专题四圆周运动及其向心力公式的应用

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1．知道线速度、角速度、加速度、转速与周期等概念。

2．掌握线速度和角速度、角速度与转速、周期的关系， 3．知道变速圆周运动的向心加速的方向和加速度的公式。

对基本概念和公式的理解，并熟练运用。

1．匀速圆周运动
（1）定义:
做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长 ，就是匀速圆周运动。

匀速圆周运动是线速度大小 的圆周运动。

（2）性质:加速度大小 ，方向始终指向 ，是变加速运动。

（3）条件:合外力大小 、方向始终与 方向垂直且指向圆心。

2．描述圆周运动的物理量
线速度：（１）描述做圆周运动的物体运动 的物理量(v =2πr
T
)。

（２）是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切。

角速度：（1）描述物体绕圆心 的物理量(ω=2πT
)。

（2）中学不研究其方向。

周期和转速：（1）周期是物体沿圆周运动 所用的时间(T )。

（2）转速是物体在单位时间内转过的 (n )，也叫频率(f )。

专题四：圆周运动及其向心力公式的应用
描述圆周运动的物理量
向心加速：（1
）描述速度 变化快慢的物理量(a n =2v r
=2
r )。

（2）方向指向圆心 相互关系：（1）v =ωr =
2πr
T
=2πfr 。

（2）a n =2v r =ω2r =ωv =2
24πr T
=4π2f 2r 。

3．向心力F
（1）作用效果:产生向心加速度，只改变线速度的 ，不改变线速的 ，因此向心力不做功。

（2）大小:F =ma =m 2v r =m ω2r =m 2
24π
T
r 。

（3）方向:总是沿半径指向圆心，向心力是个变力。

1．定义:做匀速圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或不足以提供圆周运动 的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，即离心运动。

2．本质:做圆周运动的物体,由于本身的惯性,总是沿 飞出去的倾向。

3．受力特点
当F = 时，物体做匀速圆周运动； 当F =0时，物体沿 飞出； 当F < 时，物体逐渐远离圆心，F 为实际所提供的向心力，如图所示。

在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为:
1．同转动轴的各点角速度ω相等，而线速度v =ωr 与半径r 成正比，向心加速度a =ωr 与半径r 成正比。

离心现象
运动学分析
A 点和
B 点在同轴的一个圆盘上,如图甲,圆盘转动时,它们的角速度、线速度、周期存在以下定量关系:ωA =ωB , A B
v r
v R
=
，T A =T B ，并且转动方向相同。

2．当皮带不打滑时，传动皮带与和皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而两
轮的角速度ω=v
r
与半径r 成反比，向心加速度a =2v r 与半径r 成反比。

A 点和
B 点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑。

如图乙所示，轮子转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系:v A =v B ，A B r R ωω=,A B T R
T r
=，并且转动方向相同。

3．齿轮传动
A 点和
B 点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合。

如图所
示，
齿
轮
转动时
，它们
的
线
速度、角速
式中n 1、n 2分别表示两齿轮的齿数。

两点转动方向相反。

例1 科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。

若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺
时针匀速转动时，下列说法正确的是( ) A.小齿轮逆时针转动
B.小齿轮每个齿的线速度均相同
C.小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍
D.大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮的3倍
【解析】大齿轮、小齿轮在转动过程中，两者的齿的线速度大小相等，当大齿轮顺时针
转动时，小齿轮也顺时针转动，选项A 错误；速度是矢量，具有方向，所以小齿轮每个齿的线速度不同，选项B 错误；根据v ＝ωr ，且线速度大小相等，角速度与半径成反比，选项C 正确；根据向心加速度a ＝v 2
r ，线速度大小相等，向心加速度与半径成反比，选项D 错误。

本题的正确答案为C 。

1．光盘驱动器读取数据的某种方式可简化为以下模式，在读取内环数据时，以恒定角速度方式读取，而在读取外环数据时，以恒定线速度的方式读取．如图所示，设内环内边缘半径为R 1，内环外边缘半径为R 2，外环外边缘半径为R 3。

A 、B 、C 分别为各边缘线上的点．则读 取内环上A 点时A 点的向心加速度大小和读取外环上C 点时C 点的向心加速度大小之比为 ( )
A.R 21R 2
R 3 B.R 22R 1R 3 C.R 2R 3R 21 D.R 1R 3R 22
1．对向心力的进一步理解
（1）定义:做圆周运动的物体所受的指向圆心的合力。

（2）作用效果:产生向心加速度并不断改变物体的线速度方向,维持物体做圆周运动。

（3）方向:总是沿半径指向圆心，是一个变力。

（4）大小:F =ma =m 2v r
=m ω2r 。

（5）向心力来源:
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是各力的合力或某力的分力，总之,只要能达到维持物体做圆周运动效果的力，就是向心力。

向心力是按力的作用效果来命名的。

对各种情况下向心力的来源应明确，如水平圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体(图甲)和水平地面上匀速转弯的汽车,所受摩擦力提供向心力；圆锥摆(图乙)和以规定速率转弯的火车，向心力是重力与弹力的合力。

2．圆周运动中向心力的分析
（1）匀速圆周运动:物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，这是物体做匀速圆周运动的条件。

（2）变速圆周运动:在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心。

合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和)提供向心力
动力学分析
，使物体产生向心加速度,改变速度的方向。

合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。

例2 如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO ′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R 和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m 的小物块，求：
(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；
(2)当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。

解析 （1）物块静止时，对物块进行受力分析如图所示，设筒壁与水平面的夹角为θ，由平衡条件有：F f =mg sin θ，F N =mg cos θ
由几何关系有：2
2
cos R H
θ=
+
，2
2
sin R H
θ=
+
F f =mg sin θ=
2
2
R H
+，F N =mg cos θ=
2
2
R H
+
（2）分析此时物块受力如图所示，由牛顿第二定律有： mg tan θ＝mrω2，其中tan θ＝
R H ，r ＝2
R 解得：ω＝
R
gH
2。

2．如图所示，在半径为R 的半圆形碗的光滑表面上，一质量为m 的小球以转数为n 转每秒在水平面内做匀速圆周运动，该平面离碗底的距离h 为 ( )
A ．R －g
4π2n 2
B ．g 4π2n 2 C.g 4π2n 2－R D.g 4π2n 2＋R 2
一、描述圆周运动的物理量
专题四：参考答案
1．（1）相等 不变 （2）不变 圆心 （3）不变 速度 2．线速度：（1）快慢 角速度：（1）转动快慢
周期和转速：（1）一周 （2）圈数 向心加速度：（1）方向 3．（1）方向 大小 二、离心现象
1．所需的向心力 2．圆周切线方向 3．mω2r 切线方向 mω2r 配点训练1 答案 D
解析 A 、B 两点的角速度大小相等，根据a ＝rω2知，A 、B 两点的向心加速度之比a A ：a B ＝R 1：R 2；B 、C 两点的线速度相等，根据a ＝v 2
r 知，B 、C 两点的向心加速度之比为a B ：
a C ＝R 3：R 2，可得a A a C ＝R 1R 3
R 22。

配点训练2 答案 A
解析 小球靠重力和支持力的合力提供向心力，如图所示： 小球做圆周运动的半径为r ＝R sin θ，根据受力分析图可知 tan θ＝
F 向
mg 而向心力F 向＝mω2R sin θ；解得cos θ＝g
Rω2 ；所以h ＝R －R cos θ＝R －
R ·g Rω2＝R －g
4π2n
2。