八年级数学上册第四章一次函数4.4一次函数的应用1学案无答案新版北师大版

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《4.4一次函数的应用》解答题优生辅导训练（附答案）1．一次函数y＝﹣x+2的图象经过A（0，a）、B（b，0）两点．（1）求a、b的值，并画出一次函数的图象；（2）点C是第一象限内一点，△ABC为等腰直角三角形且∠C＝90°，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线BC向左平移恰好经过点A时与x轴交于点D．求直线AD、AB与x轴所围成的三角形的面积．2．如图，在直角坐标系中，A（1，4），B（1，1），C（5，1），点D是x轴上的动点．（1）四边形ABDC的面积是；（2）当直线AD平分△ABC的面积时，求此时直线的表达式；（3）当△ACD的面积是10时，直接写出点D的坐标．3．如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）．（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；（2）如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0）．①求△CGF的面积；②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）若（2）中的点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m（m＜0），点E在x轴上运动，当m取何值时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC 全等？请直接写出相应的m的值．4．如图，已知点A（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8．（1）直接写出b、k的值；（2）若直线l1、l2与y轴分别交于点C、D，点P在线段BC上，满足S△BDP＝S△BDC，求出点P的坐标；（3）若点Q是直线l2上一点，且∠BAQ＝45°，求出点Q的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC 的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，点D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，直线y＝x交BC于点E，连接DE并延长交x轴于点F．（1）求出点E的坐标；（2）求证：△ODE是直角三角形；（3）过D作DH⊥x轴于点H，动点P以2cm/s的速度从点D出发，沿着D→H→F方向运动，设运动时间为t，当t为何值时，△PEH是等腰三角形？7．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，画出点E的位置，并求E点的坐标．（3）若点D是折线A﹣B﹣C上一动点，是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；（2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，请求出点P的坐标；（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，直线l：y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，AC⊥x轴，BC⊥y轴．如果点E由点O出发沿OA方向向点A匀速运动，同时点D由点C出发沿CB方向向点B 匀速运动，它们的速度分别为每秒2个单位长度和每秒1个单位长度．DF⊥OA，分别交AB、OA于点P和F，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）求线段AB的长；（2）连接DE与AB交于点Q，当t为何值时，DE⊥AB？（3）连接EP，当△EP A的面积为3时，求t的值．10．如图，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一定点P（0，6）．动点Q从A点出发以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）请直接写出点A和点B的坐标；（2）求△POQ的面积S与Q的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t为何值时，△POQ≌△AOB，求出此时点Q的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在y轴上运动．（1）求直线AB的函数关系式；（2）当点M的坐标为时，AM+BM的长最小；（3）在y轴的负半轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．12．某天早上，小军来到学校大门口时，才发现饭卡还在家里．此时离学校大门关闭的时间还有15分钟．于是他立即步行回家取饭卡，同时打电话告诉他父亲将饭卡沿路送来．他父亲从家里出发骑摩托车以他5倍的速度给他送饭卡，两人在途中相遇，随后小军立即坐父亲的摩托车赶回学校．，如图中线段AB、OB分别表示父子俩送卡、取卡过程中，离学校大门的路程S（米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑摩托车和步行的速度始终保持不变）：（1）求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式；（2）小军能否在学校大门关闭前到达学校？