新课标版数学必修二(新高考 新课程)单元卷1高考调研精讲精练

高考调研新课标A数学必修二
高考调研新课标A数学必修二涵盖了高中数学的重要知识点，特别是
对于函数、几何、概率统计等领域的深入理解和应用。

在新课标的指
导下，高考数学试题更加注重考查学生的数学思维能力、问题解决能
力和创新意识。

在函数部分，重点考查函数的概念、性质、图像以及函数与方程的关系。

函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，这些性质在高考中
经常出现，要求学生能够熟练掌握并能够灵活运用。

函数图像的绘制
和理解也是高考的重点，学生需要能够根据函数的性质画出大致的图像，并能通过图像理解函数的性质。

几何部分则包括平面几何和立体几何。

平面几何中，三角形、四边形、圆等基本图形的性质和定理是必须掌握的。

立体几何部分，除了对基
本几何体的认识，还需要掌握空间向量、空间直线和平面的位置关系等。

高考中，几何题目往往需要学生运用逻辑推理和空间想象能力来
解决问题。

概率统计部分在高考中占有重要地位，考查学生对随机事件的概率计算、统计图表的解读以及数据的分析处理能力。

这部分内容要求学生
能够理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法，以及能够运用统计
学的知识解决实际问题。

在备考过程中，学生应该注重对基础知识的理解和应用，通过大量的
练习来提高解题速度和准确率。

同时，也应该关注高考试题的变化趋势，适应新课标的要求，培养自己的数学思维和创新能力。

此外，定
期进行模拟考试，及时总结和反思，也是提高高考成绩的有效方法。

第二章测试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．下列不是直线与平面的位置关系的是()A．异面B．平行C．相交D．在平面内答案 A2．下列说法中正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点答案 C解析不共线的三点确定一个平面，所以A错误；四边形的四个顶点不一定共面，所以B 错误；假设两个平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点，那么这两个平面重合，所以D错误；两条平行直线确定一个平面，梯形的一组对边平行，则梯形一定是平面图形，所以C正确．3．空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面()A．可能有3个，也可能有2个B．可能有4个，也可能有3个C．可能有3个，也可能有1个D．可能有4个，也可能有1个答案 D解析4个点可能在同一平面内，也可能不共面，任意两点之间连线组成四面体，所以平面个数为1个或4个．4．对于直线m，n和平面α，β能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β答案 C5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B解析根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，知B 正确．6．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，在下列条件下，不能判定a⊥b的是() A．α⊥β，a⊥α，b⊥βB．α∥β，a⊥α，b⊂βC．α⊥β，a∥α，b∥βD．α⊥β，a⊥α，b∥α答案 C7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析延长CA至点M，使AM＝CA，则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角，连接BM，易知△BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60°，选C.8．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于()A．4πB．3πC．2πD．π答案 A解析如图，以SA，AB，BC为棱长构造长方体，得体对角线长为12＋12＋（2）2＝2R，所以R＝1，S＝4πR2＝4π.9．正方体ABCD－A1B1C1D1，二面角C1－AB－C的平面角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 B10．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°答案 D解析设正方形边长为a.在△AMD中，AD＝a，AM＝32a，DM＝a 2，∴AD2＝DM2＋AM2.∴∠AMD＝90°.11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D1D．A1A答案 B解析因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以可证BD⊥平面ACC1A1，又CE⊂平面ACC1A1，则CE⊥BD.12．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体A－BCD的四个面中，互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案 C解析由AB⊥BD，面ABD⊥面BCD，可知AB⊥面BCD，从而有面ABC⊥面BCD；又CD⊥BD，面ABD⊥面BCD，故CD⊥面ABD，从而可得面ABD⊥面ACD.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知二面角α－l－β的大小为60°，若直线a⊥α，直线b⊥β，则异面直线a，b所成的角是________．答案60°14．已知△ABC和直线l，若l⊥AB，l⊥BC，则l和AC的关系是________．答案垂直解析∵l⊥AB，l⊥BC，AB∩BC＝B，∴l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.15．如图所示，四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.其中真命题的序号是________(写出所有真命题序号)．答案①④解析①中取BC中点E，连接AE，DE.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AE⊥BC，DE⊥BC.∵AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD.④中过A向平面BCD内作垂线，垂足为O，连接BO，CO，DO，可证O为△BCD的垂心．∴BC⊥DO.又BC⊥AO，∴BC⊥平面ADO，又AD⊂平面ADO，∴BC⊥AD.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点．求证：平面MDB1∥平面ANC.证明如图，连接MN.∵M，N分别是其所在棱的中点，∴四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形．∴MB1∥AN，CN∥MD.又∵MB1⊂平面MDB1，MD⊂平面MDB1，MB1∩MD＝M，∴MB1∥平面ANC，MD∥平面ANC.∴平面MDB1∥平面ANC.18．(12分)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE＝EC，D是AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，DB与BC是平面ABC内的两条相交线，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.19．(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE 与平面ABCD所成角的正切值．解析 过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF. ∵EF ⊥平面ABCD ，∴∠EDF 是直线DE 与平面ABCD 所成的角． 由题意，得EF ＝12CC 1＝1.∵CF ＝12CB ＝1，∴DF ＝ 5.∵EF ⊥DF ，∴tan ∠EDF ＝EF DF ＝55. 20．(12分)如图，直三棱柱ABC －A′B′C′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点． (1)证明：MN ∥平面A′ACC′； (2)求三棱锥A′－MNC 的体积．解析 (1)证明：方法一：连接AB′，AC ′，因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，所以三棱柱ABC －A′B′C′为直三棱柱，所以M 为AB′的中点． 又因为N 为B′C′的中点，所以MN ∥AC′. 又MN ⊄平面A′ACC′，AC ′⊂平面A′ACC′， 因此MN ∥平面A′ACC′.方法二：取A′B′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′. 因为M ，N 分别为AB′与B′C′的中点，所以MP ∥AA′，PN ∥A ′C ′.所以MP ∥平面A′ACC′， PN ∥平面A′ACC′.又MP ∩NP ＝P ， 因此平面MPN ∥平面A′ACC′.又因MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A′ACC′.(2)方法一：连接BN ，由题意A′N ⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B ′BCC ′＝B′C′，所以A′N ⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故V A′－MNC＝V N－A′MC＝12V N－A′BC＝12V A′－NBC＝16.方法二：V A′－MNC＝V A′－NBC－V M－NBC＝12V A′－NBC＝1 6.21.(12分)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．解析(1)证明：如右图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.∵CD∥AB，∴BE⊥AB.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BE.∵PA∩AB＝A，∴BE⊥平面PAB.又∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB.(2)∵BE⊥平面PAB，∴BE⊥PB.∴∠ABP是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，AB＝1，PA＝3，tan∠ABP＝3，∴∠ABP＝60°.∴二面角A－BE－P的大小是60°.22．(12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．解析由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE－BCF，且AB＝BC＝BF ＝2，DE＝CF＝22，∠CBF＝90°.(1)证明：取BF的中点G，连接MG，NG，由M，N分别为AF，BC中点，可得NG∥CF，MG ∥EF ，∴面MNG ∥面CDEF ，∴MN ∥面CDEF. (2)取DE 中点为H ，连接AH ， ∵AD ＝AE ，∴AH ⊥DE.在直三棱柱ADE －BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，面ADE ∩面CDEF ＝DE ， ∴AH ⊥平面CDEF.∴多面体A －CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥． 在△ADE 中，AH ＝2，S 矩形CDEF ＝DE·EF ＝42， ∴棱锥A －CDEF 的体积V ＝13S 矩·AH ＝83.1.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点． (1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E －ABC 的体积V.解析 (1)证明：∵在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC. 又BC ∥AD ，∴EF ∥AD.又∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD.(2)连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ， 则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA.在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.2．已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心O 的距离等于球半径的一半，且AB ＝18 cm ，BC ＝24 cm ，AC ＝30 cm ，求球的体积和表面积． 解析 ∵AB 2＋BC 2＝AC 2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.∴过A，B，C三点的截面圆的半径为12AC＝15(cm)．设球的半径为R，则R2＝(R2＋152.2)∴R2＝300，∴R＝103(cm)．πR3＝4 0003π(cm3)，∴V球＝43S球＝4πR2＝1 200π(cm2)．。

