2019-2020学年广西南宁二中、柳州高中高三(上)第一次联考数学试卷1(10月份)(25)
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2019-2020学年广西南宁二中、柳州高中高三（上）第一次联考数学试卷1（10月份）（25）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2⩽x<3},B={0,2,4}，则A∩B=()A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2.已知复数z=i(−2−i)，则该复数在复平面内对应的点在第()象限A. 一B. 二C. 三D. 四3.已知向量a⃗=(x,1)，b⃗ =(2,x)，c⃗=(1,−2)，若(a⃗−c⃗ )⊥(b⃗ +c⃗ )，则x=()A. 34B. −54C. 32D. −354.下列结论中，正确的是()A. “x>2”是“x2−2x>0”成立的必要条件B. 命题“若x2=1，则x=1”的逆否命题为假命题C. 命题“p：∀x∈R，x2≥0”的否定形式为“￢p：∃x0∈R，x02≥0”D. .已知向量a⃗,b⃗ ，则“a⃗//b⃗ ”是“a⃗+b⃗ =0⃗”的充要条件5.若sinα−cosαsinα+cosα=12，则tan2α的值为()A. 34B. 35C. −34D. 36.函数f(x)=x2|e x−1|的图象大致为()A. B.C. D.7.函数y=sin(2x+π3)的图象()A. 关于原点对称B. 关于点(−π6,0)对称C. 关于y轴对称D. 关于直线x=−π6对称8.在正方体中，P，M，N分别为棱的中点(如图)，用过点P，M，N的平面截去该正方体的顶点C1所在的部分，则剩余几何体的正视图为()A.B.C.D.9.等比数列{a n}中，若a1=3，a5=75，则a3=()A. 15B. ±15C. 39D. 225210.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2)，有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则()A. f(3)<f(−2)<f(1)B. f(1)<f(−2)<f(3)C. f(−2)<f(1)<f(3)D. f(3)<f(1)<f(−2)11.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点(5,t)到焦点的距离为6，P、Q分别为抛物线与圆(x−6)2+y2=1上的动点，则|PQ|的最小值为()A. √21−1B. 2−√55C. 2√5D. 2√5−112.若定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x)+f/(x)>1,f(0)=4，则不等式 f(x)>3e x +1(e为自然对数的底数)的解集为()A. ( 0,+∞)B. (−∞,0)∪(3,+∞)C. (−∞,0)∪(0,+∞)D. (3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+5，则a−b=______．14.设x，y满足约束条件{x+3y≤3x−y≥1y≥0，则z=yx的最大值为______．15.直线y=kx+3(k≠0)与圆(x−3)2+(y−2)2=4相交于A、B两点，若|AB|=2√3，则k的值为________．16.已知数列{a n}的前n项积为T n=5n2，n∈N∗，则a2009=____。
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，b=√3，∠B=60°，c=1，求a和∠A、∠C．18.为维护交通秩序，防范电动自行车被盗，天津市公安局决定，开展二轮电动自行车免费登记、上牌照工作，电动自行车牌照分免费和收费(安装防盗装置)两大类，群众可以自愿选择安装．已知甲、乙、丙三个不同类型小区的人数分别为15000，15000，20000.交管部门为了解社区居民意愿，现采用分层抽样的方法从中抽取10人进行电话访谈．(I)应从甲小区和丙小区的居民中分别抽取多少人？(Ⅱ)设从甲小区抽取的居民为A i(i=1,2，3…)，丙小区抽取的居民为B i(i=1,2，3…).现从甲小区和丙小区已抽取的居民中随机抽取2人接受问卷调查．(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的2人来自不同的小区”，求事件M发生的概率．19.已知四棱锥E−ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=√2，O为AB的中点．(1)求证：EO⊥平面ABCD；(2)求点D到平面AEC的距离．20.已知函数f(x)=x3+ax2+3x−9(1)若函数f(x)在x=−3时取得极值，求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，求实数a的取值范围．