广西南宁市第二中学2019-2020学年高三3月模拟数学(理)试题

南宁二中2024年11月高三月考数学（时间120分钟，共150分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知复数是的共轭复数，则（ ）A.2B.3C.D.3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）A.D.34.已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）A. B.C.D.5.天上有三颗星星，地上有四个孩子.每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）A.B. C. D.6.已知，则（ ）A. B. C.1 D.37.已知函数的零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）U =R {}{03},1A xx B x x =≤<=>∣∣()U A B ⋃=ð{3}x x <∣{01}x x ≤<∣{}01xx ≤≤∣{}0xx ≥∣1i,z z =-z i z z -=()22210y x b b-=>y =b =13,,a b c a b c >>0a b c ++=22ab cb >222a cc a+≥a b >0ab bc +>19294923π2tan 43θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin cos2sin cos θθθθ=-1310-1013-()(02)f x kx x =<≤31,2⎛⎫⎪⎝⎭kA. B. C. D.8.已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）A.B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（ ）年龄454036322928人数121321A.中位数是34B.众数是32C.第25百分位数是29D.平均数为34.310.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点：则下列结论正确的是（）A.若，平面平面B.若，直线与平面C.若直线和异面，点不可能为底面的中心D.若平面平面，且点为底面的中心，则11.设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A.函数的图象关于点对称B.⎛ ⎝(⎫⎪⎪⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2sin 0f x x ωω=>ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2y =ω[)2,5[)1,5[]1,231,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦E ABCD -ABCD CDE V M DE N ABCD BC DE ⊥CDE ⊥ABCDBC DE ⊥EA ABCD BM EN N ABCD CDE ⊥ABCD N ABCD BM EN≠R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()42f x g x --=()()2g x f x '=-'()2f x +()f x ()2,0()()354g g +=-C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正三角形的边长为为中点，为边上任意一点，则__________.13.已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为__________.14.拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设代表旧城区，新的城市发展中心分别为正，正，正的中心.现已知，则的面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等差数列中，.（1）令，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.16.（本小题满分15分）米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平.每支队伍都有自己的一个或几个明星队员，现有一支米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表.如果依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员.队伍是否取得第一名的情况张三是否上场取得第一名未取得第一名上场104020241()2024k g k ==-∑20241()0k f k ==∑ABC 2,O BC P BC AP AO ⋅=,3,,P ABC AC PB AB BC AB BC -==⊥=P AB C --60 P ABC -ABC V 123,,O O O ACD V ABE V BCF V 1232,30,AB ACB O O O ∠==V ABC V {}n a 5108,23a a ==732n a nb +={}n b {}n nb n n S 4100⨯4100⨯0.1α=未上场6合计24（1）完成列联表，并判断张三是否是这支队伍的明星队员.（2）米接力短跑分为一棒､二棒､三棒､四棒4个选手位置.张三可以作为一棒､二棒或四棒选手参加比赛.当他上场参加比赛时，他作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.当张三上场参加比赛时，队伍取得第一名的概率为0.7.（i ）求的值；（ii ）当张三上场参加比赛时，在队伍取得某场比赛第一名的条件下，求张三作为四棒选手参加比赛的概率.附：.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82817.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形､平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）（1）若，求证：点四点共面；（2）若，是否存在点，使得与平面，若不存在，请说明理由.18.（本小题满分17分）已知椭圆，四点22⨯4100⨯0.5,,x y 0.7,0.8,0.3,x y ()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++αx αP ABCD -PBC V ABCD PBC ⊥,,ABCD O E ,BC PA F PB 23PF PB =,,,O D E F 22BC AB ==F EF PCD PFBF()2222:10x y E a b a b+=>>，其中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设是的左､右顶点，直线交于两点，直线的斜率分别为.若，证明：直线过定点.19.悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为.（1）证明：曲线是轴对称图形，（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：；（3）已知函数，其中.若对任意的恒成立，求的最大值.()()31241,1,0,1,,P P P P ⎛⎛- ⎝⎝E E A B ､E l E C D ､AC BD ､12k k ､127k k =l ()e e 2x x D x -+=()e e 2x xR x --=()()()()2222R x y D x R x Dx ⎡⎤=--⎣⎦y t =()y D x =()y R x =123,,x x x (123ln 1x x x ++>()()()2f x D x aR x b =--,a b ∈R ()4f x ≤))ln1,ln1x ⎡⎤∈⎣⎦a b +南宁二中2024年11月高三月考数学参考答案1.【答案】A 【详解】因为，所以，所以.故选：A.2.【答案】D 【详解】故选：D.3.【答案】C 【详解】因为双曲线为，所以它的渐近线方程为，因为有一条渐近线方程为，所以.故选：C.4.【答案】C 【详解】由题，，取，则，故A 错误；，故错误；，故D 错误；因为，所以，即，故C 正确.故选：C.5.【答案】C 【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式.由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，有种情况，所以所求概率为故选：C.6.【答案】B 【详解】由，解得，故.故选：B.{},1U B xx ==>R ∣{}U 1B x x =≤∣ð(){}U {03}1{3}A B x x x x x x ⋃=≤<⋃≤=<∣∣∣ð()i 1i i 1i 22i z z -=--+=-==()22210y x b b-=>y bx =±y =b =0,0a c ><1,0,1a b c ===-22ab cb =2522a c c a +=-B 0ab bc +=()()()220a b a b a b c a b -=+-=-->22a b >a b >4381=212432C C A 36=364819P ==πtan 12tan 41tan 3θθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭tan 5θ=-()()()()22sin cos sin sin sin cos cos sin sin cos2sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ-+-===-+---()2222sin cos sin tan tan 10cos sin tan 113θθθθθθθθ-+--===-++7.【答案】C 【详解】由，令，，要使的零点在区间内，即在内，与有交点，画出与图像，如图：当时，，此时；当时，，此时故.8.【答案】D 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，又，得，令，得，所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，所以，解得，综上所述，，故选：D9.【答案】BCD 【详解】对于A ､B ，把10个人的年龄由小到大排列为，这组数据的中位数为32，众数为32，故A 错误，B 正确；对于C ，由，得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29，故正确；对于，这组数据的平均数，故D 正确.故选：BCD.10.【答案】AC 【详解】因为，所以平面，平面，所以平面平面，A 项正确；设的中点为，连接，则.平面平面，平面平面平面.()0f x kx kx ==⇒=()[]0,2g x y x ==∈()[],0,2h x kx x =∈(),(02)f x kx x =-<≤31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()g x ()h x ()g x ()h x 1x =()11g =1k =32x =32g ⎛⎫== ⎪⎝⎭k ==k ⎫∈⎪⎪⎭()()2sin 0f x x ωω=>ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π4π323T T ≤⇒≥2π0T ωω⎧=⎪⎨⎪>⎩302ω<≤()2sin 2f x x ω==()π2π2k x k ωω=+∈Z ()f x ()0,∞+2y =π2ωπ2π2ωω+πππ2π222ωωω≤<+15ω≤<312ω≤≤28,29,29,32,32,32,36,40,40,4525%10 2.5⨯=C D 28229332362404534.310x +⨯+⨯++⨯+==,,BC CD BC DE CD DE D ⊥⊥⋂=BC ⊥CDE BC ⊂ ABCD ABCD ⊥CDE CD F EF AF ､EF CD ⊥ ABCD ⊥CDE ABCD ⋂,CDE CD EF =⊂CDE平面，设平面所成的角为，则，，故B 项错误；连接，易知平面，由确定的面即为平面，当直线和异面时，若点为底面的中心，则，又平面，则与共面，矛盾，C 项正确；连接平面平面，分别为的中点，则，又，则，D 项错误.故选：AC.11.【答案】ABD 【详解】对于A ，由为奇函数，得，即，因此函数的图象关于点对称，A 正确；由，得，则，又，于是，令，得，即，则，因此函数是周期函数，周期为4，对于B ，由，得，B 正确；对于C ，显然函数是周期为4的周期函数，，，则C 错误；对于D ，，则，D 正确.故选：EF ∴⊥ABCD EA ABCD θEAF θ∠=AF EF AE ======sin EF EA θ==BD BM ⊂BDE B M E ､､BDE BM EN N ABCD N BD ∈E ∈BDE EN BM ,FN FN ⊂ ,ABCD EF ⊥,ABCD EF FN ∴⊥F N ､CD BD ､112FN BC ==EF =2,EN BM ====BM EN ≠()2f x +()()22f x f x -+=-+()()220f x f x -++=()f x ()2,0()()2g x f x '=-'()()2g x f x a =-+()()42g x f x a -=-+()()42f x g x --=()()22f x f x a =-++1x =2a =-()()2f x f x =-()()()()()2,42f x f x f x f x f x +=-+=-+=()f x ()()22g x f x =--()()()()3512324g g f f +=-+-=-()g x ()()()()13354g g g g +=+=-()()()()2402224g g f f +=-+-=-2024411()506()506(8)4048,k k g k g k ====⨯-=-∑∑()()()()130,240f f f f +=+=2024411()506()0k k f k f k ====∑∑ABD12.【答案】3 【详解】因为三角形是正三角形，为中点，所以，所以，又正三角形的边长为2，所以，所以.13.【答案】【详解】要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，故，此时，又都在面上，故面，且设外接圆半径为，则由余弦定理，所以，即，故其表面积为故答案为：14.【详解】连接，因为分别为正，正的中心，所以，又，所以，又因为，所以，由勾股定理得，即，由余弦定理，即，解得，ABCO BC AO BC ⊥AO OP ⊥ABC AO ==()223AP AO AO OP AO AO OP AO ⋅=+⋅=+⋅==40π3P ABC d max sin60d PB =⋅ PB AB ⊥,,,AB BC PB BC B PB BC ⊥⋂=PBC AB ⊥PBC 60PBC ∠=PBC V r 2222212cos603223272PC PB BC PB BC =+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅= PC=2sin60PC r ==r =22211023R r AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2404ππ3R =40π313,CO CO 12,O O ACD V ABE V 1331,,30,30CO AC CO BC O CB O CA ∠∠==== 30ACB ∠= 1390O CO ∠= 123213O O O S O ==V 132O O =2221313CO CO O O +=22224,12AC BC AC BC ⎫⎫+=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭2222cos30AB AC BC AC BC =+-⋅ 412BC =-⋅AC BC ⋅=所以..15.【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，因为，所以，联立解得：，所以.所以，所以.所以数列是等比数列，首项为2，公比为2.（2）所以数列的前项和.两式相减得.16.【答案】解：（1）根据题意，可得的列联表：队伍是否取得第一名的情况张三是否上场取得第一名未取得第一名合计1sin302ABC S AC BC =⋅=V {}n a d 5108,23a a ==1148,923a d a d +=+=14,3a d =-=()43137n a n n =-+-=-73220n a n nb +==≠11222n n n n b b ++=={}n b 2nn nb n =⋅{}n nb n 23222322nn S n =+⨯+⨯+⋯⋯+⋅()2322222122n n n S n n +=+⨯+⋯⋯+-⋅+⋅212222nn n S n +-=++⋯⋯+-⋅()12212.21n n n +-=-⋅-()1122n n S n +=-⋅+22⨯上场301040未上场61420合计362460零假设：队伍是否取得第一名与张三是否上场无关；，依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关；故张三是这支队伍的明星队员.（2）由张三上场时，作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.设事件：张三作为一棒参赛，事件：张三作为二棒参赛，事件C ：张三作为四棒参赛，事件D ：张三上场且队伍获得第一名；则；（i ）由全概率公式：，即；与联立解得：.（ii ）由条件概率公式：.17【详解】（1）证明：【法1】延长，于延长线交于点，因底面是矩形，且是的中点，故，则是中点，.连，连交于点，0H ()()()()2220.1()60(3014106)4511.25 2.706362440204n ad bc x a b c d a c b d χ-⨯-⨯====>=++++⨯⨯⨯0.1α=0.5,,x y 0.7,0.8,0.3A B ()()()()()()0.5,,,0.7,0.8,0.3P A P B x P C y P DA P DB P DC ======∣∣∣()()()()()()()0.50.70.80.30.7PD P A P D A P B P D B P C P D C x y =++=⨯++=∣∣∣83 3.5x y +=0.510.5x y x y ++=⇒+=0.4,0.1x y ==()()()P DC P C D P D =∣()()()0.10.330.770P C P D C P D ⨯===∣DO AB T ABCD O BC 12OB AD ∥B AT EB ET PB F '因是中点，故，由得，，又因，故点即点，所以四点共面.【法2】因底面是矩形，故，过作直线与平行，则与也平行，故直线与共面，直线也与共面，延长与交于点，连接与直线交于点.则，因是中点，由得，于是，因是的中点，则且，由得，又因，故点即点，所以四点共面.【法3】，系数和为1，根据平面向量共线定理可知四点共面E PA 12EB PT ∥EBF TPF ''V V ∽2PF F B '='23PF PB = F 'F ,,,O D E F ABCD AD ∥BC P l AD l BC l AD l BC DE l G OG PB F ',PGE ADE PGF BOF ''V V V V ≌∽E PA PGE ADE V V ≌PG AD ∥PG BC ∥O BC PG ∥OB 2PG OB =PGF BOF ''V V ∽2PF BF '='23PF PB = F 'F ,,,O D E F ()()222121221333333333PF PB PO OB PO DA PO PA PD PO PE PD ==+=+=+-=+- ,,,O D E F（2）因为是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.取中点，连接，易知两两相互垂直，如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即，令，则，所以..设，则设与平面所成角为，则，解得此时或，此时18.（1）由椭圆对称性，必过，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点，,PB PC O =BC PO BC ⊥PBC ⊥ABCD PBC ⋂ABCD BC =PO ⊂PBC PO ⊥ABCD AD Q OQ ,,OQ OC OP ,,OQ OC OP ,,x y z ()()()()(1,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,A B C D P --()()(0,2,0,1,0,0,0,AD CD CP ===- PCD (),,a x y z = 0,0,a CD a CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩1z =y =()a = (01)PF k k PB=<<((11110,1,1,1,,2222EF PF PE k PB PA k k ⎛⎫=-=-=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭ EF PCD θsin cos ,EF a EF a EF a θ⋅====⋅ 13k =12PF BF =23k =2PF BF=34,P P 4P 1P 234,,P P P代入椭圆方程得，解得椭圆的方程为：（2）说明：其他等价形式对应给分.依题意，点（i ）若直线的斜率为0，则必有，不合题意（ii ）设直线方程为与椭圆联立，整理得：，因为点是椭圆上一点，即，设直线的斜率为，所以，所以，即，因为，所以，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩224,1a b ==⋯E 221;4x y +=()()2,0,2,0,A B -l 12k k =-l ()2,x ty n n =+≠±E 2244x y x ty n⎧+=⎨=+⎩()2224240t y nty n +++-=()()122222221222,4Δ44440,4.4tn y y t t n t n n y y t ⎧+=-⎪⎪+=-+->⎨-⎪=⎪+⎩()11,C x y 221114x y +=BC 3k 2121111322111111422444x y y y k k x x x x -⋅=⋅===+---123174k k k =-=23281k k ⋅=-()()()()()()1212122322121212122828282822222(2)y y y y y y k k x x ty n ty n t y y t n y y n ⋅===--+-+-+-++-()()()()()()()2222222222228428244222422(2)44n n t t n t n t n n t t n n n t t -++==-+-+-+--+-++()()2827141422n n n n ++===---32n =-故直线恒过定点；19.