新课标版数学必修二(新高考 新课程)(课件)作业10

课时作业(二十三)1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A ，B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0答案 D解析 要使Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需A ，B 不同时为零(包括一个为0，另一个不为0)，显然A ，B 均不满足，C 中表示A 与B 同时不为零，也不满足，只有D 正确． 2．点M(x 0，y 0)是直线Ax ＋By ＋C ＝0上的点，则直线方程可表示为( ) A ．A(x －x 0)＋B(y －y 0)＝0 B ．A(x －x 0)－B(y －y 0)＝0 C ．B(x －x 0)＋A(y －y 0)＝0 D ．B(x －x 0)－A(y －y 0)＝0 答案 A3．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3答案 D 解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)．4．两条直线x ＋3y ＋m ＝0和3x －y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．不平行也不垂直D ．与m ，n 的取值有关答案 B解析 因为两直线斜率之积等于－1，所以两直线垂直． 5．两条直线2x －y ＋k ＝0与4x －2y ＋1＝0的位置关系为( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．平行或重合 答案 D解析 将两条直线化为斜截式得y ＝2x ＋k ，y ＝2x ＋12.当k ≠12时，两直线平行；当k ＝12，两直线重合．6．已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则( )A ．若c>0，则a>0，b>0B ．若c>0，则a<0，b>0C ．若c<0，则a>0，b<0D ．若c<0，则a>0，b>0答案 D解析 由ax ＋by ＋c ＝0，斜率k ＝－ab .直线在x ，y 轴上的截距分别为－c a ，－cb .如题图，k<0，即－ab <0，∴ab>0.∵－c a >0，－cb>0，∴ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0.故选D.7．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )答案 C8．过点M(2，1)的直线与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为( ) A ．2x －y －3＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －4＝0 D ．x －2y ＋3＝0答案 C9．已知直线mx ＋ny ＝－1平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为( ) A ．4和3B ．－4和3C ．－4和－3D ．4和－3答案 C解析 由题意得n ≠0，于是直线可化为y ＝－m n x －1n .由－m n ＝－43，－1n ＝13，得m ＝－4，n＝－3.10．若原点在直线l 上的射影是点(－2，1)，则直线l 的方程是( ) A ．x ＋2y ＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x －y ＋5＝0 D ．2x ＋y ＋3＝0答案 C11．已知2x 1－3y 1＝4，2x 2－3y 2＝4，则过A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的直线l 的方程是________． 答案 2x －3y －4＝012．已知直线mx ＋ny ＋12＝0在x 轴，y 轴上的截距分别为－3和4，则m ，n 的值分别为________，________． 答案 4 －313．已知直线ax ＋4y －2＝0和2x －5y ＋b ＝0互相垂直，且都过点A(1，m)，则a ＝________，b ＝________，m ＝________． 答案 10 －12 －214．已知点A(0，1)，点B 在x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为________． 答案 (－12，12)解析 当AB 垂直于x ＋y ＝0时，线段最短． ∴⎩⎨⎧y －1x ＝1，x ＋y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.15．已知直线l ：3x －2y ＋5＝0及定点P(3，－2)，根据下列条件求直线l 1和l 2的方程： (1)l 1过点P 且l 1∥l ； (2)l 2过点P 且l 2⊥l. 解析 (1)方法一：∵l 1∥l ，k ＝32，∴k 1＝32.又直线l 1过点P(3，－2)，代入点斜式得y ＋2＝32(x －3)．∴直线l 1的方程为3x －2y －13＝0. 方法二：设l 1的方程为3x －2y ＋m ＝0. ∵点P(3，－2)在l 1上，∴m ＝－3×3＋2×(－2)＝－13. ∴直线l 1的方程为3x －2y －13＝0. 方法三：由l 1过点P(3，－2)，且l 1∥l ， 可得l 1的方程为3(x －3)－2(y ＋2)＝0， 即所求直线l 1的方程为3x －2y －13＝0. (2)方法一：∵l 2⊥l ，k ＝32，∴k 2＝－23.又直线l 2过点P(3，－2)，∴y ＋2＝－23(x －3)，∴直线l 2的方程为2x ＋3y ＝0.方法二：设l 2的方程为2x ＋3y ＋m ＝0. ∵点P(3，－2)在l 2上， ∴m ＝－2×3－3×(－2)＝0， ∴直线l 2的方程为2x ＋3y ＝0.方法三：由l 2过点P(3，－2)，且l 2⊥l ， 可得l 2的方程为2(x －3)＋3(y ＋2)＝0， ∴直线l 2的方程为2x ＋3y ＝0.16．