新课标版数学必修二(新高考 新课程)综合卷2高考调研精讲精练

高考调研新课标A数学必修二
高考调研新课标A数学必修二涵盖了高中数学的重要知识点，特别是
对于函数、几何、概率统计等领域的深入理解和应用。

在新课标的指
导下，高考数学试题更加注重考查学生的数学思维能力、问题解决能
力和创新意识。

在函数部分，重点考查函数的概念、性质、图像以及函数与方程的关系。

函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，这些性质在高考中
经常出现，要求学生能够熟练掌握并能够灵活运用。

函数图像的绘制
和理解也是高考的重点，学生需要能够根据函数的性质画出大致的图像，并能通过图像理解函数的性质。

几何部分则包括平面几何和立体几何。

平面几何中，三角形、四边形、圆等基本图形的性质和定理是必须掌握的。

立体几何部分，除了对基
本几何体的认识，还需要掌握空间向量、空间直线和平面的位置关系等。

高考中，几何题目往往需要学生运用逻辑推理和空间想象能力来
解决问题。

概率统计部分在高考中占有重要地位，考查学生对随机事件的概率计算、统计图表的解读以及数据的分析处理能力。

这部分内容要求学生
能够理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法，以及能够运用统计
学的知识解决实际问题。

在备考过程中，学生应该注重对基础知识的理解和应用，通过大量的
练习来提高解题速度和准确率。

同时，也应该关注高考试题的变化趋势，适应新课标的要求，培养自己的数学思维和创新能力。

此外，定
期进行模拟考试，及时总结和反思，也是提高高考成绩的有效方法。

第二章测试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．下列不是直线与平面的位置关系的是()A．异面B．平行C．相交D．在平面内答案 A2．下列说法中正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点答案 C解析不共线的三点确定一个平面，所以A错误；四边形的四个顶点不一定共面，所以B 错误；假设两个平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点，那么这两个平面重合，所以D错误；两条平行直线确定一个平面，梯形的一组对边平行，则梯形一定是平面图形，所以C正确．3．空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面()A．可能有3个，也可能有2个B．可能有4个，也可能有3个C．可能有3个，也可能有1个D．可能有4个，也可能有1个答案 D解析4个点可能在同一平面内，也可能不共面，任意两点之间连线组成四面体，所以平面个数为1个或4个．4．对于直线m，n和平面α，β能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β答案 C5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B解析根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，知B 正确．6．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，在下列条件下，不能判定a⊥b的是() A．α⊥β，a⊥α，b⊥βB．α∥β，a⊥α，b⊂βC．α⊥β，a∥α，b∥βD．α⊥β，a⊥α，b∥α答案 C7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析延长CA至点M，使AM＝CA，则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角，连接BM，易知△BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60°，选C.8．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于()A．4πB．3πC．2πD．π答案 A解析如图，以SA，AB，BC为棱长构造长方体，得体对角线长为12＋12＋（2）2＝2R，所以R＝1，S＝4πR2＝4π.9．正方体ABCD－A1B1C1D1，二面角C1－AB－C的平面角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 B10．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°答案 D解析设正方形边长为a.在△AMD中，AD＝a，AM＝32a，DM＝a 2，∴AD2＝DM2＋AM2.∴∠AMD＝90°.11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D1D．A1A答案 B解析因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以可证BD⊥平面ACC1A1，又CE⊂平面ACC1A1，则CE⊥BD.12．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体A－BCD的四个面中，互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案 C解析由AB⊥BD，面ABD⊥面BCD，可知AB⊥面BCD，从而有面ABC⊥面BCD；又CD⊥BD，面ABD⊥面BCD，故CD⊥面ABD，从而可得面ABD⊥面ACD.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知二面角α－l－β的大小为60°，若直线a⊥α，直线b⊥β，则异面直线a，b所成的角是________．答案60°14．已知△ABC和直线l，若l⊥AB，l⊥BC，则l和AC的关系是________．答案垂直解析∵l⊥AB，l⊥BC，AB∩BC＝B，∴l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.15．如图所示，四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.其中真命题的序号是________(写出所有真命题序号)．答案①④解析①中取BC中点E，连接AE，DE.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AE⊥BC，DE⊥BC.∵AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD.④中过A向平面BCD内作垂线，垂足为O，连接BO，CO，DO，可证O为△BCD的垂心．∴BC⊥DO.又BC⊥AO，∴BC⊥平面ADO，又AD⊂平面ADO，∴BC⊥AD.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点．求证：平面MDB1∥平面ANC.证明如图，连接MN.∵M，N分别是其所在棱的中点，∴四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形．∴MB1∥AN，CN∥MD.又∵MB1⊂平面MDB1，MD⊂平面MDB1，MB1∩MD＝M，∴MB1∥平面ANC，MD∥平面ANC.∴平面MDB1∥平面ANC.18．(12分)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE＝EC，D是AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，DB与BC是平面ABC内的两条相交线，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.19．(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE 与平面ABCD所成角的正切值．解析 过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF. ∵EF ⊥平面ABCD ，∴∠EDF 是直线DE 与平面ABCD 所成的角． 由题意，得EF ＝12CC 1＝1.∵CF ＝12CB ＝1，∴DF ＝ 5.∵EF ⊥DF ，∴tan ∠EDF ＝EF DF ＝55. 20．(12分)如图，直三棱柱ABC －A′B′C′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点． (1)证明：MN ∥平面A′ACC′； (2)求三棱锥A′－MNC 的体积．解析 (1)证明：方法一：连接AB′，AC ′，因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，所以三棱柱ABC －A′B′C′为直三棱柱，所以M 为AB′的中点． 又因为N 为B′C′的中点，所以MN ∥AC′. 又MN ⊄平面A′ACC′，AC ′⊂平面A′ACC′， 因此MN ∥平面A′ACC′.方法二：取A′B′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′. 因为M ，N 分别为AB′与B′C′的中点，所以MP ∥AA′，PN ∥A ′C ′.所以MP ∥平面A′ACC′， PN ∥平面A′ACC′.又MP ∩NP ＝P ， 因此平面MPN ∥平面A′ACC′.又因MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A′ACC′.(2)方法一：连接BN ，由题意A′N ⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B ′BCC ′＝B′C′，所以A′N ⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故V A′－MNC＝V N－A′MC＝12V N－A′BC＝12V A′－NBC＝16.方法二：V A′－MNC＝V A′－NBC－V M－NBC＝12V A′－NBC＝1 6.21.(12分)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．解析(1)证明：如右图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.∵CD∥AB，∴BE⊥AB.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BE.∵PA∩AB＝A，∴BE⊥平面PAB.又∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB.(2)∵BE⊥平面PAB，∴BE⊥PB.∴∠ABP是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，AB＝1，PA＝3，tan∠ABP＝3，∴∠ABP＝60°.∴二面角A－BE－P的大小是60°.22．(12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．解析由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE－BCF，且AB＝BC＝BF ＝2，DE＝CF＝22，∠CBF＝90°.(1)证明：取BF的中点G，连接MG，NG，由M，N分别为AF，BC中点，可得NG∥CF，MG ∥EF ，∴面MNG ∥面CDEF ，∴MN ∥面CDEF. (2)取DE 中点为H ，连接AH ， ∵AD ＝AE ，∴AH ⊥DE.在直三棱柱ADE －BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，面ADE ∩面CDEF ＝DE ， ∴AH ⊥平面CDEF.∴多面体A －CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥． 在△ADE 中，AH ＝2，S 矩形CDEF ＝DE·EF ＝42， ∴棱锥A －CDEF 的体积V ＝13S 矩·AH ＝83.1.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点． (1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E －ABC 的体积V.解析 (1)证明：∵在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC. 又BC ∥AD ，∴EF ∥AD.又∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD.(2)连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ， 则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA.在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.2．已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心O 的距离等于球半径的一半，且AB ＝18 cm ，BC ＝24 cm ，AC ＝30 cm ，求球的体积和表面积． 解析 ∵AB 2＋BC 2＝AC 2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.∴过A，B，C三点的截面圆的半径为12AC＝15(cm)．设球的半径为R，则R2＝(R2＋152.2)∴R2＝300，∴R＝103(cm)．πR3＝4 0003π(cm3)，∴V球＝43S球＝4πR2＝1 200π(cm2)．。

课时作业(十九)1．两条不重合直线，其平行的条件是( ) A ．斜率相等 B ．斜率乘积等于－1 C ．倾斜角相等 D ．倾斜角的绝对值等于90°答案 C解析 当直线垂直于x 轴时，倾斜角为90°，斜率不存在，所以只要倾斜角相等，两条直线平行．2．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．1答案 A解析 l 1：经过两点(－1，2)，(－1，4)，倾斜角为90°， 又∵l 1∥l 2，∴l 2倾斜角也为90°，∴x ＝2.3．直线l 1，l 2的斜率分别为－1a ，－23，若l 1⊥l 2，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32C.23D.32 答案 A解析 l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，∴(－1a )·(－23)＝－1，∴a ＝－23，选A.4．若点P(a ，b)与Q(b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( ) A ．135° B ．45° C ．30° D ．60° 答案 B解析 由题意知k PQ ＝a ＋1－bb －1－a ＝－1，k l ·k PQ ＝－1，∴k l ＝1，即l 的倾斜角为45°.故选B.5．(2017·陕西榆林高一测试)直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直答案 D解析 由韦达定理知，x 1x 2＝－1，∴l 1与l 2垂直．6．过点E(1，1)和点F(－1，0)的直线与过点M(－k 2，0)和点N(0，k4)的直线位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合答案 C解析 ∵k EF ＝1－01－（－1）＝12，k MN ＝k4－00－（－k 2）＝k4k 2＝12，∴选C.7．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．－45° D ．120°答案 B8．下列三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1，3)，(5，7)，(10，12) B ．(－1，4)，(2，1)，(－2，5) C ．(0，2)，(2，5)，(3，7) D ．(1，－1)，(3，3)，(5，7) 答案 C解析 分别计算第一点与第二点连线及第二点与第三点连线的斜率．9．过点(0，73)与点(7，0)的直线l 1，过点(2，1)与点(3，k ＋1)的直线l 2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 为( ) A ．3 B ．－3 C ．－6 D ．6答案 A解析 由题意知kl 1＝0－737－0＝－13，kl 2＝k ＋1－13－2＝k ，l 1⊥l 2，即kl 1·kl 2＝－1，解得k ＝3.故选A.10．已知直线l 经过点(3，2)和(m ，n)．①若l 与x 轴平行，则m ，n 的取值情况是________； ②若l 与x 轴垂直，则m ，n 的取值情况是________． 答案 ①m ≠3，n ＝2； ②m ＝3，n ≠2.11．直线l 平行于经过点A(－4，1)，B(0，－3)的直线，则l 的倾斜角为________． 答案 135° 解析 由题意知k AB ＝－3－10－（－4）＝－1，∴直线AB 的倾斜角为135°，又直线l 平行于直线AB ，∴直线l 的倾斜角为135°.12．在▱ABCD 中，已知A(2，3)，B(5，3)，C(6，6)，则点D 坐标为________． 答案 (3，6)13．已知点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，那么下面四个结论中正确的序号为________．①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD. 答案 ①④解析 ∵k AB ＝－4－26－（－4）＝－35，k AC ＝6－212－（－4）＝14，k CD ＝12－62－12＝－35，k BD ＝12－（－4）2－6＝－4，∴k AB ＝k CD ，k AC ·k BD ＝－1， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，故填①④.14．已知A(1，－a ＋13)，B(0，－13)，C(2－2a ，1)，D(－a ，0)四点．(1)当a 为何值时，直线AB 和直线CD 平行？ (2)当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？解析 k AB ＝－13－（－a ＋13）0－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －（2－2a ）＝12－a (a ≠2)．(1)直线AB 与直线CD 平行，则k AB ＝k CD ，∴－a 3＝12－a ，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0－（－13）－3－0＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行不重合．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13＝k AB ，∴AB 与CD 重合．当a ＝2时，k AB ＝－23，k CD 不存在．∴AB 与CD 不平行．综上所述，当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)直线AB 与直线CD 垂直，则k AB k CD ＝－1，∴－a 3·12－a ＝－1，解得a ＝32.当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在．∴直线AB 与CD 不垂直．综上所述，当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直．15．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t ，2＋t)，R(－2t ，2)，其中t ∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR 的形状并给出证明． 解析 四边形OPQR 为矩形，证明如下： OP 边所在直线斜率k OP ＝t. QR 边所在直线的斜率k QR ＝t. OR 边所在直线的斜率k OR ＝－1t.PQ 边所在直线的斜率k PQ ＝（2＋t ）－t （1－2t ）－1＝－1t .∵k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ. ∴四边形OPQR 为平行四边形． 又∵k QR ·k OR ＝t ×(－1t )＝－1，∴QR ⊥OR.∴四边形OPQR 为矩形．16．已知△ABC 的顶点坐标为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．解析 k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1.若AB ⊥AC ，则有－12·(－m ＋13)＝－1，所以m ＝－7；若AB ⊥BC ，则有－12·(m －1)＝－1，所以m ＝3；若AC ⊥BC ，则有－m ＋13·(m －1)＝－1，所以m ＝±2.综上可知，所求m 的值为－7，±2，3.1．下列说法中不正确的是( )A ．若两条不重合直线l 1与l 2的斜率相等，则l 1∥l 2B ．若直线l 1∥l 2，则两直线的斜率相等C ．若两条不重合直线l 1，l 2的斜率均不存在，则l 1∥l 2D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 答案 B解析 不重合直线的斜率相等，两条直线一定平行；两条直线平行，斜率不一定相等，当两条直线斜率不存在时，两条直线仍平行．2．(2017·广东肇庆期中)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形答案 C解析 ∵k AB ＝－23，k AC ＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，则AB ⊥AC.故选C.3．不重合直线l 1和l 2的斜率分别是一元二次方程x 2－4x ＋4＝0的两个根，那么l 1和l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．不平行 D ．无法判断 答案 A解析 ∵k 1＝k 2＝2，又l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.4．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所构成的图形是( ) A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对 答案 B解析 由于k AB ＝k DC ，k AD ≠k BC ，k AD ·k AB ＝－1，故构成的图形为直角梯形．5．将直线l 沿x 轴的正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到原来的位置，则直线l 的斜率是________． 答案 －326．已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求顶点D 的坐标．解析 由题意可得矩形ABCD 各边所在直线的斜率均存在，设D 的坐标为(x ，y)． ∵AD ⊥CD ，AD ∥BC ，∴k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC .∴⎩⎪⎨⎪⎧y －1x －0·y －2x －3＝－1，y －1x －0＝2－03－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴顶点D 的坐标为(2，3)．。