13．如图，已知直线l1：y＝﹣x+2与直线l2：y＝2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．14．某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；（3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？15．如图所示，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B（﹣3，0），交y轴于点A（0，1），直线x＝﹣1交AB于点D，P是直线x＝﹣1上一动点，且在点D上方，设P（﹣1，n）．（1）求直线AB的解析式；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）点C是y轴上一点，当S△ABP＝2时，△BPC是等腰三角形，①满足条件的点C的个数是个（直接写出结果）；②当BP为等腰三角形的底边时，求点C的坐标．16．某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，现已知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元．（1）写出y与x之间的函数表达式．（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？17．如图，l1反映了某公司产品的收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的成本与销售量的关系，根据图象解决下列问题：（1）当销售量为2t时，收入＝元，成本＝元，盈利为元，当销售量＝t时，收入＝成本；（2）求出盈利w与销售量x的函数表达式．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．（3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式；（2）求乙出发后几小时追上甲车？20．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB位于x轴，A（1，0），B（3，0），矩形的宽AD为1，一条直线y＝kx+2（k≠0）与折线ABC交于点E．（1）证明：直线y＝kx+2始终经过一个定点，并写出该定点坐标；（2）当直线y＝kx+2与矩形ABCD有交点时，求k的取值范围；（3）设△CDE的面积为S，试求S与k的函数解析式．21．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，过点D（8，0）和点E的直线分别与BC、y轴交于点F、G．（1）求直线DE的函数关系式；（2）函数y＝mx﹣2的图象经过点F且与x轴交于点H，求出点F的坐标和m值；（3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG的面积．22．三水区响应“绿色环保”号召，鼓励市民节约用电，对电费采用分段收费标准，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）之间关系的图象如图所示：（1）当用电量不超过50度时，每度收费多少元？超过50度时，超过的部分每度收费多少元？（2）若某户居民某月交电费120元，该户居民用电多少度？23．在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从A市送到B市，到达B市放下志愿者后立即按原路原速返回A市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从B市向A市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同一条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为x（h），两人相距y（km），如图表示y随x变化而变化的情况，根据图象解决以下问题：（1）A、B两市之间的路程为km；点M表示的实际意义是；（2）小张开车的速度是km/h；小李骑摩托车的速度是km/h．（3）试求出发多长时间后，两人相距60km．24．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止．甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B 地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙．（2）求m的值．（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇．参考答案1．