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为3，且在x 轴和y 轴上的截距之和为5.求这样的直线的条数．解析 设直线截距式方程为x a ＋yb＝1.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12|ab|＝3，a ＋b ＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6，a ＋b ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－6，a ＋b ＝5，由⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6，a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－6，a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6. 故所求直线有4条．1．若ac>0，bc<0，则直线ax ＋by ＋c ＝0不通过( ) A ．第三象限 B ．第一象限 C ．第四象限 D ．第二象限答案 C解析 把直线化为斜截式，得y ＝－a b x －cb .∵ac>0，bc<0，∴ab<0，∴－a b >0，－cb >0.∴直线ax ＋by ＋c ＝0不通过第四象限．2．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1，3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k)，若直线l 2过点(0，5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( ) A ．x ＋3y －5＝0 B ．x ＋3y －15＝0 C ．x －3y ＋5＝0 D ．x －3y ＋15＝0 答案 B解析 k 1＝3，k 2＝－k ，又l 1⊥l 2，∴3×(－k)＝－1. ∴k ＝13，∴l 2的斜率为－13，∴l 2：x ＋3y －15＝0.3．直线xsin20°＋ycos20°－3＝0的倾斜角是( ) A ．20° B ．160° C ．70° D ．110° 答案 B4．(2019·三亚期末)直线l 过点(－1，2)，且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0 答案 A解析 设所求直线方程为3x ＋2y ＋m ＝0，代入点(－1，2)得3×(－1)＋2×2＋m ＝0，所以m ＝－1.故直线l 的方程是3x ＋2y －1＝0.故选A. 5．下列说法正确的是( )A ．因为两点可以确定一条直线，所以任何直线都可以写出两点式方程B ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程C ．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b ＝1D ．经过点(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示 答案 B解析 A 错，直线斜率不存在或斜率为0时，不能用两点式表示直线方程；C 错，截距式方程的应用前提是a ≠0，b ≠0；D 错，斜率不存在时，不能用斜截式表示直线方程． 6．若(m 2－4)x ＋(m 2－4m ＋3)y ＋1＝0表示直线，则( ) A ．m ≠±2且m ≠1，m ≠3 B ．m ≠±2 C ．m ≠1且m ≠3 D ．m ∈R答案 D解析 因为(m 2－4)x ＋(m 2－4m ＋3)y ＋1＝0表示直线，所以m 2－4与m 2－4m ＋3不能同时为0，由m 2－4≠0，且m 2－4m ＋3≠0，解得m ∈R .7．直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( ) A ．－3 B ．3 C.13 D ．－13答案 D解析 由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13.8．(2019·吉林扶余期中)经过点A(3，2)，且与直线4x ＋y －2＝0平行的直线方程为( ) A ．4x ＋y ＋2＝0 B ．4x ＋y －14＝0 C ．x －4y －12＝0 D ．x －4y －14＝0 答案 B解析 设所求直线方程为4x ＋y ＋m ＝0，将A(3，2)代入可得m ＝－14，故所求直线方程为4x ＋y ＋m ＝0.故选B.9．(2019·江西崇义中学月考)经过点M(1，1)，且在两坐标轴上截距相等的直线是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y ＝1 C ．x ＋y ＝2或y ＝x D ．x ＝1或y ＝1 答案 C解析 若截距为0，则直线方程为y ＝x ，若截距不为0，设直线方程为x a ＋ya ＝1，又直线过M 点，所以1a ＋1a＝1，所以a ＝2，故直线方程为x ＋y ＝2.故选C.10．直线l ：(a －2)y ＝(3a －1)x －1不过第二象限，则a 的取值范围为( ) A ．a<2 B ．－2≤a ≤3 C ．a ≥2D ．a ≥4答案 C解析 当a ＝2时，x ＝15不过第二象限；当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧3a －1a －2≥0，－1a －2≤0，解得a>2，综上知a ≥2.故选C. 11．经过点(－1，1)且倾斜角为直线y ＝x －2倾斜角2倍的直线方程为________．答案 x ＝－1解析 由题知直线y ＝x －2的倾斜角为45°，∴所求直线倾斜角为90°，斜率不存在，所求直线方程为x ＝－1.12．(2019·广东肇庆期中)若直线x －y ＝1与直线(m ＋3)x ＋my －8＝0平行，则m ＝________． 答案 －32解析 由题意可得1＝－m ＋3m ，解得m ＝－32.13．(2019·广东台山期中)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a ＝________． 