠B=∠D ，或∠C=∠AED ，或AD ：AB=AE ：AC解析：本题实质就是构造使△ADE 与△ABC 相似的条件.5答案：D 解析：由AC 2=AD ·AB 可得AC AB AD AC =.又∠A=∠A ，所以△ACD ～△ABC.6答案：B7答案：B 解析：因为43===DF AC EF BC DE AB ，三边对应成比例，所以两三角形相似. 8答案：C 解析：设第n 条的长度恰好为5cm ，且该矩形纸条与AC 的交点为P 点，与AB 的交点为Q 点，则PQ=5cm ，设AP=x cm ，则△APQ ～△ACB,得BC PQ AC AP =，即40530=x ，解得：x=3.75， ∴CP=30－x=26.25.∵矩形宽为1 cm ，取整数，可知矩形纸条为26条.9答案：解析：相似，理由如下：∵''''C A AC B A AB =,∴''''C A B A AC AB =，两边平方，得2222''''C A B A AC AB =，所以222222''''''C A C A B A AC AC AB -=-，由勾股定理得2222C'A'''C B AC BC =，因为AC BC ，''''C A C B 均为正数，则C'A'''C B AC BC =，即''''C A AC C B BC =，而∠C=∠C ′=90°，故Rt △ABC ～Rt △A'B'C'. 10答案：解析：(1)△ABO ～△DCO ，因为∠1=∠2，∠AOB=∠DOC ，所以△ABO ～△DCO. (2)△AOD ～△BOC ，由(1)知△ABO ～△DCO ，则CO BO DO AO =.又因为∠AOD=∠BOC ，所以△AOD ～△BOC. (3)△ACD ～△BCE ，由(2)知△AOD ～△BOC ，则∠DAO=∠CBO ，又因为∠3=∠4，所以△ACD～△BCE.(4)△ABC ～△DEC ，因为∠3=∠4，所以∠3+∠ECO=∠4+∠ECO ，即∠BCA=∠ECD.又因为∠1=∠2，所以△ABC ～△DEC.11答案：解析：(1)∵△PCD 是等边三角形，∴PC=CD=PD ，∠PCD=∠PDC=60°，即∠PCA=∠PDB=120°，∴只要满足BD PC PD AC =，就有△ACP ～△PDB ，∴关系式为BDCD CD AC =或CD 2=AC ·BD. (2)∵△ACP ～△PDB ，∴∠1=∠A ，∠2=∠B.又∵∠PDC=∠1+∠B=60°，∴∠1+∠2=60°，∴∠APB=∠1+∠2+∠CPD=60°+60°=120°12答案：解析：7对，分别是△ADG～△ABC，△BDE～△BAH，△ADI～△ABH，△ADI～△DBE，△AIG～△AHC，△AIG～△GFE，△GFC～△AHC.13答案：解析：(1)当△ABC 和△A ′B ′C ′都是锐角三角形时，可得△ABC ～△A ′B ′C ′，如图①.(2)当两个三角形都是直角三角形时，也可得△ABC ～△A'B'C'.(3)当两个三角形都是钝角三角形时，如图②，可得△ABC ～△A'B'C'.(4)当△ABC 为锐角三角形，△A ′B ′C ′为钝角三角形.虽然两个三角形有两边和其中一边上的高对应成比例，但两个三角形不相似.如图③.14答案：△ADC ～△EDO △ADC ～△EDO ，△AOD ～△FCD ，△BEF ～△OEA ，△AFC ～△EAO 等等 15答案：解析：分两种情况，设经过x s △PBQ 与原△ABC 相似.(1)△BPQ ～△BAC ，则BC BQ BA BP =，即164828t t =-得t=2s ； (2)△BQP ～△BAC ，则BC BP BA BQ =，即162884t t -=得t=0.8s. ∴经过0.8s 或2s 时，△PBQ 与原△ABC 相似.16答案：(1)0.6米 (2)1 884升17答案：解析：∵PE ⊥AB ，∠C=90°，∴∠EPA=∠C=90°.又∵∠A 为公共角，∴△AEP~△ABC ，∴BCEP AC AP AB AE ==.又∵∠C=90°,AB=10，AC=8，可知BC=6. ∴6810PE x AE ==，∴x PE 43=，x AE 45=，x EC 458-=， BP=10－x ，∴242310645843+-=-++-+=x x x x y , ∴2423+-=x y . 设点E 与点C 重合，有CP ⊥AB.又∠ACB=90°，∴CA 2=AP ·AB ，即82=10AP ，解之，得532=AP ，故由P 点与A 点不重合，点E 与点C 不重合知x 的取值范围是0<x<532. ∴y 与x 之间的关系式为:)5320(2423<<+-=x x y .。