课时作业(二十)1．过点P(－2，0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)答案 D2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案 C解析直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.3．(2017·合肥一中检测)已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为()A．y＝3x＋2 B．y＝－3x＋2C．y＝－3x－2 D．y＝3x－2答案 D解析直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式直接写方程．4．直线y＝－x＋b一定经过()A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限答案 B5.方程y＝k(x－2)表示()A．通过点(－2，0)的所有直线B．通过点(2，0)的所有直线C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的直线D．通过点(2，0)且除去x轴的直线答案 C解析直线x＝2也过(2，0)，但不能用y＝k(x－2)表示．6．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线是()A．x＝－1 B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)答案 C7．过点(1，3)且斜率不存在的直线方程为()A．x＝1 B．x＝3C．y＝1 D．y＝3答案 A解析紧扣直线的斜率不存在这一条件，从而直线必与x轴垂直．8．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，点O(0，0)，A(1，3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)答案 D解析由对称性知B的坐标为(2，0)．9．直线y＝kx＋b(b≠0)不过第二象限，则()A．kb<0 B．kb≤0C．kb>0 D．kb≥0答案 B解析由于直线y＝kx＋b(b≠0)不过第二象限，所以必须要求kb≤0.10．如图，在同一坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()答案 C解析方法一：(1)当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；(2)当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；(3)当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角且过原点，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距a<0，C项正确．方法二：(排除法)A 选项中：直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a<0，所以不满足．同理可排除B ，D ，从而得C 正确． 11．过点(2，1)，且倾斜角α满足tan α＝43的直线方程是________．答案 y ＝43x －5312．已知直线l 1：y ＝3x ＋5，将直线l 1向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到直线l 2，则直线l 2的方程是________． 答案 y ＝3x －9解析 根据直线y ＝kx ＋b 的平移规律，可得直线l 2的方程为y ＝3(x －4)＋5－2，即y ＝3x －9.13．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________． 答案 5 2解析 由题意知，直线l 过点(4，－1)且斜率为1，则方程为y ＋1＝x －4，即y ＝x －5，与x 轴，y 轴的交点分别为(5，0)，(0，－5)，∴直线l 被坐标轴截得的线段长为5 2.14．光线自点M(2，3)射到y 轴的点N(0，1)后被y 轴反射，求反射光线所在直线的方程．解析 根据物理学知识，入射角等于反射角， 可确定反射线的斜率．如图所示，入射线经过M ，N 点，其斜率是k ＝3－12－0＝1，∴倾斜角为45°，即∠MNP ＝45°.由物理学知识，得∠M ′NP ＝45°，即反射线的倾斜角为135°，其斜率为－1. ∴反射线所在直线的方程为y －1＝－1(x －0)， 即y ＝－x ＋1.15．直线l 经过点P(－2，3)，且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程．解析 设A ，B 两点的坐标分别为(a ，0)和(0，b)．因为点P(－2，3)为线段AB 的中点，由中点坐标公式可得a ＝－4，b ＝6，∴直线l 的方程为y ＝32x ＋6.16．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0. (1)若l 在两个坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求a 的取值范围．解析 (1)l ：(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0，当x ＝0时，y ＝a －2，当y ＝0时，x ＝a －2a ＋1.∴a －2＝a －2a ＋1，∴a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴直线方程为x ＋y ＋2＝0或3x ＋y ＝0.(2)∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，－（2－a ）≤0.∴a ≤－1.17．(1)求斜率为34，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程．(2)求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线l 的方程．解析 (1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，易求直线l 与x ，y 轴的交点分别为A(－43b ，0)，B(0，b)，∴|AB|＝（－43b ）2＋b 2＝53|b|.∴53|b|＋43|b|＋|b|＝12，∴b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝34x ±3.(2)由直线l 与直线y ＝43x ＋53垂直，可设直线l 的方程为y ＝－34x ＋b ，则直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为x 0＝43b ，y 0＝b.又因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以S ＝12|x 0||y 0|＝24，即12⎪⎪⎪⎪43b |b|＝24，b 2＝36，解得b ＝6，或b ＝－6. 故所求的直线方程为y ＝－34x ＋6，或y ＝－34x －6.1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角和所过的定点为( ) A ．60°，(1，2) B ．120°，(－1，2) C ．60°，(－1，2)D ．120°，(－1，－2)答案 B2．直线2x －3y ＝6在x 轴，y 轴上的截距分别为( ) A ．3，2 B ．－3，0 C ．3，－2 D ．－3，－2答案 C解析 当x ＝0时，y ＝－2；当y ＝0时，x ＝3.3．已知直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k>0，b>0 B ．k>0，b<0 C ．k<0，b>0 D ．k<0，b<0 答案 B解析 若y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则必有斜率k>0，在y 轴上的截距b<0，选B. 4．在△ABC 中，已知A(1，－4)，B(2，6)，C(－2，0)，AD ⊥BC 于点D ，求直线AD 的点斜式方程．解析 显然，直线AD 的斜率存在． 设直线AD 的方程为y ＋4＝k AD (x －1)． 由题意知k BC ＝6－02－（－2）＝32.∵AD ⊥BC ，∴k AD ·k BC ＝－1，∴k AD ＝－23.故直线AD 的点斜式方程为y ＋4＝－23(x －1)．5．过A(4，3)点的四条直线的倾斜角的比是1∶2∶3∶4，第二条直线过原点，求这四条直线的方程．答案 l 1：x －3y ＋5＝0，l 2：3x －4y ＝0， l 3：13x －9y －25＝0，l 4：24x －7y －75＝0.6．直线l 过点P(2，－3)，倾斜角比直线y ＝2x －1的倾斜角大45°，求直线l 的方程． 解析 设直线l 的倾斜角为α，直线y ＝2x －1的倾斜角为β，则有tan β＝2，α＝β＋45°. ∴k ＝tan α＝tan(β＋45°)＝tan β＋tan45°1－tan βtan45°＝2＋11－2×1＝－3.又因为直线l 过点P(2，－3)， 所以直线方程为3x ＋y －3＝0.7．等腰三角形ABC 的顶点A(－1，2)，AC 的斜率为3，点B(－3，2)，求直线AC ，BC及∠A的平分线所在的直线方程．解析AC：y＝3x＋2＋ 3.∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，∴BC的倾斜角α为30°或120°.当α＝30°时，BC的方程为y＝33x＋2＋3，∠A平分线的倾斜角为120°，∴∠A的平分线所在直线方程为y＝－3x＋2－ 3.当α＝120°时，BC的方程为y＝－3x＋2－33，∠A平分线的倾斜角为30°，∴∠A的平分线所在直线方程为y＝33x＋2＋3 3.。

模块综合测试卷(一)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．给出下列命题：①在所有的棱柱中，互相平行的面最多有三对；②三个面不能围成几何体；③各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥的底面是正方形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ①不对，因为有的六棱柱中有四对互相平行的面；③不对，因为底面有可能为菱形，∴②④正确．2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．不在同一平面内D ．A ，B ，C 均有可能 答案 D解析 可以利用正方体加以验证．3．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为( ) A ．52π B ．34π C ．45π D ．37π 答案 A解析 环绕一周得到的是一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥、圆柱的底面半径为r ＝4，圆柱高为2，圆柱母线长为l 1＝2，圆锥母线长为l 2＝5，所以所求表面积S ＝2πrl 1＋πr 2＋πrl 2＝52π.4．直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＋2x ＝0只在第二象限有公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．[34，1]B ．[34，1)C ．[34，＋∞)D ．(－∞，1) 答案 B解析 由题意可知y ＝kx ＋2恒过点(0，2)，要使直线与圆只在第二象限有公共点，则k ∈[k 1，k 2)．由题意得y ＝k 2x ＋2过(－2，0)，(0，2)两点，∴k 2＝1.又圆心为(－1，0)，∴圆心到y ＝k 1x ＋2的距离d ＝|－k 1＋2|k 12＋1＝1，∴k 1＝34，∴k ∈[34，1)．5．过点P(1，1)作直线l 与两坐标轴相交，所得三角形面积为10，则直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 D解析 通过直线的截距式，再作对称即可以发现有4条．6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n. ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ. ③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β.④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误．②正确．③m ∥α或m ⊂α，m ∥β或m ⊂β，故③错误．④α，β的关系不确定，故④错误．故选B.7．若方程x 2＋y 2＋x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则k 的取值范围是( ) A ．k>12B ．k<12C ．0<k<12D ．k ≤12答案 B解析 通过圆的一般方程的判断即可解决．8．若圆C 1的方程是x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，圆C 2的方程是x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，则两圆的公切线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．1条 答案 D解析 通过判断两圆的关系即可解决．9．直线y ＝x ＋1与直线y ＝ax ＋1的交点的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．随a 的值变化而变化答案 D解析 若a ＝1，则有无数个交点；若a ≠1，则有一个交点．10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－43，0]B ．[0，34]C ．[0，43]D ．(0，43]答案 C解析 圆C ：(x －4)2＋y 2＝1，圆心C(4，0)，半径r ＝1.∵直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴圆心C(4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，解得0≤k ≤43.11．如图，在多面体ABC-DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，EF ∥DG ，且AB ＝DE ，DG ＝2EF ，则( )A ．BF ∥平面ACGDB ．CF ∥平面ABEDC ．BC ∥FGD ．平面ABED ∥平面CGF答案 A解析 取DG 的中点M ，连接AM ，FM ，如图所示． 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，∴DE 綊FM.∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ，∴AB ∥DE ，∴AB ∥FM.又AB ＝DE ，∴AB ＝FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形，即BF ∥AM.又AM ⊂平面ACGD ，BF ⊄平面ACGD ，∴BF ∥平面ACGD.故选A.12．正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题正确的是( )①AH ⊥平面CB 1D 1 ②AH ＝13AC 1③点H 是△A 1BD 的垂心 ④AH ∥平面BDC 1 A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④答案 A解析 如图，∵CD 1∥BA 1，CB 1∥DA 1，CD 1∩CB 1＝C ，BA 1∩DA 1＝A 1，∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，又AH ⊥面A 1BD. ∴AH ⊥面CB 1D 1，故①正确． ∵V A 1-ABD ＝V A-A 1BD. ∴13·AH ·S △A 1BD ＝13·AA 1·S △ABD ， ∴AH ＝33，∴AH ＝13AC 1，故②正确． ∵AA 1，AB ，AD 两两相互垂直，∴H 为△A 1BD 的垂心，故③正确． 由题知H 点在线段AC 1上，故④不正确．故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0是圆的两条切线，则该圆的面积是__________． 答案932π 解析 ∵直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0平行， ∴两平行直线间的距离即为圆的直径，∴2R ＝⎪⎪⎪⎪1＋122＝324.∴R ＝328，S 圆＝πR 2＝932π.14．过点P(3，6)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8的直线方程为__________________． 答案 3x －4y ＋15＝0或x ＝3解析 当斜率不存在时，显然成立．斜率存在时，由距离公式可得斜率为0.75.15．光线由点(－1，4)射出，遇直线2x ＋3y －6＝0被反射，已知反射光线过点(3，6213)，则反射光线所在直线方程为__________． 答案 13x －26y ＋85＝0解析 先求P(－1，4)点关于直线2x ＋3y －6＝0的对称点Q ，然后利用点Q 与点(3，6213)在反射光线所在直线上就可以解决．16．已知m ，l 是直线，α，β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l 平行于α，则l 平行α内所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β； ⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l.其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上)． 答案 ①④解析 通过正方体验证．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，问：当m 为何值时，l 1与l 2①相交；②平行；③重合．解析 若m ＝0，l 1：x ＝－6，l 2：2x －3y ＝0，此时l 1与l 2相交； 若m ≠0，由m －21＝3m ，有m ＝－1或m ＝3，由3m ＝2m6，有m ＝±3.故①当m ≠1且m ≠3时，m －21≠3m ，l 1与l 2相交；②当m ＝－1时，m －21＝3m ≠2m6，l 1与l 2平行；③当m ＝3时，m －21＝3m ＝2m6，l 1与l 2重合．18．(本小题满分12分)如图，多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC ∥DG ∥EF ，BC ∥FG ，且AC ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：CF ⊥平面BDG ； (2)求多面体ABCDEFG 的表面积． 解析 (1)证明：如图，连接AE ，EG ， ∵BC ∥FG ，∴B ，C ，G ，F 四点共面． 在Rt △BAC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝5，GF ＝DE 2＋（DG －EF ）2＝5，即BC ＝GF ＝5，同理可证BF ＝CG ＝ 5. ∴四边形BCGF 是菱形，∴CF ⊥BG ，∵AC ∥EF ，AC ＝EF ＝1，∴四边形AEFC 是平行四边形，∴AE ∥CF ， 在正方形ABED 中，AE ⊥BD ，故CF ⊥BD. 又BG ∩BD ＝B ，∴CF ⊥平面BDG. (2)BG ＝BE 2＋EG 2＝BE 2＋ED 2＋DG 2＝22＋22＋22＝23，CF ＝AE ＝AB 2＋BE 2＝22，∴S 棱形BFGC ＝12×BG ×CF ＝12×22×23＝26，∴多面体ABCDEFG 的表面积S ＝S △ABC ＋S 梯形DEFG ＋S 正方形ABED ＋S 梯形ADGC ＋S △BEF ＋S 菱形BFGC ＝12AB ·AC ＋12(EF ＋DG)·DE ＋DE 2＋12(AC ＋DG)·AD ＋12BE ·EF ＋26 ＝1＋3＋4＋3＋1＋26 ＝12＋2 619．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，面PAD ⊥面ABCD ，E ，F 分别为PC 和BD 的中点．(1)证明：EF∥面PAD；(2)证明：面PDC⊥面PAD.证明(1)如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F.又E是PC的中点，∴EF∥AP.∵EF在面PAD外，PA在面PAD内，∴EF∥面PAD.(2)∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴CD⊥面PAD.又AP⊂面PAD，∴AP⊥CD.又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，∴AP⊥面PCD.又AP⊂面PAD，∴面PDC⊥面PAD.20.(本小题满分12分)自点P(－3，3)发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求入射光线l所在直线的方程．解析设入射光线l所在的直线方程为y－3＝k(x＋3)，反射光线所在直线的斜率为k1，根据入射角等于反射角，得k＝－k1，而点P(－3，3)关于x轴的对称点P1(－3，－3)，根据对称性，点P 1在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线l 1的方程为y ＋3＝－k(x ＋3)，即kx ＋y ＋3＋3k ＝0，又此直线与已知圆相切，所以圆心到直线l 1的距离等于半径r ，因为圆心为(2，2)，半径为1，所以|2k ＋2＋3＋3k|1＋k 2＝1，解得k ＝－34或k ＝－43.故入射光线l 所在的直线方程为y －3＝－34(x ＋3)或y －3＝－43(x ＋3)，即3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.21．(本小题满分12分)设M 是圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0上一动点，O 是原点，N 是射线OM 上一点，若|OM|·|ON|＝120，求N 点的轨迹方程． 解析 设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x ，y)， 由题意|OM|·|ON|＝120， 得x 12＋y 12·x 2＋y 2＝120.①当M 不在y 轴上时，x 1≠0，x ≠0，于是有y x ＝y 1x 1.设y x ＝y 1x 1＝k ，代入①，化简得|x 1x|(1＋k 2)＝120. 因x 1与x 同号，于是x 1＝120（1＋k 2）x ，y 1＝120k（1＋k 2）x ， 代入x 2＋y 2－6x －8y ＝0并化简，可得3x ＋4y －60＝0(x ≠0)． 当x 1＝0时，y 1＝8，点N(0，15)也在直线3x ＋4y －60＝0上， 所以，点N 的轨迹方程为3x ＋4y －60＝0.22．(本小题满分12分)求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．解析 由题意，设所求圆的方程为圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为C 1(a ，4)，或C 2(a ，－4)． 又已知圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的圆心A 的坐标为(2，1)，半径为3. 若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，或|CA|＝4－3＝1. (1)当圆心为C 1(a ，4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72， 或(a －2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a ＝2±210.∴所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16，或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16.(2)圆心为当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2 6.∴所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.综上，所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.。