答案 －2解析 由题可得(－a2)·(－1)＝－1，∴a ＝－2.14．已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为________． 答案 3x ＋4y±24＝0解析 设l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠－7)，令y ＝0，得x ＝－m 3.令x ＝0，得y ＝－m 4.∴S ＝12⎪⎪⎪⎪－m 3·⎪⎪⎪⎪－m 4＝m 224＝24.∴m ＝±24.15．若方程x 2－my 2＋2x ＋2y ＝0表示两条直线，则m ＝________． 答案 116．已知直线l 的方程为3x ＋y －3＝0，则直线l 的斜率为________，倾斜角为________，在y 轴上的截距为________． 答案 －3 120°3解析 将直线方程3x ＋y －3＝0化为斜截式方程得y ＝－3x ＋3，故直线l 的斜率为－3，倾斜角为120°，在y 轴上的截距为 3.17．直线l ：y ＝x ＋1与y 轴交于点A ，将l 绕点A 旋转15°得到直线l′，求l ，l ′与x 轴围成三角形的面积．解析 ∵l 的斜率为1，∴倾斜角为45°，且A 点坐标为(0，1)， ①当l 绕点A 逆时针旋转15°时， l ′的倾斜角为15°＋45°＝60°.∴斜率为 3. l ′的方程为y ＝3x ＋1，它与x 轴交点B(－33，0)． l 与x 轴交点C(－1，0)．此时，△ABC 面积为12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－33＋1＝3－36. ②当l 绕点A 顺时针方向旋转15°时，l ′的倾斜角为45°－15°＝30°，此时l′的方程为y ＝33x ＋1. l ′与x 轴交点B′(－3，0)，l 与x 轴交点C′(－1，0)． ∴△AB ′C ′面积为12×1×(3－1)＝3－12.∴所求三角形的面积为3－36或3－12.。

课时作业(十九)1．两条不重合直线，其平行的条件是( ) A ．斜率相等 B ．斜率乘积等于－1 C ．倾斜角相等 D ．倾斜角的绝对值等于90°答案 C解析 当直线垂直于x 轴时，倾斜角为90°，斜率不存在，所以只要倾斜角相等，两条直线平行．2．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．1答案 A解析 l 1：经过两点(－1，2)，(－1，4)，倾斜角为90°， 又∵l 1∥l 2，∴l 2倾斜角也为90°，∴x ＝2.3．直线l 1，l 2的斜率分别为－1a ，－23，若l 1⊥l 2，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32C.23D.32 答案 A解析 l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，∴(－1a )·(－23)＝－1，∴a ＝－23，选A.4．若点P(a ，b)与Q(b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( ) A ．135° B ．45° C ．30° D ．60° 答案 B解析 由题意知k PQ ＝a ＋1－bb －1－a ＝－1，k l ·k PQ ＝－1，∴k l ＝1，即l 的倾斜角为45°.故选B.5．(2017·陕西榆林高一测试)直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直答案 D解析 由韦达定理知，x 1x 2＝－1，∴l 1与l 2垂直．6．过点E(1，1)和点F(－1，0)的直线与过点M(－k 2，0)和点N(0，k4)的直线位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合答案 C解析 ∵k EF ＝1－01－（－1）＝12，k MN ＝k4－00－（－k 2）＝k4k 2＝12，∴选C.7．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．－45° D ．120°答案 B8．下列三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1，3)，(5，7)，(10，12) B ．(－1，4)，(2，1)，(－2，5) C ．(0，2)，(2，5)，(3，7) D ．(1，－1)，(3，3)，(5，7) 答案 C解析 分别计算第一点与第二点连线及第二点与第三点连线的斜率．9．过点(0，73)与点(7，0)的直线l 1，过点(2，1)与点(3，k ＋1)的直线l 2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 为( ) A ．3 B ．－3 C ．－6 D ．6答案 A解析 由题意知kl 1＝0－737－0＝－13，kl 2＝k ＋1－13－2＝k ，l 1⊥l 2，即kl 1·kl 2＝－1，解得k ＝3.故选A.10．已知直线l 经过点(3，2)和(m ，n)．①若l 与x 轴平行，则m ，n 的取值情况是________； ②若l 与x 轴垂直，则m ，n 的取值情况是________． 答案 ①m ≠3，n ＝2； ②m ＝3，n ≠2.11．直线l 平行于经过点A(－4，1)，B(0，－3)的直线，则l 的倾斜角为________． 答案 135° 解析 由题意知k AB ＝－3－10－（－4）＝－1，∴直线AB 的倾斜角为135°，又直线l 平行于直线AB ，∴直线l 的倾斜角为135°.12．在▱ABCD 中，已知A(2，3)，B(5，3)，C(6，6)，则点D 坐标为________． 答案 (3，6)13．已知点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，那么下面四个结论中正确的序号为________．①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD. 