【详解】（1），令，则所以为偶函数，故曲线是轴对称图形，且关于轴对称（2）令，得，当时，在单调递减，在单调递增，所以，且当时，，当时，又恒成立，所以在上单调递增，且当时，，当时，且对任意，所以的大致图象如图所示，不妨设，由为偶函数可得，与图象有三个交点，显然，令整理得，解得或所以，即，又因为，所以.l3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()()22222e e 1e e x x x xR x y D x R x D x --⎛⎫-⎡⎤=--=- ⎪⎣⎦+⎝⎭()2e e 1e e x x x x g x --⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭()()22e e e e 1l ,e e e e x x x x x x x x g x g x ----⎛⎫⎛⎫---=-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()g x ()()()()2222R x y D x R x D x ⎡⎤=--⎣⎦y ()e e 02x xD x --=='0x =0x >()()()0;0,0,D x x D x D x <'><'(),0∞-()0,∞+()()01D x D ≥=x ∞→-()D x ∞→+x ∞→+()D x ∞→+()e e 02x xR x -+=>'()R x R x ∞→-()R x ∞→-x ∞→+(),R x ∞→+⋅()(),x D x R x ∈>R 123x x x <<()D x 120x x +=y t =1t >()e e 1,2x x R x t --==>2e 2e 10x x -->e 1x >e 1x <(ln 1x >(3ln 1x >120x x +=(123ln 1x x x ++>+（3）设，则，所以因为单调递增，所以时，，即由即，该不等式组成立的一个必要条件为：和时同时满足，即，所以，当时等号成立；下面分析充分性：若时，显然对恒成立，从而，满足题意综上所述：的最大值为()e e 2x x R x m --==()222e e 2212x xD x m -+==+()()()2221,f x D x aR x b m am b =--=+--()e e 2x xR x --=))ln 1,ln 1x ⎡⎤∈-+⎣⎦()[]1,1R x ∈-[]1,1,m ∈-()244214f x m am b ≤⇔-≤+--≤22250230m am b m am b ⎧--+≥⎨---≤⎩1m =-1m =7117a b b a -≤--≤⎧⎨-≤-≤⎩7a b +≤4,3a b ==4,3a b ==2222222502435021023024330230m am b m m m m m am b m m m m ⎧⎧⎧--+≥--+≥-+≥⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨---≤---≤--≤⎪⎩⎪⎩⎩[]1,1m ∀∈-()4f x ≤a b +7.。

2019届广西南宁市第二中学高三最后一模数学（理）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，则复数4334iz i+=-的共轭复数的虚部是（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】C【解析】由复数除法求出复数z ，再写出共轭复数，得其虚部． 【详解】由题意243(43)(34)121691234(34)(34)25i i i i i i z i i i i ++++++====--+，z i =-，虚部为1-． 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念及复数的概念．解题关键是掌握复数除法法则．2．设集合{}2|log 1M x x =<，{}2|20N x x x =+->，则R M N =U ð（ ）A ．(2,2)-B ．[2,2)-C ．(0,1]D ．(0,1)【答案】B【解析】求出集合,M N ，再由集合的运算计算． 【详解】由题意2log 102x x <⇒<<，220(1)(2)021x x x x x +->⇒-+>⇒-<<， ∴(0,2)M =，(,2)(1,)N =-∞-+∞U ，2{|20}[2,1]R N x x x =+-≤=-ð，∴()[2,2)R M N =-U ð． 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，考查解对数不等式及一元二次不等式，掌握对数函数的性质是解题关键．3．已知向量||4a =r ，||8=r b ，a r 与b r 的夹角为60︒，则|2|a b +=r r （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算．【详解】|2|a b+====r r故选：D.【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握数量积的性质，把模转化为数量积的运算．4．设随机变量ξ服从(6,)B p，当方差Dξ最大时，(3)Pξ=的值是（）A．38B．316C．58D．516【答案】D【解析】由二项分布求出方差，求出方差取最大值时的p，再计算．【详解】由题意22136(1)6()6()22p pD p p pξ=-=-+=--+，∴12p=时，Dξ最大，此时36615(3)216P Cξ⎛⎫===⎪⎝⎭．故选：D.【点睛】本题考查二项分布的方差和概率．掌握二项分布的概率公式是解题基础．5．已知132a-=，21log3b=，121log3c=，则（）．A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>【答案】C【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log0,log1,33a b c-=∈==所以.b a c<<选C．【考点】比较大小6．在()*(2)nx n N-∈的展开式中，第3项与第4项的二项式系数相等，则2x的系数等于（）A．672 B．672-C．80 D．80-【答案】D【解析】根据二项式系数的性质得出n ，再由二项式展开式通项公式得出2x 的项数，即得系数． 【详解】由二项展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，得5n =，所以515(2)r r rr T C x -+=-，令52r -=，3r =， ∴所求系数为335(2)80C -=-．故选：C. 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质与二项展开式通项公式，掌握二项式系数的性质是解题关键． 7．函数1ln sin 1ln xy x x-=⋅+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】设1ln ()sin 1ln xf x x x -=⋅+，由1ln 0x +≠得1x e≠±，则函数的定义域为1111(,)(,)(,)e e e e-∞-⋃-⋃+∞．∵1ln 1ln ()sin()sin ()1ln 1ln x x f x x x f x xx----=⋅-=-⋅=-+-+，∴函数()f x 为奇函数，排除D ． 又11e>，且(1)sin1>0f =，故可排除B ． 211e e<，且2222211ln11(2)11()sin sin 3sin 01121ln e f x e e e e---=⋅=⋅=-⋅<-+，故可排除C ．选A ．8．若1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】C【解析】先用二倍角公式求得23πα+的余弦，再由诱导公式得出结论．【详解】由题意22217cos(2)2cos ()12()13639ππαα+=+-=⨯-=-， ∴7sin(2)sin(2)cos(2)63239ππππααα5+=++=+=-．故选：C. 【点睛】本题考查余弦的二倍角公式和诱导公式，解题时观察已知角和未知角之间的关系选用恰当的公式是解题关键．9．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率是（ ）A ．3B ．3C D ．2【答案】A【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=3，选A. 【考点】双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键．10．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的外接球的表面积为64π，则h =（ ）A ．32B 3C ．33D ．53【答案】B【解析】由三视图确定原几何体是四棱锥，其中一条最长的侧棱就是其外接球直径，从而可得结论． 【详解】由三视图知，该几何体是一个四棱锥，最长的侧棱就是外接球的直径． 设球半径为r ，则2464r ππ=，4r =， ∴222256(24)h ++=⨯，3h =故选：B. 【点睛】本题考查三视图，考查球的表面积．解题关键是由三视图还原出原几何体．11．一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ） A ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,66⎛⎫⎪⎝⎭C ．12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,63⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】考虑在正方体的截面中最大两个互相平行的三角形截面，若液面与此面平行时，必在这两个面之间，由此可得结论． 【详解】解：如图，正方体ABCD EFHG -，若要使液面形状不可能为三角形，则当平面EHD 平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC .若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形.设液体的体积为V ，则G EHD B AFC V V V V --<<-正方体，而211111326G EHD V -=⨯⨯⨯=，315166B AFC V V --=-=正方体，所以液体的体积的取值范围为15,66⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查正方体的截面的性质，掌握正方体的截面形状是解题关键．本题考查空间想象能力．12．已知函数22log ,0,()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，且满足：1234x x x x <<<，则221323432x x x x x x +-的取值范围是（ ）A ．17257,416⎛⎤⎥⎝⎦B ．(2,)+∞C ．2572,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,)+∞【答案】A【解析】作出函数()f x 的图象，及直线y m =，得交点横坐标即为所求零点，由二次函数对称性及对数函数性质得122x x +=-，341x x =，同时求出3x 的范围，221323432x x x x x x +-转化为3x 的函数，再由函数单调性得结论． 【详解】解：22log ,0,()22,0,x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩,由二次函数的对称性可得122x x +=-，由3242log log x x =-可得341x x =.函数()()F x f x b =-有四个不同的零点，等价于()y f x =的图象与y b =的图象有四个不同的交点，画出()y f x =的图象与y b =的图象如图所示，由图可知12b <„，所以233111log 2,42x x ⎡⎫<-⇒∈⎪⎢⎣⎭„，所以()2221234433233312x x x x x x x x x x +-=+=+，令23t x =，易知1y t t =+在11,164t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单调递减，所以117257,416t t ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点分布，考查函数的对称性与对数函数的性质，考查转化与化归思想．解题方法是把函数零点转化为直线与函数图象交点问题，由数形结合思想求解．二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则11y z x -=+的最大值为________.【答案】1【解析】作出可行域，利用目标函数的几何意义求解． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），目标函数11y z x -=+表示可行域内点(,)P x y 与定点(1,1)Q -连线的斜率，由图可知，PQ k 的最大值就是1BC k =． 故答案为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划的非线性目标函数的最值，解题关键是非线性目标函数的几何意义．常用的几何意义有直线斜率，两点间的距离等等． 14．已知α为第二象限角，sinα＋cosα3cos2α＝________． 【答案】5【解析】∵sinα＋cosα3∴(sinα＋cosα)2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23. ∵α为第二象限角且sinα＋cosα3， ∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k ∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α212sin α－5315．已知点,P Q 分别是圆22:(2)(1)1C x y ++-=及直线:340l x y -=上的动点，O是坐标原点，则||OP OQ +u u u r u u u r的最小值为________.【答案】1【解析】设(2cos ,1sin )P θθ-++，(4,3)Q a a ，然后计算||OP OQ +u u u r u u u r，再由函数知识求得最小值． 【详解】∵点,P Q 分别是圆22:(2)(1)1C x y ++-=及直线:340l x y -=上的动点， ∴设(2cos ,1sin )P θθ-++，(4,3)Q a a ，OP OQ +u u u r u u u r(2cos 4,1sin 3)a a θθ=-++++，2||OP OQ +u u u r u u u r 22(2cos 4)(1sin 3)a a θθ=-+++++2251062(42)cos 2(31)sin a a a a θθ=-++-++225106)a a θϕ=-+++，其中sin ϕ=，cos ϕ=，令t ==2t ≥，2||OP OQ +u u u r u u u r 2222sin()1[sin()]1sin ()t t t θϕθϕθϕ=+++=+++-+，∵R θ∈，∴无论a 取何值，都有sin()[1,1]θϕ+∈-，∴2t =，sin()1θϕ+=-时，2||OP OQ +u u u r u u u r 取得最小值541-=，即||OP OQ +u u u r u u u r 最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查求向量模的最小值．解题时由点在圆和直线上，分别设出点的坐标，用坐标表示向量的模，把向量模转化为函数，利用函数知识求最值．这是数学问题中求最值的常用方法．16．下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）①命题“若0a b +=，则5a =且5b =-”的否定是“若0a b +≠，则5a ≠且5b ≠-” ②已知函数(1)f x -的图象关于直线2x =对称，函数()f x 为奇函数，则4是()f x 一个周期.③平面αβ⊥，l αβ=I ，过α内一点A 作l 的垂线m ，则m β⊥.④在ABC V 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(2cos )tansin 2BA A -=，则,,a b c 成等差数列.【答案】②④【解析】利用命题的否定，函数的奇偶性与周期性，面面垂直的性质，解三角形的知识分别判断各个命题的真假． 【详解】①命题“若0a b +=，则5a =且5b =-”的否定是““若0a b +=，则5a ≠或5b ≠-”， ①错；②函数(1)f x -的图象关于直线2x =对称，则()f x 的图象关于直线1x =对称，又()f x 为奇函数，所以(2)(1(1))(1(1))()()f x f x f x f x f x +=++=-+=-=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期为4的周期函数，②正确；③平面αβ⊥，l αβ=I ，过α内一点A 作l 的垂线m ，面面垂直性质定理中要求在一个面内作交线的垂直，而题中没有l α⊂，则得不出线面垂直，③错； ④在ABC V 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(2cos )tansin 2BA A -=，则sin2(2cos )sin cos 2B A A B -⋅=，22sin cos22(2cos )sin 2cos 2B BA AB -⋅=，即sin (2cos )sin 1cos BA A B-⋅=+，∴2sin sin cos cos sin sin sin()sin sin sin B B A B A A A B A C A =++=++=+， 由正弦定理得2b a c =+，则,,a b c 成等差数列.，④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需对各个选项分别判断，从而需要掌握各种涉及到的知识点，要求较高，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()*312n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3()log f x x =，()()()12n n b f a f a f a =+++L ，12111n nT b b b =+++L ，求证：2n T <.【答案】（1）3nn a =（2）证明见解析【解析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得数列递推关系，再求出1a 可确定数列{}n a 是等比数列，从而易得通项公式；（2）由（1）及等差数列前n 项和公式求得n b ，用裂项相消法求得n T 后可证得不等式成立． 【详解】解：（1）当1n =时，由()11312S a =-得13a = 当2n ≥时，()()113333112222n n n n n a a a a a --=---=- 13n n a a -∴=，∴数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，从而3nn a =（2）3()log f x x =Q ，()3log 3nn f a n ==()()()12(1)122n n n n b f a f a f a n +∴=+++=+++=L L 12112(1)1n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭12111111111212112231n n T n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋯+=-+-++-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 2n T ∴<得证【点睛】本题考查由n S 求通项公式n a ，考查等比数列的通项公式，考查等差数列前n 项和公式和裂项相消法求和．数列求和中需掌握一些常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等． 18．某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115（Ⅰ）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （Ⅱ）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？ （参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【答案】（Ⅰ）建议该投资公司选择项目一投资；（Ⅱ）大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番.【解析】（Ⅰ）根据两个项目获利的数学期望的大小可选择合理的项目. （Ⅱ）假设n 年后总资产可以翻一番，则有2001000(1)20001000n+=，利用对数的运算及给出的数据可求大约4年后翻一番. 【详解】（1）若按“项目一”投资，设获利1ξ万元，则1ξ的分布列为：172300(150)20099E ξ∴=⨯+-⨯=（万元），若按“项目二”投资，设获利2ξ万元，则2ξ的分布列为：2311500(300)02005315E ξ∴=⨯+-⨯+⨯=（万元），又22172(300200)(150200)3500099D ξ=-⨯+--⨯=， 2222311(500200)(300200)(0200)1400005315D ξ=-⨯+--⨯+-⨯=，所以12E E ξξ=，12D D ξξ<，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．