一次函数与反比例函数综合应用(学案)公开课

§17.1.1反比例函数的意义学习目标1、 抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数概念。

2、 反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系式。

3、 学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯。

1、预习39-402、复习正比例函数及一次函数的形式。

二、新课导学1、课本39页思考问题探究：下列问题中，变量间的对应关系可以用怎样的函数式表示？这些函数有什么共同特点？1、 京沪线铁路全程为1463千米，某次列车的平均速度为v （单位：km/h ）随此次列车的全程运行时间t （单位：h ）的变化而变化。

2、 某住宅小区要种植一个面积为1000m 2的矩形草坪，草坪的长y （单位:m ）随宽x （单位:m ）的变化而变化。

3、 已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S （单位：平方千米/人）随全市总人口n （单位：人）的变化而变化。

新知获得：上述函数都具有(0)ky k k x=≠为常数，，一般地，形如(0)k y k k x=≠为常数，的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数。

自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。

三 .强化练习：1.苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，则y 与x 之间的函数关系式为 ．2.某立方体的体积为1000cm 3，立方体的高h 随底面积S 的变化而变化,那么h 与s 之间的关系式3.下列函数中是反比例函数的是（ ）A ．(1)1y x +-B ．11y x =- C ．21y x = D ．23y x = 4．下列等式中，哪些是反比例函数 （1）5x y = （2）xy 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）31+=x y （7）y ＝x ＋4 四、新课导学（学生独立完成，并自己总结，教师点拨）例1：已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y =6. ⑴写出y 与x 的函数关系式。

一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生掌握一次函数和反比例函数的基本概念和性质。

2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略和思维能力。

二、教学内容1. 一次函数的基本概念和性质。

2. 反比例函数的基本概念和性质。

3. 一次函数和反比例函数的综合应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的基本概念、性质和综合应用。

2. 教学难点：一次函数和反比例函数的综合应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和反比例函数的性质。

2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体会一次函数和反比例函数的应用价值。

3. 采用合作交流法，培养学生团队协作和沟通能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入一次函数和反比例函数的概念。

2. 自主学习：让学生自主探究一次函数和反比例函数的性质。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用一次函数和反比例函数解决问题。

4. 合作交流：分组讨论，让学生分享解题策略和心得。

5. 总结提升：总结一次函数和反比例函数的性质及应用，提高学生解决问题的能力。

6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学活动设计1. 活动一：引入概念通过展示实际生活中的线性关系图片，如直线轨道上列车的运动，引导学生思考线性关系的表现形式。

引导学生提出一次函数的表达式，并解释其含义。

2. 活动二：探索性质学生通过绘制一次函数图像，观察并总结其在坐标系中的性质。

通过实际例子，让学生理解一次函数的斜率和截距对图像的影响。

3. 活动三：反比例函数的引入引导学生从比例关系出发，思考反比例函数的概念。

通过实际问题，如在固定面积内，距离与面积的关系，引入反比例函数。

七、教学评价设计1. 评价目标：学生能理解并应用一次函数和反比例函数解决实际问题。

通过设计具有挑战性的问题，如购物预算问题，让学生应用所学的函数知识。

反比例函数与一次函数的综合应用反比例函数和一次函数是数学中最常用的函数之一，它们常被用于实际工作中，可以用来模拟、分析和解决实际问题。

本文旨在探讨反比例函数和一次函数在实践中的运用。

详细探讨了反比例函数和一次函数的定义、特点、性质及其综合应用。

反比例函数的定义反比例函数是一种可以求解反比例关系的函数，它是以x和y两个变量组成的一对变量。

反比例函数也可以表示为y与x的倒数的乘积，也就是y=k/x，其中k为常数。

这种变量使得反比例函数有其独特的特征，使得反比例函数与其他函数不同。

反比例函数的特点反比例函数具有以下几个明显的特点：（1）反比例函数的图像为抛物线；（2）反比例函数的导数为负数；（3）反比例函数的函数值与变量值的乘积不变，即yx=k；（4）以反比例函数表示的关系为反比例关系。