答案 ①④解析 ∵k AB ＝－4－26－（－4）＝－35，k AC ＝6－212－（－4）＝14，k CD ＝12－62－12＝－35，k BD ＝12－（－4）2－6＝－4，∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，故填①④.14．已知A(1，－a ＋13)，B(0，－13)，C(2－2a ，1)，D(－a ，0)四点．(1)当a 为何值时，直线AB 和直线CD 平行？ (2)当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？解析 k AB ＝－13－（－a ＋13）0－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －（2－2a ）＝12－a (a ≠2)．(1)直线AB 与直线CD 平行，则k AB ＝k CD ，∴－a 3＝12－a ，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0－（－13）－3－0＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行不重合．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13＝k AB ，∴AB 与CD 重合．当a ＝2时，k AB ＝－23，k CD 不存在．∴AB 与CD 不平行．综上所述，当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)直线AB 与直线CD 垂直，则k AB k CD ＝－1，∴－a 3·12－a ＝－1，解得a ＝32.当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在．∴直线AB 与CD 不垂直．综上所述，当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直．15．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t ，2＋t)，R(－2t ，2)，其中t ∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR 的形状并给出证明． 解析 四边形OPQR 为矩形，证明如下： OP 边所在直线斜率k OP ＝t. QR 边所在直线的斜率k QR ＝t. OR 边所在直线的斜率k OR ＝－1t.PQ 边所在直线的斜率k PQ ＝（2＋t ）－t （1－2t ）－1＝－1t .∵k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ. ∴四边形OPQR 为平行四边形． 又∵k QR ·k OR ＝t ×(－1t )＝－1，∴QR ⊥OR.∴四边形OPQR 为矩形．16．已知△ABC 的顶点坐标为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．解析 k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1.若AB ⊥AC ，则有－12·(－m ＋13)＝－1，所以m ＝－7；若AB ⊥BC ，则有－12·(m －1)＝－1，所以m ＝3；若AC ⊥BC ，则有－m ＋13·(m －1)＝－1，所以m ＝±2.综上可知，所求m 的值为－7，±2，3.1．下列说法中不正确的是( )A ．若两条不重合直线l 1与l 2的斜率相等，则l 1∥l 2B ．若直线l 1∥l 2，则两直线的斜率相等C ．若两条不重合直线l 1，l 2的斜率均不存在，则l 1∥l 2D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 答案 B解析 不重合直线的斜率相等，两条直线一定平行；两条直线平行，斜率不一定相等，当两条直线斜率不存在时，两条直线仍平行．2．(2017·广东肇庆期中)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形答案 C解析 ∵k AB ＝－23，k AC ＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，则AB ⊥AC.故选C.3．不重合直线l 1和l 2的斜率分别是一元二次方程x 2－4x ＋4＝0的两个根，那么l 1和l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．不平行 D ．无法判断 答案 A解析 ∵k 1＝k 2＝2，又l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.4．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所构成的图形是( ) A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对 答案 B解析 由于k AB ＝k DC ，k AD ≠k BC ，k AD ·k AB ＝－1，故构成的图形为直角梯形．5．将直线l 沿x 轴的正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到原来的位置，则直线l 的斜率是________． 答案 －326．已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求顶点D 的坐标．解析 由题意可得矩形ABCD 各边所在直线的斜率均存在，设D 的坐标为(x ，y)． ∵AD ⊥CD ，AD ∥BC ，∴k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC .∴⎩⎪⎨⎪⎧y －1x －0·y －2x －3＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴顶点D 的坐标为(2，3)．。

4. 从圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0 外一点P(a, b)向圆作切线PT，T为
切点，且|PT|＝|PO|(O为坐标原点)，
求|PT|的最小值.