第一章测试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面答案 C2．如图所示的直观图的原平面图形是()A．任意三角形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形答案 B3．一个正方体的体对角线长为l，那么这个正方体的全面积为() A．22l2B．2l2C．23l2D．32l2答案 B解析设正方体棱长为a，则l＝3a，∴a＝3 3l.S＝6a2＝2l2.故选B.4．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是()答案 D5.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．6C．快D．乐答案 B解析如图所示，将题图折成正方体，可得2的下面是6.6．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为( ) A.π2 B ．π C.32π D.3π答案 C解析 方法一：如图①，AD ＝62，AO ＝23AD ＝63，SO ＝SA 2－AO 2＝233.∴R 2＝(23 3－R)2＋(63)2，∴R ＝32.球的体积为43πR 3＝43π×(32)3＝32π.方法二：构造棱长为1的正方体如图②，则C 1A 1BD 为棱长为2的正四面体，正方体的外接球也为正四面体的外接球．此时球的直径为3，因此球的体积为32π. 7．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a ，则它的底面积为( ) A.a 5 B.a 3 C.a 2 D.a 4答案 A解析 设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，则2πr ＝l·π2，故l ＝4r ，由题意知πrl ＋πr 2＝a ，所以πr 2＝a5.8．如果有底的圆柱底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．2∶1 D ．1∶1 答案 A解析 设球的半径为r ，则S 柱∶S 球＝[2πr 2＋2πr ·(2r)]∶4πr 2＝3∶2.故选A.9．一个圆台的上、下底面面积分别是1 cm 2和49 cm 2，一个平行底面的截面面积为25 cm 2，则这个截面与上、下底面的距离之比是( ) A ．2∶1 B ．3∶1 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 将圆台扩展为圆锥，轴截面如图． 由题知，r 1∶r 3＝1∶7，r 2∶r 3＝5∶7， ∴h 2＋h 3＝6h 1，h 2＝4h 1，∴h 3＝2h 1，∴这个截面与上、下底面距离比为2∶1.故选A.10．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则大球的表面积为( ) A ．6π B ．8π C ．434π D ．832π 答案 C解析 大球的体积是2×4π3×13＝8π3，设大球的半径为R ，则有4π3R 3＝8π3，解得R ＝32，所以大球的表面积为4π(32)2＝434π.故选C.11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，2，3，则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．6π B ．12π C ．18π D ．24π 答案 A解析 将三棱锥补成边长分别为1，2，3的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R ＝6，解得R ＝62，故S ＝4πR 2＝6π. 12.如图所示，已知△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1.若在三角形内挖去一个半圆(圆心O 在边AC 上，半圆分别与BC ，AB 相切于点C ，M ，与AC 交于点N)，则图中阴影部分绕直线C 旋转一周所得的旋转体的体积为( ) A.33π B.5327π C.4327π D.539π答案 B解析 设半圆的半径OC ＝OM ＝r ，AO ＝OM sin30°＝2r ，则AC ＝AO ＋OC ＝3r ＝3，∴r ＝33，故旋转体的体积为V ＝13×3(π×12)－4π3×(33)3＝5327π.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积等于________．(铁皮厚度忽略不计)． 答案15π3解析 如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l 等于正方形的边长4，扇形的弧长＝14×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2πr ＝2π，所以r ＝1，所以h ＝l 2－r 2＝15，所以圆锥的容积为13πr 2h ＝15π3.14．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为________． 答案 43π 解析 2R ＝（62×2）2＋（6）2＝23，∴R ＝3，V 球＝43πR 3＝43π. 15．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是________ cm. 答案 616.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现：圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为________，________． 答案 32 32解析 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝4π3R 3，∴V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32.∵S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2，∴S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝32.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，圆锥SAB 的底面半径为R ，母线长SA ＝3R ，D 为SA 的中点，一个动点自底面圆周上的A 点沿圆锥侧面移动到D.求这点移动的最短距离． 解析 如图，圆锥侧面展开为扇形，对应的弧长为底面周长2πR ，动点移动的最短距离为AD. 设∠ASD ＝α，则2πR ＝3R·α ∴α＝23π.在△SAD 中由余弦定理得：AD 2＝SA 2＋SD 2－2SA·SD·cos α＝634R 2∴AD ＝372R.18．(12分)正方体的每条棱长都增加1 cm ，它的体积扩大为原来的8倍，求此正方体的棱长．解析 利用待定系数法求解．设出正方体的棱长，根据体积扩大为原来的8倍列方程，解方程得正方体的棱长．设正方体的棱长为a cm ，由题意，得(a ＋1)3＝8a 3，解得a ＝1，即此正方体的棱长为1 cm. 19．(12分)如图，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解析 该四边形的原图形，如下图所示．这是一个底边长为2，高为2的平行四边形，故原图面积为2 2. 20．(12分)已知六棱锥P-ABCDEF ，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm ，侧棱长为3 cm ，求六棱锥P-ABCDEF 的表面积和体积． 解析 先求底面正六边形的面积，S 六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×12×2×2sin60°＝63cm 2，S 侧面＝6S △PCD ＝6×12×2×PC 2－（CD2）2＝632－12＝122cm 2，∴S P-ABCDEF ＝S 六边形ABCDEF ＋S 侧面＝(63＋122) cm 2. 在Rt △POC 中， PO ＝PC 2－OC 2＝PC 2－BC 2＝9－4＝ 5 cm ，∴V 六棱锥P-ABCDEF ＝13Sh ＝13×63×5＝215 cm 3.21．(12分)如图所示，四边形ABCD 是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．解析 由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积＋圆台的侧面积＋半球面面积． 因为S 半球面＝12×4π×22＝8π cm 2，S 圆台侧＝π(2＋5)（5－2）2＋42＝35π cm 2，S 圆台下底＝π×52＝25π cm 2，所以表面积为8π＋35π＋25π＝68π cm 2.又因为V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π cm 3，V 半球＝12×4π3×23＝16π3cm 3，所以该几何体的体积为V 圆台V 半球＝140π3cm 3.22．(12分)如图，是从上下底面处在水平状态下的棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中分离出来的．(1)∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，对吗？ (2)∠A 1C 1D 的真实度数是60°，对吗？(3)设BC ＝1 cm ，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？ 解析 (1)对； (2)对；(3)由题意知，以平面B 1CD 1为水平面，可盛最多体积的水，此时V 水＝V C 1-B 1D 1C ＝V C-B 1C 1D 1＝13×12×1×1×1＝16(cm 3)． ∴最多能盛16cm 3的水．1．在正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积之比为( ) A. 3 B. 2 C.62D.33答案 A解析 如图，设正方体的棱长为a ，则正四面体AB 1D 1C 的所有棱长均为2a.正方体的表面积S 1＝6a 2，正四面体的表面积S 2＝4×34×(2a)2＝23a 2. ∴S 1∶S 2＝6a 2∶23a 2＝3∶1.2．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.41613π3cm 3答案 C解析 设球的半径为R ，则32＋42＝R 2，故R ＝5 cm. 所以球的体积为V ＝43πR 3＝43π×125＝500π3 cm 3.。

课时作业(二十九)1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B中的元素个数为()A．4B．3C．2 D．1答案 C2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝() A．4 B．4 2C．8 D．8 2答案 C解析因为两圆都和两坐标轴相切，且都经过点(－4，1)，所以两圆圆心均在第一象限的角平分线上．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，所以a ＋b＝10，ab＝17，所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，所以|C1C2|＝（a＋b）2＋（a－b）2＝32×2＝8.3．已知曲线C：y＝－x2－2x与直线l：x＋y－m＝0有两个交点，则m的取值范围是() A．(－2－1，2) B．(－2，2－1)C．[0，2－1) D．(0，2－1)答案 C解析曲线C是圆x2＋y2＋2x＝0位于x轴上方的半圆，m是直线l：x＋y－m＝0在y轴上的截距，利用数形结合可得m的取值范围是[0，2－1)．故选C.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.0米C．3.6米D．4.5米答案 C解析如图所示，通过勾股定理解得|OD|＝OC2－CD2＝3.6(米)．故选C.5．若圆B ：x 2＋y 2＋b ＝0与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 b<－1006．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB|＝3，则OA →·OB →＝________． 答案 －12解析 由于圆的半径为1，|AB|＝3，所以O 到直线的距离为12，∠AOB ＝120°，|OA|＝|OB|＝1.所以向量OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos120°＝－12.7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解析 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到直线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865，而半径r ＝3， ∴d>r ，即直线与圆相离，∴轮船不会受到台风的影响．8.如图所示，过圆外一点P(a ，b)作圆x 2＋y 2＝k 2的两条切线，切点为A ，B ，求直线AB 的方程．解析 设切点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则切线AP ，BP 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝k 2，x 2x ＋y 2y ＝k 2. ∵这两条切线都过点P(a ，b)， ∴ax 1＋by 1＝k 2，ax 2＋by 2＝k 2.由以上二式可以看出：A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标都适合方程ax ＋by ＝k 2，它是一条直线方程，而过A ，B 的直线只有一条， ∴直线AB 的方程为ax ＋by ＝k 2.9．已知圆x 2＋y 2＝8，定点P(4，0)，问过P 点的直线的倾斜角在什么范围内取值时，该直线与已知圆：(1)相切；(2)相交；(3)相离，并写出过点P 的切线方程．解析 设直线的斜率为k ，倾斜角为α，则过点P 的直线方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0.又圆心到直线的距离d ＝|－4k| k 2＋1＝|4k|1＋k 2，(1)直线与已知圆相切，则d ＝4，∴4|k|1＋k 2＝22，∴k 2＝1，k ＝±1，∴α＝π4或α＝3π4.即当α＝π4或α＝3π4时，直线与圆相切，切线方程为x －y －4＝0或x ＋y －4＝0. (2)直线与已知圆相交，则d<r ，∴4|k|1＋k 2<22，∴k 2<1，∴－1<k<1，∴α∈[0，π4)∪(3π4，π)．此时，直线与圆相交．(3)直线与已知圆相离，则d>r ，∴4|k|1＋k 2>22，∴k 2>1，∴k>1或k<－1. ∴α∈(π4，π2)∪(π2，3π4)．又当α＝π2时，直线x ＝4与圆相离，∴α∈(π4，3π4) 时，直线与圆相离．10．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．解析 将x ＝3－2y 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1，y 2满足条件y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5. ∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2， ∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2.∴9－6×4＋5×12＋m5＝0，解得m ＝3.此时Δ>0，圆心坐标为(－12，3)，半径r ＝52.11．若实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0， (1)求yx 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值． 解析 方法一：(1)圆方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2，0)为圆心，半径为3的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时有|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3，故yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x)max ＝－2＋6，(y －x)min ＝－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为3， 故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.方法二：设x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ，θ∈[0，2π)， (1)设yx ＝u ，则u ＝3sin θ2＋3cos θ.∴2u ＋3ucos θ＝3sin θ，∴3sin θ－3ucos θ＝2u. sin(θ－φ)＝2u 3·u 2＋1，(sin φ＝u u 2＋1，cos φ＝1u 2＋1)∵|sin(θ－φ)|≤1，∴2|u|3·u 2＋1≤1.解之得－3≤u ≤3，故yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x ＝3sin θ－2－3cos θ＝－2＋6sin(θ－π4)．∵－1≤sin(θ－π4)≤1，故(y －x)max ＝－2＋6，(y －x)min ＝－2－ 6. (3)x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ， 故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.1．自点A(－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．解析 设光线l 所在的直线的斜率为k ，由光学原理可知，反射光线所在的直线的斜率为－k ，且反射光线所在的直线经过点A ′且点A ′关于x 轴的对称点为点A(－3，3)，故过A ′(－3，－3)的反射光线所在直线的方程为y ＋3＝－k(x ＋3)，即kx ＋y ＋3k ＋3＝0，依题意，它与圆(x －2)2＋(y －2)2＝1相切，所以|2k ＋2＋3k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或－34，故光线l 所在的直线方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.2．已知A(－2，0)，B(2，0)，点C ，D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)，求点D 的轨迹方程．解析 设C 坐标为(x 1，y 1)，D 坐标为(x ，y)， 由|AC →|＝2，得(x 1＋2)2＋y 12＝4.① 又由向量AD →＝12(AB →＋AC →)，可得(x ＋2，y)＝（4，0）＋（x 1＋2，y 1）2，即(2x ＋4，2y)＝(6＋x 1，y 1)， 则有2x ＋4＝6＋x 1，2y ＝y 1， 即2x －2＝x 1，2y ＝y 1.②把②式代入①式得，(2x)2＋(2y)2＝4化简得x 2＋y 2＝1，即为点D 的轨迹方程．3．平面上两点A(－1，0)，B(1，0)，在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4上取一点P ，求使|AP|2＋|BP|2取得最小值时点P 的坐标．解析 因为P 在圆C 上，所以可设P(3＋2cos θ，4＋2sin θ)． 又因为A(－1，0)，B(1，0)，∴|AP|2＋|BP|2＝(3＋2cos θ＋1)2＋(4＋2sin θ)2＋(3＋2cos θ－1)2＋(4＋2sin θ)2＝60＋32sin θ＋24cos θ＝60＋40sin(θ＋φ)(tan φ＝34)．当sin(θ＋φ)＝－1，(|AP|2＋|BP|2)min ＝20.此时60＋24cos θ＋32sin θ＝20，即3cos θ＋4sin θ＝－5.又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得cos θ＝－35，sin θ＝－45，则P(95，165)．4．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t ＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程；(4)若点P(3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围． 解析 原方程可整理为[x －(t ＋3)]2＋[y ＋(1－4t 2)]2＝－7t 2＋6t ＋1. (1)r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，解得－17<t<1.(2)设圆心坐标为P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝4t 2－1，消t 可得y ＝4x 2－24x ＋35，此即为圆心轨迹方程． (3)求圆面积最大即求圆半径最大，半径的平方最大． r 2＝－7t 2＋6t ＋1＝－7(t －37)2＋167，所以当t ＝37时，r 2最大为167，此时圆的面积最大，圆的方程为(x －247)2＋(y ＋3649)2＝167.(4)要使点P(3，4t 2)恒在所给圆内，那么把P 点坐标代入圆方程应满足[3－(t ＋3)]2＋[4t 2＋(1－4t 2)]2＋7t 2－6t －1<0，即8t 2－6t<0，解得0<t<34.5.如图，已知定点A(2，0)，点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程． 解析 由三角形角平分线性质，得 |QM||MA|＝|OQ||OA|＝12，∴|QM||MA|＝12. 设M ，Q 的坐标分别为(x ，y)，(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12×21＋12，y ＝y 0＋12×01＋12，⇒⎩⎨⎧x 0＝32x －1，y 0＝32y.因为Q 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 02＋y 02＝1.所以(32x －1)2＋(32y)2＝1，所以动点M 的轨迹方程为(x －23)2＋y 2＝49.6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆C 外一点P(x ，y)向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P 的坐标．解析 (1)圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心(－1，2)，r ＝ 2.设圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，①当a ＝b ＝0时，切线方程可设为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由点到直线的距离公式，得2＝|－k －2|k 2＋1⇒k ＝2±6. 所以切线方程为y ＝(2±6)x.②当a ＝b ≠0时，切线方程为x a ＋yb ＝1，即x ＋y －a ＝0.由点到直线的距离公式，得 2＝|－1＋2－a|12＋12⇒a ＝－1，a ＝3.所以切线方程为x ＋y ＋1＝0，x ＋y －3＝0. 综上，所求切线方程为y ＝(2±6)x ，x ＋y ＋1＝0，x ＋y －3＝0. (2)连接MC ，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2， ∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－|MC|2＝|PO|2.即(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2. 整理得x ＝2y －32.∴|PM|＝|PO|＝x 2＋y 2＝（2y －32）2＋y 2＝5y 2－6y ＋94.当y ＝－－610＝35时，|PM|最小，此时x ＝－310， ∴P(－310，35)．。