一次函数的定义一次函数是一种最为普遍的函数，它由x和y两个变量组成。

一次函数的表达式可以以y=ax+b的形式来表示，其中a为常数，b为常数。

一次函数的特点一次函数具有以下几个明显的特点：（1）一次函数的图像为直线；（2）一次函数的导数为一恒定的常数；（3）一次函数的函数值与变量值的差值不变，即y-b=a(x-0)；（4）以一次函数表示的关系为线性关系。

反比例函数与一次函数的综合应用反比例函数和一次函数能够结合起来运用，用于模拟、分析和解决实际问题。

具体应用如下：1.于具有反比例关系的实际现象，可以用反比例函数建立模型，以研究关系性。

例如，用反比例函数可以研究不同工资水平与物价的变化关系；2.于涉及递减的实际现象，可以用一次函数建立模型，以研究关系性。

例如，用一次函数可以研究不同时间段内物价的变化关系；3.于反比例函数和一次函数具有相似关系的实际现象，可以将它们结合起来建立模型，以研究关系性。

例如，用反比例函数和一次函数可以很好地研究不同金额投资与年利润的变化关系。

结论以上，本文概述了反比例函数和一次函数的定义、特点以及综合应用情况，并且将它们在实践中的运用进行总结，提出了综合应用的建议。

反比例函数与一次函数的综合运用蒲岐中学章青海一、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1．知识与技能：通过本节学习，巩固反比例函数和一次函数的图像和性质，并能用它解决相关问题．2．过程与方法：通过观察简单图象入手，步步引入，逐渐掌握解决本节例题的方法，通过动手操作，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想．3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值．教学重点：利用反比例函数和一次函数的图像和性质解决有关问题教学难点：1、综合运用反比例函数和一次函数的图像和性质知识解决创新型问题2、对数形结合思想的理解与深入应用二、教学流程(一) 简单图象导入，温故知新教师：同学们好，请同学们看屏幕．如图，问题1.如图在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2、BC=1，你可以得出哪些结论？设计意图：让学生复习解直角三角形的知识及一般情况三角形会求哪些结论？引出面积为反比例函数的引入作铺垫。

问(2)将Rt△ABC如图放入直角坐标系中；还可以得出什么结论？设计意图：让学生体会当直角坐标系与简单几何图形结合，点线都可以用代数知识来表示，充分理解直角坐标系是数形结合很好的工具。

．借助哪个函数工具可以画出和它面积一样的直角三角形？设计意图：引入反比例函数，复习反比例函数解析式的求法，充分理解掌握k=xy 面积不变性，认识应用的基本图形，为等积法解决原题作铺垫。

问(3) .在平面直角坐标系中找到点D,使得以A 、B 、C 、 D 为顶点的四边形是平行四边形。

设计意图：比较自然的引出（0，-1）；（4，1）又可以得出直线y=21x －1,从数学思想看也复习了分类讨论思想。

问（4）.如图反比例函数y=x 4 与一次函数y=21x －1交于C,D 两点 你能提出一个新问题吗?并尝试解决.设计意图：预设3副图解决三类常见问题求交点，求三角形面积及大小比较 让学生总结方法技巧问（5）. 直线y=21x-1与x 轴交于点B,过点B 作x 轴的垂线交反比例函数y=x4于点C,连接AC 你能判断三角形ABC 的形状吗?（创新型综合问题）设计意图：还是让学生观察图形特征，总结点规律，为解决原题作基础。

一次函数和反比例函数综合应用教学设计教学过程教学环节教学活动设计意图情境引入1.复习二元一次方程与一次函数关系。

（1）已知二元一次方程组的解求相应函数图象交点坐标；（2）已知函数图象交点坐标求相应二元一次方程组的解；（3）在同一平面直角坐标系中,若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M,则点M的坐标为。