5. 在△ABC中，顶点A(2, 1)、B(－1,－1)， ∠C的平分线所在直线的方程是x＋2y－1 ＝0，求顶点C的坐标.
变题. 已知直线l1和l2夹角的平分线所在直 线的方程为y＝x，如果l1的方程是ax＋by ＋c＝0(a·b＞0)，那么l2的方程为( )
10. 已知△ABC中，A(2, 3)、B(m2, m)、 C(5, 2)，(1＜m＜4)，当m 为何值时， S△ABC有最大值.
A. bx＋ay＋c＝0 C. bx＋ay－c＝0
B. ax－by＋c＝＋4＝0与圆C： x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，并且 有最小面积的圆C'的方程.
7. 求过两已知圆：x2＋y2－4x＋2y＝0， x2＋y2－2y－4＝0的交点，且圆心在直 线2x＋4y＝1上的圆的方程.
8. 若x、y满足(x－1)2 ＋(y＋2)2＝4， 求S＝2x＋y的最大值和最小值.
9. 已知A(3, 0)及圆x2＋y2＝25，以A为 直角顶点，作Rt△ABC，且B、C在 圆周上，求BC中点M的轨迹方程.
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18

新课标版数学必修⼆（新⾼考新课程）作业15⾼考调研精讲精练课时作业(⼗五)(第⼀次作业)1．直线a是平⾯α的斜线，过a且和α垂直的平⾯有()A．0个B．1个C．2个D．⽆数个答案 B2．给定下列四个命题①若⼀个平⾯内的两条直线与另⼀个平⾯都平⾏，则这两个平⾯相互平⾏；②若⼀个平⾯经过另⼀个平⾯的垂线，则这两个平⾯相互垂直；③垂直于同⼀直线的两条直线相互平⾏；④若两个平⾯垂直，则⼀个平⾯内与它们的交线不垂直的直线与另⼀个平⾯也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案 D3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，则下列命题中的真命题是() A．若m?β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ答案 C解析若m?β，α⊥β，则m与α的关系可能平⾏也可能相交，则A为假命题；选项B中，α与β可以平⾏也可能相交，则B为假命题；选项D中β与γ也可能平⾏或相交(不⼀定垂直)，则D为假命题．故选C.4.在如图所⽰的三棱锥中，AD⊥BC，CD⊥AD，则有()A．⾯ABC⊥⾯ADC B．⾯ABC⊥⾯ADBC．⾯ABC⊥⾯DBC D．⾯ADC⊥⾯DBC答案 D5．正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，P为CC1的中点，则平⾯PBD垂直于()A．平⾯A1BD B．平⾯D1BDC．平⾯PBC D．平⾯CBD答案 A6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对⾓线AC的中点，下列判断正确的是()A．平⾯ABD⊥平⾯ADC B．平⾯ABC⊥平⾯ABDC．平⾯ABC⊥平⾯ADC D．平⾯ABC⊥平⾯BED答案 D7．(2016·浙江)已知互相垂直的平⾯α，β交于直线l，若直线m，n满⾜m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析因为α∩β＝l，所以l?β，所以n⊥l.故选C.8.如图，正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，O为底⾯ABCD的中⼼，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A．D1O∥平⾯A1BC1B．MO⊥平⾯A1BC1C．异⾯直线BC1与AC所成的⾓等于60°D．⼆⾯⾓MACB等于90°答案 D解析对于选项A，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平⾏四边形，所以D1O∥BE，因为D1O?平⾯A1BC1，BE?平⾯A1BC1，所以D1O∥平⾯A1BC1，故正确；对于选项B，连接B1D，因为O为底⾯ABCD的中⼼，M为棱BB1的中点，所以MO∥B1D，易证B1D⊥平⾯A1BC1，所以MO⊥平⾯A1BC1，故正确；对于选项C，因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异⾯直线BC1与AC 所成的⾓，因为△A1C1B为等边三⾓形，所以∠A1C1B＝60°，故正确；对于选项D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为⼆⾯⾓MACB的平⾯⾓，显然不等于90°，故不正确．综上知，选D.9．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底⾯是正六边形，PA⊥平⾯ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________(填序号)．