第1章二次根式1.2二次根式的性质（1）【教学目标】知识与技能1．经历二次根式的性质的发现过程,体验归纳,猜想的思想方法；2．了解二次根式的上述两个性质；3．会运用上述两个性质进行有关的计算。
过程与方法在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力. 情感、态度与价值观通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重难点】 重点：aa =2）（（a≥0），a a =2（a≥0）及其应用. 难点：用探究的方法探索a a =2）（（a≥0）及a a =2（a≥0），的结论.【导学过程】【情景导入】 1、参考右图,完成以下填空:=2)2(，=2)7(，=2)21(； 【新知探究】探究一、 【概括】由上得：一般地,二次根式有下面的性质:练：计算 =22；=2；=-2)5(；=-5；()(()()()(()222222113______,2______,32________,73245________,5________.3===⎛-=--= ⎝=20；=0。
【概括】由上得：一般地,二次根式有下面的性质:练3、数a在数轴上的位置如图,则=2a。
探究二、例1：(1)22(10)(12)--; (2) 2[2(2)]232--•+2(3)(7)25(9)-+--222343(4)()()7557---例2：化简（1）42（2）4a（3）22(0,0)a b a b<>（4）212(1)a a a-+>【随堂练习】2(1)(3)___;=2(2)(7)_____;-=()=--2)(3π______()24(12)-=___()25(1)x--=_ ________ );(>x()2262x xy y-+=_________).(yx<拓展延伸211-)1,A 1B 1 C0 1 Dx x xx x x=-≤≥≤≤、若(则的取值范围为（）、、、、一切有理数2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简22()()a b b c c a-+-+-3.已知a，b，c为△ABC2()b c a+-2()c a b--2()b c a--a b c(()(()(()(()()()(2222322211_____,2______,33_____,5141_____,54____,62____.3⎛⎫--=⎪⎝⎭=---=4.化简：22(3)(2)x x --- 【知识梳理】 这节课你收获了什么？ 【达标测评】 1．下列运算正确的是（） A ．（5-）2=－5 B ．（－5）2=－5 C ．－2(5)-=5 D ．2(5)-=52、计算2(11)-+|－11|－211，正确的结果是（）A ．－11B ．11C ．22D ．－223、下列各式中，一定能成立的是（）A ．22)5.2()5.2(=-B ．22)(a a =C ．2211x x x -+=-D ．2693x x x ++=+4、化简|a －2|+2)2(a -的结果是（）A ．4－2aB ．0C ．24-aD ．45．（－5）2－9+2(2)-=_______6．63=_______．7、23(2)7-+23(1)7-=_______8、已知x ＜y ，化简2)(y x x y ---为__9．计算：14－0.16－（12）2; 10．计算：224()35-－|35－23|．B 组1、已知实数a 在数轴上的位置如图所示,则化简21a a -+的结果为（A ．1B ．－1C ．12a -D ．21a -2、计算：ao 1- 12(12)-+2(23)-+2(34)-+…+2(20132014)-=______．3、如果2(5)a -+│b－2│=0，求以a 、b 为边长的等腰三角形的周长．4、实数,a b 在数轴上的位置如图所示,222()a b a b -5、化简：化简：22(13(1)x x --a bo 1－八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称的概念，熟悉基本概念及判断方法是解题的关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D、E，F分别是CD，AD上的点，且CE＝AF.如果∠AED＝62°，那么∠DBF的度数为()A．62°B．38°C．28°D．26°【答案】C【解析】分析：主要考查：等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质．注意：根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF≌△ADE．详解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD．又∵CE=AF，∴DF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△ADE（SAS），∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°．故选C．点睛：熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．3．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是高，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，交BC 于点G ．