2.提出问题：一次函数的交点可以通过把一次函数相应的方程联立成方程组，方程组的解就是就是直线的交点。

那么一次函数和反比例函数的交点又怎么求？1.复习二元一次方程组的解和一次函数图象交点的坐标关系，回顾所学知识，感悟数形结合思想。

2.求一次函数图象交点的坐标，复习求一次函数交点坐标的过程，为教学求一次函数和反比例函数交点坐标作铺垫。

新知探究1.探究一次函数和反比例函数图象交点求法（1）多媒体展示题目；求反比例函数y=x2与一次函数y=x-1的图象的交点坐标。

（2）学生独立思考教师巡视指导；（3）同学间合作交流；（4）指名板演展示，教师适时点评。

（5）反思、总结求一次函数和反比例函数图象交点的方法，教师提炼板书：联立、转化、求解、写坐标。

2.求一次函数和反比例函数交点坐标例题（1）多媒体展示题目，指导学生读题；【例题1】如图，直线y＝x＋1与双曲线y＝kx的交点为A(1，m)和B.(1)求m的值；(2)求双曲线的解析式；(3)求点B的坐标．（2）学生独立思考；（3）同学间合作交流；1.学生在复习求一次函数交点坐标的基础上，利用类比的方法学习一次函数和反比例函数的交点，总结求一次函数和反比例函数的交点的步骤。

2.通过求一次函数和反比例函数的交点的例题，进一步巩固求一次函数和反比例函数的交点知识。

3.学生通过独立思考，学生间的合作交流，探究利用数形结合的方法确定自变量的取值范围，感受数形结合解决问题的好处，发展学生几何直观。

（4）多媒体展示学生完成的练习，学生互评，教师适时点评。

3.利用数形结合确定自变量的取值范围 （1）多媒体展示题目，学生读题理解题意； 【例题2】如图所示，反比例函数的图象y 1=xk 1与正比例函数y₂=k 2x 的图象交于点(2,1),则使y 1>y 2的x 的取值范围是( ) A ．0＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＞2或－2＜x ＜0D ．x ＜－2或0＜x ＜2（2）学生独立思考； （3）学生合作探究；（4）学生说解题思路，教师适时点评；（5）反思、总结根据一次函数和反比例函数图象交点确定自变量的取值范围的“三步法”：找交点写坐标，作垂线分区域，定区域写范围。

反比例函数与一次函数的综合应用一、学情分析1. 学生：学生已经学过了反比例函数和一次函数，有了一定的了解，但是综合性有待提高；2. 教材：这是初三复习内容；3. 课程：本课程针对中考反比例函数与一次函数结合的题目进行复习练习。

二、教学目标：1、知识目标：（1）一次函数、正比例函数、反比例函数的概念。

（2）一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。

2、能力目标：（1）用待定系数法求一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。

（2）会用作出一次函数、正比例函数、反比例函数的图象。

（3）能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决一次函数与反比例函数的综合题。

3、情感态度与价值观：通过解题进一步理解数形结合的数学思想在函数中的应用。

三、教学重点：1．一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。

2．用待定系数法求一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。

3．熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题。

四、教学难点：1．灵活运用一次函数、正比例函数、反比例函数的有关知识解综合题。

2．进一步利用数形结合的思想方法进行解题。

五、教学方法：讲练结合六、学情分析：学生已经基本掌握反比例函数和一次函数的概念、图象和性质，但我校学生计算能力、试图能力和分析能力都有待提高，因此我选择了稍微简单的综合题，意在让学生提高能力的同时增强学习数学的自信心。