21.平面内动点P(x,y)与两定点A(−2,0)，B(2,0)连线的斜率之积等于−1/3，若点P的轨迹为曲线E，过点Q(−1,0)作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D．(1)求曲线E的方程；(2)求证：AC⊥AD；22.选修4−4:坐标系与参数方程x=2cosθ}(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 在直角坐标系xOy中，直线l1:x=−2，曲线C:{y=2+2sinθ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l1及曲线C的极坐标方程：(ρ∈R)设l2与曲线C的交点为M.N，求△CMN的面积及l1与(Ⅱ)若直线l1的极坐标方程为θ=π4l2交点的极坐标23.某家用轿车的购车费9.5万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元，每年行车里程按1万公里，前5年性能稳定，每年的油费5000元，由于磨损，从第6年开始，每年的油费以500元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年报废比较合算？-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题【解答】解：集合A={−2,−1,0,1,2}，B={0,2,4}，所以A∩B={0,2}．故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z=i(−2−i)=1−2i，∴该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,−2)，在第四象限．故选：D．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查了向量的垂直、向量的加减法、向量的数量积以及平面向量的坐标运算，属于基础题．由题意可得到a⃗−c⃗=(x−1,3)，b⃗ +c⃗=(3,x−2)，因为，故(a⃗−c⃗ )·(b⃗ +c⃗ )=0，利用平面向量的坐标运算代入求解即可得到答案．【解答】解：∵向量a⃗=(x,1)，b⃗ =(2,x)，c⃗=(1,−2)，∴a⃗−c⃗=(x−1,3)，b⃗ +c⃗=(3,x−2)，，∴(a⃗−c⃗ )·(b⃗ +c⃗ )=(x−1,3)·(3,x−2)=6x−9=0，，解得x=32故选C．4.答案：B解析：解：对于A：由x2−2x>0得x>2或x<0，则“x>2”是“x2−2x>0”成立的充分不必要条件，故A错误；对于B：∵由x2=1得x=1或x=−1，∴命题“若x2=1，则x=1”为假命题，则命题的逆否命题也为假命题，故B正确；对于C：命题“p：∀x∈R，x2≥0”的否定形式为“￢p：∃x0∈R，x02<0”，故C错误；对于D ：若a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =λb ⃗ ，则a ⃗ +b ⃗ =0⃗ 不一定成立，若a ⃗ +b ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ =−b ⃗ ，则a ⃗ //b ⃗ 成立，即“a ⃗ //b ⃗ ”是“a ⃗ +b ⃗ =0⃗ ”的必要不充分条件，故D 错误， 故选：B ．A .根据充分条件和必要条件的定义进行判断，B.根据逆否命题的等价性进行判断， C .根据全称命题的否定是特称命题进行判断，D.根据向量共线的等价条件进行判断． 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大． 5.答案：C解析：【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题． 由条件求得tanα=3，再根据tan2α=2tanα1−tan 2α，计算求得结果． 【解答】 解：∵sinα−cosαsinα+cosα=tanα−1tanα+1=12，∴tanα=3，则tan2α=2tanα1−tan 2α=61−9=−34， 故选：C ． 6.答案：B解析：【分析】本题考查函数的图象 ，属于基础题．根据函数的单调性以及由特殊函数值的符号确定． 【解答】解：根据函数解析式定义域为{x|x ≠0}，所以f (x )>0，排除A ， 又因为f (−x )=(−x )2|e −x −1|=x 2|e −x −1| 因为f (−x )≠f (x ),f (−x )≠−f(x) 所以f(x)为非奇非偶函数，排除C ． 当x →+∞，f (x )→0 故选B ． 7.答案：B解析：解：当x =−π6时，y =sin[2×(−π6)+π3]=0，∴图象关于点(−π6,0)对称．故选B ．8.