解：（1）∵y＝﹣x+2的图象经过A（0，a）、B（b，0）两点，当x＝0时，y＝2，∴A（0，2），∴a＝2，当y＝0时，x＝3，∴B（3，0），∴b＝3，一次函数的图象如图：（2）如图，当点C在AB上方时，作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N，∵ON⊥OM，CM⊥x轴，CN⊥y轴，∴四边形ONCM是矩形，∴CM⊥CN，∴∠MCN＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACN＝∠BCM，∵△ABC为等腰直角三角形且∠C＝90°，∴AC＝BC，∵∠ANC＝∠BMC，∴△ACN≌△BCM（AAS），∴CN＝CM，AN＝BM，∴矩形ONCM是正方形，∴ON＝OM，∵A（0，2）、B（3，0），∴2+AN＝3﹣BM，∴AN＝BM＝，∴ON＝OM＝，∴C点坐标为（，）；如图，当点C在AB下方时，同理可得C点坐标为（，﹣），∵点C是第一象限内一点，∴C点坐标为（，﹣），不合题意，舍去，综上，C点坐标为（，）；（3）设直线BC的解析式是y＝kx+b，∵B（3，0），C点坐标为（，），∴，解得：．则直线BC的解析式是：y＝﹣5x+15．∵将直线BC向左平移恰好经过点A．A（0，2），∴直线AD的解析式为y＝﹣5x+2，∴点D的坐标为（，0），∴直线AD、AB与x轴所围成的三角形的面积为：S△ADB＝×（3﹣）×2＝．2．解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，∵A（1，4），B（1，1），C（5，1），∴AB＝3，BC＝4，且AB⊥BC，DE＝1，∴△ABC的面积＝×3×4＝6，△BDC的面积＝×4×1＝2，∴四边形ABDC的面积＝△ABC的面积+△BDC的面积＝8．故答案为：8．（2）当直线AD过边BC的中点F时，直线AD平分△ABC的面积，∵B（1，1），C（5，1），∴F（3，1），设直线AF的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AF的解析式为y＝﹣x+．（3）如图，延长AC交x轴于点G，设直线AC的解析式为：y＝mx+n，∵A（1，4），C（5，1），∴，解得，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+．令y＝0，则x＝．∴G（，0），设点D的坐标为（t，0），则DG＝|t﹣|，∴△ADG的面积为×4×|t﹣|＝2|t﹣|，△DCG的面积为：×1×|t﹣|＝|t﹣|，∴△ACD的面积＝△ADG的面积﹣△CDG的面积＝|t﹣|＝10，解得t＝13或t＝﹣．∴点D的坐标为（13，0）或（﹣，0）．3．解：（1）将点C（a，7）代入y＝x，可得a＝﹣3，∴点C的坐标（﹣3，7），将点C（﹣3，7）和点A（﹣10，0）代入y＝kx+b，可得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+10；（2）①∵点E的坐标是（﹣15，0），∴当x＝﹣15时，y＝﹣＝35，y＝﹣15+10＝﹣5，∴点F的坐标为（﹣15，35），点G的坐标为（﹣15，﹣5），∴S△CGF＝＝；②存在，证明：由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM﹣PC的值最大，令x＝0，则y＝10，∴点B的坐标（0，10），∵点M为y轴上OB的中点，∴点M的坐标为（0，5），设直线MC的解析式为y＝ax+5，将C（﹣3，7）代入得：7＝﹣3a+5，解得：a＝﹣，∴直线MC的解析式为y＝x+5，当x＝﹣15时，y＝，∴点P的坐标为（﹣15，15），∴PM﹣PC＝CM＝＝；（3）∵B（0，10），A（﹣10，0），∴OA＝OB＝10，∠CAO＝∠ABO＝45°，分三种情况讨论：①当△OAC≌△QCA，如图：∴∠CAO＝∠QCA＝45°，∴QC⊥OA，即CQ∥y轴，∴CQ经过点E，∴m＝﹣3；②当△ACO≌△ACQ，如图：∴∠CAQ＝∠CAO＝45°，∴QA⊥OA，即QA经过点E，∴点E，A重合，∴m＝﹣10；③当△ACO≌△CAQ，如图，∴∠CAO＝∠ACQ＝45°，AO＝CQ，∴CQ∥x轴，∴四边形AOCQ是平行四边形，CQ＝AO＝10，AE＝3，∴m＝﹣13；综上所述，当m取﹣3或﹣10或﹣13时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等．4．解：（1）将点A的坐标代入y＝2x+b中，得﹣5＝2×2+b，解得：b＝﹣9，∴直线l1的解析式为y＝2x﹣9，将x＝8代入y＝2x﹣9中，解得：y＝7，∴点B的坐标为（8，7），将点B的坐标代入y＝kx﹣1中，得7＝8k﹣1，解得：k＝1，综上：b＝﹣9，k＝1；（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥y轴于F，∵点B的坐标为（8，7），∴BE＝8，∵S△BDP＝S△BDC，∴S△CDP＝S△BDC，∴CD•PF＝×CD•BE，∴×8PF＝×8×8，∴PF＝6，即点P的横坐标为6，将x＝6代入y＝2x﹣9中，解得：y＝3，∴点P的坐标为（6，3）；（3）过Q作QE⊥AQ交AB于E，过Q作FG∥y轴，过A作AF⊥FG于F，过E作EG ⊥FG于G，∵∠G＝∠F＝∠EQA＝90°，∴∠EQG+∠AQF＝90°，∠QAF+∠AQF＝90°，∴∠EQG＝∠QAF，∵∠EQA＝90°，∠QAE＝45°，∴△AQE是等腰直角三角形，∴EQ＝QA，在△EGQ和△QF A中，，∴△EGQ≌△QF A（AAS），∴EG＝QF，QG＝AF，设Q（a，a﹣1），∵A（2，﹣5），∴AF＝2﹣a，FQ＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，∴点E坐标（2a+4，1），把E（2a+4，1）代入y＝2x﹣9中，得4a+8﹣9＝1，解得：a＝，∴点Q的坐标为（，﹣）．5．解：（1）设直线AC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：．