9.1 随机抽样(精练)【题组一基本概念】1．(2021·天津河西·高一期末)下列情况适合用全面调查的是( )A．了解一批玉米种子的发芽率B．了解某城市居民的食品消费结构C．调查一个县各村的粮食播种面积D．调查一条河的水质2．(2021·湖北孝感·高一期末)下列调查方式合适的是( )A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式D．为了了解一个班级的学生每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式3．(2021·全国·高一课时练习)为调查参加考试的1000名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是( )A．1000名学生是总体B．每个学生是个体C．样本容量是100 D．抽取的100名学生是样本4．(2021·全国·高一课时练习)某校去年有1100名同学参加高考，从中随机抽取50名同学的总成绩进行分析，在这个调查中，下列叙述错误的是A．总体是：1100名同学的总成绩B．个体是：每一名同学C．样本是：50名同学的总成绩D．样本容量是：505．(2021·全国·高一课时练习)为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是A．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007B．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007C．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007D．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是20076(2021·全国·高一课时练习)指出下列调查适合用普查还是抽查？并简单说明理由.(1)检验某厂生产的乒乓球的合格率；(2)测试某种绿豆的发芽率；(3)了解《新闻联播》在某省的收视率；(4)检查某批飞机零件的合格率；(5)审查自己某篇作文的错别字；(6)了解法国国民对2016年欧洲杯举办的满意程度.7．(2021·全国·高一课时练习)下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由(1)了解某城市居民的食品消费结构；(2)调查一个县各村的粮食播种面积；(3)了解某地区小学生中患沙眼的人数；(4)了解一批玉米种子的发芽率；(5)调查一条河流的水质；(6)某企业想了解其产品在市场的占有率.【题组二简单随机抽样】1．(2021·全国·专题练习)福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，小明利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第7列数字开始由左到右依次读取数据，则选出来的第3个红色球的编号为( )A．06 B．17 C．20 D．242．(2021.贵州.金沙县第五中学 )某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01， (38)39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是( )0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179A．36 B．16 C．11 D．143．(2021·全国·高一课时练习)下列抽样方法是简单随机抽样的是( )A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．可口可乐公司从仓库的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾D．从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)4．(2021·全国·高一课时练习)下列抽样方法不是简单随机抽样的是( )A．从50个零件中逐个抽取5个做质量检验B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C．从实数集中随机抽取10个分析奇偶性D．运动员从8个跑道中随机选取一个跑道5．(2021·全国·高一课时练习)现要完成下列3项抽样调查：①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格．②某科研院所共有480名科研人员，其中具有高级职称的有48名，具有中级职称的有360名，具有初级职称的有72名．为了解该科研院所科研人员的创新能力，拟抽取一个样本容量为20的样本．③在中秋节前，某食品监督局从某品牌的10盒月饼中随机抽取3盒进行食品卫生检查．较为合理的抽样方法是( )A．①③简单随机抽样，②分层抽样B．①②简单随机抽样，③分层抽样C．②③简单随机抽样，①分层抽样D．①简单随机抽样，②③分层抽样6．(2021·全国·高一课时练习)(多选)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样为( )A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B．盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里C．从20件玩具中逐个抽取3件进行质量检验D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛【题组三分层抽样】1．(2021·江西九江)小张去年承包了村里的鱼塘养殖黑鱼，计划今年年初出售成年黑鱼．小张第一天从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，称得共重500斤，将这些鱼做上标记后重新放回鱼塘，第二天又从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，发现带有标记的黑鱼有8条已知目前市场上一斤黑鱼价格是18元，则可估计该鱼塘今年能产生的效益约为( )A．188000元B．205000元C．220000元D．225000元2．(2021·全国·高一课时练习)某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人．计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男、女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．抽签法B．按性别分层抽样C．随机数法D．按地区分层抽样3．(2021·全国·高一课时练习)某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且::2:5:3a b c ，全校参加登山的人数占总人数的14．为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取( )A ．15人B ．30人C ．40人D ．45人4(2021·全国·高一专题练习)简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是在抽样的过程中( )A ．每个个体被抽到的可能性相同B ．把总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分中抽取C ．将总体分成几层，按比例分层抽取D ．都可以把抽取到的样品放回后，继续抽取5．(2021·黑龙江·大庆中学高二开学考试)从一个容量为m (3m ≥，m N ∈)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是13，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是( )A ．15B ．14C ．12D ．136．(2021·全国·高一课时练习)已知数据123200,,,...,x x x x 的平均数是6，数据123300,,,...,y y y y 的平均数是20，则20030011500i i i i x y ==+=∑∑( )A ．13B ．14.4C ．15D ．15.47．(2021·全国·高一课时练习)从全校2000名小学女生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3cm ，则可以推测该校女生的身高( )A ．一定为148.3cmB ．高于148.3cmC ．低于148.3cmD ．约为148.3cm8．(2021·云南省楚雄天人中学高二月考(文))我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”.某校数学兴趣小组为了解本校学生对《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》阅读的情况，随机调查了100名学生，阅读情况统计如下表，则该100名学生中阅读过《九章算术》的人数为( )A．60 B．70 C．80 D．909．(2021·全国·高一课时练习)四书五经记载了我国古代思想文化发展史上政治、军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的学生为了了解现在高一年级1040名学生(其中女生480名)对四书五经的研读情况，进行了一次问卷调查.用分层抽样的方法从高一年级学生中抽去了一个容量为n的样本，已知抽到男生70人，则样本容量n为( ) A．60 B．90 C．130 D．15010．(2021·全国·高一课时练习)(多选)分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三人一起出关，关税共计100钱，要按照各人带钱多少的比率进行交税，问三人各应付多少税？则( )A．甲应付4151109钱B．乙应付2432109钱C．丙应付2816109钱D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少【题组四获取数据的途径】1．(2021·全国·高一专题练习)若要研究某城市家庭的收入情况，获取数据的途径应该是( )A．通过调查获取数据B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据D．通过查询获得数据2．(2021·全国·高一课时练习)李林是某大学的学生，暑假期间的社会实践报告是研究某市2019年法律援助情况，针对获取数据的途径，下列说法正确的是( )A．直接使用2019年该市司法部门的统计数据B．通过观察获取数据C．通过试验获取数据D．可以查阅2019年该市司法部门的统计数据，并结合该市的实际情况，对数据进行“清洗”，去伪存真，获取有价值的数据3．(2021·全国·高一专题练习)研究下列问题：①某城市元旦前后的气温；②某种新型电器元件使用寿命的测定；③电视台想知道某一个节目的收视率；④银行在收进储户现金时想知道有没有假钞.一般通过试验获取数据的是( )A．①②B．③④C．②D．④4．(2021·全国·高一专题练习)2020年某省将实行新高考，考试及录取发生了很大的变化.为了报考理想的大学，小明需要获取近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是( )A．通过调查获取数据B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据D．通过查询获取数据5．(2021·全国·高一课时练习)下列哪些数据一般是通过试验获取的( )A．1988年济南市的降雨量B．2019年新生儿人口数量C．某学校高一年级同学的数学测试成绩D．某种特效中成药的配方。

第1练 §1.1.1柱、锥、台、球的结构特征【第1练】 1～5 DCDDC ； 6.23 4l ； 7. 14cm .8. 解：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则 2()11 4()24 ab bc ac a b c ++= ìí ++= î ，而对角线长22222 ()2226115 l a b c a b c ab bc ac =++=++---=-= .9. 解：（1）是棱柱，并且是四棱柱. 因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.（2）截面BCNM 的上方部分是三棱柱 11 BB B CC M - ，下方部分是四棱柱 11 ABMA DCND - .10. 解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有 两种切法， 见图(Ⅰ)和(Ⅱ). 切法(Ⅰ)切割出12个第一种长方体和 6个第二种长方体，切法(Ⅱ)切割出5个第一种长方体和18个第 二种长方体.取 3 块原料，2 块按切法(Ⅰ)切割，1 块按切法(Ⅱ)切割．得 到 29 个第一种长方体和 30 个第二种长方体．因此，取 90 块原 料， 其中60块按切法(Ⅰ)切割，30块按切法(Ⅱ)切割， 共得到 870个第一种长方体和900个第二种长方体． 至 此，没产生任何余料，但还差 30 个第一种长方体．再取 2 块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得 30 个第一种长 方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90＋2＝92块原料.此时，材料的利用率为 (3120.1)20.21199.9 (312 3.1)92 3.192´´´ -=-»%´´´´ 第2练 §1.1.2 简单组合体的结构特征【第2练】 1～5 ACDBC ；6. 23R ；7. ①③④⑤.8. 解：作截面，利用相似三角形知识，设正方体的棱长为x ，则 x h x a h - = ，解得 ahx a h=+ 9. 解：上、下底面正方形的边长为 1 S 、 2 S ，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为 2221 22 () 22 l S S h =-+ g g = 22 21 1 () 2S S h -+ ；斜高为 'h = 2122() 22 S S h -+ =2221 1 () 4S S h -+ .10. 解：（1）通过观察各几何体后，得到下表：图号 顶点数 棱数 面数①8 12 6 ②6 9 5 ③8 12 6 ④8 13 7 ⑤10 15 7 （2）由特殊到一般，归纳猜想得到：顶点数V ＋面数F －棱数E =2；（3）该木块的顶点数为10，面数为7, 棱数为15，有10+7—15=2，与（2）中归纳的数量关系式“V +F —E =2”相符.第3练 §1.2.2 空间几何体的三视图【第3练】 1～5 DADDD ； 6. 球、圆柱、圆锥等； 7. 100π，1010 8. 解：依次从每个几何体的三个方向得到三视图，再与已知三视图比较，所 以依次为C 、A 、D 、B.9. 解：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半 圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如图所示.在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R 表示半径；单位不注明时 按mm 计10. 解：（1）所要正方体个数为7、8、9、10、11都行. （2）最少7个，其俯视图样子不唯一，如下图.最多11个，其俯视图如右图.（图中数字表示在该处的小正方体的个数）第4练 §1.2.3 空间几何体的直观图【第4练】 1～5 BCBBB ； 6. 4 2 ； 7. ①③ 8. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步 ， 作水平放 置的正方形的直观图 ABCD ， 使 45, BAD Ð= o 2,1 AB cm AD cm == .第二步，过A 作z ¢轴，使 90 BAz ¢ Ð= o . 分别过点 ,, B C D 作z ¢轴的 平行线， 在z ¢轴及这组平行线上分别截取 2 AA BB CC DD cm ¢¢¢¢ ==== .第三步，连接 ,,, A B B C C D D A ¢¢¢¢¢¢¢¢，所得图形就是正方体的直观图. （2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的圆O 中取直径AB 所在的直线为x 轴，与AB 垂直的半径OD 所在的直线为y 轴，画出对应的x ¢轴和 y ¢轴，使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o.第二步，在x ¢轴上取O A OA O B OB ¢¢¢¢ == ， ，在 y ¢轴上取 1 2 O C OC ¢¢= ， 1' 2O D OD ¢= . 第三步，圆的直观图是椭圆，把A B C D¢¢¢¢ ， ， ， 连成椭圆，即得到圆O 的直观图. 9. 解：如图，建立直角坐标系xoy ，在x 轴上取 ''1 OA O A cm == ； 在y 轴上取 2''22 OB O B cm == ；在过点B 的x 轴的平行线上取 ''1 BC B C cm == . 连接O,A,B,C 各点，即得到了原图形.由作法可知，OABC 为平行四边形， 22 813() OC OB BC cm =+=+= ,∴ 平行四边形OABC 的周长为(31)28() cm +´= ， 面积为 2 12222() cm ´= . 10. 解：该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后上底面矩形，连线 即成.（1） 画法： 如图， 先画轴， 依次画x’、 y’、 z’轴， 三轴相交于点O’， 使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o，'90 x O z ¢¢ Ð= o. 在z’轴上取 "8 O O cm ¢ = , 再画x”、y” 轴.在坐标系x’O’y’中作直观图ABCD ， 使得AD =20cm ， AB =8cm ； 在坐标系x’’O’’y’’ 中作直观图A’B’C’D’，使得A’D’=12cm ，A’B’=4cm .连接AA’、BB’、CC’、DD’，即得到所求直观图.（2）如右图所示，延长正视图、侧视图的两腰，设两个交点到下底面的距离分别为h 、h’.根据相似比，分别有 128 20 h h - = 、 8'816'h h - = ，解得 20,'16 h h == .由 ' h h ¹ 可知，各侧棱延长不交于一点. 所以，该几何体不是棱台.第5练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积【第5练】 1～5 BAAAC ；6. 22 ；7. 22:5 .8. 解：一个侧面如右图，易知 1885 2a - == ， 22 13512 h =-= .1 111111 1 3 11 11 11 1 133则 2188 612936() 2S cm + =´´= 侧面积 ， 2 1 88sin 60)6963() 2 S cm =´´´°´= 上底 （ ， 2 1 188sin 60)64863() 2S cm =´´´°´= 下底 （1 . 所以，表面积为 293696348639365823 cm ++=+ （） 9. 解：设圆柱的底面半径为r ，则 r H x R H - = ，解得 Rr R x H =- .∴ 圆柱的表面积 22 2 2()2()() R R RS R x R x x Hx x H H Hp p p =-+-=- .由S 是x 的二次函数， ∴ 当 2 H x = 时，S 取得最大值 2RHp .于是，当圆柱的高是已知圆锥高的一半时，它的表面积最大，最大面积为 2RHp .10. 解：设放入正方体后水深为h cm .当放入正方体后，水面刚好与正方体相平时，由2520102520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 8 a = . 当放入正方体后，水面刚好与水箱相平时，由2520302520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 28 a = .所以， 当0＜a ≤8时，放入正方体后没有被水淹没，则252025201010 h a h ´´=´´+´´ ，得 5 4a h = . 当828 a <£ 时，放入正方体后被水淹没， 则25202520101010 h a ´´=´´+´´ ，解得 2 h a =+ . 当2830 a <£ 时，放入正方体后水箱内的水将溢出，这时 30 h = .综上可得，当 5(08) 42 (828) 30 (2830) a a h a a a ì <£ ï ï=+<£ í ï <£ ï î.第6练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积【第6练】 1～5 DBBAB ； 6. 31 cm ； 7.'''PA PB PC PA PB PC×× ×× . 8. 解：由题意有 22401600 S cm == 上 （ ） ， 22 603600() S cm == 下 ,( ) ( )117600 1600160036003600 333 V h S S S S h h =++=´+´+= g 下 下 上 上 .∴ 7600 19000075() 3h h cm =Þ= . 即油槽的深度为75cm .9. 解：设水面圆半径为r , 水深为h , 则有 1213517125h r - == - ， 解得h =7, r =13.于是雨水体积为V = 22 7(12121313)1094.333pp ´´+´+= ， 降雨量为 1094.33 172 pp»3.787(cm ) ，所以降雨量约为37.9mm .10. 解：如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ，则仓库的体积231 1116256 ()4() 3323V Sh m p p ==´´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，则仓库的体积 23 2 1112288()8() 3323 V Sh m p p ==´´´= .（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ,半径为8 m . 棱锥的母线长为 22 8445 l =+= ,则仓库的表面积 2 1 845325() S m p p =´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，棱锥的母线长为 22 8610 l =+= ，则仓库的表面积 22 61060() S m p p =´´= 。