（2）假设n 年后总资产可以翻一番，依题意：2001000(1)20001000n+=，即1.22n =，10分两边取对数得：lg 20.30103.80532lg 2lg3120.30100.47711n ==≈+-⨯+-．所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番． 【点睛】本题考查离散型随机变量的均值及其应用，考查了指数方程的解法，此类问题属于基础题.19．如图所示，已知长方体ABCD 中，222AB AD ==，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得AD BM ⊥.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）是否存在满足(01)BE tBD t =<<u u u r u u u r的点E ，使得二面角E AM D --为大小为4π？若存在，求出相应的实数t ；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）23t =. 【解析】（1）依据题设运用面面垂直的判定定理分析推证；（2）借助题设构建空间向量，运用向量的数量积公式分析探求. 【详解】（1）证明：∵长方形ABCD 中，222AB AD ==M 为DC 的中点， ∴2AM BM ==，222AM BM AB +=，∴BM AM ⊥， ∵AD BM ⊥，AD AM A =I ，所以BM ⊥平面ADM ， 又BM ⊂平面ABCM ，所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）解：以点M 为坐标原点，MA u u u r方向为x 轴正方向建立如图空间直角坐标系M xyz -，则()()()()2,0,0,0,2,0,1,0,1,2,0,0A B D MA =u u u r ，()()0,2,0,1,2,1MB BD ==-u u u r u u u r， (),22,ME MB BE t t t =+=-u u u r u u u r u u u r，设平面AME 的一个法向量为(),,m x y z =v，故·0·0MA m ME m ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v 即()20220x tx t y tz =⎧⎨+-+=⎩，取y t =，得0,,22x y t z t ===-，所以()0,,22m t t =-， 由（1）知平面AMD 的一个法向量()0,1,0n =v，所以()22·2cos ,·41m n m n m n t t 〈〉===+-u r ru r r u r r 23t =或2t =（舍去）， 故存在23t =为所求. 【点睛】立体几何是高中数学中重要的知识和内容之一，也是高考重点考查的重要考点与知识点．解答本题的第一问时，充分借助线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理进行分析推证，使得问题获证；解答第二问时，则通过建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式运用向量的数量积公式进行分析探求，从而使得问题获解．20．已知,Q R 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且12PQ RH k k ⋅=. （1）若椭圆C 经过圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于不同的,A B 两点，设P为椭圆C 上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r （O 为坐标原点），当||3AB <数t 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）2t -<<2t <<【解析】（1）设(,)P x y ，由P 在椭圆上求出2222212PQ RH y b k k a x a ⋅===-，再由椭圆过点(0,1)得21b =，从而可得2a ，得椭圆方程；（2）由题意可知直线AB 的斜率存在，设:(2)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，直线方程与椭圆方程联立，并消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，同时注意>0∆，由弦长公式表示出AB 后可得k 的取值范围，由向量线性运算求出P 点坐标，交代入椭圆方程得出,t k 的关系，从而得t 的范围． 【详解】（1）设(,)P x y ，因为(,0),(,0)Q a R a -，则点P 关于x 轴的对称点(,)H x y -.PQy k x a =+，RH y k a x =-，又由椭圆的方程得()222222221x b y b a x a a⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以2222212PQ RHy b k k a x a ⋅===-， 又椭圆C 过圆22(1)4x y +-=的圆心(0,1)，所以22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题意可知直线AB 的斜率存在，设:(2)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128820k x k x k +-+-=由()()42264421820k k k ∆=-+->，得：21(*)2k <2122812k x x k ∴+=+，21228212k x x k -=+.||3AB <Q，123x -=<()()4222226482201412912k k k k k ⎡⎤-⎢⎥∴+-⨯<⎢⎥++⎣⎦，214k ∴>，结合（）得：21142k <<. OA OB tOP +=u u u v u u u v u u u vQ ，()()121200,,x x y y t x y ∴++=.从而()21202812x x k x t t k +==+，()()12012214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+.∵点P 在椭圆上，()()2222284221212k k t k t k ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥∴+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 整理得：()2221612k tk =+即228812t k=-+，2843t ∴<<， 2t ∴-<<2t <<.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交一般采取设而不求思想，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，并把这个结论代入题中其他条件中求解． 21．设函数()sin cos ()x f x xe a x x a R =-∈，其中e 是自然对数的底数. （1）若1a ≤，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，证明()0f x ≥； （2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围：若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在实数a ，详见解析【解析】（1）分类讨论，0a ≤时直接证明，01a <≤时，利用导数研究函数的单调性，最小值可证得不等式成立；（2）1a ≤时，由（1）可知无零点，1a >时，仍然利用导数研究函数的单调性，函数极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】（1）证明：①若0a ≤，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0x xe ≥，sin cos 0x x ≥，所以()0f x ≥； ②若01a <≤，因为()(1)cos2x f x x e a x '=+-，设()(1)cos2xg x x e a x =+-，()(2)2sin 2xg x x e a x '=++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '>，所以()f x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()(0)10f x f a ''≥=-≥， 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()(0)0f x f ≥=， 综上所述，若1a ≤，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()0f x ≥. （2）不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点. 理由如下：（1）若1a ≤，由（1）知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且(0)0f =，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上无零点； （2）若1a >，由（1）知，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(2)2sin 20xg x x e a x '=++> 所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.因为(0)10g a =-<，21022g e a πππ⎛⎫⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ， 即方程()0f x '=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一解0x ， 且当()00,x x ∈时，()0f x '<，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>， 所以函数()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当()00,x x ∈时，()(0)0f x f <=，所以()f x 在()00,x 无零点；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0(0)0f x f <=，2022f e πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点， 故当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点， 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点. 【点睛】本题考查用导数证明不等式，用导数研究函数的零点，解题关键是用导数研究函数的性质求出函数的最值，从而证得不等式成立，对零点个数问题仍然是利用导数研究函数的单调性，然后结合零点存在定理确定零点个数．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (2sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，直线l 的直角坐标方程为y =． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线2C 的极坐标方程为8cos 0ρθ+=，与直线l 在第三象限交于A 点，直线l 与1C 在第一象限的交点为B ，求AB ．【答案】（1）2221sin cos 4θθρ=+；（24+.【解析】（1）先将1C 化为普通方程，再由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即可得到极坐标方程.（2）根据题意求得A 、B 两点的坐标，得到极径,A B ρρ，再由A B AB ρρ=-可得结果. 【详解】（1）由题意知1C 的直角坐标方程为2214y x +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得1C 的极坐标方程为2222sin cos 14ρθρθ+=，化简整理得222sin 1cos 4θθρ+=.（2）由题意得直线l 的极坐标方程为3πθ=，所以38cos 0πθρθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩可得(4,)3A π-．同理2223sin 1cos 4πθθθρ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得()73B π，47A BAB ρρ=-=+. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、普通方程与极坐标方程的互化，极坐标方法求两点间的距离，需熟记公式，考查学生化简计算的能力，属基础题． 23．已知函数()|||22|(0)f x x m x m x =+--> （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()|3||4|f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）113xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； （2）70,2⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集．（2）不等式()()3443f x t t f x t t +-<+⇔≤+-- ，根据已知条件，结合绝对值不等式的几何意义，转化求解()()max max f x g t ≤即可． 【详解】因为0m >，所以()3,223,3,x m x mf x x m x m x m m x m x m x m -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+≥⎩．（1）当12m =时，()31,221113,,22231,22x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩所以由()12f x ≥，可得31,2212x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩或113,221122x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩ 或312212x x ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩ ，解得1132x ≤<或112x ≤≤， 故原不等式的解集为113xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）因为()()3443f x t t f x t t +-<+⇔≤+--， 令()43g t t t =+--，则由题设可得()()max max f x g t ≤ ，由()3,3,3,x m x mf x x m m x m x m x m -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-+≥⎩，得()()max 2f x f m m ==．因为()()43437t t t t +--≤+--=，所以()77g t -≤≤． 故()max 7g t =，从而27m <，即72m <， 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义的应用；绝对值不等式问题中的求参数范围问题，一般思路是：借助绝对值的几何意义、零点分段法等，先求出相关函数的最值或值域，再根据题目要求求解.。

2019届广西南宁市高三第三次模拟考试数学（理）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7．考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|10A x x =-<，2|3B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．()1,1- B ．()1,+∞ C ．21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知21zi i=++，则复数z =（ ） A ．10 B ．2 C ．13i - D ．13i + 3.已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2α=（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-4.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83 B ．233 C.43 D ．4335.已知圆()()22:434M x y -+-=和两点(),0A a -，(),0B a ，若圆M 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则α的最大值为（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．76.已知()1nmx +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则m =（ ） A ．2 B ．3 C.2- D ．3- 7.函数()ln f x x x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.8.已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且()()03P P a ξξ<=>-，则a =（ ）A ．2-B ．2 C. 5 D ．69.已知ABC ∆的三边满足条件()223a b c bc--=，则A ∠=（ ）A ．30︒B ．45︒ C.60︒ D ．120︒ 10.已知06π⎛⎫⎪⎝⎭，为()()sin 2f x x ϕ=-+2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的一个对称中心，则()f x 的对称轴可能为（ ）A ．2x π=B ．12x π=-C. 3x π=-D ．23x π=11.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作垂直于实轴的弦PQ ，若12PF Q π∠=，则C 的离心率e 为（ ）A ．21-B ．2 C. 21+ D ．22+ 12.已知函数()f x 是单调函数，对任意x R ∈，都有()()211xf f x -=，则()'2019f 的值为（ ）A ．20192ln 2 B ．20192ln 2019 C.201912ln 2+ D ．201912ln 2019+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,1a =，()3,2b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k = ．14.若变量x 、y 满足约束条件2020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为 ．15.在三棱锥中P ABC -，PA ，PB ，PC 两两相互垂直，1PA PB PC ===，则此三棱锥内切球的半径为 ．16.已知抛物线2:C y x =，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点。