则直线AC的解析式是：y＝﹣x+6；（2）∵C（0，6），A（4，2），∴OC＝6，∴S△OAC＝×6×4＝12；（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，解得：m＝．则直线的解析式是：y＝x，∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，∴M到y轴的距离是×4＝1，∴点M的横坐标为1或﹣1；当M的横坐标是：1，在y＝x中，当x＝1时，y＝，则M的坐标是（1，）；在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）．则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）．当M的横坐标是：﹣1，在y＝﹣x+6中，当x＝﹣1时，y＝7，则M的坐标是（﹣1，7）．综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）或M3（﹣1，7）．6．解：（1）D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，则点D（2，4），当x＝4时，y＝x＝3，故点E（4，3）；（2）点O、D、E的坐标分别为：（0，0）、（2，4）、（4，3），则DO2＝20，OE2＝25，DE2＝5，故OE2＝OD2+ED2，故：△ODE是直角三角形；（3）点E、H的坐标分别为：（4，3）、（2，0），①当点P在HD上时，此时0＜t≤2，点P（2，4﹣2t），则PH2＝（4﹣2t）2，PE2＝4+（1﹣2t）2，HE2＝13，当PH＝PE时，（4﹣2t）2＝4+（1﹣2t）2，解得：t＝；当PH＝HE时，同理可得：t＝（不合题意值已舍去）；当PE＝HE时，同理可得：t＝4；②当点P在HF上时，点P（2t﹣2），由点D、E的坐标得，直线ED的表达式为：y＝﹣x+5，令y＝0，则x＝10，即点F（10，0），则2＜t≤6；PE2＝（2t﹣6）2+9，PH2＝（2t﹣4）2，EH2＝13；当PE＝PH时，（2t﹣6）2+9＝（2t﹣4）2，解得：t＝；当PE＝EH时，同理可得：t＝4；当PH＝EH时，同理可得：t＝综上，当t＝或4或或或．7．解：（1）在y＝x+4中，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．把B（0，4）代入，y＝﹣2x+b，得b＝4∴直线BC为：y＝﹣2x+4．在y＝﹣2x+4中，令y＝0，得x＝2，∴C点的坐标为（2，0）；（2）如图点E为所求点D是AB的中点，A（﹣4，0），B（0，4）．∴D（﹣2，2）．点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，﹣4）．设直线DB1的解析式为y＝kx+b．把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入一次函数表达式并解得：故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．令y＝0，得E点的坐标为（﹣，0）．（3）存在，D点的坐标为（﹣1，3）或．①当点D在AB上时，由OA＝OB＝4得到：∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D点的坐标为（﹣1，3）；②当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．在△AOF与△BOC中，∠F AO＝∠CBO，∠AOF＝∠BOD，AO＝BO，∴△AOF≌△BOC（ASA）．∴OF＝OC＝2，∴点F的坐标为（0，2），易得直线AD的解析式为，与y＝﹣2x+4组成方程组并解得：x＝，∴交点D的坐标为．8．解：（1）直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B 的坐标分别为（6，0）、（0，3），联立式y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，故点C（2，2）；△COB的面积＝×OB×x C＝×3×2＝3；（2）设点P（m，﹣m+3），S△COP＝S△COB，则BC＝PC，则（m﹣2）2+（﹣m+3﹣2）2＝22+12＝5，解得：m＝4或0（舍去0），故点P（4，1）；（3）设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m）、（0，n），①当∠MQN＝90°时，∵∠GNQ+∠GQN＝90°，∠GQN+∠HQM＝90°，∴∠MQH＝∠GNQ，∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN，∴△NGQ≌△QHM（AAS），∴GN＝QH，GQ＝HM，即：m＝3﹣m﹣n，n﹣m＝m，解得：m＝，n＝；②当∠QNM＝90°时，则MN＝QN，即：3﹣m﹣m＝m，解得：m＝，n＝y N＝3﹣＝；③当∠NMQ＝90°时，同理可得：n＝；综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．9．解：（1）∵y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点B（0，6），点A（8，0），∴AB＝＝10；（2）∵AC⊥x轴，BC⊥y轴，DF⊥OA，∴四边形ACDF是矩形，∴AC＝DF＝6，由题意可得OE＝2t，CD＝t，∴AF＝t，AE＝OA﹣OE＝8﹣2t，BD＝8﹣t，∴EF＝8﹣3t，∵DE⊥AB，∴∠QEA+∠QAE＝90°，又∵∠DEF+∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠QAE，且∠DFE＝∠BOA＝90°，∴t＝；（3）PF＝t，∵△EP A的面积为3，∴（8﹣2t）×t＝3，∴t＝2．