在结论：(1) EFD ∠=BCD ∠；(2) AD CD =；(3)CG EG ；(4) BF BC =中，一定成立的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD ；只有△ABC 是等腰直角三角形时AD=CD ，CG=EG ；利用“角角边”证明△BCE 和△BFE 全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC ．【详解】∵EF ∥AC ，∠BCA=90°，∴∠CGE=∠BCA=90°，∴∠BCD+∠CEG=90°，又∵CD 是高，∴∠EFD+∠FED=90°，∵∠CEG=∠FED （对顶角相等），∴∠EFD=∠BCD ，故（1）正确；只有∠A=45°，即△ABC 是等腰直角三角形时，AD=CD ，CG=EG 而立，故（2）（3）不一定成立，错误； ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC=∠EBF ，在△BCE 和△BFE 中，EFD BCD EBC EBF BE BE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BCE ≌△BFE （AAS ），∴BF=BC ，故（4）正确，综上所述，正确的有（1）（4）共2个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．4．在下列实数3.1415926，81100，1π，5，711，327中无理数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】根据无理数的概念进行判断即可得解.【详解】根据无理数的概念可知，1π，5属于无理数，故选：A.【点睛】本题主要考查了无理数的区分，熟练掌握无理数的概念是解决本题的关键.5．如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：正方形的对角线的长是，所以正方形内部的每一个点，到正方形的顶点的距离都有小于14.14，故答案选A.考点：正方形的性质，勾股定理.6．如图比较大小，已知OA＝OB，数轴点A所表示的数为a（）﹣54．A ．＞B ．＜C ．≥D ．＝【答案】A 【分析】由勾股定理求出OB ＝5 ，即可确定A 点表示的数为5-，比较5-和54-的大小即可求解．【详解】解：由勾股定理可求OB ＝22151()22+=，∵OA ＝OB ，∴OA ＝5，∴A 点表示的数为5-，∵5524->-，故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理和实数的大小比较，掌握勾股定理和实数的大小比较方法是解题的关键． 7．对于函数y ＝2x ﹣1，下列说法正确的是（ ）A ．它的图象过点（1，0）B ．y 值随着x 值增大而减小C ．它的图象经过第二象限D ．当x ＞1时，y ＞0【答案】D【解析】画函数的图象，选项A, 点（1，0）代入函数，01=，错误.由图可知，B ，C 错误，D,正确. 选D.8．下列命题中，是假命题的是( )A ．三角形的外角大于任一内角B ．能被2整除的数，末尾数字必是偶数C ．两直线平行，同旁内角互补D ．相反数等于它本身的数是0【答案】A【解析】分析：利用三角形的外角的性质、偶数的性质、平行线的性质及相反数的定义分别判断后即可确定正确的选项．详解：A ．三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，故错误，是假命题；B ．能被2整除的数，末位数字必是偶数，故正确，是真命题；C ．两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题；D ．相反数等于它本身的数是0，正确，是真命题．故选A ．点睛：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解三角形的外角的性质、偶数的性质、平行线的性质及相反数的定义，属于基础题，难度不大．9．在227-，0，3π，0.2121121112，等五个数中，无理数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②无限不循环小数；③含有π的数.【详解】解：227-=-3，开方可以开尽，属于有理数；0是整数，属于有理开方开不尽，属于无理数；3π含有π，属于无理数；0.2121121112是无限不循环小数，属于无理数.所以有三个无理数.故选C.【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②无限不循环小数；③含有π的数.10．周长38cm 的三角形纸片ABC （如图甲），AB AC =,将纸片按图中方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE （如图乙），若DBC ∆的周长为25cm ，则BC 的长为（ ）A．10 cm B．12cm C．15cm D．13cm【答案】B【分析】由折叠的性质可得AD=BD，由△ABC的周长为38cm，△DBC的周长为25cm，可列出两个等式，可求解．【详解】∵将△ADE沿DE折叠，使点A与点B重合，∴AD=BD，∵△ABC的周长为38cm，△DBC的周长为25cm，∴AB+AC+BC=38cm，BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=25cm，∴AB=13cm=AC∴BC=25-13=12cm故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换，熟练运用折叠的性质是本题的关键．二、填空题11．若分式221xx-+有意义，则x的取值范围是________【答案】12 x≠-【分析】根据分式有意义的条件求解即可．【详解】∵分式221xx-+有意义∴210x+≠解得12 x≠-故答案为：12x≠-．