广西南宁市2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}24A x x x =≤，{}340B x x =->，则AB =（ ）A ．(],0-∞B ．40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4,43⎛⎤⎥⎝⎦D ．(),0-∞2．()()31i 2i i --+=（ ） A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i -3．已知角A 满足1sin cos 5A A +=，则sin 2A 的值为（ ） A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-4．执行如图1所示的程序框图，那么输出S 的值是（ ）A ．12B ．1-C ．2018D ．25．已知随机变量ξ服从正态分布()1,1N ，若()10.9772p ξ>-=，则()13P ξ-<<=（ ） A ．0.6827B ．0.8522C ．0.9544D ．0.97726．已知x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．12D ．167．若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） A ．l 与1l ，2l 都不相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交8．函数()2ln f x x x =+的图象大致为（ ）9．若两个非零向量a ，b 满足2+=-=a b a b a ，则向量+a b 与-a b 的夹角的余弦值是（ ） A ．12B ．12-CD．10．在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =π3C =，sin 2sin B A =，则ABC △的周长是（ ）A ．B ．2C ．3+D ．4+11．如图，已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线y 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形12PFQF 是矩形，则双曲线的离心率为（ ）A ．5-B ．5+C 1D 112．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()()12g x f x =++，()g x '为()g x 的导函数，对x ∀∈R ，总有()2g x x '>，则()21g x x <+的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．(),1-∞-C ．()1,-+∞D ．()0,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．抛物线22y x =的准线方程为__________．14．()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为__________（用数字填写作答）．15．已知(){},2,2M x y x y =<≤，点P 的坐标为(),x y ，则当P M ∈时，且满足()()22224x y -+-≥的概率为__________．16．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）设n S 是公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和．已知332a =，392S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()123n nn b na --=．若11n n n c b b +=，求数列{}n c 前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）某地区某农产品近几年的产量统计如表：（1）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+； （2）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…，(),n n t y ，其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆniii ni i t t y y bt t ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-． （参考数据：()()612.8iii t t y y =--=∑，计算结果保留小数点后两位）19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且2PA =，E 为PD 中点．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A BE C --的正弦值． 20．（本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>右顶点是()2,0A ，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆交于两点M ，N （M ，N 不同于点A ），若0AM AN ⋅=，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标． 21．（本小题满分12分）已知函数()2ln 2f x x x x mx =+-+．（1）若关于x 的方程()0f x =有两个不同的实数根，求证：()10f <；（2）若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()()ln 22f x x m x x ≥-++成立，求实数m 的取值范围．（其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =L ）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系及参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为()0π,θααρ=<<∈R ，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且AB =，求α的值． 23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()29f x x x =+-． （1）解不等式()15f x <；（2）若关于x 的不等式()f x a <有解，求实数a 的取值范围．理科数学参考答案一、（60分） 1．C由题意，集合{}{}2404A x x x x x =≤=≤≤，{}43403B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以444,433AB x x ⎧⎫⎛⎤=<≤=⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭．故应选C ．2．B由题意得，复数()()()31i 2i 13i i 13i 3i i ii i--+-+⋅-+===----⋅．故应选B ．3．D∵1sin cos 5A A +=①， ①式两边平方得112sin cos 25A A +=，∴12sin cos 25A A =-，24sin 22sin cos 25A A A ==-．故应选D ． 4．A因为1S =-，1k =；12S =，2k =；2S =，3k =，1S =-，4k =；12=，5k =．故应选A ． 5．C因为随机变量ξ服从正态分布()1,1N ，所以()10.5P ξ<=，所以()()()13110.4772P p P ξξξ=<<=>--<=． 因此()()132130.9544P P ξξ-<<=<<=．故应选C ．6．A由约束条件0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图，联立400x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得()2,2A ，令3z x y =-，化为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为4． 故应选A ． 7．D由直线1l 和2l 是异面直线可知1l 与2l 不平行，故1l ，2l 中至少有一条与l 相交．故应选D ． 8．A∵()()2ln f x x x f x -=+=，∴()f x 为偶函数，∴()f x 的图象关于y 轴对称，故排除B ，C ， 当0x →时，y →-∞，故排除D ． 故应选A ． 9．B结合向量加减法的平行四边形法则三角形法则可知+a b ，-a b 分别为以a ，b 为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，∵2+=-=a b a b a ，所以此平行四边形是矩形，且对角线与矩形的边的较小的夹角为π6，结合图形可知向量+a b 与-a b 的夹角为2π3，余弦值为12-． 故应选B ．10．C 因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，由余弦定理得，22222222cos 423c a b ab C a a a a =+-=+-=，又c =1a =，2b =．则ABC △的周长是3 故应选C ．11．C 由题意，矩形的对角线长相等，y =代入()222210,0x y a b a b-=>>，可得x =y = ∴2222243a b c b a =-，∴()2222243a b b a c =-， ∴()()22222244aca c a c -=-，∴42840e e -+=，∵1e >，∴24e =+1e =． 故应选C ．12．B 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以函数()f x 关于原点对称， 又()()12g x f x =++，故()g x 的图象关于点()1,2-对称， 令()()21h x g x x =--，∴()()2h x g x x ''=-，∵对x ∀∈R ，()2g x x '>，∴()h x 在R 上是增函数，又()()()211110h g -=----=，∴()21g x x <+的解集是(),1-∞-．故应选B ． 二、（20分） 13．12x =-抛物线22y x =的准线方程是12-． 14．11 由题可得()51x -的3x 项为()22335110C xx -=，5x 项为()005551C x x -=，然后和()21x+相乘去括号得5x 项为5551011x x x +=，故()()5211x x +-的展开式中的5x 的系数为11． 15．π116-因为(){},2,2M x y x y =≤≤，所以M 表示区域为正方形，面积为4416⨯=，因为实心圆()()22224x y -+-≤在M 中区域为四分之一圆，所以面积为21π2π4⨯⋅=．因此概率为π116-． 16．3π由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥P ABC -，底面三角形ABC 是等腰直角三角形，所以它的外接球也是正方，外接球表面积为24π3π=⎝⎭． 三、（70分）17．设等比数列{}n a 的公比为q ，则33312332a a S a a a a q q=++=++． 因为332a =，392S =，所以2210q q --=． ……3分解得1q =（舍去），12q =-． ……4分133162n n n a a q--⎛⎫==- ⎪⎝⎭．……6分（2）由（1）得()1223n nn b na n --==．……8分所以()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭． ……10分 数列{}n c 前n 项和11111111114223141n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭L ()41nn =+． ……12分18．（1）由题意可知：1234563.56t +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==， ……3分()()()()6222222212.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5i i t t =-=-+-+-+++=∑，∴()()()12112.8ˆ0.1617.5niii ni t t y y bt t ==--===-∑∑， 又ˆˆ70.16 3.5 6.44ay bt =-=-⨯=， ……6分∴y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.16 6.44yt =+． ……8分 （2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码8t =，此时ˆ0.168 6.447.72y=⨯+=， 所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨． ……12分19．（1）证明：∵底面ABCD 为正方形，∴BC AB ⊥， 又BC PB ⊥，ABPB B =，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC PA ⊥． ……2分 同理CD PA ⊥，BCCD C =， ……4分∴PA ⊥平面ABCD ．……5分（2）建立如图的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,1,1E ，()2,0,0B ． ……6分 设(),,x y z =m 为平面ABE 的一个法向量，又()0,1,1AE =，()2,0,0AB =，∴020y z x +=⎧⎨=⎩．令1y =-，1z =，得()0,1,1=-m ．……8分同理()1,0,2=n 是平面BCE 的一个法向量， ……9分则cos ,5⋅===m n m n m n ．∴二面角A BE C --的正弦值为5．……12分20．（1）右顶点是()2,0A ，离心率为12，所以2a =，12c a =，∴1c =，则b =22143x y +=． ……4分 （2）当直线MN 斜率不存在时，设:MN l x m =，与椭圆方程22143x y +=联立得：y =MN =设直线MN 与x 轴交于点B ，MB AB =2m =-，∴27m =或2m =（舍），∴直线m 过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭． ……6分 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 斜率为k ，()11,M x y ，()22,N x y ，则直线():0MN y kx b k =+≠，与椭圆方程22143x y +=联立， 得()2224384120k x kbx b +++-=，122843kb x x k +=-+，212241243b x x k -=+，()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++， ()()()22284434120kb k b ∆=-+->，k ∈R ，……8分0AM AN ⋅=，则()()11222,2,0x y x y --=，即()121212240x x x x y y -+++=，∴2274160b k kb ++=，∴27b k =-或2b k =-， ……10分 ∴直线2:7MN l y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()2y k x =-，∴直线过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭或()2,0舍去． 综上知直线过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭． ……12分21．（1）若方程()0f x =有两个不同的实数根，即2ln m x x x=++有两个不同的实数根， 令()()2ln 0h x x x x x=++>， 即函数y m =和()2ln h x x x x=++有两个不同的交点， ……2分 而()()()2221121x x h x x x x+-'=+-=， 令()0h x '>，解得1x >；令()0h x '<，解得01x <<， 故()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增， 故()()13h x h ≥=， 故3m >，……4分 故()130f m =-<．……5分（2）若存在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()()ln 22f x x m x x ≥-++成立，即存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得2max2ln x x m x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭成立， ……7分令()22ln x x k x x x -=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()212ln 2ln x x x k x x x ---'=-， 易得2ln 20x x --<，令()0k x '>，解得1x >；令()0k x '<，解得1x <， 故()k x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭递减，在(]1,e 递增，故()k x 的最大值是1k e ⎛⎫⎪⎝⎭或()k e ，……10分而()2212121e e e k k e e e e e --⎛⎫=<= ⎪---⎝⎭， 故221e e m e-≤-． ……12分22．（1）由22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为()2224x y -+=，……2分∵4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=， ……3分 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=． ……5分（2）由（1）得曲线()221:24C x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=，由题意设()1,A ρα，()2,B ρα， ……6分则12π4sin cos 4AB ρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭……7分∴πsin 14α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， ∴()πππ42k k α-=+∈Z ， ……8分 ∵0πα<<，∴3π4α=． ……10分23．（1）由题意化简()318, 918, 09183, 0 x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩，∵()15f x <，∴931815x x ≥⎧⎨-<⎩或091815x x ≤<⎧⎨-<⎩或018315x x <⎧⎨-<⎩．解得不等式的解集为{}311x x <<．……5分（2）依题意，求29x x +-的最小值，()318, 918, 09183, 0 x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩的最小值为9，∴9a >． ……10分。

广西壮族自治区南宁市示范性普通中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 阅读右侧程序框图，输出的结果的值为A. B. C. D.参考答案：C2. 已知x0是函数f(x)＝+lnx的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，+∞)，则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0参考答案：D略3. 设函数，则的单调减区间（▲）A. B. ， C. D.参考答案：A略4. 已知θ∈（，π），sinθ=，则sin（θ+）等于（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：D【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosθ的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．【解答】解：∵θ∈（，π），sinθ=，∴cosθ=﹣=﹣，则sin（θ+）=cosθ=﹣，故选：D．5. 若复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是（）A．(－∞,－1) B．(1,+∞) C．(－1,1) D．(－∞,－1)∪(1,+∞)参考答案：C分析：先化简复数z，再根据z在复平面内对应的点在第一象限得到a的不等式，解不等式即得a的取值范围.详解：由题得，因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以故答案为：C6. 某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．2πB．4πC．5πD．20π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面，高为1的三棱柱的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体为三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面，高为1的三棱柱的外接球，底面的外接圆半径r=1，球心到底面的距离d=，故几何体的外接球半径，故几何体的外接球表面积为：S=4πR2=5π，故选：C【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=ac，则( )A．B=2C B．B=2A C．A=2C D．C=2A参考答案：B考点：余弦定理．专题：计算题；转化思想；分析法；解三角形．分析：利用余弦定理，正弦定理化简已知可得2sinAcosB=sinC﹣sinA，根据三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用解得sin（B﹣A）=sinA，即B﹣A=A或B﹣A=180﹣A，从而可得B=2A．解答：解：∵cosB====∴2sinAcosB=sinC﹣sinA=sin（A+B）﹣sinA=sinAcosB﹣cosAsinB﹣sinA移项，整理，得sin（B﹣A）=sinA即B﹣A=A或B﹣A=180﹣A所以B=2A 或 B=180（舍）．故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，属于中档题8. 已知函数f（x）＝Acos（ωx＋）的图象如图所示，f（）＝－,则f（0）＝（A）－（B）－（C）（D）参考答案：C略9. 已知，，，则A．B．C．D．参考答案：B从题意得：，，。