课时作业(一)1．设有四个命题，其中，真命题的个数是()①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；④侧面都是长方形的棱柱叫长方体．A．0个B．1个C．2个D．3个答案 A2．三棱锥的四个面中可以作为底面的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是()A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都可能答案 D4．下列命题中错误的是()A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形答案 B5．棱台不具有的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点答案 C6．下列说法中：①棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为三角形的面围成的几何体；②用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台；③以一个半圆的直径所在的直线为轴，旋转一周而成的几何体是球；④夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．不正确的序号是________．答案①②③④解析③应为球面而不是球．7．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的序号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案①③④⑤解析在正方体ABCD－A′B′C′D′中，①ACC1A1为矩形，②不存在，③四面体A′－ABD，④四面体A′－BC′D，⑤四面体A′－BB′C.8．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；其中正确说法的序号是________．答案①解析因为直径一定过球心，故②不对；用平面截球，得到的是一个圆面，而不是一个圆，故③不对．9．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.答案12解析该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．10．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成________个三角形．答案 411．用一个平面截半径为25 cm的球，截面面积是225π cm2，则球心到截面的距离为________ cm.答案2012．(1)观察长方体，共有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有几对？(2)观察螺杆头部模型，有多少对平行的平面？能作为棱柱底面的有几对？答案(1)平行平面共有三对，任意一对平行平面都可以作为棱柱的底面．(2)平行平面共有四对，但能作为棱柱底面的只有一对，即上下两个平行平面．13．如下图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于桌面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状是否形成棱柱体．答案形成棱柱体。