【点睛】本题考查了分式有意义的问题，掌握分式的性质以及分式有意义的条件是解题的关键．12．已知，点(,)A a b 在第二象限，则点(,)B a b --在第_________象限． 【答案】四【分析】首先根据点A 所在的象限可判定0,0a b ＜＞，然后即可判定点B 所在的象限. 【详解】∵点(,)A a b 在第二象限， ∴0,0a b ＜＞ ∴0,0a b --＞＜ ∴点B 在第四象限 故答案为四. 【点睛】此题主要考查根据坐标判定点所在的象限，熟练掌握，即可解题. 13．分解因式：29a -=__________． 【答案】()()33a a +-【解析】试题分析：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．先把式子写成a 2-32，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式． a 2-9=a 2-32=（a+3）（a-3）． 故答案为（a+3）（a-3）． 考点：因式分解-运用公式法．14．如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝_____．【答案】240°．【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．【详解】解：根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°＝120°， 则根据四边形的内角和定理得： ∠1+∠2＝360°﹣120°＝240°．故答案为：240°． 【点睛】本题考查多边形角度的计算,关键在于结合图形运用角度转换. 15．已知1(1,5)P a -和2(2,1)P b -关于x 轴对称，则2020()a b +值为_____．【答案】1【分析】根据平面直角坐标系中任意一点(,)P x y ，关于x 轴的对称点是(,)x y -．根据这一结论求得a ，b 的值，再进一步计算．【详解】解：关于x 轴对称的两个点的坐标特征为横坐标相等，纵坐标互为相反数，1(1,5)P a -和2(2,1)Pb -关于x 轴对称， 12a ∴-=，510b +-=，解得3a =，4b =-，20202020()[3(4)]a b ∴+=+-2020(1)=-1=，故答案是：1． 【点睛】本题考查的是关于坐标轴对称的点的坐标的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 16．经过A 、B 两点的圆的圆心的轨迹是______． 【答案】线段AB 的垂直平分线【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得答案.【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴经过A 、B 两点的圆的圆心的轨迹是线段AB 的垂直平分线， 故答案为线段AB 的垂直平分线 【点睛】本题考查了相等垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；熟练掌握性质是解题关键.17．在平面直角坐标系中,将点()3, 2P -先向右平移2个单位长度, 再向下平移2个单位长度后所得到的点坐标为_________. 【答案】 (-1,0)【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可得到.【详解】解：点()3, 2P -先向右平移2个单位长度, 再向下平移2个单位长度后所得到的点坐标为(-3+2,2-2),即(-1,0)故答案为：(-1,0)【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化-平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y）得到P＇(x+a，y)；向左平移a个单位，坐标P（x，y）得到P＇(x-a，y)；向上平移a个单位，坐标P（x，y）得到P＇(x，y+a)；向下平移a个单位，坐标P（x，y）得到P＇(x，y-a).三、解答题18．如图，已知在平面直角坐标中，直线l：y＝﹣2x+6分别交两坐标于A、B两点，M是级段AB上一个动点，设点M的横坐标为x，△OMB的面积为S．（1）写出S与x的函数关系式；（2）当△OMB的面积是△OAB面积的23时，求点M的坐标；（3）当△OMB是以OB为底的等腰三角形，求它的面积．【答案】（1）S＝﹣3x+9（0≤x＜3）；（2）M（1，4）；（3）9 2 .【解析】（1）根据x轴的坐标特点求出点B坐标，再表示出点M坐标，最后利用三角形的面积公式即可得出结论；（2）根据y轴的坐标特点求出点A坐标，进而利用三角形的面积公式求出△AOB的面积，进而求出△OBM 的面积，即可得出结论；（3）先判定点M是OB的垂直平分线上，进而求出M的坐标，即可得出结论．【详解】（1）针对于直线l：y＝﹣2x+6，令y＝0，则﹣2x+6＝0，∴x＝3，∴B（3，0），∴OB＝3，∵点M在线段AB上，∴M（x，﹣2x+6），∴S ＝S △OBM ＝12×3×（﹣2x+6）＝﹣3x+9（0≤x ＜3）， （2）针对于直线l ：y ＝﹣2x+6， 令x ＝0，则y ＝6， ∴A （0，6），∴S △AOB ＝12OA•OB ＝12×6×3＝9， ∵△OMB 的面积是△OAB 面积的23，∴S △OBM ＝23×9＝6， 由（1）知，S △OBM ＝﹣3x+9（0≤＜3）， ∴﹣3x+9＝6， ∴x ＝1， ∴M （1，4）；（3）∵△OMB 是以OB 为底的等腰三角形， ∴点M 是OB 的垂直平分线上， ∴点M （32，3）， ∴S △OBM ＝12×3×3＝92． 