广西省南宁市重点中学2024届高三入学调研数学试题（3）试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324B ．522C ．535D ．5784．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6135．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞6．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）7．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．32C 23D 38．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2π C ．πD ．32π 10．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，12．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．49B ．49-C ．43D ．43-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南宁二中2020届高三模拟测试题数学(理)一、单选题:本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知实数集R ,集合A={x|1<x<3},集合{|B x y ==则()(R AC B ⋂=) A.{x|1<x≤2} B.{x|1<x<2}.{|23}C x x <<D.{x1 <x<3}2.复数202020211(),1i z ii+=+-(i 是虚数单位)的共轭复数表示的点在() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.给出如下四个命题:①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题;②命题“若a>b,则22a b >”的否命题为“若a≤b,则22a b ≤”; ③“∃x ∈R ，211x +≥的否定是“2,11x R x ∀∈+<”； ④在△ABC 中，“A>B”是“sin sin A B >”的充要条件. 其中正确的命题的个数是() A.1B.2C.3D.44.如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A B 上一动点,1AP D P +的最小值为()A.2B.2C.D5.已知函数4()lg(3)3xxf x m =++的值域是全体实数R ，则实数m 的取值范围是() A.(-4,+∞)B. [- 4,+∞)C. (-∞,-4)D. (-∞,-4]6. 函数f(x)= sin(ωx+φ),其中x ,0,||2R πωϕ∈><的部分图象如图所示,如果122,(,)63x x ππ∈且12()(),f x f x =则12()f x x +=().2A -1.2B -1.2C2D7.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次，若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1),发球次数为X ，若X 的数学期望E(X)> 1.75 ,则P 的取值范围1.(,1)2A1.(0,)2B7.(0,)12C7.(,1)12D8. 已知O 是三角形ABC所在平面内一定点,动点P满足||||(),sin sin AB AB AC AC OP OA C Bλλ⋅⋅=++u u u r u u u ru u u r u u u r ∈R.则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心9.执行如图的程序框图，则输出的S 值为( ) A.13.2B1.2C -D.010.如右上图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处， 则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为()5.28A5.14B2.9C1.2D11.已知函数f(x)满足: f(x)=-f(-x), 且当x ∈(-∞,0]时,()()0f x xf x '+<成立,若0.60.622112(2),ln 2(ln 2),(log )(log ),88a fb fc f =⋅=⋅=⋅则a, b, c 的大小关系是( ) A.a> b> cB.c>a>bC.b>a>cD. c>b>a12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右顶点分别为12,,A A M 是双曲线上异于12,A A 的任意一点,直线1MA 和2MA 分别与y 轴交于P,Q 两点, O 为坐标原点,若|OP|, |OM|,|OQ|依次成等比数列,则双曲线的离心率的取值范围是())A +∞.)B +∞.C.D二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分。

2019届广西南宁市高三第二次模拟考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A． B．______________________________________ C． D．2. 若复数的实部是，则实数（）A．2 B． C．______________________________________ D．3. 二项展开式中，常数项为（）A．240______________________________________ B．-240 C．15_____________________________________ D．不存在4. 若函数的图像相邻两条对称轴之间的距离为3，则的值为（）A． B． C．______________________________________ D．5. 等差数列的前项和为，且满足，则（）A．1 B．2 C．3 D．46. 函数的单调减区间是（）A． B． C．_________________________________ D．7. 执行如图所示的流程图，则输出的（）A．57 B．40 C．26 D．178. 设随机变量的概率分布表如下图，则（）A． B． C．D．9. 已知变量满足约束条件，则的最小值为（）A．-1 B．1 C．2 D．310. 如图所示，一个几何体的主视图和左视图都是边长为4的正方形，中间线段平分正方形，俯视图中有一内切圆，则该几何体的全面积是（）A． B． C．D．11. 已知抛物线的焦点为，点在轴的正半轴上且不与点重合，若抛物线上的点满足，且这样的点只有两个，则满足（）A．___________________________________ B．C．___________________________________ D．12. 已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，且三个根成等差数列，则满足条件的实数有（）个.A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题13. 双曲线的离心率为________________________ .14. 若，则________________________ .15. 已知，则的取值范围是________________________ .16. 已知点，动点满足，直线交轴于点，则的最大值为______________ ．三、解答题17. 已知：为数列的前项和，且满足；数列满足 .（1）数列是等比数列吗？请说明理由；（2）若，求数列的前项和 .18. 某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究，他们分别记录了 3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽率，并得到如下资料：参考数据：，，其中， .（1）请根据 3月1日至 3月5日的数据，求出关于的线性回归方程，据气象预报 3月6日的昼夜温差为，请预测 3月6日浸泡的30颗种子的发芽数.（结果保留整数）（2）从 3月1日至3月5日中任选两天，记种子发芽数超过15颗的天数为，求的概率分布列，并求其数学期望和方差.19. 如图，正方体中，点是的中点.（1）求和平面所成角的余弦值；（2）在上找一点，使得平面 .20. 已知椭圆：（）的两个焦点为，，离心率为，点，在椭圆上，在线段上，且的周长等于．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过圆：上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点，，求面积的最大值．21. 已知函数， .（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求函数的单调递增区间；（3）求证：当时，对于任意两个不等的实数，均有成立.22. 选修4-1：几何证明选讲如图，切圆于点，点为的中点，过作圆的割线交圆于点，连接并延长交圆于点，连接并交圆于点，求证： .23. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系中的原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为 .（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过极点作直线交曲线于点，若，求直线的极坐标方程.24. 选修4-5：不等式选讲如果是实数，且，，为大于1的自然数，用数学归纳法证明： .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

2019届广西南宁市第二中学高三最后一模数学（理）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，则复数4334iz i+=-的共轭复数的虚部是（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】C【解析】由复数除法求出复数z ，再写出共轭复数，得其虚部． 【详解】由题意243(43)(34)121691234(34)(34)25i i i i i i z i i i i ++++++====--+，z i =-，虚部为1-． 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念及复数的概念．解题关键是掌握复数除法法则．2．设集合{}2|log 1M x x =<，{}2|20N x x x =+->，则RMN =（ ）A ．(2,2)-B ．[2,2)-C ．(0,1]D ．(0,1)【答案】B【解析】求出集合,M N ，再由集合的运算计算． 【详解】由题意2log 102x x <⇒<<，220(1)(2)021x x x x x +->⇒-+>⇒-<<，∴(0,2)M =，(,2)(1,)N =-∞-+∞，2{|20}[2,1]R N x x x =+-≤=-，∴()[2,2)R MN =-．故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，考查解对数不等式及一元二次不等式，掌握对数函数的性质是解题关键．3．已知向量||4a =，||8=b ，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算． 【详解】2222|2|(2)4444a b a b a a b b +=+=+⋅+=⨯+=故选：D. 【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握数量积的性质，把模转化为数量积的运算． 4．设随机变量ξ服从(6,)B p ，当方差D ξ最大时，(3)P ξ=的值是（ ） A ．38B ．316C ．58D ．516【答案】D【解析】由二项分布求出方差，求出方差取最大值时的p ，再计算． 【详解】由题意22136(1)6()6()22p p D p p p ξ=-=-+=--+， ∴12p =时，D ξ最大，此时36615(3)216P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 故选：D. 【点睛】本题考查二项分布的方差和概率．掌握二项分布的概率公式是解题基础． 5．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ．【考点】比较大小6．在()*(2)nx n N -∈的展开式中，第3项与第4项的二项式系数相等，则2x的系数等于（ ） A ．672 B ．672-C ．80D ．80-【答案】D【解析】根据二项式系数的性质得出n ，再由二项式展开式通项公式得出2x 的项数，即得系数． 【详解】由二项展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，得5n =，所以515(2)r r rr T C x -+=-，令52r ，3r =，∴所求系数为335(2)80C -=-．故选：C. 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质与二项展开式通项公式，掌握二项式系数的性质是解题关键． 7．函数1ln sin 1ln xy x x-=⋅+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】设1ln ()sin 1ln xf x x x -=⋅+，由1ln 0x +≠得1x e≠±，则函数的定义域为1111(,)(,)(,)e e e e-∞-⋃-⋃+∞．∵1ln 1ln ()sin()sin ()1ln 1ln x x f x x x f x xx----=⋅-=-⋅=-+-+，∴函数()f x 为奇函数，排除D ． 又11e>，且(1)sin1>0f =，故可排除B ． 211e e<，且2222211ln11(2)11()sin sin 3sin 01121ln e f x e e e e---=⋅=⋅=-⋅<-+，故可排除C ．选A ．8．若1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】C【解析】先用二倍角公式求得23πα+的余弦，再由诱导公式得出结论．【详解】由题意22217cos(2)2cos ()12()13639ππαα+=+-=⨯-=-， ∴7sin(2)sin(2)cos(2)63239ππππααα5+=++=+=-．故选：C. 【点睛】本题考查余弦的二倍角公式和诱导公式，解题时观察已知角和未知角之间的关系选用恰当的公式是解题关键．9．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则C 的离心率是（ ）A ．3B ．3C D ．2【答案】A【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=3，选A. 【考点】双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键．10．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的外接球的表面积为64π，则h =（ ）A ．32B 3C ．33D ．53【答案】B【解析】由三视图确定原几何体是四棱锥，其中一条最长的侧棱就是其外接球直径，从而可得结论． 【详解】由三视图知，该几何体是一个四棱锥，最长的侧棱就是外接球的直径． 设球半径为r ，则2464r ππ=，4r =， ∴222256(24)h ++=⨯，3h =故选：B. 【点睛】本题考查三视图，考查球的表面积．解题关键是由三视图还原出原几何体．11．一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ） A ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,66⎛⎫⎪⎝⎭C ．12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,63⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】考虑在正方体的截面中最大两个互相平行的三角形截面，若液面与此面平行时，必在这两个面之间，由此可得结论． 【详解】解：如图，正方体ABCD EFHG -，若要使液面形状不可能为三角形，则当平面EHD 平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC .若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形.设液体的体积为V ，则G EHD B AFC V V V V --<<-正方体，而211111326G EHD V -=⨯⨯⨯=，315166B AFC V V --=-=正方体，所以液体的体积的取值范围为15,66⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查正方体的截面的性质，掌握正方体的截面形状是解题关键．本题考查空间想象能力．12．已知函数22log ,0,()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，且满足：1234x x x x <<<，则221323432x x x x x x +-的取值范围是（ ）A ．17257,416⎛⎤⎥⎝⎦B ．(2,)+∞C ．2572,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,)+∞【答案】A【解析】作出函数()f x 的图象，及直线y m =，得交点横坐标即为所求零点，由二次函数对称性及对数函数性质得122x x +=-，341x x =，同时求出3x 的范围，221323432x x x x x x +-转化为3x 的函数，再由函数单调性得结论． 【详解】解：22log ,0,()22,0,x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩,由二次函数的对称性可得122x x +=-，由3242log log x x =-可得341x x =.函数()()F x f x b =-有四个不同的零点，等价于()y f x =的图象与y b =的图象有四个不同的交点，画出()y f x =的图象与y b =的图象如图所示，由图可知12b <，所以233111log 2,42x x ⎡⎫<-⇒∈⎪⎢⎣⎭，所以()2221234433233312x x x x x x x x x x +-=+=+，令23t x =，易知1y t t =+在11,164t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单调递减，所以117257,416t t ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点分布，考查函数的对称性与对数函数的性质，考查转化与化归思想．解题方法是把函数零点转化为直线与函数图象交点问题，由数形结合思想求解．二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则11y z x -=+的最大值为________.【答案】1【解析】作出可行域，利用目标函数的几何意义求解． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），目标函数11y z x -=+表示可行域内点(,)P x y 与定点(1,1)Q -连线的斜率，由图可知，PQ k 的最大值就是1BC k =． 故答案为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划的非线性目标函数的最值，解题关键是非线性目标函数的几何意义．常用的几何意义有直线斜率，两点间的距离等等． 14．已知α为第二象限角，sinα＋cosα3cos2α＝________． 【答案】5【解析】∵sinα＋cosα3∴(sinα＋cosα)2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23. ∵α为第二象限角且sinα＋cosα3， ∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k ∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α212sin α－5315．已知点,P Q 分别是圆22:(2)(1)1C x y ++-=及直线:340l x y -=上的动点，O是坐标原点，则||OP OQ +的最小值为________. 【答案】1【解析】设(2cos ,1sin )P θθ-++，(4,3)Q a a ，然后计算||OP OQ +，再由函数知识求得最小值． 【详解】∵点,P Q 分别是圆22:(2)(1)1C x y ++-=及直线:340l x y -=上的动点， ∴设(2cos ,1sin )P θθ-++，(4,3)Q a a ，OP OQ +(2cos 4,1sin 3)a a θθ=-++++，2||OP OQ +22(2cos 4)(1sin 3)a a θθ=-+++++2251062(42)cos 2(31)sin a a a a θθ=-++-++225106)a a θϕ=-+++，其中sin ϕ=，cos ϕ=，令t ==2t ≥，2||OP OQ +2222sin()1[sin()]1sin ()t t t θϕθϕθϕ=+++=+++-+，∵R θ∈，∴无论a 取何值，都有sin()[1,1]θϕ+∈-，∴2t =，sin()1θϕ+=-时，2||OP OQ +取得最小值541-=，即||OP OQ +最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查求向量模的最小值．解题时由点在圆和直线上，分别设出点的坐标，用坐标表示向量的模，把向量模转化为函数，利用函数知识求最值．这是数学问题中求最值的常用方法．16．下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）①命题“若0a b +=，则5a =且5b =-”的否定是“若0a b +≠，则5a ≠且5b ≠-” ②已知函数(1)f x -的图象关于直线2x =对称，函数()f x 为奇函数，则4是()f x 一个周期.③平面αβ⊥，l αβ=，过α内一点A 作l 的垂线m ，则m β⊥.④在ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(2cos )tansin 2BA A -=，则,,a b c 成等差数列.【答案】②④【解析】利用命题的否定，函数的奇偶性与周期性，面面垂直的性质，解三角形的知识分别判断各个命题的真假． 【详解】①命题“若0a b +=，则5a =且5b =-”的否定是““若0a b +=，则5a ≠或5b ≠-”， ①错；②函数(1)f x -的图象关于直线2x =对称，则()f x 的图象关于直线1x =对称，又()f x 为奇函数，所以(2)(1(1))(1(1))()()f x f x f x f x f x +=++=-+=-=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期为4的周期函数，②正确；③平面αβ⊥，l αβ=，过α内一点A 作l 的垂线m ，面面垂直性质定理中要求在一个面内作交线的垂直，而题中没有l α⊂，则得不出线面垂直，③错； ④在ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(2cos )tansin 2BA A -=，则sin2(2cos )sin cos 2B A A B -⋅=，22sin cos22(2cos )sin 2cos 2B BA AB -⋅=，即sin (2cos )sin 1cos BA A B-⋅=+，∴2sin sin cos cos sin sin sin()sin sin sin B B A B A A A B A C A =++=++=+， 由正弦定理得2b a c =+，则,,a b c 成等差数列.