模块综合测试卷(一)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．给出下列命题：①在所有的棱柱中，互相平行的面最多有三对；②三个面不能围成几何体；③各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥的底面是正方形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ①不对，因为有的六棱柱中有四对互相平行的面；③不对，因为底面有可能为菱形，∴②④正确．2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．不在同一平面内D ．A ，B ，C 均有可能 答案 D解析 可以利用正方体加以验证．3．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为( ) A ．52π B ．34π C ．45π D ．37π 答案 A解析 环绕一周得到的是一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥、圆柱的底面半径为r ＝4，圆柱高为2，圆柱母线长为l 1＝2，圆锥母线长为l 2＝5，所以所求表面积S ＝2πrl 1＋πr 2＋πrl 2＝52π.4．直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＋2x ＝0只在第二象限有公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．[34，1]B ．[34，1)C ．[34，＋∞)D ．(－∞，1) 答案 B解析 由题意可知y ＝kx ＋2恒过点(0，2)，要使直线与圆只在第二象限有公共点，则k ∈[k 1，k 2)．由题意得y ＝k 2x ＋2过(－2，0)，(0，2)两点，∴k 2＝1.又圆心为(－1，0)，∴圆心到y ＝k 1x ＋2的距离d ＝|－k 1＋2|k 12＋1＝1，∴k 1＝34，∴k ∈[34，1)．5．过点P(1，1)作直线l 与两坐标轴相交，所得三角形面积为10，则直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 D解析 通过直线的截距式，再作对称即可以发现有4条．6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n. ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ. ③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β.④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误．②正确．③m ∥α或m ⊂α，m ∥β或m ⊂β，故③错误．④α，β的关系不确定，故④错误．故选B.7．若方程x 2＋y 2＋x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则k 的取值范围是( ) A ．k>12B ．k<12C ．0<k<12D ．k ≤12答案 B解析 通过圆的一般方程的判断即可解决．8．若圆C 1的方程是x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，圆C 2的方程是x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，则两圆的公切线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．1条 答案 D解析 通过判断两圆的关系即可解决．9．直线y ＝x ＋1与直线y ＝ax ＋1的交点的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．随a 的值变化而变化答案 D解析 若a ＝1，则有无数个交点；若a ≠1，则有一个交点．10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－43，0]B ．[0，34]C ．[0，43]D ．(0，43]答案 C解析 圆C ：(x －4)2＋y 2＝1，圆心C(4，0)，半径r ＝1.∵直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴圆心C(4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，解得0≤k ≤43.11．如图，在多面体ABC-DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，EF ∥DG ，且AB ＝DE ，DG ＝2EF ，则( )A ．BF ∥平面ACGDB ．CF ∥平面ABEDC ．BC ∥FGD ．平面ABED ∥平面CGF答案 A解析 取DG 的中点M ，连接AM ，FM ，如图所示． 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，∴DE 綊FM.∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ，∴AB ∥DE ，∴AB ∥FM.又AB ＝DE ，∴AB ＝FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形，即BF ∥AM.又AM ⊂平面ACGD ，BF ⊄平面ACGD ，∴BF ∥平面ACGD.故选A.12．正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题正确的是( )①AH ⊥平面CB 1D 1 ②AH ＝13AC 1③点H 是△A 1BD 的垂心 ④AH ∥平面BDC 1 A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④答案 A解析 如图，∵CD 1∥BA 1，CB 1∥DA 1，CD 1∩CB 1＝C ，BA 1∩DA 1＝A 1，∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，又AH ⊥面A 1BD. ∴AH ⊥面CB 1D 1，故①正确． ∵V A 1-ABD ＝V A-A 1BD. ∴13·AH ·S △A 1BD ＝13·AA 1·S △ABD ， ∴AH ＝33，∴AH ＝13AC 1，故②正确． ∵AA 1，AB ，AD 两两相互垂直，∴H 为△A 1BD 的垂心，故③正确． 由题知H 点在线段AC 1上，故④不正确．故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0是圆的两条切线，则该圆的面积是__________． 答案932π 解析 ∵直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0平行， ∴两平行直线间的距离即为圆的直径，∴2R ＝⎪⎪⎪⎪1＋122＝324.∴R ＝328，S 圆＝πR 2＝932π.14．过点P(3，6)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8的直线方程为__________________． 答案 3x －4y ＋15＝0或x ＝3解析 当斜率不存在时，显然成立．斜率存在时，由距离公式可得斜率为0.75.15．光线由点(－1，4)射出，遇直线2x ＋3y －6＝0被反射，已知反射光线过点(3，6213)，则反射光线所在直线方程为__________． 答案 13x －26y ＋85＝0解析 先求P(－1，4)点关于直线2x ＋3y －6＝0的对称点Q ，然后利用点Q 与点(3，6213)在反射光线所在直线上就可以解决．16．已知m ，l 是直线，α，β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l 平行于α，则l 平行α内所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β； ⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l.其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上)． 答案 ①④解析 通过正方体验证．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，问：当m 为何值时，l 1与l 2①相交；②平行；③重合．解析 若m ＝0，l 1：x ＝－6，l 2：2x －3y ＝0，此时l 1与l 2相交； 若m ≠0，由m －21＝3m ，有m ＝－1或m ＝3，由3m ＝2m6，有m ＝±3.故①当m ≠1且m ≠3时，m －21≠3m ，l 1与l 2相交；②当m ＝－1时，m －21＝3m ≠2m6，l 1与l 2平行；③当m ＝3时，m －21＝3m ＝2m6，l 1与l 2重合．18．(本小题满分12分)如图，多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC ∥DG ∥EF ，BC ∥FG ，且AC ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：CF ⊥平面BDG ； (2)求多面体ABCDEFG 的表面积． 解析 (1)证明：如图，连接AE ，EG ， ∵BC ∥FG ，∴B ，C ，G ，F 四点共面． 在Rt △BAC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝5，GF ＝DE 2＋（DG －EF ）2＝5，即BC ＝GF ＝5，同理可证BF ＝CG ＝ 5. ∴四边形BCGF 是菱形，∴CF ⊥BG ，∵AC ∥EF ，AC ＝EF ＝1，∴四边形AEFC 是平行四边形，∴AE ∥CF ， 在正方形ABED 中，AE ⊥BD ，故CF ⊥BD. 又BG ∩BD ＝B ，∴CF ⊥平面BDG. (2)BG ＝BE 2＋EG 2＝BE 2＋ED 2＋DG 2＝22＋22＋22＝23，CF ＝AE ＝AB 2＋BE 2＝22，∴S 棱形BFGC ＝12×BG ×CF ＝12×22×23＝26，∴多面体ABCDEFG 的表面积S ＝S △ABC ＋S 梯形DEFG ＋S 正方形ABED ＋S 梯形ADGC ＋S △BEF ＋S 菱形BFGC ＝12AB ·AC ＋12(EF ＋DG)·DE ＋DE 2＋12(AC ＋DG)·AD ＋12BE ·EF ＋26 ＝1＋3＋4＋3＋1＋26 ＝12＋2 619．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，面PAD ⊥面ABCD ，E ，F 分别为PC 和BD 的中点．(1)证明：EF∥面PAD；(2)证明：面PDC⊥面PAD.证明(1)如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F.又E是PC的中点，∴EF∥AP.∵EF在面PAD外，PA在面PAD内，∴EF∥面PAD.(2)∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴CD⊥面PAD.又AP⊂面PAD，∴AP⊥CD.又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，∴AP⊥面PCD.又AP⊂面PAD，∴面PDC⊥面PAD.20.(本小题满分12分)自点P(－3，3)发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求入射光线l所在直线的方程．解析设入射光线l所在的直线方程为y－3＝k(x＋3)，反射光线所在直线的斜率为k1，根据入射角等于反射角，得k＝－k1，而点P(－3，3)关于x轴的对称点P1(－3，－3)，根据对称性，点P 1在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线l 1的方程为y ＋3＝－k(x ＋3)，即kx ＋y ＋3＋3k ＝0，又此直线与已知圆相切，所以圆心到直线l 1的距离等于半径r ，因为圆心为(2，2)，半径为1，所以|2k ＋2＋3＋3k|1＋k 2＝1，解得k ＝－34或k ＝－43.故入射光线l 所在的直线方程为y －3＝－34(x ＋3)或y －3＝－43(x ＋3)，即3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.21．(本小题满分12分)设M 是圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0上一动点，O 是原点，N 是射线OM 上一点，若|OM|·|ON|＝120，求N 点的轨迹方程． 解析 设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x ，y)， 由题意|OM|·|ON|＝120， 得x 12＋y 12·x 2＋y 2＝120.①当M 不在y 轴上时，x 1≠0，x ≠0，于是有y x ＝y 1x 1.设y x ＝y 1x 1＝k ，代入①，化简得|x 1x|(1＋k 2)＝120. 因x 1与x 同号，于是x 1＝120（1＋k 2）x ，y 1＝120k（1＋k 2）x ， 代入x 2＋y 2－6x －8y ＝0并化简，可得3x ＋4y －60＝0(x ≠0)． 当x 1＝0时，y 1＝8，点N(0，15)也在直线3x ＋4y －60＝0上， 所以，点N 的轨迹方程为3x ＋4y －60＝0.22．(本小题满分12分)求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．解析 由题意，设所求圆的方程为圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为C 1(a ，4)，或C 2(a ，－4)． 又已知圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的圆心A 的坐标为(2，1)，半径为3. 若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，或|CA|＝4－3＝1. (1)当圆心为C 1(a ，4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72， 或(a －2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a ＝2±210.∴所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16，或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16.(2)圆心为当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2 6.∴所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.综上，所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.。