10．解：（1）∵若x＝0，则y＝2，若y＝0，则0＝﹣x+2，∴点B的坐标为（0，2），点A的坐标为（6，0）；（2）①点Q在x轴的正半轴，则S＝OQ•OP＝（6﹣t）×6，即S＝﹣3t+18（0≤t＜6）；②若Q在O时，则S＝0，此时t＝6；③若点Q在x轴的负半轴，S＝（t﹣6）×6，即S＝3t﹣18（t＞6）；（3）∵OP＝OA，∠AOB＝∠POQ＝90°，∴只需OB＝OQ＝2，则△POQ≌△AOB，若Q在x轴的正半轴时，AQ＝6﹣2＝4，则t＝4，若Q在x轴的负半轴，AQ＝6+2＝8，则t＝8，故当t＝4或8时，△POQ≌△AOB，此时Q（2，0）或（﹣2，0）．11．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，2），B（6，0）代入可得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6．（2）如图，作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于M，此时MB+MA的值最小，∵B′（﹣6，0），A（4，2），设直线AB′的解析式为y＝mx+n，则有，解得，∴直线AB′的解析式为y＝x+，∴M（0，），AM+BM的最小值＝AB′＝＝2，故答案为（0，）．（3）如图，①过点A作AB的垂线AM交y轴与M．∵直线AB的解析式为y＝﹣x+6，∴直线AB与x轴的夹角为45°，∴直线AM与x轴的夹角为45°∴直线AM的解析式为y＝x﹣2，∴M（0，﹣2）．②过点B作BM′⊥AB交y轴与M′，同法可得直线BM′的解析式为y＝x﹣6，∴M′（0，﹣6），综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）．12．解：（1）从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟，设小军步行的速度为x米/分，则小军父亲骑车的速度为5x米/分，依题意得：15x+15×5x＝3600，解得：x＝40，所以两人相遇处离学校大门口的距离为40×15＝600米，所以点B的坐标为（15，600），设直线AB的函数关系式为s＝kt+b（k≠0），由题意，直线AB经过点A（0，3600）、B（15，600），得：，解得，所以直线AB的函数关系式为：S＝﹣200t+3600；（2）由S＝﹣200t+3600；令S＝0，得0＝﹣200t+3600解得：t＝18，即小军的父亲从出发到学校门口花费的时间为18分钟，因而小军取票的时间也为18分钟，因为15﹣18＝﹣3（分钟），所以小军不能在学校大门关闭前到达学校．13．解：（1）由题意得，解得x＝﹣2，y＝4，∴F点坐标：（﹣2，4）；过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M，ME＝MF＝4，△MEF是等腰直角三角形，∠GEF＝45°；（2）∵点G是直线l2与x轴的交点，∴当y＝0时，2x+8＝0，解得x＝﹣4，∴G点的坐标为（﹣4，0），则C点的横坐标为﹣4，∵点C在直线l1上，∴点C的坐标为（﹣4，6），∵由图可知点D与点C的纵坐标相同，且点D在直线l2上，∴点D的坐标为（﹣1，6），∵由图可知点A与点D的横坐标相同，且点A在x轴上，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴DC＝|﹣1﹣（﹣4）|＝3，BC＝6；（3）∵点E是l1与x轴的交点，∴点E的坐标为（2，0），S△GFE＝＝＝12，若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，当t秒时，移动的距离是1×t＝t，则B点的坐标为（﹣4+t，0），A点的坐标为（﹣1+t，0）；①在运动到t秒，若BC边与l2相交设交点为N，AD与l1相交设交点为K，那么﹣4≤﹣4+t≤﹣2，即0≤t≤2时．N点的坐标为（﹣4+t，2t），K点的坐标为（﹣1+t，3﹣t），s＝S△GFE﹣S△GNB﹣S△AEK＝12﹣＝﹣t2+3t+，②在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，AD与l1相交设交点为K，那么﹣2＜﹣4+t且﹣1+t≤2，即2＜t≤3时．N点的坐标为（﹣4+t，6﹣t），K点的坐标为（﹣1+t，3﹣t），s＝S梯形BNKA＝＝，③在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，AD与l1不相交，那么﹣4+t≤2且﹣1+t＞2，即3＜t≤6时．N点的坐标为（﹣4+t，6﹣t），s＝S△BNE＝＝，答：（1）F点坐标：（﹣2，4），∠GEF的度数是45°；（2）矩形ABCD的边DC的长为3，BC的长为6；（3）s关于t的函数关系式：S＝．14．解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元．解得：答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．（2）∵当0≤x≤14时，y＝x；当x＞14时，y＝14+（x﹣14）×2.5＝2.5x﹣21，∴所求函数关系式为：y＝（3）∵x＝24＞14，∴把x＝24代入y＝2.5x﹣21，得：y＝2.5×24﹣21＝39（元）．答：小英家三月份应交水费39元．15．