答案：B解析：解：由已知可知过点M ，N ，P 的截面是过正方体棱BB 1、BC 、CD 的中点的正六边形，所以剩余部分几何体的正视图应是选项B ． 故选：B ．画出几何体的直观图，利用三视图的作法判断正视图即可．本题考查解得几何体的三视图的画法，考查空间想象能力，属于基础题． 9.答案：A解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=3，a5=75，∴75=3q4，解得q2=5．则a3=3q2=15．故选：A．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：A解析：解：根据题意，函数f(x)为偶函数，则f(−2)=f(2)，<0，函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2)，有f(x1)−f(x2)x1−x2则函数f(x)在[0,+∞)上为减函数，则f(3)<f(2)<f(1)，又由f(−2)=f(2)，则f(3)<f(−2)<f(1)，故选：A．根据题意，由函数的奇偶性可得f(−2)=f(2)，进而分析可得函数f(x)在[0,+∞)上为减函数，则有f(3)<f(2)<f(1)，结合f(−2)=f(2)，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数f(x)的单调性，属于基础题．11.答案：D，解析：解：由抛物线C：y2=2px(p>0)焦点在x轴上，准线方程x=−p2=6，则点(5,t)到焦点的距离为d=5+p2则p=2，∴抛物线方程：y2=4x，设P(x,y)，圆M：(x−6)2+y2=1圆心为(6,1)，半径为1，则|PM|=√(x−6)2+y2=√(x−6)2+4x=√(x−4)2+20，当x=4时，|PQ|取最小值，最小值为√20−1=2√5−1，故选：D．利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点之间的距离公式求得|PM|，根据二次函数的性质，求得|PM|min，由|PQ|取得最小值为|PM|min−1本题考查抛物线的标准方程，两点之间的距离公式，二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．12.答案：A解析：【分析】本题考查了不等式的解法及构造函数的能力，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．不等式f(x)>+1可化为e x f(x)−e x−3>0；令F(x)=e x f(x)−e x−3，从而利用导数确定函数的单调性，再由单调性求解．【解答】解：不等式f(x)>+1可化为e x f(x)−e x−3>0；令F(x)=e x f(x)−e x−3，则F′(x)=e x f(x)+e x f′(x)−e x =e x (f(x)+f′(x)−1)； ∵f(x)+f′(x)>1，∴e x (f(x)+f′(x)−1)>0；故F (x)=e x f(x)−e x −3在R 上是增函数， 又∵F(0)=1×4−1−3=0； 故当x >0时，F(x)>F(0)=0；故e x f(x)−e x −3>0的解集为(0,+∞)；即不等式f(x)>+1(e 为自然对数的底数)的解集为(0,+∞)； 故选A ． 13.答案：−8解析：【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，以及运算能力，属于基础题，求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得切线斜率和切点，解方程可得a ，b ，进而得到所求值． 【解答】解：函数f(x)=x +ax +b(x ≠0)的导数为f ′(x)=1−ax 2， 可得f(x)=x +ax +b(x ≠0)在点(1,f(1))处的切线斜率为1−a ， 由切线方程为y =2x +5，可得1−a =2，解得a =−1， 由切点(1,7)，可得7=1−1+b ， 解得b =7， 则a −b =−8． 故答案为−8．14.答案：13解析：解：x ，y 满足约束条件{x +3y ≤3x −y ≥1y ≥0对应的平面区域如图：z 的几何意义是区域内的点与原点的斜率， 则由图象可知，OA 的斜率最大，由{x +3y =3x −y =1，解得A(32,12)，此时OA 的斜率k =13， 故答案为：13．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z 的几何意义是解决本题的关键．15.答案：−34解析：解：圆(x−3)2+(y−2)2=4圆心坐标(3,2)，半径为2，因为直线y=kx+3与圆(x−3)2+(y−2)2=4相交于A、B两点，|AB|=2√3，由弦长公式得，圆心到直线的距离等于1，即√1+k2=1，8k(k+34)=0，解得k=0或k=−34，∵k≠0∴k=−3故答案为：−34．