新课标高中数学（必修2）单元测试卷目录第一章空间几何体[基础训练A组] (1)第一章空间几何体[综合训练B组] (3)第一章空间几何体[提高训练C组] (5)第二章点、直线、平面之间的位置关系[基础训练A组] ........................................... 错误！未定义书签。

第二章点、直线、平面之间的位置关系[综合训练B组] ........................................... 错误！未定义书签。

第二章点、直线、平面之间的位置关系[提高训练C组] ........................................... 错误！未定义书签。

第三章直线与方程[基础训练A组] .............................................................................. 错误！未定义书签。

第三章直线与方程[综合训练B组] ............................................................................... 错误！未定义书签。

第三章直线与方程[提高训练C组] ............................................................................... 错误！未定义书签。

第四章圆与方程[基础训练A组] .................................................................................. 错误！未定义书签。

第四章圆与方程[综合训练B组] ................................................................................... 错误！未定义书签。

第一章章末测试卷(A)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则()A．p或q为假B．q假C．q真D．p假答案 B解析綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．故选B.2．若命题p：x＝3且y＝4，则綈p()A．x≠3或y≠4 B．x≠3且y≠4C．x＝3或y≠4 D．x≠3且y＝4答案 A3．命题p：“若a≥b，则a＋b>2 019且a>－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2 019且a≤－b，则a<b B．若a＋b≤2 019且a≤－b，则a>b C．若a＋b≤2 019或a≤－b，则a<b D．若a＋b≤2 019或a≤－b，则a>b答案 C解析根据逆否命题的定义可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2 019且a>－b”的逆否命题是：“若a＋b≤2 019或a≤－b，则a<b”．故选C.4．已知命题：p：∃n∈N，2n>1 000，则綈p为()A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N，2n>1 000C．∃n∈N，2n≤1 000 D．∃n∈N，2n<1 000答案 A解析命题p的否定为：∀n∈N，2n≤1 000.5．(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0，反之由cos2α＝0⇒(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝0⇒sin α＝±cosα.故选A. 6．若x ∈R ，则“－2<x<2”是“lg(x 2－1)<0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 解不等式lg(x 2－1)<0可得{x|－2<x<－1或1<x<2}，是{x|－2<x<2}的真子集，故“－2<x<2”是“lg(x 2－1)<0”成立的必要不充分条件．故选B. 7．下面四个条件中，使a>b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3答案 A解析 a>b ＋1⇒a>b ，a>b a>b ＋1. 8．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sinA ＝sinB ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lgx 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3 答案 B解析 A 中，若sinA ＝sinB ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题；B 显然是真命题；C 中，若lgx 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x 0<3，得14<x 0<34，故不存在这样的x 0∈Z ，故D 为假命题．故选B.9．(2019·北京，理)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵A ，B ，C 三点不共线，∴|AB →＋AC →|>|BC →|⇔|AB →＋AC →|>|AB →－AC →|⇔|AB →＋AC →|2>|AB →－AC →|2⇔AB →·AC →>0⇔AB →与AC →的夹角为锐角．故“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C. 10．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0； q ：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p)∧(綈q) C ．(綈p)∧q D ．p ∧(綈q)答案 D解析 先判断命题p 和q 的真假，再判断四个选项中含有简单逻辑联结词的命题的真假． 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，(綈p)∧(綈q)，(綈p)∧q 为假命题，p ∧(綈q)为真命题．故选D.11．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由指数函数的性质知，若3a >3b >3，则a>b>1，由对数函数的性质，得log a 3<log b 3；反之，取a ＝12，b ＝13，显然有log a 3<log b 3，此时0<b<a<1，于是3>3a >3b ，所以“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．故选B.12．已知p ：|x ＋1|>1，q ：x>a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，0] C ．(0，＋∞) D ．[0，＋∞) 答案 D解析 方法一：由|x ＋1|>1得x<－2或x>0，则綈p ：－2≤x ≤0，綈q ：x ≤a ，设A ＝{x|－2≤x ≤0}，B ＝{x|x ≤a}，由题意AB ，所以a ≥0.故选D.方法二：因为綈p 是綈q 的充分不必要条件， 所以q 是p 的充分不必要条件．又p ：|x ＋1|>1⇒x<－2或x>0，所以{x|x>a}{x|x<－2或x>0}． 所以a ≥0.故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．如果否命题为“若x ＋y ≤0，则x ≤0或y ≤0”，那么相应的原命题是________． 答案 若x ＋y>0，则x>0且y>0解析 否命题是以原命题的条件的否定作为条件，结论的否定作为结论，故原命题为：“若x ＋y>0，则x>0且y>0”．14．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )在直线y ＝2x ＋1上，所以a n ＝2n ＋1，则数列{a n }为等差数列；而{a n }为等差数列，例如a n ＝3n －5是以3为公差，以－2为首项的等差数列，点(n ，a n )却不都在直线y ＝2x ＋1上．15．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的________条件．答案 充分不必要 16．给出如下命题：①“a ≤3”是“∃x 0∈[0，2]，x 02－a ≥0”的充分不必要条件；②命题“∀x ∈(0，＋∞)，2x >1”的否定是“∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0≤1”； ③若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①②解析 对于①，由∃x 0∈[0，2]，x 02－a ≥0，可得a ≤4，因此“a ≤3”为“∃x 0∈[0，2]，x 02－a ≥0”的充分不必要条件，①正确；易知②正确；对于③，若“p 且q ”为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，所以③错误．故填①②.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)写出命题：“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． 解析 (1)原命题为真，逆命题：“若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”，是真命题； 否命题“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”，是真命题；逆否命题：“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，是真命题． 18．(12分)写出下列命题的否定． (1)∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)所有实数的绝对值是正数； (4)菱形是平行四边形．解析 (1)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0； (2)所有的三角形都不是等边三角形； (3)有些实数的绝对值不是正数； (4)有的菱形不是平行四边形．