解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，把点A（0，1），点B（﹣3，0）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式是：y＝x+1；（2）∵P（﹣1，n），∴D（﹣1，），即PD＝n﹣，∴S△APB＝PD•OB＝（n﹣）×3＝n﹣1；（3）当S△ABP＝2时，2＝n﹣1，解得n＝2，∴点P（﹣1，2）．∵E（﹣1，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°，BP＝2，当CP＝BP时，如图，以点P为圆心，BP长为半径作弧，交y轴于点C、C′，过点P 作PF⊥y轴于点F．∵BP＝2，∴BP＝PC＝PC′＝2，∵点P（﹣1，2）．∴PF＝1，OF＝2，∵PC＝PC′＝2，∴CF＝C′F＝＝，∴CO＝CF+OF＝2+，C′O＝C′F﹣OF＝﹣2，∴点C的坐标为（0，2+）或（0，2﹣），当CP＝CB时，如图，作BP的垂直平分线，垂足为M，交y轴于点C，过点P作PH⊥y轴于点H．∵BP＝2，∴BM＝PM＝，∵点P（﹣1，2）．∴PH＝1，OH＝2，∵PC＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠EPB＝∠EBP＝45°，∴∠CBP﹣∠EBP＝∠CPB﹣∠EPB，即∠EPC＝∠OBC，∵PE∥y轴，∴∠EPC＝∠PCH，∴∠OBC＝∠PCH，∵∠BOC＝∠CHP＝90°，PC＝BC，∴△BOC≌△CHP，∴CH＝OB＝3，∴CO＝CH﹣OH＝2﹣1＝1，∴点C的坐标为（0，﹣1），当BP＝CB时，如图，∵OB⊥y轴，∴点B到y轴的最短距离为OB的长，∵BP＝2，OB＝3，2＜3，∴以点B为圆心，BP长为半径作弧与y轴没有交点，∴此种情况不存在．综上，点C的坐标为（0，2+）或（0，2﹣）或（0，﹣1），有3个，故答案为：3；②由①得当BP为等腰三角形的底边时，CP＝CB，此时点C的坐标为（0，﹣1）．16．解：（1）设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y＝kx+b 由题意得，解得k＝，b＝﹣5∴该一次函数关系式为（2）∵，解得x≤30∴旅客最多可免费携带30千克的行李．答：（1）行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为；（2）旅客最多可免费携带30千克的行李．17．解：（1）通过图象观察可以得出，当x＝2时，对应的与l1的交点是（2，4000），与l2的交点是（2，6000），∴当销售量为2t时，收入＝4000元，成本＝6000元，∴盈利为：收入﹣成本＝4000﹣6000＝﹣2000（元）．l1与l2的交点坐标是（4，8000），则当销售量是4t时，收入＝成本．故答案为：4000，6000，﹣2000，4；（2）设l1对应的函数表达式是y1＝ax，将（2，4000）代入y1＝ax，∴4000＝2a，解得；a＝2000，∴l1对应的函数表达式是：y1＝2000x；设l2对应的函数关系式为y2＝kx+b，∵l2过点（0，4000），∴b＝4000，又∵l2过点（2，6000），∴6000＝2k+4000，解得：k＝1000，所以y2＝1000x+4000；w＝y1﹣y2＝2000x﹣（1000x+4000）即w＝1000x﹣4000．18．解：（1）联立两直线解析式成方程组，得：，解得：，∴点C的坐标为（4，4）；（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝32；当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；当PO＝OC时，同理可得：m＝；故点P的坐标为：（4，0）或（8，0）或（，0）或（，0）；（3）当y＝0时，有0＝﹣2x+12，解得：x＝6，∴点A的坐标为（6，0），∴OA＝6，∴S△OAC＝×6×4＝12．设M（x，y）当M在x轴下方时，△MOC的面积是△AOC面积的2倍，∴△MOA的面积等于△AOC的面积，×6×|y|＝12，当y＝﹣4时，﹣4＝﹣2x+12，x＝8，∴M（8，﹣4），当M在x轴上方时，△MOC的面积是△AOC面积的2倍，∴△MOA的面积等于△AOC的面积的3倍，×6×|y|＝12×3；当y＝12时，12＝﹣2x+12，x＝0，∴M（0，12），综上所述，M（8，﹣4）或（0，12）．19．解：（1）设乙对应的函数关系式为y＝kx+b将点（4，300），（1，0）代入y＝kx+b得：解得：，∴乙对应的函数关系式y＝100x﹣100；（2）易得甲车对应的函数解析式为y＝60x，联立，解得：，2.5﹣1＝1.5（小时），∴乙车出发后1.5小时追上甲车．20．解：（1）不论k取何值，当x＝0时，y＝2，则函数一定经过定点（0，2）；（2）当直线经过点A时，把点（1，0）代入y＝kx+2得：k+2＝0，解得：k＝﹣2；当直线经过点C（3，1）时，代入y＝kx+2得：3k+2＝1，解得：k＝﹣，则k的取值范围是：﹣2≤k≤﹣；（3）CD＝3﹣1＝2，当直线经过点B时，把B的坐标（3，0），代入y＝kx+2得：3k+2＝0，解得：k＝﹣，当﹣2≤k≤﹣时，E在AB上，则S△CDE＝×2×1＝1；当﹣＜k＜﹣时，E在BC上，在y＝kx+2中，令x＝3，则y＝3k+2，则CE＝1﹣（3k+2）＝﹣3k﹣1则S△CDE＝×2×（﹣3k﹣1）＝﹣3k﹣1．即S＝﹣3k﹣1．21．