由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长|AB|=2√3，解此方程求出k的取值即可．本题考查圆心到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用．考查计算能力．16.答案：54017解析：解析：本题主要考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题．根据前n项积为T n=5n2可得a2009=T2009T2008=520092520082=54017即可求解．答案：解：∵数列{a n}的前n项积为T n=5n2，所以a2009=T2009T2008=520092520082=54017．故答案为：54017．17.答案：解：∵在△ABC中，b=√3，∠B=60°，c=1，∴由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，得：3=a2+1−a，解得：a=2或a=−1(舍去)，∴由正弦定理asinA =bsinB得：sinA=asinBb=2×√32√3=1，∴∠A=90°，∠C=30°．解析：由b，cos B，以及c的值，利用余弦定理即可求出a的值；由a，sin B以及b的值，利用正弦定理求出sin A的值，利用特殊角的三角函数值即可确定出A的值，进而求出C的度数．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18.答案：解：(Ⅰ)由已知得甲、乙、丙三个不同类型小区的 人数之比为3：3：4，现采用分层抽样的方法从中抽取10人进行电话访谈，∴应从甲小区和丙小区的居民中分别抽取3人，4人，(Ⅱ)(i)从抽取的7名中抽取2名的所有可能结果为：{A 1,A 2}，{A 1,A 3}，{A 1,B 1}，{A 1,B 2}，{A 1,B 3}，{A 1,B 4}，{A 2,A 3}，{A 2,B 1}，{A 2,B 2}，{A 2,B 3}，{A 2,B 4}，{A 3,B 1}，{A 3,B 2}，{A 3,B 3}，{A 3,B 4}，{B 1,B 2}，{B 1,B 3}，{B 1,B 4}，{B 2,B 3}，{B 2,B 4}，{B 3,B 4}，共21个．(ii)抽取的2人来自不同的小区的则事件M 包含的基本事件有：{A 1,B 1}，{A 1,B 2}，{A 1,B 3}，{A 1,B 4}， {A 2,B 1}，{A 2,B 2}，{A 2,B 3}，{A 2,B 4}，{A 3,B 1}，{A 3,B 2}，{A 3,B 3}，{A 3,B 4}，共12个基本事件， ∴事件M 发生的概率P(M)=1221=47 解析：(Ⅰ)利用分层抽样的性质能求出应从甲小区和丙小区的居民中分别抽取3人，4人． (Ⅱ)(i)从抽取的7名中抽取2名的所有可能，利用列举法能求出所有可能结果．(ii)抽取的2人来自不同的小区的则事件M 包含的基本事件有12个基本事件，根据概率公式即可求出．本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．19.答案：证明：(1)连结OC ，∵四棱锥E −ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60°，AB =EC =2，AE =BE =√2，O 为AB 的中点．∴OC ⊥AB ，AE ⊥BE ，OE ⊥AB ，OA =OB =OE =1，OC =√BC 2−OB 2=√4−1=√3，∴OE 2+OC 2=EC 2，∴OE ⊥OC ，∵OC ∩AB =O ，∴EO ⊥平面ABCD ．解：(2)以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z轴，建立空间直角坐标系，则D(√3,−2,0)，A(0,−1,0)，E(0,0，1)，C(√3,0，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)， 设平面AEC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,√3)， ∴点D 到平面AEC 的距离d =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3√7=2√217．解析：(1)连结OC ，推导出OC ⊥AB ，AE ⊥BE ，OE ⊥AB ，OE ⊥OC ，由此能证明EO ⊥平面ABCD ．