19．(12分)已知集合P ＝{x|－1<x<3}，S ＝{x|x 2＋(a ＋1)x ＋a<0}，且x ∈P 的充要条件是x ∈S ，求实数a 的值．解析 因为S ＝{x|x 2＋(a ＋1)x ＋a<0}＝{x|(x ＋1)(x ＋a)<0}， P ＝{x|－1<x<3}＝{x|(x ＋1)(x －3)<0}， x ∈P 的充要条件是x ∈S ，所以a ＝－3.20．(12分)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0.命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解析 由题意得p ：－2≤x ≤10.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴p ⇒q ，q p.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m>10，∴⎩⎨⎧m ＞3，m ≥9，或⎩⎨⎧m ≥3，∴m ＞9， 且1－m ≤1＋m ，即m ≥0， 所以实数m 的取值范围为{m|m ≥9}．21．(12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，q ：不等式x 2－2x ＋m>0的解集为R .若命题“p ∨q ”是假命题，求实数m 的取值范围． 解析 若方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，则m 2－4≥0. ∴m ≤－2或m ≥2.若不等式x 2－2x ＋m>0的解集为R ，则4－4m<0.∴m>1.又“p ∨q ”是假命题，∴p ，q 都是假命题．∴⎩⎨⎧－2<m<2，m ≤1.∴－2<m ≤1. 所以实数m 的取值范围为{m|－2<m ≤1}． 22．(12分)已知函数f(x)＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m 0，使不等式m 0＋f(x)>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f(x 0)>0成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)不等式m 0＋f(x)>0可化为m 0>－f(x)， 即m 0>－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m 0>－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立， 只需m 0>－4即可．故存在实数m 0使不等式m 0＋f(x)>0对于任意x ∈R 恒成立，此时需m 0>－4. (2)不等式m －f(x 0)>0可化为m>f(x 0)， 若存在一个实数x 0使不等式m>f(x 0)成立， 只需m>f(x 0)min . 又f(x 0)＝(x 0－1)2＋4， 所以f(x 0)min ＝4，所以m>4.所以所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题 B ．命题“若x>1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题 答案 A解析 A 中其逆命题为“若x>|y|，则x>y ”，为真命题，B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，当x ＝－2时，命题不成立，C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”当x ＝－2时，命题不成立，D 中，原命题当x ＝－2时，不成立，故其逆否命题也为假命题．故选A. 2．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 条件p ：|x ＋1|>2⇔p ：{x|x>1或x<－3}，所以綈p ：{x|－3≤x ≤1}． 条件q ：5x －6>x 2⇔q ：{x|2<x<3}，所以綈q ：{x|x ≥3或x ≤2}．因为{x|－3≤x ≤1}{x|x ≥3或x ≤2}，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．故选A. 3．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tanα≠1B ．若α＝π4，则tanα≠1C ．若tanα≠1，则α≠π4D ．若tanα≠1，则α＝π4答案 C解析 原命题的逆否命题为“若tanα≠1，则α≠π4”．故选C.4．给出下列四个命题：①若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2 ②若－2≤x<3，则(x ＋2)(x －3)≤0 ③若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0④若x ，y ∈N *，x ＋y 是奇数，则x ，y 中一个是奇数，一个是偶数，那么( ) A ．①的逆命题为真 B ．②的否命题为真 C ．③的逆否命题为假 D ．④的逆命题为假 答案 A解析 ②的逆命题：若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x<3为假，故②的否命题为假． ③的原命题为真，故③的逆否命题为真． ④的逆命题显然为真．5．已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1<0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2]解析 因为p ∧q 为假命题，所以p ，q 中至少有一个为假命题．而命题p ：“∃m ∈R ，m ＋1<0”，为真命题，所以命题q ：“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立”，必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2.又命题p：∃m∈R，m＋1<0为真命题，所以m<－1.故综上可知m≤－2.教师备选卷：第一章章末测试卷(B)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，则A与B的关系是() A．A B B．B AC．A＝B D．A B且B A答案 A2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题答案 B3．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0 B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0答案 C4．(2019·北京，文)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析当b＝0时，f(x)＝cosx＋bsinx＝cosx，f(x)为偶函数；当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)对任意的x恒成立，f(－x)＝cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx－bsinx，cosx＋bsinx＝cosx－bsinx，得bsinx＝0对任意的x恒成立，所以b＝0.所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C.5．已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：∀x∈(0，1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)答案 C解析由指数函数的图象与性质可知，当x<0时，2x>3x，故p为假命题；由对数函数的图象与性质知，∀x∈(0，1)，log2x<0恒成立，故q为真命题．所以(綈p)∧q为真命题．故选C.6．下列命题是真命题的是()A．a>b是ac2>bc2的充要条件B．a>1，b>1是ab>1的充分条件C．∃x0∈R，ex0≤0 D．若p∨q为真命题，则p∧q为真答案 B解析A项，当c＝0时，ac2＝bc2，故A为假命题；C项，因为e x>0恒成立，故C为假命题；D项，当p，q一真一假时，p∨q为真，而p∧q为假，故D为假命题；而B中，a>1，b>1⇒ab>1，为真命题．故选B.7．下列命题错误的是()A．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0答案 C8．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是() A．a<0 B．a>0C．a<－1 D．a>1答案 C9．下列命题中正确的是()A．“m＝12”是“直线(m－75)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互平行”的充分不必要条件B．“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的充分条件C．已知a，b，c为非零向量，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的充要条件D ．若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0 答案 D10．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4答案 C11．有下列命题：①p 1：“若x ＋y>0，则x>0且y>0”的否命题； ②p 2：“矩形的对角线相等”的否命题；③p 3：“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题； ④p 4：“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①④ 答案 C解析 ①中p 1的逆命题为“若x>0且y>0，则x ＋y>0”为真，故否命题为真； ②中p 2的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③中p 3的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”．∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎨⎧m>0，Δ<0，即m>1.∴③是真命题；④中p 4为真，逆否命题也为真．12．命题p ：“∀x ∈[1，2]，2x 2－x －m>0”，命题q ：“∃x 0∈[1，2]，log 2x 0＋m>0”，若“p ∧q ”为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－1，＋∞) C ．(－1，1) D ．[－1，1]答案 C解析 若p 为真，则m<2x 2－x 在x ∈[1，2]上恒成立，令f(x)＝2x 2－x ，x ∈[1，2]， 因为f(x)＝2x 2－x ＝2(x －14)2－18在[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1.所以m<1.对命题q ，因为x 0∈[1，2]时，log 2x 0∈[0，1]，所以－log 2x 0∈[－1，0]．所以由log 2x 0＋m>0得m>－log 2x 0.若q 为真，则m>－1，因为p ∧q 为真，所以p 真且q 真．所以⎩⎨⎧m<1，m>－1，所以－1<m<1.故选C. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知命题p ：“若a>b>0，则log 12a<log 12b ＋1.”则命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为________．答案 214．不等式kx 2＋x ＋k>0恒成立的充要条件是________．答案 k>1215．命题p ：∃α0∈R ，sin α0>1是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)． 答案 特称命题 假 ∀α0∈R ，sin α≤1 真16．已知在实数a ，b 满足某一前提条件时，命题“若a>b ，则1a <1b”及其逆命题，否命题和逆否命题都是假命题，则实数a ，b 应满足的前提条件是________．答案 ab<0解析 由题意知ab ≠0，当ab>0时，1a <1b ⇔ab ·1a <1b·ab ⇔b<a ，所以四种命题都是正确的．当ab<0时，若a>b ，则必有a>0>b ，故1a >0>1b ，所以原命题是假命题；若1a <1b ，则必有1a <0<1b，故a<0<b ，所以原命题的逆命题也是假命题．由命题的等价性，可知四种命题都是假命题，故填ab<0.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x ∈{x|x>0}，x ＋1x>2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解析 (1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题．18．(12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x ＝4或x ＝6，则(x －4)(x －6)＝0；(3)正方形是菱形又是矩形．解析 (1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学；(假)否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑；(假)逆否命题：如果不会使用电脑，那么就学不好数学．(假)(2)逆命题：若(x －4)(x －6)＝0，则x ＝4或x ＝6；(真)否命题：若x ≠4且x ≠6，则(x －4)(x －6)≠0；(真)逆否命题：若(x －4)(x －6)≠0，则x ≠4且x ≠6.(真)(3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形；(真)否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形；(真)逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形．(真)19．(12分)已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)．若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解析 因为p ：－2≤x ≤10，所以綈p ：A ＝{x|x>10或x<－2}．由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，解得1－m ≤x ≤1＋m(m>0)，所以綈q ：B ＝{x|x>1＋m 或x<1－m}(m>0)．由綈p 是綈q 的必要而不充分条件可知B A.所以⎩⎨⎧m>0，1－m ≤－2，1＋m>10，或⎩⎨⎧m>0，1－m<－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.所以满足条件的m 的取值范围为[9，＋∞)．20．(12分)已知c>0，设命题p ：y ＝c x 为减函数，命题q ：函数f(x)＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．解析 由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可． 若p 真，由y ＝c x 为减函数，得0<c<1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知，f(x)＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2. 若q 真，则1c <2，即c>12. 若p 真q 假，则0<c<1，c ≤12，所以0<c ≤12； 若p 假q 真，则c ≥1，c>12，所以c ≥1. 综上可得，c ∈(0，12]∪[1，＋∞)． 21．(12分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明 充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b)＝0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0.∴有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.22．(12分)已知命题：“∀x ∈{x|－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m<0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a)(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析 (1)命题：“∀x ∈{x|－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m<0成立”是真命题，得x 2－x －m<0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m>(x 2－x)max ，得m>2，即B ＝{m|m>2}．(2)不等式(x －3a)(x －a －2)<0.①当3a>2＋a ，即a>1时，解集A ＝{x|2＋a<x<3a}，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)．②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B成立．③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a<x<2＋a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B成立，∴3a≥2，此时a∈[23，1)．综上①②③可得a∈[23，＋∞)．1．若綈A⇔綈B，綈C⇒綈B，则A是C的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由已知可得A⇔B，B⇒C，∴A⇒C.2．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数答案 A解析由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．故选A.3．设集合A＝{x|xx－1<0}，B＝{x|0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A4．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z.若“p且q”与“綈q”同时为假命题，则满足条件的x为()A．{x|x≥3或x≤－1，x∉Z} B．{x|－1≤x≤3，x∉Z}C．{－1，0，1，2，3} D．{0，1，2}答案 D5．在横线上分别填上由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的复合命题的真假：p：3×3＝6，q：3＋3＝6，则p∨q________，p∧q________，綈p________．答案真假真6．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)等圆的面积相等、周长相等．解析(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是非p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，时，一元二次方程没有实数根，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－14因为非p是真命题，所以原命题是一个假命题．(2)这一命题的否定形式是非p：对所有实数x，都有x2＋x＋1>0；利用配方法可以证得非p是一个真命题，所以原命题是一个假命题．(3)这一命题的否定形式是非p：“存在一对等圆其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知非p是一个假命题，所以原命题是一个真命题．。