①PB⊥AD；②平⾯PAB⊥平⾯PAE；③BC∥平⾯PAE；④直线PD与底⾯ABC所成的⾓为45°.答案②④解析由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平⾯PAE，因为AB?平⾯PAB，所以平⾯PAB⊥平⾯PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平⾯PAE相交，③不正确；由于PA⊥平⾯ABC，所以∠PDA就是直线PD与平⾯ABC所成的⾓，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．10．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平⾯ABC；(2)平⾯A1FD⊥平⾯BB1C1C.证明(1)因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，⼜EF?⾯ABC，BC?⾯ABC，所以EF∥平⾯ABC.(2)因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以BB1⊥⾯A1B1C1，BB1⊥A1D.⼜A1D⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以A1D⊥⾯BB1C1C.⼜A1D?⾯A1FD，所以平⾯A1FD⊥平⾯BB1C1C.11.如图，四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为菱形，SD＝SB.(1)求证：平⾯SAC⊥平⾯SBD；(2)求证：平⾯SAC⊥平⾯ABCD.证明(1)连接AC，BD，使AC∩BD＝O.∵底⾯ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵SB＝SD，O为BD中点，∴SO⊥BD，⼜SO∩AC＝O，∴BD⊥平⾯SAC，⼜∵BD?平⾯SBD，∴平⾯SAC⊥平⾯SBD.(2)由(1)知BD⊥平⾯SAC，BD?平⾯ABCD，∴平⾯SAC⊥平⾯ABCD.12.如图，△ABC为正三⾓形，EC⊥平⾯ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平⾯BDM⊥平⾯ECA；(3)平⾯DEA⊥平⾯ECA.证明(1)取AC中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，∵EC⊥平⾯ABC，∴平⾯EAC⊥平⾯ABC.∴MN⊥平⾯ABC，⼜BN?平⾯ABC，∴MN⊥BN，且MN＝BD，MN∥BD，∴四边形MNBD为矩形，∴DM∥BN，∵CN＝AN，BC＝AB，∴BN⊥CA，⼜CA ∩MN ＝N ，∴BN ⊥平⾯AEC ，∴DM ⊥⾯EAC ，∴DM ⊥AE.∴DE ＝DA. (2)由(1)知，DM ⊥⾯EAC ，DM ?⾯BDM ，∴平⾯BDM ⊥平⾯ECA.(3)由(1)知，DM ⊥⾯EAC ，DM ?⾯ADE ，∴平⾯DEA ⊥平⾯ECA.13．如图所⽰，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起⾄△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平⾯A ′BE ⊥平⾯BCDE.证明如图所⽰，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC.∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E ，⼜BN ＝NE ，∴A ′N ⊥BE.∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD. 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，⼜MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平⾯A ′MN ，⼜A ′N ?平⾯A ′MN ，∴CD ⊥A ′N. ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．⼜A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平⾯BCDE. ⼜A ′N ?平⾯A′BE ，∴平⾯A ′BE ⊥平⾯BCDE.课时作业(⼗五)(第⼆次作业)1．(2015·浙江)设α，β是两个不同的平⾯，l ，m 是两条不同的直线，且l ?α，m ?β.( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m答案 A解析⾯⾯垂直的证明主要是找线⾯垂直，此题在选项中直接给出两个条件，便于考⽣根据判定定理进⾏直接选择，相对较为基础．如果采⽤排除法，思维量会增加．2．在正四⾯体P-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下⾯四个结论不成⽴的是( )A ．