【点睛】此题主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，掌握坐标系中求三角形面积的方法是解本题的关键．19．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB ∥ED ,交BC 于E ，交 AC 于F ， DE = BC,030CDE ACB ∠=∠=.（1） 求证：△FCD 是等腰三角形 （2） 若AB=3.5cm,求CD 的长． 【答案】（1）详见解析；（2）CD=1cm.【解析】（1）首先根据平行线的性质得出∠DEC ＝∠B ＝90°，然后在△DCE 中根据三角形内角和定理得出∠DCE的度数，从而得出∠DCF的度数．在△CDF中根据等角对等边证明出△FCD是等腰三角形；（2）先证明△ACB≌△CDE，得出AC＝CD，再根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】（1）∵DE∥AB，∠B＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝∠DCE ﹣∠ACB＝30°，∴∠CDE＝∠DCF，∴DF＝CF，∴△FCD是等腰三角形；（2）在△ACB和△CDE中，∵90B DECBC DEACB CDE∠∠∠∠==︒⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACB≌△CDE，∴AC＝CD．在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3.5，∴AC＝2AB＝1，∴CD＝1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．解方程12x-+1＝221xx+．【答案】x＝13．【分析】先找出最简公分母（x﹣2）（2x+1），然后分式两边同事乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程求解检验即可得到结果．【详解】解：121221xx x+=-+，方程两边乘（x﹣2）（2x+1），得，（2x+1）+（x﹣2）（2x+1）＝2x（x﹣2），解得x＝13，检验：当x＝13时，（x﹣2）（2x+1）≠0，所以，原分式方程的解为x＝13．【点睛】本题主要考察了分式方程的求解，在解分式方程有两个注意事项，一个是去分母化成整式方程，另一个是检验．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求与作法）；（2）在（1）的条件下，求∠BDC的度数．【答案】（1）见解析；（2）72°【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出BD；（2）利用等腰三角形的性质以及角平分线的性质分析得出答案．【详解】（1）如图所示：BD即为所求；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝12∠ABC＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°．【点睛】此题主要考查角平分线的作图与角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质．22．车间有20名工人，某天他们生产的零件个数统计如下表．车间20名工人某一天生产的零件个数统计表生产零件的个数（个）9 10 11 12 13 15 16 19 20工人人数（人） 1 1 6 4 2 2 2 1 1（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数；（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？【答案】（1）这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；（2）定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性.【分析】（1）根据加权平均数的定义求解可得；（2）根据众数和中位数的定义求解，再分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论． 【详解】解：（1）()191101116124132152162191201=1320x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（个）答：这一天20名工人生产零件的平均个数为13个. （2）中位数为12个，众数为11个.当定额为13个时，有8个达标，6人获奖，不利于提高工人的积极性. 当定额为12个时，有12个达标，8人获奖，不利于提高大多数工人的积极性. 当定额为11个时，有18个达标，12人获奖，有利于提高大多数工人的积极性. ∴当定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性. 【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数． 23．甲、乙、丙三明射击队员在某次训练中的成绩如下表：针对上述成绩，三位教练是这样评价的： 教练A ：三名队员的水平相当； 教练B ：三名队员每人都有自己的优势；教练C ：如果从不同的角度分析，教练A 和B 说的都有道理. 你同意教练C 的观点吗？通过数据分析，说明你的理由. 【答案】同意教练C 的观点，见解析【分析】依次求出甲、乙、丙三名队员成绩的平均数、中位数、方差及众数，根据数据的稳定性即可判断. 