第1练 §1.1.1柱、锥、台、球的结构特征【第1练】 1～5 DCDDC ； 6.23 4l ； 7. 14cm .8. 解：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则 2()11 4()24 ab bc ac a b c ++= ìí ++= î ，而对角线长22222 ()2226115 l a b c a b c ab bc ac =++=++---=-= .9. 解：（1）是棱柱，并且是四棱柱. 因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.（2）截面BCNM 的上方部分是三棱柱 11 BB B CC M - ，下方部分是四棱柱 11 ABMA DCND - .10. 解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有 两种切法， 见图(Ⅰ)和(Ⅱ). 切法(Ⅰ)切割出12个第一种长方体和 6个第二种长方体，切法(Ⅱ)切割出5个第一种长方体和18个第 二种长方体.取 3 块原料，2 块按切法(Ⅰ)切割，1 块按切法(Ⅱ)切割．得 到 29 个第一种长方体和 30 个第二种长方体．因此，取 90 块原 料， 其中60块按切法(Ⅰ)切割，30块按切法(Ⅱ)切割， 共得到 870个第一种长方体和900个第二种长方体． 至 此，没产生任何余料，但还差 30 个第一种长方体．再取 2 块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得 30 个第一种长 方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90＋2＝92块原料.此时，材料的利用率为 (3120.1)20.21199.9 (312 3.1)92 3.192´´´ -=-»%´´´´ 第2练 §1.1.2 简单组合体的结构特征【第2练】 1～5 ACDBC ；6. 23R ；7. ①③④⑤.8. 解：作截面，利用相似三角形知识，设正方体的棱长为x ，则 x h x a h - = ，解得 ahx a h=+ 9. 解：上、下底面正方形的边长为 1 S 、 2 S ，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为 2221 22 () 22 l S S h =-+ g g = 22 21 1 () 2S S h -+ ；斜高为 'h = 2122() 22 S S h -+ =2221 1 () 4S S h -+ .10. 解：（1）通过观察各几何体后，得到下表：图号 顶点数 棱数 面数①8 12 6 ②6 9 5 ③8 12 6 ④8 13 7 ⑤10 15 7 （2）由特殊到一般，归纳猜想得到：顶点数V ＋面数F －棱数E =2；（3）该木块的顶点数为10，面数为7, 棱数为15，有10+7—15=2，与（2）中归纳的数量关系式“V +F —E =2”相符.第3练 §1.2.2 空间几何体的三视图【第3练】 1～5 DADDD ； 6. 球、圆柱、圆锥等； 7. 100π，1010 8. 解：依次从每个几何体的三个方向得到三视图，再与已知三视图比较，所 以依次为C 、A 、D 、B.9. 解：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半 圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如图所示.在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R 表示半径；单位不注明时 按mm 计10. 解：（1）所要正方体个数为7、8、9、10、11都行. （2）最少7个，其俯视图样子不唯一，如下图.最多11个，其俯视图如右图.（图中数字表示在该处的小正方体的个数）第4练 §1.2.3 空间几何体的直观图【第4练】 1～5 BCBBB ； 6. 4 2 ； 7. ①③ 8. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步 ， 作水平放 置的正方形的直观图 ABCD ， 使 45, BAD Ð= o 2,1 AB cm AD cm == .第二步，过A 作z ¢轴，使 90 BAz ¢ Ð= o . 分别过点 ,, B C D 作z ¢轴的 平行线， 在z ¢轴及这组平行线上分别截取 2 AA BB CC DD cm ¢¢¢¢ ==== .第三步，连接 ,,, A B B C C D D A ¢¢¢¢¢¢¢¢，所得图形就是正方体的直观图. （2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的圆O 中取直径AB 所在的直线为x 轴，与AB 垂直的半径OD 所在的直线为y 轴，画出对应的x ¢轴和 y ¢轴，使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o.第二步，在x ¢轴上取O A OA O B OB ¢¢¢¢ == ， ，在 y ¢轴上取 1 2 O C OC ¢¢= ， 1' 2O D OD ¢= . 第三步，圆的直观图是椭圆，把A B C D¢¢¢¢ ， ， ， 连成椭圆，即得到圆O 的直观图. 9. 解：如图，建立直角坐标系xoy ，在x 轴上取 ''1 OA O A cm == ； 在y 轴上取 2''22 OB O B cm == ；在过点B 的x 轴的平行线上取 ''1 BC B C cm == . 连接O,A,B,C 各点，即得到了原图形.由作法可知，OABC 为平行四边形， 22 813() OC OB BC cm =+=+= ,∴ 平行四边形OABC 的周长为(31)28() cm +´= ， 面积为 2 12222() cm ´= . 10. 解：该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后上底面矩形，连线 即成.（1） 画法： 如图， 先画轴， 依次画x’、 y’、 z’轴， 三轴相交于点O’， 使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o，'90 x O z ¢¢ Ð= o. 在z’轴上取 "8 O O cm ¢ = , 再画x”、y” 轴.在坐标系x’O’y’中作直观图ABCD ， 使得AD =20cm ， AB =8cm ； 在坐标系x’’O’’y’’ 中作直观图A’B’C’D’，使得A’D’=12cm ，A’B’=4cm .连接AA’、BB’、CC’、DD’，即得到所求直观图.（2）如右图所示，延长正视图、侧视图的两腰，设两个交点到下底面的距离分别为h 、h’.根据相似比，分别有 128 20 h h - = 、 8'816'h h - = ，解得 20,'16 h h == .由 ' h h ¹ 可知，各侧棱延长不交于一点. 所以，该几何体不是棱台.第5练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积【第5练】 1～5 BAAAC ；6. 22 ；7. 22:5 .8. 解：一个侧面如右图，易知 1885 2a - == ， 22 13512 h =-= .1 111111 1 3 11 11 11 1 133则 2188 612936() 2S cm + =´´= 侧面积 ， 2 1 88sin 60)6963() 2 S cm =´´´°´= 上底 （ ， 2 1 188sin 60)64863() 2S cm =´´´°´= 下底 （1 . 所以，表面积为 293696348639365823 cm ++=+ （） 9. 解：设圆柱的底面半径为r ，则 r H x R H - = ，解得 Rr R x H =- .∴ 圆柱的表面积 22 2 2()2()() R R RS R x R x x Hx x H H Hp p p =-+-=- .由S 是x 的二次函数， ∴ 当 2 H x = 时，S 取得最大值 2RHp .于是，当圆柱的高是已知圆锥高的一半时，它的表面积最大，最大面积为 2RHp .10. 解：设放入正方体后水深为h cm .当放入正方体后，水面刚好与正方体相平时，由2520102520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 8 a = . 当放入正方体后，水面刚好与水箱相平时，由2520302520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 28 a = .所以， 当0＜a ≤8时，放入正方体后没有被水淹没，则252025201010 h a h ´´=´´+´´ ，得 5 4a h = . 当828 a <£ 时，放入正方体后被水淹没， 则25202520101010 h a ´´=´´+´´ ，解得 2 h a =+ . 当2830 a <£ 时，放入正方体后水箱内的水将溢出，这时 30 h = .综上可得，当 5(08) 42 (828) 30 (2830) a a h a a a ì <£ ï ï=+<£ í ï <£ ï î.第6练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积【第6练】 1～5 DBBAB ； 6. 31 cm ； 7.'''PA PB PC PA PB PC×× ×× . 8. 解：由题意有 22401600 S cm == 上 （ ） ， 22 603600() S cm == 下 ,( ) ( )117600 1600160036003600 333 V h S S S S h h =++=´+´+= g 下 下 上 上 .∴ 7600 19000075() 3h h cm =Þ= . 即油槽的深度为75cm .9. 解：设水面圆半径为r , 水深为h , 则有 1213517125h r - == - ， 解得h =7, r =13.于是雨水体积为V = 22 7(12121313)1094.333pp ´´+´+= ， 降雨量为 1094.33 172 pp»3.787(cm ) ，所以降雨量约为37.9mm .10. 解：如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ，则仓库的体积231 1116256 ()4() 3323V Sh m p p ==´´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，则仓库的体积 23 2 1112288()8() 3323 V Sh m p p ==´´´= .（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ,半径为8 m . 棱锥的母线长为 22 8445 l =+= ,则仓库的表面积 2 1 845325() S m p p =´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，棱锥的母线长为 22 8610 l =+= ，则仓库的表面积 22 61060() S m p p =´´= 。