模块综合测试卷(二)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．直线3x＋3y－1＝0的倾斜角为()A．60°B．30°C．120°D．150°答案 C2．设E，F，G分别为四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．3条答案 C3．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．无法判定答案 C4．已知A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)三点共线，则实数m的值是()A．－6 B．－2C．2 D．6答案 A5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面．下列命题中正确的是() A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β答案 B6．下列说法中正确的个数有()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例；④如果夹在两平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面平行．A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B7．若a>0，b<0，c<0，则直线ax ＋by ＋c ＝0必不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B8．直线l 1过A(3，0)，直线l 2过B(0，4)，且l 1∥l 2，用d 表示l 1与l 2间的距离，则( ) A ．d ≥5 B ．3≤d ≤5 C ．0≤d ≤5 D ．0<d ≤5 答案 D9．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 答案 D10．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是( ) A ．[－34，0]B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞)C ．[－33，33] D ．[－23，0]答案 A11．在正方体ABCD －A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E 、交CC′于F ，则以下结论中错误的是( )A ．四边形BFD′E 一定是平行四边形B ．四边形BFD′E 有可能是正方形C ．四边形BFD′E 有可能是菱形D ．四边形BFD′E 在底面投影一定是正方形 答案 B12.如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( ) A ．直线AC 上 B ．直线AB 上 C ．直线BC 上 D ．△ABC 内部答案 B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．答案22 3 a14．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________．答案10x＋15y－36＝015．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.答案14416.如图所示，在三棱锥P－ABC中，面PAC⊥面ABC，∠ABC＝90°，PA＝PC＝32，BA ＝BC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为________．答案81 4π解析如图，取AC中点O，连接BO，PO.∵BA＝BC＝2，∠ABC＝90°.∴AC＝22，且O为△ABC的外心．∵PA＝PC，O为AC中点，∴PO⊥AC.又∵面PAC⊥面ABC，面PAC∩面ABC＝AC，∴PO ⊥面ABC.∴三棱锥P －ABC 外接球球心G 在PO 上，且为△PAC 的外心． 在△PAC 中，PO ＝4，∴sin ∠PAO＝PO PA ＝223，2R ＝PC sin ∠PAO ＝32223＝92，R ＝94，S ＝4πR 2＝814π.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)如图所示，已知A(1，3)，B(－1，－1)，C(2，1)．求△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程．解析 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，k BC ＝1－（－1）2－（－1）＝23，∵AD ⊥BC ，∴k AD ·k BC＝－1，∴k AD ＝－32.故BC 边上的高AD 所在直线斜率为－32，且过点A(1，3)．∴直线方程为y －3＝－32(x －1), 即3x ＋2y －9＝0.18．(本小题满分12分)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 上的点，且AP ＝BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1.证明 连接AQ 并延长交DC 于点E ，连接D 1E ，如图． 在正方体AC 1中，AD 1＝BD ， 又∵AP ＝BQ ，∴PD 1＝DQ. ∵AB ∥CD ，∴AQ QE ＝BQ QD ＝APPD 1，∴PQ ∥D 1E.又∵PQ ⊄平面DCC 1D 1，D 1E ⊂平面DCC 1D 1.∴PQ ∥平面DCC 1D 1.19．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)当直线l 过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长． 解析 由题意得，圆C 的圆心C(1，0)，半径r ＝3. (1)当l 过圆心C 时，k ＝k CP ＝2－02－1＝2.∴l 方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. (2)当l 倾斜角为45°时，k ＝1，此时直线方程为：y －2＝x －2，即x －y ＝0. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－0|2＝22.∴|AB|＝2r 2－d 2＝29－12＝34. 20．(本小题满分12分)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解析 (1)若l 在两坐标轴上截距相等，则a ≠－1.①当2－a ＝0，即a ＝2时，直线过原点，横纵截距离均为0，满足题意． ②当2－a ≠0时，将直线方程化为截距式，l ：x 2－a a ＋1＋y2－a＝1.∴2－a a ＋1＝2－a ，即a ＝0. 综上：a ＝0或a ＝2.(2)直线l 过定点(1，－3)，∴l 不经过第二象限，只需k ≥0，即－(a ＋1)≥0，∴a ≤－1.21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥面BCD ，P 为BD 上一点，AB ＝CD ＝1，BC ＝ 3.(1)当BD等于多少时，面ABC⊥面ACD?(2)在(1)的条件下，若三棱锥D－APC的体积等于39时，求CP的长．解析(1)在平面ABC内过点B作BE⊥AC交AC于点E，若面ABC⊥面ACD，则BE⊥面ACD，又AD⊂面ACD，∴BE⊥AD，∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，∵AB⊂面ABC，BE⊂面ABC，AB∩BE＝B，∴DC⊥面ABC.又BC⊂面ABC，∴DC⊥BC，即∠BCD＝90°，∵CD＝1，BC＝3，∴BD＝2.即当BD＝2时，面ABC⊥ACD.(2)由(1)可知∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，∴S△PCD＝12DC·DPsin60°＝34DP，∵AB⊥面BCD，∴V D－APC＝V A－DPC＝13AB·S△DPC＝312DP＝39，∴DP＝43，∴在△PCD中，CP2＝DC2＋DP2－2DC·DPcos60°＝139，∴CP＝133.22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值；(3)求点O到平面ABM的距离．解析(1)证明：∵M点在以BD为直径的圆上，∴BM⊥MD，即BM⊥PD.∵PA ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴PA ⊥AB. ∵底面ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD.又PA ∩AD ＝A.∴AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD.又∵AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥面ABM ，PD ⊂面PCD. ∴平面ABM ⊥平面PCD.(2)如图，过M 点作MN ∥CD 交PC 于点N ，连接BN. ∵AB ∥CD ，MN ∥CD ， ∴AB ∥MN.∴PC 与平面ABM 的交点为N.由(1)知PD ⊥面ABM ，∴MN 即为PN 在平面ABM 上的射影，∴∠PNM 即为PC 与平面ABM 所成角，且∠PNM ＝∠PCD. ∴tan ∠PNM ＝tan ∠PCD ＝PDDC＝2 2.∴直线PC 与平面ABM 所成角的正切值为2 2.(3)∵O 为BD 的中点，∴O 到平面ABM 的距离为D 到平面ABM 距离的一半，由(1)知，PD ⊥面ABM 于点M ，∴DM 即为点D 到平面ABM 的距离．在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝4.PD ⊥AM.∴M 为PD 中点，∴DM ＝12PD ＝2 2.∴O 到平面ABM 的距离为 2.。