，④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需对各个选项分别判断，从而需要掌握各种涉及到的知识点，要求较高，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()*312n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3()log f x x =，()()()12n n b f a f a f a =+++，12111n nT b b b =+++，求证：2n T <.【答案】（1）3nn a =（2）证明见解析【解析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得数列递推关系，再求出1a 可确定数列{}n a 是等比数列，从而易得通项公式；（2）由（1）及等差数列前n 项和公式求得n b ，用裂项相消法求得n T 后可证得不等式成立． 【详解】解：（1）当1n =时，由()11312S a =-得13a = 当2n ≥时，()()113333112222n n n n n a a a a a --=---=- 13n n a a -∴=，∴数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，从而3nn a =（2）3()log f x x =，()3log 3n n f a n ==()()()12(1)122n n n n b f a f a f a n +∴=+++=+++=12112(1)1n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭12111111111212112231n n T n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋯+=-+-++-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2n T ∴<得证【点睛】本题考查由n S 求通项公式n a ，考查等比数列的通项公式，考查等差数列前n 项和公式和裂项相消法求和．数列求和中需掌握一些常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等． 18．某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115（Ⅰ）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （Ⅱ）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？ （参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【答案】（Ⅰ）建议该投资公司选择项目一投资；（Ⅱ）大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番.【解析】（Ⅰ）根据两个项目获利的数学期望的大小可选择合理的项目. （Ⅱ）假设n 年后总资产可以翻一番，则有2001000(1)20001000n+=，利用对数的运算及给出的数据可求大约4年后翻一番. 【详解】（1）若按“项目一”投资，设获利1ξ万元，则1ξ的分布列为：172300(150)20099E ξ∴=⨯+-⨯=（万元），若按“项目二”投资，设获利2ξ万元，则2ξ的分布列为：2311500(300)02005315E ξ∴=⨯+-⨯+⨯=（万元），又22172(300200)(150200)3500099D ξ=-⨯+--⨯=， 2222311(500200)(300200)(0200)1400005315D ξ=-⨯+--⨯+-⨯=，所以12E E ξξ=，12D D ξξ<，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．（2）假设n 年后总资产可以翻一番，依题意：2001000(1)20001000n+=，即1.22n =，10分两边取对数得：lg 20.30103.80532lg 2lg3120.30100.47711n ==≈+-⨯+-．所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番． 【点睛】本题考查离散型随机变量的均值及其应用，考查了指数方程的解法，此类问题属于基础题.19．如图所示，已知长方体ABCD 中，222AB AD ==，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得AD BM ⊥.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）是否存在满足(01)BE tBD t =<<的点E ，使得二面角E AM D --为大小为4π？若存在，求出相应的实数t ；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）23t =. 【解析】（1）依据题设运用面面垂直的判定定理分析推证；（2）借助题设构建空间向量，运用向量的数量积公式分析探求. 【详解】（1）证明：∵长方形ABCD 中，222AB AD ==M 为DC 的中点， ∴2AM BM ==，222AM BM AB +=，∴BM AM ⊥， ∵AD BM ⊥，ADAM A =，所以BM ⊥平面ADM ，又BM ⊂平面ABCM ，所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）解：以点M 为坐标原点，MA 方向为x 轴正方向建立如图空间直角坐标系M xyz -，则()()()()2,0,0,0,2,0,1,0,1,2,0,0A B D MA =，()()0,2,0,1,2,1MB BD ==-，(),22,ME MB BE t t t =+=-，设平面AME 的一个法向量为(),,m x y z =，故·0·0MA m ME m ⎧=⎨=⎩即()20220x tx t y tz =⎧⎨+-+=⎩，取y t =，得0,,22x y t z t ===-，所以()0,,22m t t =-， 由（1）知平面AMD 的一个法向量()0,1,0n =， 所以()22·2cos ,·41m n m n m nt t 〈〉===+-23t =或2t =（舍去）， 故存在23t =为所求. 【点睛】立体几何是高中数学中重要的知识和内容之一，也是高考重点考查的重要考点与知识点．解答本题的第一问时，充分借助线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理进行分析推证，使得问题获证；解答第二问时，则通过建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式运用向量的数量积公式进行分析探求，从而使得问题获解．20．已知,Q R 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且12PQ RH k k ⋅=. （1）若椭圆C 经过圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于不同的,A B 两点，设P为椭圆C 上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当||3AB <数t 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）2t -<<2t <<【解析】（1）设(,)P x y ，由P 在椭圆上求出2222212PQ RH y b k k a x a ⋅===-，再由椭圆过点(0,1)得21b =，从而可得2a ，得椭圆方程；（2）由题意可知直线AB 的斜率存在，设:(2)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，直线方程与椭圆方程联立，并消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，同时注意>0∆，由弦长公式表示出AB 后可得k 的取值范围，由向量线性运算求出P 点坐标，交代入椭圆方程得出,t k 的关系，从而得t 的范围． 【详解】（1）设(,)P x y ，因为(,0),(,0)Q a R a -，则点P 关于x 轴的对称点(,)H x y -.PQy k x a =+，RH y k a x =-，又由椭圆的方程得()222222221x b y b a x a a⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以2222212PQ RHy b k k a x a ⋅===-， 又椭圆C 过圆22(1)4x y +-=的圆心(0,1)，所以22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题意可知直线AB 的斜率存在，设:(2)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128820k x k x k +-+-=由()()42264421820k k k ∆=-+->，得：21(*)2k <2122812k x x k ∴+=+，21228212k x x k -=+.||3AB<，123x -=<()()4222226482201412912k k k k k ⎡⎤-⎢⎥∴+-⨯<⎢⎥++⎣⎦，214k ∴>，结合（）得：21142k <<. OA OB tOP +=，()()121200,,x x y y t x y ∴++=.从而()21202812x x k x t t k +==+，()()12012214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+.∵点P 在椭圆上，()()2222284221212k k t k t k ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥∴+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 整理得：()2221612k tk =+即228812t k=-+，2843t ∴<<， 2t ∴-<<2t <<.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交一般采取设而不求思想，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，并把这个结论代入题中其他条件中求解． 21．设函数()sin cos ()x f x xe a x x a R =-∈，其中e 是自然对数的底数. （1）若1a ≤，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，证明()0f x ≥； （2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围：若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在实数a ，详见解析【解析】（1）分类讨论，0a ≤时直接证明，01a <≤时，利用导数研究函数的单调性，最小值可证得不等式成立；（2）1a ≤时，由（1）可知无零点，1a >时，仍然利用导数研究函数的单调性，函数极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】（1）证明：①若0a ≤，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0x xe ≥，sin cos 0x x ≥，所以()0f x ≥； ②若01a <≤，因为()(1)cos2x f x x e a x '=+-，设()(1)cos2xg x x e a x =+-，()(2)2sin 2xg x x e a x '=++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '>，所以()f x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()(0)10f x f a ''≥=-≥， 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()(0)0f x f ≥=， 综上所述，若1a ≤，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()0f x ≥. （2）不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点. 理由如下：（1）若1a ≤，由（1）知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且(0)0f =，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上无零点； （2）若1a >，由（1）知，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(2)2sin 20xg x x e a x '=++> 所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.因为(0)10g a =-<，21022g e a πππ⎛⎫⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ， 即方程()0f x '=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一解0x ， 且当()00,x x ∈时，()0f x '<，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>， 所以函数()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当()00,x x ∈时，()(0)0f x f <=，所以()f x 在()00,x 无零点；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0(0)0f x f <=，2022f e πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点， 故当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点， 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点. 【点睛】本题考查用导数证明不等式，用导数研究函数的零点，解题关键是用导数研究函数的性质求出函数的最值，从而证得不等式成立，对零点个数问题仍然是利用导数研究函数的单调性，然后结合零点存在定理确定零点个数．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (2sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，直线l 的直角坐标方程为y =． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线2C 的极坐标方程为8cos 0ρθ+=，与直线l 在第三象限交于A 点，直线l 与1C 在第一象限的交点为B ，求AB ．【答案】（1）2221sin cos 4θθρ=+；（24+.【解析】（1）先将1C 化为普通方程，再由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即可得到极坐标方程.（2）根据题意求得A 、B 两点的坐标，得到极径,A B ρρ，再由A B AB ρρ=-可得结果. 【详解】（1）由题意知1C 的直角坐标方程为2214y x +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得1C 的极坐标方程为2222sin cos 14ρθρθ+=，化简整理得222sin 1cos 4θθρ+=.（2）由题意得直线l 的极坐标方程为3πθ=，所以38cos 0πθρθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩可得(4,)3A π-．同理2223sin 1cos 4πθθθρ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得()73B π，47A BAB ρρ=-=+. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、普通方程与极坐标方程的互化，极坐标方法求两点间的距离，需熟记公式，考查学生化简计算的能力，属基础题． 23．已知函数()|||22|(0)f x x m x m x =+--> （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()|3||4|f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）113xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； （2）70,2⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集．（2）不等式()()3443f x t t f x t t +-<+⇔≤+-- ，根据已知条件，结合绝对值不等式的几何意义，转化求解()()max max f x g t ≤即可． 【详解】因为0m >，所以()3,223,3,x m x mf x x m x m x m m x m x m x m -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+≥⎩．（1）当12m =时，()31,221113,,22231,22x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩所以由()12f x ≥，可得31,2212x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩或113,221122x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩ 或312212x x ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩ ，解得1132x ≤<或112x ≤≤， 故原不等式的解集为113xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）因为()()3443f x t t f x t t +-<+⇔≤+--， 令()43g t t t =+--，则由题设可得()()max max f x g t ≤ ，由()3,3,3,x m x mf x x m m x m x m x m -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-+≥⎩，得()()max 2f x f m m ==．因为()()43437t t t t +--≤+--=，所以()77g t -≤≤． 故()max 7g t =，从而27m <，即72m <， 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义的应用；绝对值不等式问题中的求参数范围问题，一般思路是：借助绝对值的几何意义、零点分段法等，先求出相关函数的最值或值域，再根据题目要求求解.。