模块综合测试卷(二)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．直线3x＋3y－1＝0的倾斜角为()A．60°B．30°C．120°D．150°答案 C2．设E，F，G分别为四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．3条答案 C3．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．无法判定答案 C4．已知A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)三点共线，则实数m的值是()A．－6 B．－2C．2 D．6答案 A5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面．下列命题中正确的是() A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β答案 B6．下列说法中正确的个数有()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例；④如果夹在两平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面平行．A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B7．若a>0，b<0，c<0，则直线ax ＋by ＋c ＝0必不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B8．直线l 1过A(3，0)，直线l 2过B(0，4)，且l 1∥l 2，用d 表示l 1与l 2间的距离，则( ) A ．d ≥5 B ．3≤d ≤5 C ．0≤d ≤5 D ．0<d ≤5 答案 D9．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 答案 D10．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是( ) A ．[－34，0]B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞)C ．[－33，33] D ．[－23，0]答案 A11．在正方体ABCD －A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E 、交CC′于F ，则以下结论中错误的是( )A ．四边形BFD′E 一定是平行四边形B ．四边形BFD′E 有可能是正方形C ．四边形BFD′E 有可能是菱形D ．四边形BFD′E 在底面投影一定是正方形 答案 B12.如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( ) A ．直线AC 上 B ．直线AB 上 C ．直线BC 上 D ．△ABC 内部答案 B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．答案22 3 a14．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________．答案10x＋15y－36＝015．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.答案14416.如图所示，在三棱锥P－ABC中，面PAC⊥面ABC，∠ABC＝90°，PA＝PC＝32，BA ＝BC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为________．答案81 4π解析如图，取AC中点O，连接BO，PO.∵BA＝BC＝2，∠ABC＝90°.∴AC＝22，且O为△ABC的外心．∵PA＝PC，O为AC中点，∴PO⊥AC.又∵面PAC⊥面ABC，面PAC∩面ABC＝AC，∴PO ⊥面ABC.∴三棱锥P －ABC 外接球球心G 在PO 上，且为△PAC 的外心． 在△PAC 中，PO ＝4，∴sin ∠PAO＝PO PA ＝223，2R ＝PC sin ∠PAO ＝32223＝92，R ＝94，S ＝4πR 2＝814π.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)如图所示，已知A(1，3)，B(－1，－1)，C(2，1)．求△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程．解析 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，k BC ＝1－（－1）2－（－1）＝23，∵AD ⊥BC ，∴k AD ·k BC＝－1，∴k AD ＝－32.故BC 边上的高AD 所在直线斜率为－32，且过点A(1，3)．∴直线方程为y －3＝－32(x －1), 即3x ＋2y －9＝0.18．(本小题满分12分)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 上的点，且AP ＝BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1.证明 连接AQ 并延长交DC 于点E ，连接D 1E ，如图． 在正方体AC 1中，AD 1＝BD ， 又∵AP ＝BQ ，∴PD 1＝DQ. ∵AB ∥CD ，∴AQ QE ＝BQ QD ＝APPD 1，∴PQ ∥D 1E.又∵PQ ⊄平面DCC 1D 1，D 1E ⊂平面DCC 1D 1.∴PQ ∥平面DCC 1D 1.19．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)当直线l 过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长． 解析 由题意得，圆C 的圆心C(1，0)，半径r ＝3. (1)当l 过圆心C 时，k ＝k CP ＝2－02－1＝2.∴l 方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. (2)当l 倾斜角为45°时，k ＝1，此时直线方程为：y －2＝x －2，即x －y ＝0. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－0|2＝22.∴|AB|＝2r 2－d 2＝29－12＝34. 20．(本小题满分12分)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解析 (1)若l 在两坐标轴上截距相等，则a ≠－1.①当2－a ＝0，即a ＝2时，直线过原点，横纵截距离均为0，满足题意． ②当2－a ≠0时，将直线方程化为截距式，l ：x 2－a a ＋1＋y2－a＝1.∴2－a a ＋1＝2－a ，即a ＝0. 综上：a ＝0或a ＝2.(2)直线l 过定点(1，－3)，∴l 不经过第二象限，只需k ≥0，即－(a ＋1)≥0，∴a ≤－1.21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥面BCD ，P 为BD 上一点，AB ＝CD ＝1，BC ＝ 3.(1)当BD等于多少时，面ABC⊥面ACD?(2)在(1)的条件下，若三棱锥D－APC的体积等于39时，求CP的长．解析(1)在平面ABC内过点B作BE⊥AC交AC于点E，若面ABC⊥面ACD，则BE⊥面ACD，又AD⊂面ACD，∴BE⊥AD，∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，∵AB⊂面ABC，BE⊂面ABC，AB∩BE＝B，∴DC⊥面ABC.又BC⊂面ABC，∴DC⊥BC，即∠BCD＝90°，∵CD＝1，BC＝3，∴BD＝2.即当BD＝2时，面ABC⊥ACD.(2)由(1)可知∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，∴S△PCD＝12DC·DPsin60°＝34DP，∵AB⊥面BCD，∴V D－APC＝V A－DPC＝13AB·S△DPC＝312DP＝39，∴DP＝43，∴在△PCD中，CP2＝DC2＋DP2－2DC·DPcos60°＝139，∴CP＝133.22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值；(3)求点O到平面ABM的距离．解析(1)证明：∵M点在以BD为直径的圆上，∴BM⊥MD，即BM⊥PD.∵PA ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴PA ⊥AB. ∵底面ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD.又PA ∩AD ＝A.∴AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD.又∵AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥面ABM ，PD ⊂面PCD. ∴平面ABM ⊥平面PCD.(2)如图，过M 点作MN ∥CD 交PC 于点N ，连接BN. ∵AB ∥CD ，MN ∥CD ， ∴AB ∥MN.∴PC 与平面ABM 的交点为N.由(1)知PD ⊥面ABM ，∴MN 即为PN 在平面ABM 上的射影，∴∠PNM 即为PC 与平面ABM 所成角，且∠PNM ＝∠PCD. ∴tan ∠PNM ＝tan ∠PCD ＝PDDC＝2 2.∴直线PC 与平面ABM 所成角的正切值为2 2.(3)∵O 为BD 的中点，∴O 到平面ABM 的距离为D 到平面ABM 距离的一半，由(1)知，PD ⊥面ABM 于点M ，∴DM 即为点D 到平面ABM 的距离．在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝4.PD ⊥AM.∴M 为PD 中点，∴DM ＝12PD ＝2 2.∴O 到平面ABM 的距离为 2.。