综合能力测试卷[时间：90分钟满分：100分]一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分．每小题至少有一个选项正确，全部选对的得4分，漏选的得2分，错选的得0分)1．(多选)关于曲线运动，下列说法正确的是()A．曲线运动一定是变速运动B．曲线运动速度的方向不断地变化，但速度的大小可以不变C．匀速圆周运动的加速度不变D．做曲线运动的物体所受的合外力一定是变化的答案AB解析对于曲线运动来说，物体速度方向始终在变化，所以曲线运动一定是变速运动．物体速度的大小可以不变，如匀速圆周运动．A、B项正确．匀速圆周运动的加速度大小不变方向改变，做曲线运动的物体所受的合外力可能不变，如平抛运动．C、D项错误．2．下列说法正确的是()A．滑动摩擦力一定对物体做负功B．作用力的功与反作用力的功其代数和一定为零C．重力对物体做功与路径无关，只与始末位置有关D．若物体受到的合外力不为零，则物体的机械能一定变化答案 C解析作用力、反作用力既可以做正功又可以做负功还可以不做功，A、B项错误，重力做功只与重力方向上的位移即竖直高度有关，因此C项正确，机械能守恒可以是只有重力做功，所以合外力可以是重力．D项错误．3.(多选)半径为R的圆桶固定在小车上，有一光滑小球静止在圆桶最低点，如图所示．小车以速度v向右做匀速运动，当小车遇到障碍物突然停止时，小球在圆桶中上升的高度可能为()A．等于v22g B．大于v2 2gC．小于v22g D．等于2R 答案ACD解析当速度v较小，小球上升高度h<R时，由机械能守恒有12mv2＝mgh，h＝v22g，A项正确；当v≥5gR时，h＝2R，D项正确；当R<h<2R时，由机械能守恒知，12mv 2＝mgh＋12mv12，h<v22g，C项正确，B项错误．4.如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是()A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的cD．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大答案 D解析因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等．又因为b、c轨道半径大于a的轨道半径，由v＝GMr知，v b＝v c<v a，故A项错误；由加速度a＝GM/r2可知a b＝a c<a a，故B项错误；当c加速时，c受到的万有引力F<mv2/r，故它将偏离原轨道做离心运动；当b减速时，b受到的万有引力F>mv2/r，故它将偏离原轨道做近心运动．所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C项错误．对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，可视为稳定运行，由v＝GMr知，r减小时v逐渐增大，故D项正确．5．横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图所示．现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上．其落点分别是a、b、c.下列判断正确的是()A．图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最短B．图中三小球比较，落在c点的小球飞行时间最短C．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最大D．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快答案 B解析小球在平抛运动过程中，可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，由于竖直方向的位移为落在c点处的最小，而落在a点处的最大，所以落在a点的小球飞行时间最长，落在c点的小球飞行时间最短，A项错误、B项正确；速度的变化量Δv＝gt，所以落在c点的小球速度变化最小，C项错误；三个小球做平抛运动的加速度都为重力加速度，故三个小球飞行过程中速度变化一样快，D项错误．6.如图所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)，a站于地面，b从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员b摆至最低点时，a刚好对地面无压力，则演员a质量与演员b质量之比为()A．1∶1 B．2∶1C．3∶1 D．4∶1答案 B解析设b摆至最低点时的速度为v，此时对应绳长为l，由机械能守恒定律，可得m b gl(1－cos60°)＝12m b v2，解得v＝gl.设b至最低点时绳子的拉力为F T，由圆周运动知识，得F T－m b g＝m b v2l，解得F T＝2m b g，对演员a有F T＝m a g，所以，演员a质量与演员b质量之比为2∶1.故B项正确．7.(多选)汽车发动机的额定功率为P1，它在水平路面上行驶时受到的阻力f大小恒定，汽车在水平路面上由静止开始运动，最大速度为v，汽车发动机的输出功率随时间变化的图像如图所示，则汽车()A．0～t1做匀加速运动，牵引力恒定B．0～t1做变加速运动，牵引力增大C．t1后加速度逐渐减小，速度达到v后做匀速运动D．t1后牵引力恒定，与阻力大小相等答案AC解析由图可知：0～t1汽车发动机的功率P＝kt(k为图像斜率，为定值)，由功率P＝Fv，可知P＝Fat＝F×F－fM t＝F2－F×fM t，由于阻力f大小恒定，则牵引力F恒定，故A项正确，B项错误．t1后功率P＝P1恒定不变，但在t1时牵引力F>f，故速度继续增加，则F开始减小，加速度开始减小，当F＝f时，加速度减小为零，速度增加到最大为v，此后汽车开始做匀速运动，故C项正确，D 项错误．8.(多选)如图所示为月球表面的地形，其中e处有一山丘，随着月球的自转做圆周运动，“嫦娥二号”在飞往月球的过程中经过了p和q两个过渡轨道，两轨道均可视为圆轨道，且与山丘所在的轨道平面共面，其中q轨道为月球同步轨道．设山丘的运行速率、“嫦娥二号”在p、q轨道上的运行速率分别为v1、v2、v3，其向心加速度分别为a1、a2、a3，则() A．v1>v2>v3B．v1<v3<v2C．a1>a2>a3D．a1<a3<a2答案BD解析由题意可知：山丘与嫦娥二号在q轨道上运行的角速度、周期相同，由v ＝ωr，a＝ω2r可知v1<v3、a1<a3；对q轨道和p轨道来说，满足v＝GM、ar ，可知v3<v2、a3<a2，对比各项可知B、D项正确．＝GMr29.(多选)2013年6月11日17时38分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号F 改进型运载火箭“神箭”，成功地将“神舟十号”飞船送入太空预定轨道，其发射全过程可简化为如图所示的过程，飞船在A点发射，在椭圆轨道Ⅰ运行到B 点，在B点飞船从椭圆轨道Ⅰ进入圆形轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，关于飞船的运动，下列说法中正确的有()A．在轨道Ⅰ上经过B的速度小于经过A的速度B．在轨道Ⅰ上经过B的动能大于在轨道Ⅱ上经过B的动能C．在轨道Ⅰ上运动的周期大于在轨道Ⅱ上运动的周期D．在轨道Ⅰ上经过B的加速度等于在轨道Ⅱ上经过B的加速度答案AD解析飞船在轨道上从近地点A向远地点B运动的过程中万有引力做负功，所以A点的速度大于B点的速度，A项正确；飞船在轨道Ⅰ上经过B点后是近心运动，在轨道Ⅱ上经过B点后是圆周运动，故需要加速后才能从椭圆轨道Ⅰ进入圆形轨道Ⅱ，所以飞船在轨道Ⅱ上经过B点的动能大于在轨道Ⅰ上经过B点的动能，B项错误；根据开普勒第三定律R3＝k，因为轨道Ⅰ的半长轴小于轨道T2Ⅱ的半径，所以飞船在轨道Ⅰ的运动周期小于在轨道Ⅱ的运动周期，C项错误；根据牛顿第二定律F＝ma，因飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上B点的万有引力相等，所以在轨道Ⅰ上经过B点的加速度等于在轨道Ⅱ上经过B点的加速度，D项正确．10．(多选)(2018·吕梁一模)如图所示，三角形传送带以v＝2 m/s的速度逆时针匀速转动，两边的传送带长都是2 m，且与水平方向的夹角均为37°.现有两个质量均为1 kg的物块A、B从传送带顶端都以2 m/s的初速度沿传送带下滑，两物块与传送带间的动摩擦因数都是0.5，g取10 m/s2.sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.下列判断正确的是()A．物块A先到达传送带底端B．物块A由顶端到达传送带底端过程中做匀速直线运动C．物块A由顶端到达传送带底端过程中所产生的热量比物块B由顶端到达传送带底端过程中所产生的热量要少D．物块A与物块B由顶端到达传送带底端过程中，传送带对B做的功与传送带对A做的功相同答案CD解析A、B两项，小物块A、B都以1 m/s的初速度沿传送带下滑，因为mgsin37°＞μmgcos37°，故均沿斜面向下做匀加速直线运动，传送带对两物块的滑动摩擦力均沿斜面向上，大小也相等，则两物块沿斜面向下的加速度大小相同，滑到底端时位移大小相等，故时间相同，故A、B两项错误．C项，由x＝v0t＋12，a2at＝gsin37°－μgcos37°，得t＝1 s，传送带在1 s内的位移为x＝vt＝1 m．A与传送带是同向运动的，A的划痕长度是A对地位移(斜面长度)减去在此时间内传送带的位移，即为Δ1＝2 m－1 m＝1 m．B与传送带是反向运动的，B的划痕长度是B对地位移(斜面长度)加上在此时间内传送带的位移，即为Δx2＝2 m＋1 m＝3 m．根据产生的热Q＝μmg·Δx可得物块A由顶端到达传送带底端过程中所产生的热量比物块B由顶端到达传送带底端过程中所产生的热量要少，故C项正确．D项，滑动摩擦力方向沿斜面向上，位移沿斜面向下，摩擦力对两物块A、B均做负功，且克服摩擦力做的功一样多，故D项正确．点评解决本题的关键能正确对其受力分析，判断A、B在传送带上的运动规律，结合运动学公式分析研究．11.(多选)如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．开始时用手托住B，让细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度．下列有关该过程的分析正确的是()A．B物体的机械能一直减小B．B物体的动能的增加量等于它所受重力与拉力做的功之和C．B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量D．细线拉力对A物体做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量答案ABD解析由静止释放B到B达到最大速度的过程中，B一直要克服绳的拉力做功，根据功能关系可知，B物体的机械能一直减小，A项正确；根据动能定理，重力与拉力做功之和也正是B所受的合外力做的功，B项正确；根据能量转化和守恒定律可知，B物体减少的机械能等于弹簧增加的弹性势能与A增加的动能之和，C项错误；根据功能关系可知，细线拉力对A做的功等于A物体和弹簧所组成的系统机械能的增加量，D项正确．12.(多选)质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为l a、l b，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则()A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动B．在绳b被烧断瞬间，a绳中张力突然增大C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动D．绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为mω2l b答案BC解析在绳b被烧断之前，小球绕BC轴做匀速圆周运动，竖直方向上受力平衡，绳a的拉力等于mg，故D项错误．绳b被烧断的同时轻杆停止转动，此时小球具有垂直平面ABC向外的速度，小球将在垂直于平面ABC的平面内做圆周运动，若ω较大，则在该平面内做圆周运动，若ω较小，则在该平面内来回摆动，故C项正确，A项错误．绳b被烧断瞬间．绳a的拉力与重力的合力提供向心力，所以拉力大于物体的重力，绳a中的张力突然变大了，故B项正确．二、实验题(共2小题，共14分)13．(6分)如图(a)中，悬点正下方P点处放有水平放置炽热的电热丝，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断，小球由于惯性向前飞出做平抛运动．在地面上放上白纸，上面覆盖着复写纸，当小球落在复写纸上时，会在下面白纸上留下痕迹．用重锤线确定出A、B点的投影点N、M.重复实验10次(小球每一次都从同一点由静止释放)球的落点痕迹如图(b)所示，图中米尺水平放置，零刻度线与M 点对齐．用米尺量出AN的高度h1、BM的高度h2，算出A、B两点的竖直距离，再量出M、C之间的距离x，即可验证机械能守恒定律，已知重力加速度为g，小球的质量为m.(1)根据图(b)可以确定小球平抛时的水平射程为________ cm.(2)用题中所给字母表示出小球平抛时的初速度v0＝________．(3)用测出的物理量表示出小球从A到B过程中，重力势能的减少量ΔE p＝________，动能的增加量ΔE k＝________．答案(1)65.0(2)xg2h2(3)mg(h1－h2)mgx24h2解析(1)由落点痕迹可读出平均射程为65.0 cm.(2)由平抛运动规律，h2＝12gt2，x＝v0t，得v0＝x g2h2(3)ΔE p＝mg(h1－h2)ΔE k＝12mv02＝mgx24h214．(8分)某同学为探究“恒力做功与物体动能改变的关系”，设计了如下实验，他的操作步骤是：①摆好实验装置如图所示．②将质量为200 g的小车拉到打点计时器附近，并按住小车．③在质量为10 g、30 g、50 g的三种钩码中，他挑选了一个质量为50 g的钩码挂在拉线的挂钩P上．④释放小车，打开电磁打点计时器的电源，打出一条纸带．(1)在多次重复实验得到的纸带中取出自认为满意的一条，经测量、计算，得到如下数据：①第一个点到第N个点的距离为40.0 cm.②打下第N点时小车的速度大小为1.00 m/s.该同学将钩码的重力当作小车所受的拉力，算出拉力对小车做的功为________ J，小车动能的增量为________ J. (2)此次实验探究结果，他没能得到“恒力对物体做的功，等于物体动能的增量”，且误差很大．显然，在实验探究过程中忽视了各种产生误差的因素．请你根据该同学的实验装置和操作过程帮助分析一下，造成较大误差的主要原因是：____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________. 答案(1)②0.1960.100(2)①小车质量没有远大于钩码质量；②没有平衡摩擦力；③操作错误：先放小车后接通电源解析(1)拉力F＝mg＝0.050×9.8 N＝0.49 N，拉力对小车做的功W＝Fl＝0.49×0.400 J＝0.196 J小车动能的增量ΔE k＝12＝12×0.200×1.002 J＝0.100 J2mv(2)误差很大的可能原因：①小车质量不满足远大于钩码质量，使钩码的重力与小车受到的线的拉力差别较大；②没有平衡摩擦力；③先放小车后开电源，使打第一个点时，小车已有一定的初速度．三、计算题(共4小题，共38分)15．(8分)荡秋千是大家喜爱的一项体育活动．随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其他星球上享受荡秋千的乐趣．假设你当时所在星球的质量为M 、半径为R ，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G .那么，(1)该星球表面附近的重力加速度g 星等于多少？(2)若经过最低位置的速度为v 0，你能上升的最大高度是多少？答案 (1)GM R 2 (2)R 2v 022GM解析 (1)设人的质量为m ，在星球表面附近的重力等于万有引力，有 mg 星＝GMm R 2① 解得g 星＝GM R 2② (2)设人能上升的最大高度为h ，由机械能守恒，得mg 星h ＝12mv 02③ 解得h ＝R 2v 022GM④ 16．(8分)如图所示，质量为m 的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l 后以速度v 飞离桌面，最终落在水平地面上．已知l ＝1.4 m ，v ＝3.0 m/s ，m ＝0.10 kg ，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h ＝0.45 m ．不计空气阻力，重力加速度取10 m/s 2.求：(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s ；(2)小物块落地时的动能E k ；(3)小物块的初速度大小v 0.答案 (1)0.9 m (2)0.9 J (3)4.0 m/s解析 (1)小物块落地所用时间为t ，有h ＝12gt 2 t ＝2h g ＝2×0.4510s ＝0.3 s 小物块落地点距飞出点的水平距离s ＝vt ＝3×0.3 m ＝0.9 m(2)根据机械能守恒，小物块落地时的动能为E k ＝12mv 2＋mgh ＝12×0.10×9 J ＋0.10×10×0.45 J ＝0.90 J (3)在桌面上滑行过程中根据动能定理，有W f ＝12mv 2－12mv 02＝－μmgl 则v 0＝v 2＋2μgl ＝9＋2×0.25×10×1.4 m/s ＝4.0 m/s17．(10分)如图所示，一个质量为0.6 kg 的小球以某一初速度从P 点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC 的A 点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)．已知圆弧的半径R ＝0.3 m ，θ＝60°，小球到达A 点时的速度v ＝4 m/s.(g 取10 m/s 2)试求：(1)小球做平抛运动的初速度v 0；(2)P 点与A 点的水平距离和竖直高度；(3)小球到达圆弧最高点C 时对轨道的压力．答案 (1)2 m/s (2)0.69 m 0.60 m(3)8 N 竖直向上解析 (1)作出小球到达A 点时的速度分解图如图所示，有v 0＝vcosθ＝4×cos60° m/s ＝2 m/sv y ＝vsinθ＝4×sin60° m/s ＝2 3 m/s(2)设平抛运动的时间为t ，水平位移为x ，竖直位移为h ，由平抛运动规律，有v y ＝gt ，x ＝v 0t ，h ＝12gt 2 代入数据，解得x ＝253 m ≈0.69 m ，h ＝0.60 m (3)设到达C 点时的速度为v C ，取A 点重力势能为零，由机械能守恒定律，有 12mv 2＝12mv C 2＋mg(R ＋Rcosθ) 设C 处轨道对小球的压力为F N ，有F N ＋mg ＝m v C 2R代入数据，解得F N ＝8 N由牛顿第三定律得小球对轨道的压力大小为8 N ，方向竖直向上．18．(12分)如图所示是一皮带传输装载机械的示意图．井下挖掘工将矿物无初速度地放置于沿图示方向运行的传送带A 端，被传输到末端B 处，再沿一段圆形轨道到达轨道的最高点C 处，然后水平抛到货台上．已知半径为R ＝0.4 m 的圆形轨道与传送带在B 点相切，O 点为半圆的圆心，BO 、CO 分别为圆形轨道的半径，矿物m 可视为质点，传送带与水平面间的夹角θ＝37°，矿物与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8，传送带匀速运行的速度为v 0＝8 m/s ，传送带AB 点间的长度为s AB ＝45 m ．若矿物落点D 处离最高点C 点的水平距离为x CD ＝2 m ，竖直距离为h CD ＝1.25 m ，矿物质量m ＝50 kg ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取10 m/s 2，不计空气阻力．求：(1)矿物到达B点时的速度大小；(2)矿物到达C点时对轨道的压力大小；(3)矿物由B点到达C点的过程中，克服阻力所做的功．答案(1)6 m/s(2)1 500 N(3)140 J解析(1)假设矿物在AB段始终处于加速状态，由动能定理可得(μmgcosθ－mgsinθ)s AB＝12mv B2代入数据得v B＝6 m/s由于v B<v0，故假设成立，矿物到达B处时速度为6 m/s. (2)设矿物对轨道C处压力为F，由平抛运动知识可得x CD＝v C th CD＝12gt2代入数据得矿物到达C处时速度v C＝4 m/s由牛顿第二定律可得F′＋mg＝m v C2R代入数据得F′＝1 500 N.根据牛顿第三定律可得所求压力F＝F′＝1 500 N.(3)矿物由B到C的过程，由动能定理得－mgR(1＋cos37°)＋W f＝12－12mv B22mv C代入数据得W f＝－140 J即矿物由B到达C时克服阻力所做的功W f＝140 J.。

课时作业(十八)1．下列说法中错误的是( )A ．平面直角坐标系内，每一条直线都有一个确定的倾斜角B ．每一条直线的斜率都是一个确定的值C ．没有斜率的直线是存在的D ．同一直线的斜率与倾斜角不是一一对应的 答案 B解析 当直线平行于y 轴或和y 轴重合时，无斜率．2．(2017·吉林扶余期中)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是45°，则y 等于( ) A ．－1 B ．－5 C ．1 D ．5答案 A解析 由题可知斜率k ＝tan45°＝－3－y 2－4＝3＋y 2＝1，解得y ＝－1.3．已知直线l 经过A(a ，b)，B(a ，c)，且b ≠c ，则l 的倾斜角为( ) A ．0° B ．90° C ．180° D ．不能确定 答案 B4．直线l 的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l 斜率的取值范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1]C ．[－1，1]D ．[1，＋∞)∪(－∞，－1] 答案 D5．若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．[0°，90°) B ．[90°，180°) C ．(90°，180°) D ．[0°，180°) 答案 C解析 本题易错选B ，直线经过第二、四象限，不与x 轴垂直，所以倾斜角不等于90°. 6．(2017·福州一中质检)在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( ) A ．－2 3 B ．0 C. 3D ．2 3答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0.故选B. 7．直线l 过点(m ，n)(m ≠0)和原点，则l 的斜率为( ) A.m n B.n m C ．－n mD ．不存在答案 B解析 k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝n －0m －0＝nm.8．直线l 过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．2 答案 D解析 如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k ∈[0，2]，故直线l 的斜率k 的最大值为2.9．已知直线l 1的斜率为k 1，倾斜角为α1，直线l 2的斜率为k 2，倾斜角为α2，则( ) A ．k 1>k 2⇒α1>α2 B ．k 1<k 2⇒α1<α2 C ．α1<α2⇒k 1<k 2 D ．α1≠α2⇒k 1≠k 2 答案 D10．填充下表，探究直线的倾斜角α与斜率k 之间的关系．直线情况 平行于 x 轴 由左向 右上升 垂直于 x 轴 由右向 左上升 α的大小 k 的范围 k 的增减性答案直线情况 平行于 x 轴 由左向 右上升 垂直于 x 轴 由右向 左上升 α的大小 α＝0° 0°<α<90°α＝90° 90°<α<180°k 的范围k ＝0k>0不存在k<0k 的增减性 相等 递增 无 递增11.答案 92解析 由k AB ＝k AC 解方程可得． 12．若直线k 的斜率满足－3<k<33，则该直线的倾斜角α的取值范围是________． 答案 [0°，30°)∪(120°，180°)13．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，13)解析 ∵直线的斜率k ＝3－12a －（1－a ）＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13. 14．设直线l 与x 轴的交点为P ，且倾斜角为α，若将其绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线l 的倾斜角为α＋45°，求α的取值范围． 解析 ∵l 与x 轴交于点P ，且倾斜角为α， ∴0°<α<180°.又∵逆时针旋转后得到倾斜角为α＋45°， ∴0°≤α＋45°<180°.综上：⎩⎪⎨⎪⎧0°<α<180°，0°≤α＋45°<180°，解得0°<α<135°.15．过P(－1，－3)的直线l 与y 轴的正半轴没有公共点，求直线l 的倾斜角的范围． 答案 [0，π3]∪[π2，π)16.如右图，已知直线l 过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交．求直线l 的斜率的取值范围．解析 设直线PA 与PB 的倾斜角分别是α和β，由已知可得直线PA ，PB 的斜率分别是k PA ＝5，k PB ＝－12.当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[5，＋∞)；当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－12]． 故斜率的取值范围是(－∞，－12]∪[5，＋∞)．1．三点A(1，0)，B(－45，35)，C(－1，0)，若直线AB 与BC 的倾斜角分别为α，β，则α－β＝( ) A ．90° B ．－90° C ．270° D ．180°答案 A2．已知直线过原点(0，0)，且不过第三象限，那么直线的倾斜角α的取值范围为( ) A ．[0，π2]B ．[π2，π]C ．[π2，π)或α＝0D ．[π2，3π4)答案 C3．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A ′(a －2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA ′＝b ＋2－ba －2－a＝－1.故选B.4．若直线l 的斜率为k ＝－tan α，并且α是三角形的一个内角，则直线l 的倾斜角为________． 答案 π－α5．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________． 答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．6．直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 2⊥l 1，求直线l 2的斜率． 答案 k 2＝－ 3解析 ∵l 1⊥l 2，∴α2＝30°＋90°＝120°. ∴k 2＝tan120°＝－ 3.7．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．解析 如图，由于点(x ，y)满足关系式y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，可知点P(x ，y)在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标分别为A(2，4)，B(3，2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x 的最大值为2，最小值为23.。