BC ∥平⾯PDFB ．DF ⊥平⾯PAEC ．平⾯PDF ⊥平⾯ABCD ．平⾯PAE ⊥平⾯ABC答案 C解析∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，∴DF ∥BC.∴BC ∥平⾯PDF.故A 正确．连接AE ，PE ，则AE ⊥BC.PE ⊥BC ，∴BC ⊥平⾯PAE.∴DF ⊥平⾯PAE.故B 正确．⼜∵BC ?平⾯ABC ，∴平⾯PAE ⊥平⾯ABC.故D 正确．∴选C.3．把正⽅形ABCD 沿对⾓线BD 折成直⼆⾯⾓，则△ABC 是( ) A ．正三⾓形 B ．直⾓三⾓形 C ．锐⾓三⾓形 D ．钝⾓三⾓形答案 A4．在正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截⾯A 1BD 与底⾯ABCD 所成⼆⾯⾓A 1-BD-A 的正切值为( ) A.32B.22C. 2D. 3答案 C解析如图所⽰，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点，∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD.⼜∵在正⽅形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴∠A 1OA 为⼆⾯⾓A 1-BD-A 的平⾯⾓．设AA 1＝1，则AO ＝22，∴tan ∠A 1OA ＝AA 1AO ＝122＝ 2.故选C. 5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平⾯ABCD ，底⾯ABCD 是矩形，则图中互相垂直的平⾯有( )A．2对B．3对C．4对D．5对答案 D解析∵PA⊥平⾯ABCD，∴平⾯PAB⊥平⾯ABCD，平⾯PAD⊥平⾯ABCD.∵AB⊥AD，PA⊥AB，∴AB⊥平⾯PAD，∴平⾯PAB⊥平⾯PAD.同理，平⾯PCD⊥平⾯PAD，平⾯PAB⊥平⾯PBC.共有5对平⾯互相垂直．故选D.6．若⼀个⼆⾯⾓的两个半平⾯分别垂直于另⼀个⼆⾯⾓的两个半平⾯，那么这两个⼆⾯⾓()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系⽆法确定答案 D解析如图所⽰，平⾯EFDG⊥平⾯ABC，当平⾯HDG绕DG转动时，平⾯HDG始终与平⾯BCD垂直，所以两个⼆⾯⾓的⼤⼩关系不确定，因为⼆⾯⾓H-DG-F的⼤⼩不确定．故选D.7．四边形ABCD是正⽅形，以BD为棱把它折成直⼆⾯⾓A-BD-C，E为CD的中点，则∠AED的⼤⼩为()A．45°B．30°C．60°D．90°答案 D解析设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥⾯BCD.∵E，F分别为CD，BD的中点，∴EF∥BC，⼜∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，⼜AF⊥CD，∴CD⊥平⾯AEF，⼜AE?平⾯AEF，∴CD⊥AE.故选D.8.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平⾯ABC，∠BAC＝90°，则⼆⾯⾓B-PA-C的⼤⼩为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 D解析∵PA⊥平⾯ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，∴∠BAC为⼆⾯⾓BPAC的平⾯⾓．∵∠BAC＝90°，∴⼆⾯⾓的⼤⼩为90°.9.如图，在四棱锥V-ABCD中，底⾯ABCD是这长为2的正⽅形，其他四个侧⾯都是侧棱长为5的等腰三⾓形，则⼆⾯⾓V-AB-C 的度数是________．答案60°解析如图，取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为⼆⾯⾓V ABC的平⾯⾓．易知△VEF为正三⾓形，所以∠VEF＝60°.10．如图所⽰，在长⽅体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若⼆⾯⾓C1-EF-C等于45°，则BF＝________．答案 1解析∵AB⊥平⾯BC1，C1F?平⾯BC1，CF?平⾯BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，⼜EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是⼆⾯⾓C1EFC的平⾯⾓，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直⾓三⾓形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.⼜BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.11．