19.4 相似多边形名师导学典例分析例1 下列每组图形形状相同,它们的对应角有怎样的关系?对应边呢? (1)正△ABC 与正△DEF；(2)正方形ABCD 与正方形EFGH.思路分析：相似多边形的本质特征有两点：一是对应角相等；二是对应边成比例,本题可紧扣这两点解答,对于第(1)小题每个对应角均为60°,对于第(2)小题每个对应角均为90°,当然这两组图形的对应边也均成比例. 解：(1)由于正三角形每个角都等于60°,所以∠A=∠D=60°,∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60°；由于正三角形三边相等,所以FDCAEF BC DE AB ==. (2)由于正方形的每个角都是直角,所以∠A=∠E=90°,∠B=∠F=90°,∠C=∠G=90°,∠D=∠H =90°；由于正方形四边相等,所以HEDAGH CD FG BC EF AB ===. 例2 写出下列各组相似三角形对应边的比例式.(1)在图19－4－4①中,已知：△ADE～△ABC,且AD 与AB 是对应边. (2)在图19－4－4②中,已知：△ABC～△AED,∠B=∠AED.思路分析：要写出两个相似三角形的对应边的比例式,首先要确定两个相似三角形的对应边.因为相似三角形是全等三角形的推广,所以要确定两个相似三角形的各组对应边,可以参照确定全等三角形对应边的方法,从确定这两个相似三角形对应的顶点出发. 解：(1)已知△ADE～△ABC,且AD 和AB 是对应边,它们所对的顶点E 和C 为对应点,而A 是两个三角形的公共顶点,∠BAC 为公共角,所以两个三角形另外两组对应边为DE 和,BC,EA 和CA,得CAEABC DE AB AD ==. (2)已知△ABC～△AED,且∠B=∠AED,A 为公共顶点,另一对对应顶点为D 和C,三组对应边分别是AD 和AC,AE 和AB,DE 和CB,得CBDEAB AE AC AD ==. 例3 如图19－4－5所示,Rt△ABC 与Rt△CBD 相似,AB=4,AC=3,试求CD 的长.思路分析：本题可依据相似三角形的定义去求解,即若两个三角形相似,则对应角相等,对应边成比例；不过本题解答时注意Rt△ABC 与Rt△CBD 相似有两种情况：①△ABC～△CBD；②△ABC～△CDB.解：在Rt△ABC 中,∠A =90°,∴5342222=+=+=AC AB BC .①若△ABC～△CBD,则CD AC BC AB =,即CD 354=,∴415453=⨯=CD .②若△ABC～△CDB,则CD AC CD AB =,即534=CD ,∴320354=⨯=CD . ∴CD 的长为415或320.突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法,也是最本质、最重要的性质,即我们可以用定义来判定两个多边形是否相似,同时如果已知了两个多边形相似,那么这两个多边形的对应角相等,对应边成比例.2 方法点拨：本题中涉及的两类相似三角形是相似三角形的基本图形,解题的关键仍然是找准对应点、对应边.相似三角形常见的基本类型有：平行线型和相交线型.(1)平行线型是由两条平行线和其他直线配合构成的两个相似三角形,它的对应元素比较明显,对应边、对应角、对应顶点有同样的顺序性,对应边平行或重合.基本图形有如图19－4－6两种情况：(2)相交线型的对应元素不十分明显,对应顺序也不一致,对应边相交,它的基本图形也有两种,一种是有一个公共角,另一种是一组对顶角,如图19－4－7所示：其他类型的相似多边形可分解成这两种基本类型或转化为这两种基本类型.3 方法点拨：解决此类问题时一定要注意相似三角形中的对应元素及分类讨论的思想.在相似三角形的判定和性质的运用时,找准他们的对应点是关键.请同学们注意下面问题：当提到△ABC 与△ADE 相似”,这时对应顶点可以不一一对应：当提到“△ABC～△ADE”时,对应点必须一一对应.英语不规则动词归类记忆表三、ABC型四、ABB型不规则单词测试卷（1）微信添加“小魔方站”或“fifteen1617”免费获得更多中考资料与模拟试题不规则单词测试卷（2）不规则单词测试卷（3）不规则单词测试卷（4）。