课时作业(二十四)1．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是( ) A.2677B.265C.245D.275答案 B2．若点(2，k)到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．－3 C ．1或53D ．－3或173答案 D解析 由4＝|5×2－12×k ＋6|52＋122，即|3k －4|＝13.∴k ＝173或k ＝－3.3．平行线3x －4y －3＝0和6x －8y ＋5＝0之间的距离是( ) A.1110 B.85 C.157 D.45 答案 A4．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程为( ) A ．3x －4y ＋4＝0 B ．3x －4y ＋4＝0或3x －4y －12＝0 C ．3x －4y ＋16＝0 D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0 答案 D解析 设所求的直线方程为3x －4y ＋C ＝0，则|C －1|5＝3，∴|C －1|＝15，∴C ＝16或－14.故选D.5．△ABC 的顶点A 的坐标为(3，－1)，直线l ：x －2y ＋1＝0是过点B 的一条直线，则AB 的中点D 到直线l 的距离为( ) A.355B.255C. 5D.455答案 A解析 D 到l 的距离是A 到l 距离的一半．6．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 B解析 方法一：设满足条件的点的坐标为(a ，b)．由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋3b －21＝0，|a|＝|b|，解得⎩⎨⎧a ＝2110，b ＝2110，或⎩⎨⎧a ＝214，b ＝－214.故满足条件的点有两个．方法二：到两坐标轴距离相等的点必在直线y ＝x 与y ＝－x 上，这两条直线均与7x ＋3y －21＝0相交．故选B.7．点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2 D ．16答案 A 解析 x 2＋y 2＝(（x －0）2＋（y －0）2)2，它表示原点到(x ，y)距离的平方，d min 即为原点到直线x ＋y －4＝0的距离， ∴d min ＝|0＋0－4|2＝22，∴d min 2＝8. 8．到直线2x ＋y ＋1＝0的距离为55的点的集合是( ) A ．直线2x ＋y －2＝0B ．直线2x ＋y ＝0C ．直线2x ＋y ＝0或直线2x ＋y －2＝0D ．直线2x ＋y ＝0或直线2x ＋y ＋2＝0答案 D解析 该集合为两条平行直线，且分别位于直线2x ＋y ＋1＝0的两侧． 设点的集合为2x ＋y ＋c ＝0. ∴|c －1|＝1，∴c ＝0或c ＝2.9．若点(4，a)到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．(0，10)B ．[3，4]C ．[13，313]D ．(－∞，0)∪[10，＋∞)答案 C 解析 由|16－3a|42＋32≤3，即|3a －16|≤15，∴13≤a ≤313.10．(2017·苍南一中质检)若动点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( ) A ．3 2 B ．2 C. 2 D ．4答案 A解析 由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝3 2.11．已知两条直线2x ＋3y －3＝0与mx ＋6y ＋1＝0互相平行，则它们的距离等于________． 答案72613 解析 将直线2x ＋3y －3＝0改写成4x ＋6y －6＝0， 则d ＝|1－（－6）|42＋62＝72613.12．过点A(2，1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为________． 答案 2x ＋y －5＝0解析 如图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，∴k l ＝－2.∴方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.13．两条平行线分别过点P(－2，－2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d ，如果这两条直线各自绕点P ，Q 旋转并互相保持平行，求d 的取值范围．解析 由右图可知，当这两条直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时d ＝|PQ| ＝（－2－1）2＋（－2－3）2＝34，∴0<d ≤34.14．某直线过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P(0，4)到该直线的距离为2，求该直线的方程．解析 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1，l 2的交点为(1，2)．设所求直线方程为y －2＝k(x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P(0，4)到直线距离为2， ∴2＝|－2－k|1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43.∴所求直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 方法二：(利用直线系)设经过l 1，l 2交点的直线方程为(2x ＋3y －8)＋λ(x －2y ＋3)＝0. 即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.① 由题意得|（12－8λ）＋3λ－8|（2＋λ）2＋（3－2λ）2＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0， 解得λ＝－2或λ＝185代入①，得所求直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.15．已知△ABC 中，A(1，1)，B(m ，m)(1<m<4)，C(4，2)，求m 为何值时，△ABC 的面积S 最大？解析 ∵A(1，1)，C(4，2)， ∴|AC|＝（4－1）2＋（2－1）2＝10.又直线AC 方程为x －3y ＋2＝0，根据点到直线的距离公式，可得点B(m ，m)到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10.∴S ＝12|AC|·d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪（m －32）2－14. ∵1<m<4，∴1<m<2，－12<m －32<12.∴0≤(m －32)2<14.∴S ＝12[14－(m －32)2]．∴当m －32＝0，即m ＝94时，S 最大．故当m ＝94时，△ABC 的面积最大．1．已知两点A(1，63)，B(0，53)到直线l 的距离均等于a ，且这样的直线l 可作4条，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．0<a<1 C ．0<a ≤1 D ．0<a<2答案 B解析 由于A ，B 到直线l 的距离均等于a ，且这样的直线l 可作4条，所以过A ，B 中点的直线必有两条，又|AB|＝2，所以a 的值必小于1.故选B.2．过点P(1，2)引直线，使点A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( ) A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．2x ＋3y －7＝0或x ＋4y －6＝0D ．3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0 答案 D解析 ∵k AB ＝－4，线段AB 中点C(3，－1)，∴过P(1，2)与直线AB 平行的直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0，此直线符合题意．过P(1，2)与线段AB 中点C(3，－1)的直线方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0，此直线也符合题意．故所求直线方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.故选D.3．已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0平行且距离相等，则l 的方程为________． 答案 2x －y ＋1＝0解析 设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠3，c ≠－1)，分别在l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0上取点A(0，3)和B(0，－1)，则此两点到2x －y ＋c ＝0的距离相等，即|－3＋c|22＋（－1）2＝|1＋c|22＋（－1）2，解得c ＝1，故直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.4．若直线m 被两条平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是________．①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°. 答案 ①⑤解析 如下图所示．∴m 的倾斜角可以是α＝75°或β＝15°.5．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P 使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的有________． ①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.答案 ②③解析 可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离d 来分析．①d ＝5＋12＝32>4，故直线上不存在点到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝2032＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；④d ＝115＝1155>4，故直线上不存在点到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③. 6．已知直线l 1与l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0，7x ＋8y －3＝0，直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，直线l 与l 2的距离为d 2，且d 1d 2＝12，求直线l 的方程．解析由l平行于l1，设l：7x＋8y＋m＝0，∴d1＝|9－m|49＋64，d2＝|m＋3|49＋64.∵d1 d2＝12，∴|9－m||m＋3|＝12，∴m＝5或m＝21.∴直线l的方程为7x＋8y＋5＝0或7x＋8y＋21＝0.。

课时作业(二十六)1．圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的周长是( ) A.2π B ．2π C ．22π D ．4π答案 C解析 r ＝2，周长＝2πr ＝22π.2．方程(x －a)2＋(y ＋b)2＝0表示的图形是( ) A ．以(a ，b)为圆心的圆 B ．点(a ，b) C ．以(－a ，－b)为圆心的圆 D ．点(a ，－b) 答案 D3．方程y ＝－25－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆 答案 D 解析 ∵y ＝－25－x 2，∴y ≤0，x 2＋y 2＝25.4．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝25B ．x 2＋y 2＝5C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25答案 C5．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 为( ) A ．0或2 B ．2 C. 2 D ．无解 答案 B解析 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，则|m|2＝m ，∴m ＝2. 6．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．2答案 D解析 圆心(5，3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离为d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝5.又r ＝3，则M 到直线的最短距离为5－3＝2.7．△ABC 的顶点为A(4，0)，B(0，4)，C(0，0)，则△ABC 的内切圆圆心的横坐标是( ) A ．22－4 B ．4－2 2 C ．4＋2 2 D ．4答案 B解析 由题意得，圆心在y ＝x 上，圆心横坐标等于半径． 12×4×4＝12×(8＋42)×r ，解得r ＝4－2 2. 8．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝252解析 将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，圆的半径 r ＝|2－1－6|1＋1＝52，所以圆的方程为(x－2)2＋(y ＋1)2＝252. 9．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________． 答案 (x ＋2)2＋y 2＝2解析 设圆心为(a ，0)(a<0)，则|a|2＝2，解得a ＝－2. 故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.10．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝3关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程为________． 答案 (x －195)2＋(y －35)2＝3解析 设圆心(3，－1)关于直线x ＋2y －3＝0的对称点为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＋2·y 0－12－3＝0，y 0＋1x 0－3·（－12）＝－1，解得x 0＝195，y 0＝35. 又半径不变，∴所求圆的方程为(x －195)2＋(y －35)2＝3.11．点(1，1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4内部，则a 的取值范围为________． 答案 －1<a<1解析 ∵点(1，1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，即a 2<1，∴－1<a<1.12．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围为________． 答案 [0，2]解析 直线平分圆，则直线l 过圆心(1，2)，又不过第四象限，由数形结合得l 的斜率取值范围为[0，2]．13．求下列各圆的标准方程．(1)圆心在直线y ＝0上且过两点A(1，4)，B(3，2)； (2)圆心在直线5x －3y ＝8上且与坐标轴相切．解析 (1)∵A(1，4)，B(3，2)，∴AB 的中点C(2，3)，k AB ＝－1， ∴AB 的中垂线为y ＝x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝x ＋1，解得圆心为(－1，0)． ∴r ＝（1＋1）2＋（4－0）2＝2 5.∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －3)2＝20. (2)设圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2， ∵圆心在直线5x －3y ＝8上， ∴5a －3b ＝8.①∵所求圆与坐标轴相切，∴|a|＝|b|＝r.② 由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4，r ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝1.∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.14．一圆过原点O 和点P(1，3)，圆心在直线y ＝x ＋2上，求此圆的方程． 解析 设圆心C(a ，a ＋2)，则|OC|＝|PC|， 得a 2＋(a ＋2)2＝(a －1)2＋(a －1)2. 解得a ＝－14，圆心(－14，74)，r 2＝258.所求圆的方程为(x ＋14)2＋(y －74)2＝258.15．求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径．解析 设圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0，b ＋2a －3＝1，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0，b ＝a －5，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，r 2＝8.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22为半径的圆．。

课时作业(二)1.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( ) A ．一个球体B ．一个球体中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个棱柱 答案 B2．用一个半径为2 cm 的半圆围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为( ) A ．1 cm B ．2 cm C.12 cm D.32cm 答案 A3．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( ) A ．1∶2 B ．1∶4 C ．2∶1 D ．4∶1 答案 B4．如图所示的各图形中，不是正方体表面展开图的是( )答案 B5．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°而形成的曲面所围成的几何体是( ) A ．球体 B ．圆柱C ．圆台D ．两个共底的圆锥答案 D6.某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上( ) A ．快、新、乐 B ．乐、新、快 C ．新、乐、快 D ．乐、快、新 答案 A7．如图所示是一个正方体的表面展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是( )答案 B解析在这个正方体的展开图中，与有圆的面相邻的三个面都有一条直线，当折成正方体后，这三条直线应该相互平行，故A，C错误；又D中正方体的三个面内都没有图形，与展开图矛盾，故D错误．所以B正确．8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．答案圆柱9．用长和宽分别为3π和π的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是________．答案12或3210．圆锥的底面半径为1，母线长为4，将圆锥沿一母线剪开去掉底面，把侧面展开铺平，则得到的是一个________形，其圆心角度数为________．答案扇π211．分别将圆柱、圆台去掉两底，沿一母线剪开，展平得到的平面图形依次为________、________．答案矩形扇环12．如图，从半径为6 cm的圆形纸片上剪去一个圆心角为120°的扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为________ cm.答案2 5解析设圆锥底面圆的半径为r cm，根据题意为2πr＝6×240π180，解得r＝4，所以这个圆锥的高为62－42＝25(cm)．13．将一个边长分别是2 cm和5 cm，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边所在直线旋转一周形成的几何体的构成为________．答案一个圆锥，一个圆柱挖去一个圆锥14．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解析(1)O1A1＝2 cm，OA＝5 cm，∴h＝122－32＝315 cm.(2)由SA－12SA＝25，得SA＝20 cm.►重点班·选做题15.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，在长方体表面上由A 到C1的最短距离是________．答案3 216．有一枚正方体骰子，每一个面都有一个英文字母，如图所示的是从3种不同角度看同一枚骰子的情况，则与H相对的字母是________．答案O解析正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图，都可看到有公共顶点的三个面，与标有S的面相邻的面共有四个，由这三个图知这四个面分别标有字母H，E，O，p，d，因此只能是标有“p”与“d”的面是一个面，p与d是一个字母．翻转图②，使S面调整到正前面，使p转成d，则O为正下面，所以与H相对的是O.17．如下图，甲为一几何体的展开图，乙为正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)沿图甲中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图；(2)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体？请在图乙中的棱长为6 cm 的正方体ABCD-A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称．(用字母表示)解析(1)底面为正方形的四棱锥(如下图)．(2)需3个；A1-ABCD，A1-CDD1C1，A1-BCC1B1.1.如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是()A．梯形、正方形B．圆台、正方形C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱答案 C解析空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A，B，D.所以选C.2.如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是()A．圆锥B．圆锥和球组成的简单几何体C．球D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体答案 D解析三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几何体是球，故阴影部分旋转一周后形成的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体．3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面(过圆柱的轴作截面)的面积为()A．2πB．πC．2 D．1答案 C解析由题意知，圆柱的底面圆的直径为2，母线长为1，所以其轴截面的面积为2×1＝2.4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，一只蚂蚁从A点出发沿三棱锥的表面绕一周，再回到A点，问蚂蚁经过的最短路程是________．答案2 2解析将三棱锥P-ABC的侧面沿PA剪下，再展开，得五边形PABCA′，如图(1)．∵在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，∴图(1)中∠A′PA＝3×30°＝90°.连接AA′.在Rt△AA′P中，AA′＝PA2＋PA′2＝2 2.如图(2)，再将此展开图围成三棱锥P-ABC的侧面，得到折线AD－DE－EA.∵AA′＝AD＋DE＋EA′，∴蚂蚁从A点出发，沿AD－DE－EA的路线行走，即为回到A点的最短路线．因此，蚂蚁从A点出发，回到A点的最短路程为2 2.5.已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．解析(1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示．(2)以BC为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图②所示．(3)以CD为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示．(4)以AD为轴旋转所得的旋转体为一组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图④所示．。