如图，四边形ABCD是平⾏四边形，直线SC⊥平⾯ABCD，E是SA的中点，求证：平⾯EDB⊥平⾯ABCD.证明连接AC交BD于点F，连接EF.∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平⾯ABCD，∴EF⊥平⾯ABCD.⼜EF?平⾯BDE，∴平⾯BDE⊥平⾯ABCD.12.如图，四棱锥P-ABCD的底⾯是边长为a的正⽅形，PB⊥平⾯ABCD.(1)求证：平⾯PAD⊥平⾯PAB；(2)若平⾯PDA与平⾯ABCD成60°的⼆⾯⾓，求该四棱锥的体积．解析(1)证明：∵PB⊥平⾯ABCD，AD?平⾯ABCD，∴PB⊥AD.⼜∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平⾯PAB.⼜∵AD?平⾯PAD，∴平⾯PAD⊥平⾯PAB.(2)由(1)的证明知，∠PAB为平⾯PDA与平⾯ABCD所成的⼆⾯⾓的平⾯⾓，即∠PAB＝60°，∴PB＝3a.∴V P-ABCD＝13·a2·3a＝3a33.13．如图所⽰，四棱锥P-ABCD的底⾯ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底⾯ABCD，PA＝ 3.(1)求证：平⾯PBE⊥平⾯PAB；(2)求⼆⾯⾓A-BE-P的⼤⼩．解析(1)证明：如图所⽰，连接BD.由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三⾓形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，⼜AB∥CD，所以BE⊥AB，⼜因为PA⊥平⾯ABCD，BE?平⾯ABCD，所以PA⊥BE，⽽PA∩AB＝A，因此BE⊥平⾯PAB.⼜BE ?平⾯PBE，所以平⾯PBE⊥平⾯PAB.(2)由(1)知，BE⊥平⾯PAB，PB?平⾯PAB，所以PB⊥BE.⼜AB⊥BE，所以∠PBA是⼆⾯⾓A-BE-P的平⾯⾓．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，∠PBA＝60°.故⼆⾯⾓A-BE-P 的⼤⼩为60°.1.如图，⼆⾯⾓αlβ的⼤⼩是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的⾓为30°，则AB与平⾯β所成的⾓的正弦值是________．答案3 4解析如图所⽰，过点A作平⾯β的垂线，垂⾜为C，在β内过C作l的垂线，垂⾜为D，连接AD，由线⾯垂直判定定理可知l⊥平⾯ACD，则l⊥AD，故∠ADC为⼆⾯⾓α-l-β的平⾯⾓，即∠ADC＝60°.⼜∠ABD＝30°，连接CB，则∠ABC为AB与平⾯β所成的⾓，设AD＝2，则AC＝3，CD＝1，AB＝ADsin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34.2．(2017·辽宁省育才学校阶段测试)如图，在⼏何体ABDCE 中，AB ＝AD ，M 是BD 的中点，AE ⊥平⾯ABD ，MC ∥AE，AE ＝MC.(1)求证：平⾯BCD ⊥平⾯CDE ；(2)若N 为线段DE 的中点，求证：平⾯AMN ∥平⾯BEC. 证明 (1)∵AB ＝AD ，M 为线段BD 的中点，∴AM ⊥BD.∵AE ⊥平⾯ABD ，MC ∥AE ，∴MC ⊥平⾯ABD. ∴MC ⊥AM.⼜MC ∩BD ＝M ，∴AM ⊥平⾯CBD.⼜MC ∥AE ，MC ＝AE ，∴四边形AMCE 为平⾏四边形，∴EC ∥AM ，∴EC ⊥平⾯CBD ，⼜EC ?平⾯CDE ，∴平⾯BCD ⊥平⾯CDE.(2)∵M 为BD 中点，N 为ED 中点，∴MN ∥BE. 由(1)知EC ∥AM 且AM ∩MN ＝M ，BE ∩EC ＝E ，∴平⾯AMN ∥平⾯BEC.3.在如图所⽰的⼏何体中，四边形ABCD 是正⽅形，MA ⊥平⾯ABCD ，PD ∥MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA. (1)求证：平⾯EFG ⊥平⾯PDC ；(2)求三棱锥P-MAB 与四棱锥P-ABCD 的体积之⽐．解析 (1)证明：因为MA ⊥平⾯ABCD ，PD ∥MA. 所以PD ⊥平⾯ABCD.⼜BC ?平⾯ABCD ，所以PD ⊥BC. 因为四边形ABCD 为正⽅形，所以BC ⊥DC.⼜PD∩DC＝D，所以BC⊥平⾯PDC.在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平⾯PDC.⼜GF?平⾯EFG，所以平⾯EFG⊥平⾯PDC.(2)因为PD⊥平⾯ABCD，四边形ABCD为正⽅形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，所以V P-ABCD＝13S正⽅形ABCD ·PD＝83.由题意易知DA⊥平⾯MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平⾯MAB的距离，所以V P-MAB＝13×12×1×2×2＝23.所以V P-MAB∶V P-ABCD＝1∶4.。