【详解】解：依题意渴求得：甲队员成绩的平均数为6677899991010+++++++++=8；乙队员成绩的平均数为6778888991010+++++++++=8； 丙队员成绩的平均数为6667781010101010+++++++++=8； 甲队员成绩的中位数为898.52+=，乙队员成绩的中位数为8882+=， 丙队员成绩的中位数为787.52+=， 甲队员成绩的方差为2s 甲=110[（6−8）2＋（6−8）2＋（7−8）2＋（7−8）2＋（8−8）2＋（9−8）2＋（9−8）2＋（9−8）2＋（9−8）2＋（10−8）2]＝1.8;乙队员成绩的方差为2s 乙=110[（6−8）2＋（7−8）2＋（7−8）2＋（8−8）2＋（8−8）2＋（8−8）2＋（8−8）2＋（9−8）2＋（9−8）2＋（10−8）2]＝1.2;丙队员成绩的方差为2s 丙=110[（6−8）2＋（6−8）2＋（6−8）2＋（7−8）2＋（7−8）2＋（8−8）2＋（10−8）2＋（10−8）2＋（10−8）2＋（10−8）2]＝3;由于甲、乙、丙三名队员成绩的平均数分别为：8x =甲，8x =乙，8x =丙，所以，三名队员的水平相当.故，教练A 说的有道理.由于甲、乙、丙三名队员的成绩的中位数分别为：8.5；8；7.5. 所以，从中位数方面分析，甲队员有优势.由于甲、乙、丙三名队员的成绩的方差分别为：2 1.8s =甲，2 1.2s =乙，23s =丙.所以，从方差方面分析，乙队员有优势.由于甲、乙、丙三名队员的成绩的众数分别为：9；8；10. 所以，从众数方面分析，丙队员有优势. 故，教练B 说的有道理. 所以，同意教练C 的观点. 【点睛】此题主要考查数据分析的应用，解题的关键是熟知平均数、中位数、方差及众数的求解方法.24．某中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．依据以下信息解答问题： （1）此次共调查了多少人？（2）求“年龄13岁”在扇形统计图中所占圆心角的度数； （3）请将条形统计图补充完整．【答案】（1）50人；（2）72°；（3）详见解析【分析】（1）根据15岁在扇形中所占的百分比及人数即可求出总人数；（2）先求出年龄13岁人数所占比例，再乘以360°即可计算；（3）根据总人数计算出年龄14岁和年龄16岁的人数，再补全即可．【详解】解：（1）1836%50÷=，∴此次共调查了50人．（2）1036072 50⨯︒=︒，∴“年龄13岁”在扇形统计图中所占圆心角的度数为：72°．（3）年龄14岁的人数为：5028%14⨯=（人）年龄16岁的人数为：50-6-10-14-18=2（人）条形图如下：【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是理解条形统计图与扇形统计图之间的联系．25．我市为创建省文明卫生城市，计划将城市道路两旁的人行道进行改造，经调查可知，若该工程由甲工程队单独来做恰好在规定时间内完成；若该工程由乙工程队单独完成，则需要的天数是规定时间的2倍，若甲、乙两工程队合作8天后，余下的工程由甲工程队单独来做还需3天完成．（1）问我市要求完成这项工程规定的时间是多少天？（2）已知甲工程队做一天需付给工资5万元，乙工程队做一天需付给工资2万元．两个工程队在完成这项工程后，共获得工程工资款总额65万元，请问该工程甲、乙两工程队各做了多少天？【答案】（1）15天；（2）甲工程队做了5天，乙工程队做了20天【分析】（1）设规定时间是x 天，那么甲单独完成的时间就是x 天，乙单独完成的时间为2x ，根据题意可列出方程；（2）设甲工程队做了m 天，乙工程队做了n 天，则可列出方程组得解． 【详解】解：（1）设规定时间是x 天， 根据题意得，113812x x x⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 解得x ＝15，经检验：x ＝15是原方程的解．答：我市要求完成这项工程规定的时间是15天；（2）由（1）知，由甲工程队单独做需15天，乙工程队单独做需30天，由题意得，11115305265m n m n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩． 解得m 5n 20=⎧⎨=⎩．答：该工程甲工程队做了5天，乙工程队做了20天 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．在实数范围内，2x x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．2x ≥C ．2x >D ．2x < 【答案】A【分析】分式有意义的条件：分母不为1，据此即可得答案．【详解】∵2x x -有意义， ∴x-2≠1，解得：x≠2，故选：A ．【点睛】本题考查分式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为1．2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：①EF ＝BE+CF ；②∠BOC ＝90°+12∠A ； ③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD ＝m ，AE+AF ＝n ，则S △AEF ＝mn ．其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】A 【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC ＝90°+12∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF ＝BE+CF ，故①正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD ＝m ，AE+AF ＝n ，则S △AEF ＝12mn ，故④错误．