(2)以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面AEC 的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)∵f′(x )=3x 2+2ax +3，∴f′(−3)=0=30−6a ，∴a =5，∴f (x )=x 3+5x 2+3x −9，∴f ′(x )=3x 2+10x +3，∴f′(0)=3,f (0)=−9，∴切线方程为y +9=3(x −0)，即切线方程为3x −y −9=0；(2)∵f (x )在区间[1,2]上单调递减，∴f′(x )=3x 2+2ax +3≤0在[1,2]上恒成立，即a ≤−32(x +1x ),x ∈[1,2]恒成立，令ℎ(x )=−32(x +1x ),x ∈[1,2]，∴ℎ′(x )=−3(x−1)(x+1)2x 2<0在[1,2]恒成立，∴ℎ(x)在[1,2]递减，∴ℎ(x )min =ℎ(2)=−154， ∴a ≤−154． 故实数a 的取值范围为(−∞,−154]解析：本题考查了利用导数判断函数的单调性，最值，以及利用导数的几何意义求函数的切线方程．(1)求出函数的导函数f′(x )=3x 2+2ax +3，根据题设条件，求得a =5，从而求得切线的斜率和切点坐标，得到切线方程；(2)根据题意得到f′(x )=3x 2+2ax +3≤0在[1,2]上恒成立，即a ≤−32(x +1x ),x ∈[1,2]恒成立，即转化为求不等式右边的最小值，构造函数通过求导判断其单调性，得到最小值，即可求得a 的范围．21.答案：(1)解：设动点P 坐标为(x,y)，当x ≠±2时，由条件得：y x−2⋅y x+2=−13，化简得x 24+3y 24=1，故曲线E 的方程为：x 24+3y 24=1(x ≠±2)；(2)证明：CD 斜率不为0，所以可设CD 方程为my =x +1，与椭圆联立得：(m 2+3)y 2−2my −3=0， 设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，所以y 1+y 2=2m m 2+3，y 1y 2=−3m 2+3，(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=(m 2+1)y 1y 2+m(y 1+y 2)+1=(m 2+1)(−3m 2+3)+m ⋅2m m 2+3+1=0，所以AC ⊥AD ．解析：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)设动点P 坐标为(x,y)，当x ≠±2时，由条件得：y x−2⋅y x+2=−13，化简得曲线E 的方程；(2)设CD 方程与椭圆联立，利用数量积为0，证明AC ⊥AD ．22.答案：解：(1)∵直线L 1：x =−2，x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴直线L 1的极坐标方程为：ρcosθ+2=0，∵曲线C ：{x =2cosθy =2+2sinθ(θ为参数)的圆心C(0,2)，半径r =2， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．(2)联立{ρ=4sinθθ=π4，得{ρ=0θ=π4或{ρ=2√2θ=π4 ∴|MN|=2√2，∵曲线C 是半径为r =2的圆，∴CM ⊥CN ，∴S △CMN =12r 2=2，解方程组{ρcosθ+2=0θ=π4得两直线交点的极坐标为(−2√2,π4)．解析：(1)由直线L 1：x =−2，x =ρcosθ，y =ρsinθ，能求出直线L 1的极坐标方程，由曲线C ：{x =2cosθy =2+2sinθ(θ为参数)的圆心C(0,2)，半径r =2，能求出曲线C 的极坐标方程． (2)联立{ρ=4sinθθ=π4，得|MN|=2√2，由曲线C 是半径为r =2的圆，得CM ⊥CN ，由此能求出△CMN 的面积及l 1与l 2交点的极坐标．本题考查直线、曲线的极坐标方程的求法，考查点的极坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．23.答案：解：设这种车开x 年报废比较合算，当x ≥6时，总费用为：y =95000+4000x +5000x +500[1+2+3+⋯+(x −5)]=95000+4000x +5000x +250(x −4)(x −5)=2500x 2+6750x +100000，平均费用：y x =250x +10000x +6750≥2√250x ⋅100000x +6750=16750，当250x =100000x ，即x =20时，取最小值．当x ≤5时，平均费用：y x ≥950005+9000>16750．∴这种车开20年，平均使用费用最底，故这种车开20年报废比较合算．解析：本题考查函数在生产生活中的应用，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．设这种车开x年报废比较合算，当x≥6时，总费用为y=2500x2+6750x+100000，平均费用：y x =250x+10000x+6750≥2√250x⋅100000x+6750=16750，当250x=100000x，即x=20时，取最小值．当x≤5时，平均费用：yx ≥950005+9000>16750，由此得到这种车开20年报废比较合算．。