绝密★启用前2020届广西南宁市第二中学高三3月模拟数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知实数集R ,集合{}|13A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，则A B =I （ ） A ．{}|12x x <≤ B ．{}3|1x x << C ．{}|23x x <<D ．{}|12x x <<答案：C求函数的定义域求得集合B ，根据交集的概念和运算求得A B I 的值. 解：由题意得{}|2B x x =>，故{}|23A B x x =<<I . 故选：C. 点评：本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．复数202020211(),1i z ii+=+-(i 是虚数单位)的共轭复数表示的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D利用复数除法、复数乘方运算化简z ，进而求得z ，由此确定正确选项. 解：由于()()()()11121112i i i ii i i i +++===-+-，所以 2020202150542021505411()111i z i i i i i i⨯⨯++=+=+=+=+-，所以1z i =-，对应的点为()1,1-在第四象限. 故选：D 点评：本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的乘方，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.3．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a >b ，则22a b >”的否命题为“若a ≤b ，则22a b ≤”；③“∃x ∈R ，211x +≥的否定是“2,11x R x ∀∈+<”；④在△ABC 中，“A >B ”是“sin sin A B >”的充要条件；其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C根据含有逻辑联结词命题真假性的知识，判断①的正确性.根据否命题的知识，判断②的正确性.根据特称命题的否定的知识，判断③的正确性.根据充要条件的知识，判断④的正确性. 解：对于①，由于“p 且q ”为假命题，所以p ，q 中至少有一个假命题，故①错误. 对于②，否命题否定条件和结论，故②正确.对于③，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知，③正确.对于④，由正弦定理得2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B >⇔>⇔>⇔>，所以“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故④正确. 综上所述，正确的命题个数是3个. 故选：C 点评：本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性，考查否命题，考查特称命题与全称命题，考查充要条件的判断，属于基础题.4．如图所示，在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 取得最小值，则此最小值为（ ）A ．2B 26+C ．22+D 22+答案：D试题分析：将1ABA ∆翻折到与四边形11A BCD 同一平面内，1AP D P +的最小值为1D A ，在11D AA ∆中1111131,1,4A D AA AA D π==∠=，由余弦定理可得122AD =+ 【考点】1.翻折问题；2.空间距离 5．已知函数4()lg(3)3xxf x m =++的值域是全体实数R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(-4，+∞) B ．[- 4，+∞)C ．(-∞，-4)D ．(-∞，-4]答案：D根据()f x 的值域是全体实数，以及4343x x +≥，求得实数m 的取值范围. 解： 由于44323433x xx x+≥⨯=.要使函数4()lg(3)3x x f x m =++的值域是全体实数R ，则需40m +≤，解得4m ≤-. 故选：D 点评：本小题主要考查根据对数型复合函数的值域求参数的取值范围，考查基本不等式求最值，属于基础题.6．函数()()()sin 0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，如果122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A ．3B ．12-C ．12D 3答案：A由周期求出ω,由五点法作图求出ϕ的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得1256x x π+=,从而可得()12f x x +的值. 解：由函数()sin()()0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象,可得122,2236πππωω⨯=-∴=, 再根据五点法作图可得20,63ππϕϕ⨯+=∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为122,,63x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上，且()()12f x f x =， 所以()12216322x x ππ++=,1256x x π∴+=，()1254sin 2sin sin 6333f x x ππππ⎛⎫+=⨯-==-= ⎪⎝⎭，故选A. 点评：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键.求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.7．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：A根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 解：由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭，答案选A 点评：本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功8．已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足||||(),sin sin AB AB AC AC OP OA C Bλλ⋅⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ∈R .则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心答案：C利用正弦定理化简已知条件，由此判断出P 的轨迹经过重心. 解：设三角形ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理得2sin sin AB AC R CB==u u u ru u u r ，所以||||()sin sin AB AB AC ACOP OA C B λ⋅⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 2()OA R AB AC λ=+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r ，2()AP R AB AC λ=⋅⋅+u u u r u u u r u u u r根据向量加法的几何意义可知：AB AC +u u u r u u u r 表示以,AB AC u u u r u u u r为邻边的平行四边形的对角线，此对角线与三角形中线重合，所以P 在三角形ABC 的中线上，也即P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的重心. 故选：C 点评：本小题主要考查正弦定理的运用，考查向量加法的几何意义，属于中档题. 9．执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1B ．32C ．12-D ．0答案：D由图知本程序的功能是执行22019cos0coscoscos 333S πππ=++++L 此处注意程序结束时2019n =，由余弦函数和诱导公式易得：2345cos0coscoscos cos cos 033333πππππ+++++=，周期为6，202033664=⨯+ 2201911cos0coscoscos 336011033322S πππ=++++=⨯++--=L . 10．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．12答案：B将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 解：。

广西壮族自治区南宁市青秀区南宁市第二中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{1}M xx =>∣，{13}N x x =-<≤∣，则M N = （）A ．{}|1x x >B ．{|03}x x <≤C ．{|13}x x <≤D ．{}13，2．下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，c d >，则a c b d->-C ．若0ab >，a b >，则11a b<D ．若a b >，c d >，则a b c d>3．下列函数是偶函数的是（）A ．()22f x x x=+B ．() f x x =C ．()2 1xf x x =+D ．()11x f x x -=+4．已知函数()f x 的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=）A ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某段道路机动车最高限速40千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油6．已知22111x x f x x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x =（）A ．()2(1)1x x +≠B ．2(1)x -C ．()211x x x -+≠D ．21x x -+7．已知一元二次不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为{13}xx -<<∣，则1b c a-+的最大值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．函数()f x 是R 上的单调函数且对任意的实数都有()()()1f a b f a f b +=+-，()45f =，则不等式(12)3f m -<的解集是（）A ．102⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()3-∞，D ．12(,23-二、多选题9．下列说法正确的有（）A ．式子y =x、因变量为y 的函数B ．函数=op 的图象与直线=1的交点最多有1个C ．函数()24040x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，则()0f f ⎡⎤=⎣⎦4D ．()22f x x x =-与()22g t t t =-是同一函数10．若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（）A ．ab 有最小值14B C ．1122a b a b +++有最小值43D ．22a b +有最小值1211．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“完美区间”.下列结论正确的是（）A ．133⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数=1的“完美区间”B ．若[]2,b 为()246f x x x =-+的“完美区间”，则6b =C ．二次函数()211322f x x =-+存在“2倍美好区间”D ．函数()1m x f x x-=存在“完美区间”，则实数m 的取值范围为(){}2,0∞+⋃三、填空题12．若函数()y f x =是偶函数，且在(),0-∞上是严格增函数，则()πf 、()3f -、(f 的大小关系是．13．已知:22,:11p x q m x m -≤≤-≤≤-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为.14．定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩若函数(){}2min 33,33f x x x x =-+--+，则()f x 的最大值为；若()f x 在区间[],m n 上的值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则n m -的最大值为．四、解答题15．（1）已知0x >，0y >，2x y +=，求41x y+的最小值；（2）已知102x <<，求(12)y x x =-的最大值.16．已知集合{}620A x x =≤≤∣，集合{}2B x x a =≤∣，命题:,p x A x B ∃∈∈，命题:R q x ∀∈，220x x a +->．(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 和命题q 至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围．17．经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t （天）的函数关系近似满足()11001f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，销售量（件）与时间t （天）的函数关系近似满足()125|25|g t t =--．(1)试写出该商品的日销售金额()w t 关于时间t （1≤t ≤30，t ∈N ）的函数表达式；(2)求该商品的日销售金额()w t 的最大值与最小值．18．已知关于x 的不等式()2330ax a x -++>的解集为A .(1)若3A ∉，求实数a 的取值范围；(2)集合A 中有且仅有两个整数，求实数a 的取值范围；19．已知函数()24ax bf x x +=-是定义域为()2,2-上的奇函数，且0a >.(1)求b 的值，并用定义证明：函数()f x 在()2,2-上是增函数；(2)若对()0,1t ∀∈，都有()()210f t m f t -+-<，求实数m 的范围.。

绝密★启用前2020届广西南宁三中高三高考适应性月考卷（三）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设()Z M 表示整数集合M 中的质数的个数，设集合{|118}A x x =-<<，{|5227}B x x =<<，则()Z A B ⋂=（）.A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C可以求出集合B ，然后进行交集的运算求出AB ，从而可得出集合A B 所含的质数，从而得出()Z A B ⋂的值．解：∵527|22B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{|118}A x x =-<<，∴527|22AB x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∴集合A B 中所含质数为：3，5，7，11，13，∴()5Z AB =．故选：C ． 点评：本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，质数的定义，考查了计算能力，属于基础题． 2．设221iz i+=-，z 是z 的共轭复数（注：a bi +的共轭复数为a bi -），则z z ⋅=（）. A ．2i - B ．iC ．2D ．4答案：D利用商的模等于模的商求得|z|，再由2||z z z ⋅=求解． 解：∵221iz i+=-， ∴|z|=|221i i +-|2221i i +===-， ∴24z z z ⋅==． 故选：D ． 点评：本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，945S =，则10a =（）. A ．20 B ．10C ．44D ．55答案：B利用等差数列{}n a 的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出1a ，d ，由此能求出10a ． 解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，945S =∴1134989452a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得11a =，1d =， ∴101910a a d =+=． 故选：B ． 点评：本题考查等差数列的第10项的求法，考查等差数列的性质、基本量等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．4．已知直线240x y ++=过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个顶点，则椭圆C 的标准方程为（）.A ．221164x y +=B ．22124x y += C ．22142x y +=D ．221416x y +=答案：A求出椭圆的顶点坐标，顶点a ，b ，然后顶点椭圆的标准方程．解：因为直线240x y ++=过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个顶点，所以4a =，2b =，所以椭圆的标准方程为：221164x y +=．故选：A 点评：本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．5．圆222:O x y π+=内的曲线|sin |y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（）.A ．24π B ．34π C ．22π D ．32π答案：B先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线|sin |y x =与x 轴围成的区域记为M 的面积为02sin S xdx π=⎰，代入几何概率的计算公式可求．解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为3π，曲线|sin |y x =与x 轴围成的区域记为M 的面积为02sin 2cos 4S xdx xππ==-=⎰，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率34p π=，故选：B ． 点评：本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，几何概率的计算公式的运用，属于中档试题． 6．已知13(ln 2)a =，13(ln 3)b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）.A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<答案：B利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵0ln 21<<，∴01a <<， ∵ln31>，∴1b >， ∵221log log 313=-<-，∴0c <， ∴c a b <<， 故选：B ． 点评：本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题. 7．函数2sin ()2||xf x x x x=+-的大致图象为（）. A ． B ． C ． D ．答案：B由()10f >及函数在特殊点处的导数的符号可得出正确选项． 解：由()1sin110f =+>，可排除A 、D ； 当0x >时，()2cos sin 41x x xf x x x -'=+-，111116cos tan 4444f ⎛⎫⎛⎫'=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()tan g x x x =-，()2110cos g x x'=-<， 故()g x 为减函数，则()()00g x g <=，故tan x x <，所以11tan 44<即104f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，故排除C ，选B ．故选：B ． 点评：本题考查利用函数的性质确定函数图象，属于基础题．8．已知在边长为3的菱形ABCD 中，60BAD ︒∠=，点E 满足12BE EC =，则AE BD ⋅的值（）. A ．1- B ．0C ．3-D ．6答案：C将AE BD ⋅用AB ，AD 向量表示，利用向量的数量积的运算律计算即可； 解： 如图：；∵边长为3的菱形ABCD 中，60BAD ︒∠=，点E 满足12BE EC =， ∴()13AE BD AB BC BA AD ⎝=+⎛+⎫⎪⎭()13AB AD AB AD ⎛⎫= +⎭-⎝+⎪222133AB AB AD AD =++- 22333c 6213303os ︒=++-⨯⨯⨯⨯3=-．故选：C ． 点评：本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题． 9．若5sin 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）. A ．25B 25C ．5-D ．35答案：D由已知结合诱导公式及二倍角的余弦公式进行化简即可求解．解：若sin 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则21111sin 2sin 2cos 212sin 62336παππαπαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 135512⨯-==．故选：D ． 点评：本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题． 10．设所有棱长都为2的正三棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）. A ．8π B ．283π C ．4π D ．20π答案：B连接上下底面的中心M ，N ，则MN 得中点即为外接球球心，容易求得半径，面积． 解：如图，M ，N 分别是上下底面正三角形的中心， O 为MN 的中点， 易知O 为外接球的球心，AN 23=AD 23=AB 23=2=；在直角三角形ONA 中，可得半径OA 3===，∴S 球＝4π2283π⨯=⎝⎭，故选：B ．点评：本题主要考查了三棱柱外接球，属于中档题．11．已知直线1l ，2l 经过抛物线2:C y x =的焦点F ，1l ，2l 互相垂直，直线1l 与C 交于D ，E 两点，直线2l 与C 交于A ，B 两点，则||||AB DE ⋅的最小值为（）. A ．2 B ．4C ．8D ．16答案：B由题意可知直线l 1的斜率存在，设直线l 1的方程为：y ＝k （x 14-），所以直线l 2的斜率为1k-，联立直线l 1与抛物线方程，利用韦达定理以及抛物线的定义得到，|DE|1212x x =++=121k+，|AB|234112x x k =++=+，所以|AB|•|DE|()22111k k ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭2221k k ++，再利用基本不等式即可求出|AB|•|DE|的最小值． 解：由题意可知，焦点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为：14x =-，显然直线l 1的斜率存在且不为零，设直线l 1的方程为：14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵直线l 1，l 2互相垂直，∴直线l 2的斜率为1k-， 联立方程214y k x y x⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去y 得：2222110216k k x k x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），∴21222111122k x x k k++==+， 同理可得：23412x x k +=+，由抛物线的定义可知，|DE|1212x x =++=121k +，|AB|234112x x k =++=+， ∴|AB|•|DE|()22111k k ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭22212k k ++≥+=4，当且仅当221k k =，即1k =±时，等号成立，∴|AB|•|DE|的最小值为4， 故选：B ． 