解：（1）设直线DE的解析式为：y＝kx+b，∵顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，∴点E的坐标为：（6，2），∵D（8，0），∴，解得：，∴直线DE的函数关系式为：y＝﹣x+8；（2）∵点F的纵坐标为4，且点F在直线DE上，∴﹣x+8＝4，解得：x＝4，∴点F的坐标为；（4，4）；∵函数y＝mx﹣2的图象经过点F，∴4m﹣2＝4，解得：m＝；（3）由（2）得：直线FH的解析式为：y＝x﹣2，∵x﹣2＝0，解得：x＝，∴点H（，0），∵G是直线DE与y轴的交点，∴点G（0，8），∴OH＝，CF＝4，OC＝4，CG＝OG﹣OC＝4，∴S四边形OHFG＝S梯形OHFC+S△CFG＝×（+4）×4+×4×4＝18．22．解：（1）不超过50度时每度收费：30÷50＝0.6（元），超过50度时，超过的部分每度收费：（60﹣30）÷（80﹣50）＝1（元）；答：当用电量不超过50度时，每度收费0.6元，超过50度时，超过的部分每度收费1元．（2）120﹣0.6×50＝90（元），90÷1＝90（度），50+90＝140（度）．答：该户居民用电140度．23．解：（1）根据函数图象中的数据可得A、B两市之间的路程为240km，M表示的实际意义是出发2小时小张与小李相遇；故答案为：240；出发2小时小张与小李相遇；（2）小张开车的速度为：240÷3＝80（km/h），小李骑摩托车的速度为：240÷2﹣80＝40（km/h）．故答案为：80；40；（3）设出发x小时两人相距60km．有三种情况：相遇前：80x+40x+60＝240，解得x＝1.5；相遇后小张未到达B市前：80x+40x﹣60＝240，解得x＝2.5；小张返回途中：40x﹣80（x﹣3）＝60，解得x＝4.5；答：出发1.5，2.5，4.5小时，两人相距60km．24．解：（1）由图可得，，解得，，答：甲的速度是60km/h乙的速度是80km/h；（2）m＝（1.5﹣1）×（60+80）＝0.5×140＝70，即m的值是70；（3）甲车没有故障停车，则甲乙相遇所用的时间为：180÷（60+80）＝，若甲车没有故障停车，则可以提前：1.5﹣＝（小时）两车相遇，即若甲车没有故障停车，可以提前小时两车相遇．。

s=k1t+b1,s=k2t+b2中，k1,k2的实
际意义各是什么？可疑船只A与快 艇B的速度各是多少？
解：k1表示快艇B的速度,k2表示
可疑船只A的速度.A的速度是 0.2 n mile/min,快艇B的速 度是0.5 n mile/min.
三、归纳小结
如何利用图象解决实际问题
1．找出图象的特殊点，明白其实际表示的意义. 2．找出图象的交点.
600元0，销售成本＝
元5，000
（3）当销售量等于 4t 时，销售收入等于销售成本；
（4）当销售量 大于4t时，该公司赢利(收入大于成本)；当销售量
小时于，4该t 公司
亏损(收入小于成本)；
（5）l1对应的函数表达式是____y_=_1_0_0_，0xl2对应的函数表达式是_______y_=_5_0__0_x_+.2000
八年级数学北师大版·上册
第四章 一次函数
4.4（第3课时）
一、新课引入
如图，l1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， l2 反映了该公司 产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空：
（1）当销售量为2 t时，销售收入＝______2_0元0，0 销售成本=_______元30; 00
（2）当销售量为6 t时，销售收入＝
二、新课讲解
（5）当 A 逃到离海岸12 n mile 的 公海时，B 将无法对其进行检查.照 此速度，B 能否在 A 逃入公海前将 其拦截？
解：从图中可以看出，l1 与 l2 交点P的纵坐标小于12，这 说明在 A 逃入公海前，我 边防快艇 B能够追上 A.
二、新课讲解
（6）min内 B 能否追上 A？ （4）如果一直追下去，那么 B 能 否追上 A？

举一反三 某种汽车的油箱最多可储油60升，油箱中的余油
量Q(升)与行驶的时间t(小时)之间的关系如图4－4－6 所示，根据图象回答下列问题：
图4－4－6
(1)求油箱中的余油Q与行驶时间t的函数关系，并求 出t的取值范围.
(2)从开始算起，如果汽车每小时行驶60千米，当油 箱中余油10升时，该汽车行驶了多少千米？
4.4 一次函数的应用
学习目标
1. 能通过函数图象获取信息，提高学生的形象思维 能力.
2. 能利用函数图象解决简单的实际问题. 3. 初步体会方程与函数的关系.
课前预习
1. 已知一次函数y＝mx＋的图象与y轴交于点(0,3)， 且y随x值的增大而增大，则m的值是 2 .
2. 如图4－4－1所示，当x＝0时，y＝ 2 ；当y＝ 0时，x＝ -2 ；当x> -2 时，y>0；y随x的增大 而 增大 .
图4－4－5 (1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租 车公司的车合算？ (2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用 相同？
(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km， 那么这个单位租哪家车合算？
解析 本题从给出的两个函数图象中可获取以下信 息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交 点的横坐标为1 500，表明当x＝1 500时，两个函数值 相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜ 1 500时，y2＜y1.