课时作业(八)1．下列四个命题中错误命题的个数是()①若两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；②若两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④若一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．A．4B．3C．2 D．1答案 A2．若直线a不平行于平面α，且a不在α内，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内存在唯一的直线与α平行D．α内的直线与a都相交答案 B3．直线与平面平行是指()A．直线与平面内的无数条直线都无公共点B．直线上两点到平面的距离相等C．直线与平面无公共点D．直线不在平面内答案 C4．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对答案 C5．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则()A．l⊂αB．l∥αC．l与α相交D．以上都有可能答案 D6．若直线a∥平面M，直线b⊥a，则b与M的位置关系是()A．b∥M B．b与M相交C．b⊂M D．以上都有可能答案 D7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面四条直线中与平面AB1C平行的直线是() A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D答案 D8．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A．都平行B．都相交C．在两平面内D．至少和其中一个平行答案 D解析若该直线不属于任何一个平面，则与两平面平行；若属于其中一个平面，则必和另一个平面平行．9．如果空间的三个平面两两相交，那么()A．不可能只有两条交线B．必相交于一点C．必相交于一条直线D．必相交于一条平行线答案 A解析空间三个平面两两相交，可能相交于一点，也可能相交于一条直线，还可能相交于三条平行线．10．经过平面外两点与这个平面平行的平面()A．只有一个B．至少有一个C．可能没有D．有无数个答案 C11．若三个平面把空间分成7个部分，则这三个平面的位置关系是()A．三个平面共线B．有两个平面平行且都与第三个平面相交C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交D．三个平面两两相交且不共线答案 D12．在正六棱柱的各个面所在的平面中，有________对互相平行，与一个侧面所在平面相交的有________个．答案4 613．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，如图．(1)和AA1平行的平面有几个？(2)和平面ABCD平行的直线有几条？(3)相互平行的平面有几对？(4)你能找出平面AB1D1的一个平行平面吗？答案(1)3(2)6(3)3(4)平面BC1D14．已知ABCD-A1B1C1D1，底面A1B1C1D1是梯形，A1D1∥B1C1，如图所示．(1)直线A1B1与四棱台的各面有什么位置关系？(2)平面ABCD与四棱台的其他面有什么位置关系？答案(1)在面内相交平行(2)平行相交15．判断正误，若为假命题，画出反例图形．(1)若两个平面有无数个公共点，则两个平面重合；(2)若一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(3)若两个平面相交，则分别在两个平面内的两条直线也相交；(4)若两个平面平行，则分别在两个平面内的两条直线也平行．答案(1)，(2)，(3)，(4)均错，图略．16．已知ABCD-A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图1、2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．解析在图3中，过点E作EN平行于B1B交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．在图4中，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．证明：在图3中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，因此EF与BN相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，故AM为两平面的交线．在图4中，C1M在平面DCC1D1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．1．经过直线外的两点作该直线的平行平面的个数为()A．1B．0或1C．0或1或无数D．0或无数答案 C解析设直线为l，A，B为l外两点，则l与AB相交，可作0个；l与AB平行，可作无数个；l与AB异面，可作1个．2．若P为平面α外一点，则下列命题正确的是()A．过P只能作一条直线与平面α相交B．过P可以作无数条直线与平面α垂直C．过P只能作一条直线与平面α平行D．过P可以作无数条直线与平面α平行答案 D3．下列命题中，正确的个数是()①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b异面；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面．A．1 B．2C．3 D．4答案 B4．设m，n是平面α外两条直线，给出三个论断：①m∥n，②m∥α，③n∥α以其中两个为条件余下的一个为结论构成三个命题，写出你认为正确的一个命题________．答案①②⇒③或①③⇒②。

课时作业(十五)(第一次作业)1．直线a是平面α的斜线，过a且和α垂直的平面有()A．0个B．1个C．2个D．无数个答案 B2．给定下列四个命题①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案 D3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是() A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ答案 C解析若m⊂β，α⊥β，则m与α的关系可能平行也可能相交，则A为假命题；选项B中，α与β可以平行也可能相交，则B为假命题；选项D中β与γ也可能平行或相交(不一定垂直)，则D为假命题．故选C.4.在如图所示的三棱锥中，AD⊥BC，CD⊥AD，则有()A．面ABC⊥面ADC B．面ABC⊥面ADBC．面ABC⊥面DBC D．面ADC⊥面DBC答案 D5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为CC1的中点，则平面PBD垂直于()A．平面A1BD B．平面D1BDC．平面PBC D．平面CBD答案 A6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED答案 D7．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，所以n⊥l.故选C.8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角MACB等于90°答案 D解析对于选项A，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE，因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正确；对于选项B，连接B1D，因为O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，所以MO∥B1D，易证B1D⊥平面A1BC1，所以MO⊥平面A1BC1，故正确；对于选项C，因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC 所成的角，因为△A1C1B为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，故正确；对于选项D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为二面角MACB的平面角，显然不等于90°，故不正确．综上知，选D.9．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________(填序号)．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与底面ABC所成的角为45°.答案②④解析由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．10．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明(1)因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D.又A1D⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以A1D⊥面BB1C1C.又A1D⊂面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.11.如图，四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为菱形，SD＝SB.(1)求证：平面SAC⊥平面SBD；(2)求证：平面SAC⊥平面ABCD.证明(1)连接AC，BD，使AC∩BD＝O.∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵SB＝SD，O为BD中点，∴SO⊥BD，又SO∩AC＝O，∴BD⊥平面SAC，又∵BD⊂平面SBD，∴平面SAC⊥平面SBD.(2)由(1)知BD⊥平面SAC，BD⊂平面ABCD，∴平面SAC⊥平面ABCD.12.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.证明(1)取AC中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，∵EC⊥平面ABC，∴平面EAC⊥平面ABC.∴MN⊥平面ABC，又BN⊂平面ABC，∴MN⊥BN，且MN＝BD，MN∥BD，∴四边形MNBD为矩形，∴DM∥BN，∵CN＝AN，BC＝AB，∴BN⊥CA，又CA ∩MN ＝N ，∴BN ⊥平面AEC ，∴DM ⊥面EAC ，∴DM ⊥AE.∴DE ＝DA. (2)由(1)知，DM ⊥面EAC ，DM ⊂面BDM ， ∴平面BDM ⊥平面ECA.(3)由(1)知，DM ⊥面EAC ，DM ⊂面ADE ， ∴平面DEA ⊥平面ECA.13．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE.证明 如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC.∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E ，又BN ＝NE ， ∴A ′N ⊥BE.∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD. 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN ，又A ′N ⊂平面A ′MN ，∴CD ⊥A ′N. ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE. 又A ′N ⊂平面A′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE.课时作业(十五)(第二次作业)1．(2015·浙江)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β.( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m答案 A解析 面面垂直的证明主要是找线面垂直，此题在选项中直接给出两个条件，便于考生根据判定定理进行直接选择，相对较为基础．如果采用排除法，思维量会增加．2．在正四面体P-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC答案 C解析 ∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，∴DF ∥BC.∴BC ∥平面PDF.故A 正确．连接AE ，PE ，则AE ⊥BC.PE ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE.故B 正确．又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC.故D 正确．∴选C.3．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则△ABC 是( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 答案 A4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1-BD-A 的正切值为( ) A.32B.22C. 2D. 3答案 C解析 如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点， ∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD.又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∴∠A 1OA 为二面角A 1-BD-A 的平面角． 设AA 1＝1，则AO ＝22，∴tan ∠A 1OA ＝AA 1AO ＝122＝ 2.故选C. 5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，则图中互相垂直的平面有( )A．2对B．3对C．4对D．5对答案 D解析∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.∵AB⊥AD，PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD.同理，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC.共有5对平面互相垂直．故选D.6．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系无法确定答案 D解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H-DG-F的大小不确定．故选D.7．四边形ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A-BD-C，E为CD的中点，则∠AED的大小为()A．45°B．30°C．60°D．90°答案 D解析设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD.∵E，F分别为CD，BD的中点，∴EF∥BC，又∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，又AE⊂平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.8.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 D解析∵PA⊥平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，∴∠BAC为二面角BPAC的平面角．∵∠BAC＝90°，∴二面角的大小为90°.9.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是这长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的度数是________．答案60°解析如图，取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为二面角V ABC的平面角．易知△VEF为正三角形，所以∠VEF＝60°.10．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，则BF＝________．答案 1解析∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1EFC的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.11．如图，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明连接AC交BD于点F，连接EF.∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.12.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求证：平面PAD⊥平面PAB；(2)若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．解析(1)证明：∵PB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PB⊥AD.又∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平面PAB.又∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.(2)由(1)的证明知，∠PAB为平面PDA与平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PAB＝60°，∴PB＝3a.∴V P-ABCD＝13·a2·3a＝3a33.13．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ 3.(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大小．解析(1)证明：如图所示，连接BD.由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE，而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE ⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，∠PBA＝60°.故二面角A-BE-P 的大小为60°.1.如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．答案3 4解析如图所示，过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，由线面垂直判定定理可知l⊥平面ACD，则l⊥AD，故∠ADC为二面角α-l-β的平面角，即∠ADC＝60°.又∠ABD＝30°，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，设AD＝2，则AC＝3，CD＝1，AB＝ADsin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 2．(2017·辽宁省育才学校阶段测试)如图，在几何体ABDCE 中，AB ＝AD ，M 是BD 的中点，AE ⊥平面ABD ，MC ∥AE ，AE ＝MC.(1)求证：平面BCD ⊥平面CDE ；(2)若N 为线段DE 的中点，求证：平面AMN ∥平面BEC.证明 (1)∵AB ＝AD ，M 为线段BD 的中点，∴AM ⊥BD.∵AE ⊥平面ABD ，MC ∥AE ，∴MC ⊥平面ABD.∴MC ⊥AM.又MC ∩BD ＝M ，∴AM ⊥平面CBD.又MC ∥AE ，MC ＝AE ，∴四边形AMCE 为平行四边形，∴EC ∥AM ，∴EC ⊥平面CBD ，又EC ⊂平面CDE ，∴平面BCD ⊥平面CDE.(2)∵M 为BD 中点，N 为ED 中点，∴MN ∥BE.由(1)知EC ∥AM 且AM ∩MN ＝M ，BE ∩EC ＝E ，∴平面AMN ∥平面BEC.3.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA.(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P-MAB 与四棱锥P-ABCD 的体积之比．解析 (1)证明：因为MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA.所以PD ⊥平面ABCD.又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC.因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.(2)因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，所以V P-ABCD＝13S正方形ABCD ·PD＝83.由题意易知DA⊥平面MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，所以V P-MAB＝13×12×1×2×2＝23.所以V P-MAB∶V P-ABCD＝1∶4.。

本册综合测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案。

每题5分，8题共40分)1．(2021·广西师大附属外国语学校高二月考)数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( ) A ．*1,n n a a n n N +=+∈B ． *1,2n n a a n n N n -=+∈≥，C ．()*11,,2n n a a n n N n +=++∈≥D ．*11,2()n n a a n n N n -=+-∈≥，2．(2021·青海师大附中)设数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，58a =，36S =，则( ) A ．它的首项是2-，公差是3 B ．它的首项是2，公差是3- C ．它的首项是0，公差是2 D ．它的首项是3，公差是2-3．(2021·河南郑州 )在等比数列{}n a 中，25827a a a ⋅⋅=-，则37a a ⋅=( ) A ．9- B ．9 C ．27- D ．274．(2021·安顺市第三高级中学 )若函数()y f x =可导，则“()0f x '=有实根”是“()f x 有极值”的( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2021·全国高二专题练习)已知函数()()21xf x x x e =++，则()f x 在(0())0f ，处的切线方程为( )A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y ++=D ．210x y -+=6．(2021·全国高二课时练习)函数y ＝ln ||x x的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．7．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(0，2π)上增8．(2021·河南郑州·高二期中(理))设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A a B b+=+(a ，b 为常数)，则74a b =( ) A ．12881B ．12780C ．3227D ．2726二、多选题(每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·全国高二课时练习)函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则( )A ．12x =为函数()f x 的零点 B ．2x =为函数()f x 的极小值点 C ．函数()f x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()2f -是函数()f x 的最小值10．(2021·山东潍坊·高二期中)下面是按照一定规律画出的一列“树形图”．其中，第2个图比第I 个图多2个“树枝”，第3个图比第2个图多4个“树枝”，第4个图比第3个图多8个“树枝"．假设第n 个图的树枝数为n a ，数列{}n a 的前n 项和n S ，则下列说法正确的是( ) A ．12n n a -= B ．12nn n a a +=+C ．2n n S a n =-D ．13521221n n a a a a a n -+++⋅⋅⋅+=-+11．(2021·全国高二专题练习)斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a 米的铁丝，需要截成n (n >2)段，每段的长度不小于1m ，且其中任意三段都不能构成三角形，若n 的最大值为10，则a 的值可能是( ) A ．100 B ．143 C ．200 D ．25612．(2021·广东汕尾·高二期末)已知函数()331f x x x =-+，则( )A ．函数()f x 的增区间为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()f x 的极小值为79C ．若方程()f x a =有三个互不相等的实数根，则71199a D ．函数()f x 的图像关于点()0,1对称三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·河北石家庄·高二期末)写出一个恰有1个极值点，且其图象经过坐标原点的函数()f x =_______________．14．(2021·全国高二课时练习)请写出一个符含下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 为无穷数列；②{}n a 为单调递增数列；③02n a <<.这个数列的通项公式可以是______.15．(2021·河南高二期末(理))设计一个蒙古包型的仓库，它由上､下两部分组成，上部分的形状是圆锥，下部分的形状是圆柱(如图所示)，圆柱的上底面与圆锥的底面相同，要求圆柱的高是圆锥的高的两倍.若圆锥的母线长是1，则该仓库的最大容积是___________.16．(2021·辉县市第一高级中学高二月考(理))给出如下关于函数1ln ()xf x x+=的结论： ①对0x ∀>，都有()1f x ≤；②对1(0,1)x ∀∈，都2(1,)x ∃∈+∞，使得()()21f x f x =； ③1322f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④00x ∃>，使得()00f x x >.其中正确的有___________.(填上所有你认为正确结论的序号)四、解答题(17题10分，其余每题12分，共6题70分)17．(2021·福建宁德·高二期中)①x y e =；②ln y x =．若直线y x a =+为__________(选择①、②中的一个)的切线． (1)求切点坐标； (2)求实数a 的值．注：如果条件①和条件②都解答，按第一个解答计分．18．(2021·江苏镇江·高二期末)有三个条件：①函数()f x 的图象过点 (0,1)，且1a =；②()f x 在1x =时取得极大值116；③函数()f x 在3x =处的切线方程为4270x y --=，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整(只要填写序号)，并解答本题．题目：已知函数321()232a f x x x xb =+++存在极值，并且______．(1)求()f x 的解析式；(2)当[1,3]x ∈时，求函数()f x 的最值19．(2021·甘肃甘州 )已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，若2d q ==，且1a ，1b ，2a ，2b 成等差数列.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .20．(2021·贵州师大附中高二月考(理))已知数列{}n a 满足11()n n a a n N *+=+∈，且22a =.(1)若数列{}n b 满足111,21n n n b b b a +==+-，求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}3n an a ⋅的前n 项和n S .21．(2021·天津市第一百中学高三月考)已知函数32()61f x ax x =-+，a R ∈. (1)若2a =，求函数()f x 的单调区间； (2)若4a =-，求函数在区间[2,3]-的最值； (3)若()f x 恰有三个零点，求a 的取值范围.22．(2021·全国高二单元测试)森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.为了实现到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉s 万立方米(1030s <<)的森林.设n a 为自2021年开始，第n 年末的森林蓄积量(单位：万立方米).(1)请写出一个递推公式，表示1n a +，n a 两者间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成()1n n a k r a k +-=-的形式，其中r ，k 为常数；(3)为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量s 最大为多少万立方米？(精确到1万立方米)参考数据：85 5.964⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，957.454⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1059.314⎛⎫≈ ⎪⎝⎭.。