2.∠APB+PBA=45°
我反思 我进步
1，本节课我有什么收获？ 2，通过本节课的学习我有什么感想？ 3，你对自己今天的表现满意吗？
1 2
EC.求证：
(2)DF⋅BF=EF⋅CF.
导新定向
1.理解掌握三角形三边成比例判定两个 三角形相似。
2.运用三边成比例判定三角形相似来解 决问题。 3.灵活运用判定定理进行解题。
学教新课
自学思考题： 1.三角形三边对应成比例能否判定两个 三角形相似？ 2.如果可以判定，如何证明？ 3.完成自学练习
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.如 图 在边长为1cm的正 方 形 网 格 上 有 Δ A1B1C1和 Δ A2B2C2， 它 们 相 似 吗 ？ 如 果 相 似 ， 求 出 相似 比 ； 如 果 不 相 似 ， 请 说 明 理由 。
4.如图,在边长为1的正方形网格上有P、A、B、C四点. 求证:1.△PAB∽△PCA
相似三角形判定定理3
创设情景 复习导入
1.在△ABC中，∠A=48°，AB=1.5㎝，AC=2㎝， △DEF中，∠E=48°，DE=2.8CM,EF=2.1CM， 这两个三角形相似吗？
2.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的
点,DC交BE于F,且AD= (1)△DEF∽△CBF；
1 3
AB,AE=
A’
如图，在ΔABC和Δ
.
B
D
C B’
E
C’
求 证 ： Δ A B C∽ΔABC.
证明:在△A´B´C´的边A´B´(或延长线)上截取A/D=AB,
过点D作DE∥B´C´交A/C/于点E,则△A/DE∽△A/B/C/ .

第四章 图形的相似
4.4 探究三角形相似的条件
第3课时 利用三边判定三角形相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点） 2.能熟练运用相似三角形的判定定理3．（难点）
导入新课
想一想
A A′
B
C B′
C′
如果：
是否有△ABC∽△A′B′C′？
讲授新课
一 相似三角形的判定定理3
AB 4, BC 10, AC 2; AB AC BC 2 2.
AB AC BC 1 △ ABC与△ ABC相似.
C
A′
B′
C′
3.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm， BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝ 30cm．求证：△ABC与△A′B′C′相似．
A’
D
E
B
C B’
C’
∴A′E=AC , DE = BC. ∴△A′DE∽△ABC, ∴△A′B′C′∽△ABC.
由此得到三角形的判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似．
二 相似三角形的判定定理3的运用
例1:如图所示，在△ABC和△ADE中，AB BC AC .∠BAD=20°,
求∠CAE的度数.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午10时28分21.11.722:28November 7, 2021
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月7日星期日10时28分38秒22:28:387 November 2021