【详解】∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，∠A+∠ABC+∠ACB ＝180°， ∴∠OBC+∠OCB ＝90°﹣12∠A ， ∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC+∠OCB ）＝90°+12∠A ；故②正确； ∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC ＝∠OBE ，∠OCB ＝∠OCF ，∵EF ∥BC ，∴∠OBC ＝∠EOB ，∠OCB ＝∠FOC ，∴∠EOB ＝∠OBE ，∠FOC ＝∠OCF ，∴BE ＝OE ，CF ＝OF ，∴EF ＝OE+OF ＝BE+CF ，故①正确；过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON ＝OD ＝OM ＝m ，∴S △AEF ＝S △AOE +S △AOF ＝12AE •OM+12AF •OD ＝12OD •（AE+AF ）＝12mn ；故④错误； ∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴点O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握角平分线的性质以及定义，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形面积的求解方法是解题的关键．3．如果数据x 1，x 2，…，x n 的方差是3，则另一组数据2x 1，2x 2，…，2x n 的方差是（ ） A ．3B ．6C ．12D ．5 【答案】C【解析】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，再根据方差公式进行计算：()()()()222221231n S x x x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦即可得到答案． 【详解】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ， 根据方差公式：()()()()222221231n S xa x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦=3， 则()()()()22222123122222222n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦ =()()()()222212314444n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×()()()()22221231n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×3=12，故选C ．【点睛】本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．4．如图，已知∠ACB ＝∠DBC ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DCB 的是（ ）A ．∠ABC ＝∠DCBB ．∠ABD ＝∠DCAC ．AC ＝DBD ．AB ＝DC【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理 逐个判断即可．【详解】A 、∵在△ABC 和△DCB 中ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DCB （ASA ），故本选项不符合题意；B 、∵∠ABD ＝∠DCA ，∠DBC ＝∠ACB ，∴∠ABD+∠DBC ＝∠ACD+∠ACB ，即∠ABC ＝∠DCB ，∵在△ABC 和△DCB 中ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DCB （ASA ），故本选项不符合题意；C 、∵在△ABC 和△DCB 中BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DCB （SAS ），故本选项不符合题意；D 、根据∠ACB ＝∠DBC ，BC ＝BC ，AB ＝DC 不能推出△ABC ≌△DCB ，故本选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．5．计算211a a a a ---的结果是 A ．1a a +B ．1a a +-C ．1a a -D ．1a a-- 【答案】B【分析】首先通分，然后进行同分母分式的减法运算即可．【详解】2211(1)(1)1=1(1)(1)a a a a a a a a a a a a a-+-+-==-----． 故选：B ．【点睛】此题考查了分式的加减法．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．6．如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，AE 、EF 为折痕，点 C 落在 AD 边上的 G 处，并且点 B 落在 EG 边的 H 处，若 AB=，∠BAE=30°，则 BC 边的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】利用三角函数求出直角三角形各边长度，再证明△AEC 1和△CC 1E 是等边三角形，即可求出BC 长度。