点评：本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及基本不等式的应用，属于中档题．12．设2()1x f x x =+，()32(0)g x ax a a =+->，若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则a 的取值范围是（）.A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[4,)+∞答案：B先对函数()f x 分0x =和0x ≠，运用二次函数的值域求法，可得()f x 的值域，运用一次函数的单调性求出函数()g x 的值域，由题意可得()f x 的值域包含在()g x 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得a 的取值范围． 解：∵()21x f x x =+，当0x =时，()0f x =， 当0x ≠时，()221111111()24f x x xx ==++-， 由01x <≤，即11x ≥，2111224x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，∴()102f x <≤故()012f x ≤≤，又因为()()320g x ax a a =+->，且()032g a =-，()13g a =-． 由()g x 递增，可得()323a g x a -≤≤-，对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x =成立， 可得[]10,32,32a a ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，可得320132a a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩∴35,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故选：B ． 点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想和集合的关系，是对知识点的综合考查，属于中档题． 二、填空题13．设等比数列{}n a 满足135a a +=-，133a a -=，则4a =________. 答案：8±利用等比数列{}n a 满足135a a +=-，133a a -=，列出方程组，求出1a ，q ，进而求出4a ． 解：∵等比数列{}n a 满足135a a +=-，133a a -=，∴21121153a a q a a q ⎧+=-⎨-=⎩，解得11a =-，2q =±， ∴3418a q a ==±．故答案为：8±. 点评：本题考查等比数列的第4项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．若函数()tan ln(f x x x =+为偶函数，则a =________. 答案：1根据题意，求出()f x -的表达式，结合函数奇偶性的定义可得()((tan ln tan ln x x x x --=，变形分析可得答案．解：根据题意，函数()(f x tanxln x =，则()()((tan ln tan ln f x x x x x -=--+=--，若函数()(f x tanxln x =为偶函数，则()()f x f x -=，即((tan ln tan ln x x x x --=， 变形可得ln 0a =，解可得1a =； 故答案为：1． 点评：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数的奇偶性的定义，属于基础题． 15．随机变量ζ服从正态分布()2,Nμσ，若(2)0.234P μζμ-<≤=，则(2)P ζμ>-=________.答案：0.734根据正态分布的密度函数图象关于直线x ＝μ轴对称，即可求得(2)P ζμ>-． 解：根据题意，正态分布()2,N μσ的密度函数图象关于直线x μ=轴对称，∵(2)0.234P μζμ-<≤=，∴(2)0.50.2340.734P ζμ>-=+=． 故答案为：0.734． 点评：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及运用函数图象对称性解决概率问题，属于基础题．16．胶囊酒店是一种极高密度的酒店住宿设施，起源于日本，是由注模塑胶或玻璃纤维制成的细小空间，仅够睡眠使用.空间内电视、照明灯、电源插座等设备齐全，洗手间及淋浴设施需要共享，其特点是使捷、价格便宜，多适用于旅客.如图为一胶囊模型，它由一个边长为2的等边圆柱（其轴截面为正方形）和一个半球组成，则它的内接正四棱锥的表面积为________.答案：2192+画出图形，利用求出正四棱锥的表面积即可． 解：由题意可知几何体的直观图如图：正四棱锥的底面边长为：2，棱锥的高为：3．斜高为：2223832⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， 底面面积为：222⨯=，侧面积为：138422192⨯⨯⨯=． 所以正四棱锥的表面积为：2192+． 故答案为：2192+．点评：本题考查几何体的内接体，正四棱锥的表面积的求法，是基本知识的考查，属于中档题． 三、解答题17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1n nb S =，求数列n b 的前n 项和n T . 答案：（1）n a n =（2）1n nT n =+ （1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，然后结合题干根据等差数列的通项公式和求和公式列出关于首项1a 与公差d 的方程组，解出1a 与d 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由第（1）题的结果计算出数列{}n b 的通项公式，然后利用裂项相消法计算出前n 项和n T ． 解：（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则314123434102a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 整理，得1123235a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩.∴()111n a n n =+-⨯=． （2）由（1）知，()12n n n S +=， ∴()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n n b S n n n n ， ∴111111121222223341n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111212231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+ 点评：本题主要考查等差数列的基础知识，以及运用裂项相消法求前n 项和．考查了转化与化归思想，方程思想，逻辑思维能力和数学运算能力．属于中档题．18．为研究家庭收入和食品支出的关系，随机抽取了个家庭的样本，得到数据如下表所示. 10个家庭的月收入额与食品支出额数据（单位：百元）参考数据：101293ii x==∑，10181i i y ==∑，10219577ii x ==∑，1021701ii y ==∑，1012574i i i x y ==∑.参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. （1）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.一个家庭或个人收入越少，用于购买生存性的食物的支出在家庭或个人收入中所占的比重就越大对一个国家而言，一个国家越穷，每个国民的平均支出中用来购买食物的费用所占比例就越大.恩格尔系数达59%以上为贫困，50~59%为温饱，40~50%为小康，30~40%为富裕，低于30%为最富裕.根据上述样本数据，请估计这个国家达到最富裕（恩格尔系数<30%）的家庭比例；（2）建立y （支出）关于x （收入）的回归方程（系数精确到0.01），并解释ˆb及ˆa 的现实生活意义.答案：（1）20%（2）0.2 2.24y x =+，解释见解析（1）根据恩格尔系数的定义算出10个家庭的恩格尔系数，其中系数低于30%的家庭有5个，从而算出最富裕家庭的比例；（2）结合表格中数据和a 、b 的公式计算出回归方程的系数即可得解． 解：（1）由题意可知，10个家庭的恩格尔系数如下表所示：所以样本中达到最富裕的家庭有5个，估计这个国家达到最富裕的家庭比例为51 102=.（2）10129329.3 1010iixx====∑，101818.11010iiyy====∑，所以()()()101010102112221125741029.38.10.20110109577029.3i i i ii ii ii ix x y y x y xybx x x x====----⨯⨯===≈-⨯--∑∑∑∑，故8.10.2029.3 2.24a y bx=-=-⨯=所以y关于x的回归方程为0.20 2.24y x=+.b的现实意义为收入每增加1百元，估计支出增加的值；a的现实意义为用于购买生存性的食物的最少支出．点评：本题考查概率和回归方程的求法，考查学生数据分析的能力和运算能力，属于中档题．19．如图，在棱长为a的正方体1AC中，M，N，E，F分别是11A B，11A D，11B C，11C D的中点.（1）求证：平面//AMN平面BEFD；（2）求直线AF与平面BEFD所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）49（1）设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：MN//平面EFBD，AK//平面EFBD，进而得到平面AMN//平面EFBD．（2）求出平面平面EFBD的法向量，根据两个法向量夹角公式，可得直线AF与平面BEFD所成角的正弦值．解：（1）证明：如图1，连接B1D1，EN，∵M、N分别是A1B1，A1D1的中点，∴MN//D1B1，又∵DD 1//BB 1且DD 1＝BB 1，∴DBB 1D 1为平行四边形，得D 1B 1//DB ，∴MN //DB ， ∵MN ⊄平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ， ∴MN //平面BDEF ，∵在正方形A 1B 1C 1D 1中，M ，F 分别是棱A 1B 1，D 1C 1的中点， ∴MF //A 1D 1且MF ＝A 1D 1，又∵A 1D 1//AD 且A 1D 1＝AD ，∴MF //AD 且MF ＝AD ， ∴四边形ABEN 是平行四边形，∴AM //DF ，又∵AM ⊄平面BDEF ，DF ⊂平面BDEF ，∴AM //平面BDEF ， ∵AM ⊂平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，且AM ∩MN ＝M ， ∴平面AMN //平面DBEF ．（2）如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4， 则B （0，0，0），E （0，2，4），D （4，4，0），A （4，0，0），F （2，4，4）()244AF =-，，，()024BE =，，，()440BD =，，.设平面BDFE 的法向量为()m x y z =，，所以240440m BE y z m BD x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，()221m =-，，，4844369m AF cos m AF AF m-=>-+<==-⨯⋅，∴直线AF 与平面BEFD 所成角的正弦值为49．点评：本题考查空间向量知识的运用，考查线面角、面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆的长轴长为4，离心率为12，若直线:l y kx m=+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且22OA OB b k k a⋅=-（O 为坐标原点）.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：AOB 的面积为定值，并求此定值.答案：（1）22143x y +=（23（1）由长轴长及离心率和a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的标准方程； （2）将直线与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，由（1）可得22OA OBb k k a⋅=-的值，进而可得k ，m 的关系，求出弦长AB ，及O 到直线的距离，代入面积公式可证得面积为定值． 解：（1）由题意可得24a =，12c a =，222b a c =-，解得：24a =，23b =， 所以椭圆的标准方程为：22143x y +=.（2）由（1）得：设()11,A x y ，()22,A x y ，因为2234OA OBb k k a ⋅=-=-，即121234y y x x =- 联立直线与由的方程：2234120y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得：()2223484120k x kmx m +++-=，>0∆，122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=-+， ∴()222222121212222222(412)8312343434y k m k m m k m k k y k x x km x x m k =+--=-+=+++++， 由可得：22231234124m k m -=--可得22234m k =+，所以弦长AB ===， O 到直线l的距离d ==，所以14122ABCS A B d ∆==⨯==所以可证：AOB ∆ 点评：本题考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题． 21．已知函数()ln f x kx x =-.（1）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求k 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >.答案：（1）1k （2）证明见解析（1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出；（2）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决． 解：（1）∵()ln f x kx x =-，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增 ∴1()0f x k x'=-≥在()1,+∞恒成立，∴1k x≥， ∴1k；（2）证明：不妨设120x x >>，∵()()120f x f x ==，∴11ln 0kx x -=，22ln 0kx x -=， 可得()1221ln ln k x x x x +=+，()1212ln ln k x x x x -=-，要证明212x x e >，即证明21ln ln 2x x +>，也就是证()122k x x +>，∵1212lnx lnx k x x -=-，∴即证明：1212122lnx lnx x x x x --+＞，即12112221ln 1x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+＞，令12x t x =，则1t >，于是()21ln 1t t t ->+． 令()()21ln 1t g t t t -=-+，1t >，则()22(1)(1)t g t t t -'=+，故函数()g t 在()1,+∞上是增函数，∴()()10g t g >=，即()21ln 1t t t ->+成立．∴原不等式成立． 点评：本题考查函数的单调性的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，转化思想的应用，属于较难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的方程为330x --=，椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）. （1）求直线l 的参数方程和椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.答案：（1）直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；椭圆C 的标准方程是2214y x +=（2）167AB =（1）根据题意，将直线的方程变形可得)1y x =-，写出参数方程的形式即可，将椭圆的方程变形可得2212y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理即可得答案；（2）根据题意，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线的方程与椭圆的方程联立可得223414042t t ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，求出1t ，2t 的值，又由12AB t t =-，即可得答案． 解：（1）根据题意，已知直线l的方程为330x --=，即)1y x =-，其参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则有2212y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 变形可得2214y x +=，即椭圆C 的标准方程为2214y x +=；（2）直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，椭圆C 的标准方程为2214y x +=，变形可得22440y x +-=，又由直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则有223414042t t ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，变形可得27160t t +=，则10t =，2167t =-， 则12167AB t t =-=．点评：本题考查参数方程的应用，涉及直线、椭圆的参数方程与普通方程的互化，属于中档题．23．已知函数()||f x x m =-的最小值为232（其中0m >）. （1）求m 的值；（2）若222a b c m ++=，求2224911a b c +++的最小值. 答案：（1）12（2）3（1）对()f x 化简，对绝对值号进行分类讨论，求出()f x 的最小值32122f ⎪⎝⎭=⎛⎫-，求出m ； （2）由11m =，利用柯西不等式求出即可． 解：（1）()||21f x x m x x m =-=++-的最小值为232（其中0m >）当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()31f x x m =+-，当1,2x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()1f x x m =++， 当(),x m ∈+∞时，()31f x x m =-+， 图象如下：1122f m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()21f m m =+，()1121022m m m +-+=--< 故1123()222min f x f m ⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭，故11m =； （2）由22211a b c ++=， 由柯西不等式得，()()22222224912313611a b c a b c +++⎛⎫++≥++= ⎪+⎝⎭，当且仅当()22441491c a b +==时，即2,6,1a b c ===时取等号， 故2224911a b c +++的最小值为3． 点评：本题考查绝对值不等式的求法，柯西不等式求最值问题，考查运算能力和变换技巧，属于中档题．。

南宁市达标名校2020年高考三月质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．23D ．432．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2kB ．4kC ．4D ．23．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ） A ．6π或56πB ．4πC ．3π D ．6π或3π 5．已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 3，则p=（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．36f x f x ()f x x <，则下列不等式成立的是（ ） A ．()()221f f < B ．()()3344ff <C ．()()2334f f <D ．()()3223f f <7．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．28．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n CB ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 9．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+D ．345i-+ 10．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]11．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．512．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．12πC ．1112πD ．56π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。