图4－4－4
(1)小华买奖品的钱共是多少元？
100元 (2)每个奖品多少元？
2.5元 (3)若买20个奖品，还剩多少元？
50元 (4)写出图象的函数关系式.
y＝－2.5x＋100(0≤x≤40)
新知 2 同一坐标系中，两个一次函数图象的应用

一次函数的应用教师寄语：世上最重要的事，不在于我们在何处，而在于我们朝着什么方向走一、学习目标——目标明确、有的放矢 1、能利用函数图象解决简单的实际问题； 2、初步体会方程与函数的关系. 课标要求：能用一次函数解决实际问题． 二、温馨提示——方法得当、事半功倍 教学重点：一次函数图象的应用． 教学难点：从函数图象中正确读取信息． 预习提示：阅读教材91-92页. 三、课前热身——激发兴趣、温故知新1. 一次函数的定义：若两个变量x 与y 之间的关系可以表示成__________的形式,则称y 是x 的一次函数(x 为自变量,y 为因变量)，特别地,当_________时,称y 是x 的正比例函数. 2. 一次函数的图象所在的象限由k,b 的符号决定⑴ k ＞0，b ＞0时，图象经过 象限，⑵ k ＞0，b ＜0时，图象经过 象限， ⑶ k ＜0，b ＞0时，图象经过 象限, ⑷ k ＜0，b ＜0时，图象经过 象限. 3. 一次函数的性质，一次函数的增减性只与k 的正负有关⑴ k ＞0时，y 随x 的增大而______；⑵ k ＜0时，y 随x 的增大而 . 四、课堂探究——质疑解疑、合作探究 探究点1： 利用图象信息解决实际问题由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降．下图是某水库的蓄水量V （万立方米）与干旱时间t （天）之间的关系图，回答下列问题：⑴ 该水库原蓄水量是_________万立方米，持续干旱10•天后，•水库的蓄水量为_____万立方米． ⑵ 若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发生严重干旱警报，请问：•持续干旱_______天后，将发生严重干旱警报；⑶ 按此规律，持续干旱______天时，水库将干涸？例题：某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y （升）与摩托车行驶路程x (千米)之间的关系如图,根据图象回答下列问题： ⑴ 一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ ⑵ 摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？⑶ 油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？练习：如图，某植物t 天后的高度为ycm ，l 反映了y 与t 之间的关系，根据图象回答下列问题：⑴ 3天后该植物高度是_______cm ； ⑵ ______天后该植物高度是10cm ；⑶ 图象对应的一次函数b kx y +=中，k 和b 的实际意义是什么？例题：为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折线图，请根据图象回答下列问题；t/天y/cm⑴ 用电量是180千瓦时时，电费是_________元； ⑵ 第二档的用电量范围是_________； ⑶ “基本电价”是_________元/千瓦时；⑷ 小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？练习：A ，B 两地相距1100米，甲从A 地出发，乙从B 地出发，相向而行，甲比乙先出发2分钟，乙出发7分钟后与甲相遇.设甲、乙两人相距y 米，甲行进时间为t 分钟，y 与t 之间的函数关系式如图所示.请你结合图象探究：⑴ 甲的行进速度为每分钟 米，m= 分钟； ⑵ 求直线PQ 对应的函数表达式； ⑶ 求乙的行进速度.探究点2： 一元一次方程与一次函数的关系(1)如图，当0y =时，______x =；(2)直线对应的函数表达式是________________．一元一次方程0.510x +=与一次函数0.51y x =+有什么联系？结论：⑴ 从“数”的方面看，当一次函数0.51y x =+的函数值y=0时，相应的自变量的值即为方程0.510x +=解.⑵ 从“形”的方面看，函数0.51y x =+与x 轴交点的横坐标，即为方程0.510x +=的解.例题：一次函数b kx y +=的图象过A （-1,0），则方程0=+b kx 的解为________.练习：已知关于x 的方程0=+n mx 的解是2-=x ，则直线n mx y +=与x 轴的交点坐标是________．五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正）1．小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与卖瓜千克数之间的关系如图，那么小李赚了___元．2. 某机动车出发前油箱内有油42L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，根据图象回答问题：⑴机动车行驶________h后加油；⑵加油前油箱余油量Q与行驶时间t的函数关系式是________；⑶中途加油________L；⑷如果加油站距目的地还有230km，车速为40km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．3. 某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完．下图是油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数图象．根据图象回答下列问题：⑴求在第一个加工过程中，油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数关系式；⑵机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止?⑶加工完这批工件，机器耗油多少升?。