七、教学过程（一）源于中考，以点展面（导入）一个函数具有下列性质：①它的图象经过（－1，4）；②在每个象限内，函数y 的值随自变量x 的值增大而增大；请你写出一个符合上述条件的函数关系式： .【设计意图：本题属于开放性试题，答案可以是反比例函数（一般学生）也可以是一次函数（好学生），由此引出本节课的内容，反比例函数与一次函数综合应用】（二）综合应用，提升能力（新授课）1.例题分析若xy 4-=的图象与正比例函数y =kx (k ≠0)的图象在第二象限的交点为A (－1，n )，如图.（1）求正比例函数的解析式；（中等学生回答）（2）确定该函数的图象与正比例函数y ＝kx 的图象另一个交点B 的坐标；（全体学生回答）（3）过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足为M 、N ，求S △AOM 、S △BON . （全体学生回答）（4）①若C (2，m ) 为该正比例函数图象上一点，比较m 与n 的大小；（中等学生回答）②若E (－2，m ) 为该正比例函数图象上一点，比较m 与n 的大小；（全体学生回答） ③若反比例函数值大于正比例函数值，确定 x 的取值范围. （中等学生回答）【说明：本题是由4道学生熟悉的小题综合在一起的，难度不大，让学生体验一部分综合题就是由几个有关联的小题放在一起，消除学生抵触心理，为后面难点打基础】2. 方法总结解决函数问题方法总结：（师生共同总结，学生在学案中填写）解决问题 求函数解析式 确定交点坐标 求几何图形面积 比较函数值大小 3. 针对练习：回归中考，能力检测4（学生独立完成，大屏幕展示学生解题过程）（三）变式延伸，拓展思维：1. 例题分析若直线()041>+=k kx y 与反比例函数()02≠=m m xm y 为常数，的图象一个交点为A (－3，1)，如图.（1）=1y ；=2y （全体学生）（2）直接写出两函数的另一个交点坐标；（全体学生）（3）当x 取何值时，21y y >；（中等学生）（4）求△OAB 的面积； （较好学生）（5）过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，两线交于点C ．（课外延伸）①若反比例函数()02≠=m m xm y 为常数，的图象与△ABC 有公共点，请直接写出m 的取值范围；②若一次函数y =ax ＋b 的图象平行于直线 AB ，若直线y =ax ＋b 与△ABC 有公共点，求b 的取值范围；【说明：本题是本节课的难点，一次函数与反比例函数的结合，以及割补法求面积，利用多媒体教学的优势，用动画展示割补的过程，从而突破难点】2. 方法总结一次函数与反比例函数综合应用方法总结：（师生共同总结，学生在学案中填写）3. 针对练习：回归中考，能力检测5（学生独立完成，大屏幕展示学生解题过程）（四）课堂小结：本节课讲的解决函数问题以及函数综合题的方法，强调交点的重要性.（五）课堂反馈：回归中考，能力检测6八、板书设计策 略 方 法八、教学反思本节课学生基本掌握反比例函数和一次函数的概念、图象和性质以及掌握利用这些知识解较简单的综合题的方法，但是对于数形结合的思想运用、与几何知识的结合、坐标与线段的转化还不是很熟练，需要进一步练习提高。

九年级上册数学导学稿课题：一次函数与反比例函数的综合应用一次函数与反比例函数的综合应用 课时：1课时课时 课型: 专题执笔： 时间：2010年11月 审核：初三数学组学习目标：1．掌握一次函数和反比例函数的定义和性质，会画图像。

2．会求一次函数和反比例函数的解析式。

3、会用一次函数和反比例函数解决实际问题。

学习重点：1、会求一次函数和反比例函数的解析式。

2、会用一次函数和反比例函数解决实际问题。

学习难点：1. 会用一次函数和反比例函数解决实际问题。

学习过程：一．预习导学1、基础知识、基础知识（1）一次函数的形式）一次函数的形式 ，正比例函数的形式，正比例函数的形式反比例函数的三种形式：反比例函数的三种形式： 、 、 。

（2）一次函数的图像与性质：）一次函数的图像与性质：一次函数的图像为一次函数的图像为 。

当k ＞0时，图像在时，图像在 象限内，y 随x 的增大而增大而 。

当k ＜0时，图像在时，图像在 象限内，y 随x 的增大而 。

反比例函数的图像与性质：反比例函数的图像与性质：反比例函数的图像为反比例函数的图像为 。

当k ＞0时，图像在时，图像在 象限内，y 随x的增大而的增大而 。

当k ＜0时，图像在时，图像在 象限内，y 随x 的增大而 。

（3）()0k y k x=¹中，k 的几何意义：如图，过双的几何意义：如图，过双 曲线上任意一点P （x ，y ）作x 轴，y 轴的垂轴的垂线PM,PN ，所得矩形PMON 的面积的面积S PM PN x y =·== ，S ▷POM =S ▷PON = . 2、基础方法、基础方法（1）（2004河北）若反比例函数y=k/x的图象经过点（3，-4），则此函数的解析式为_____________。

（2）（2002陕西）直线y=2x+1与y轴交于点A，则A点坐标是___________ （3）若直线y=3x+4和直线y=－2x－6交于点A, 则点A的坐标_________；（4）已知直角坐标系中点A(0,2)，B(6,4)，C(5,0), 则S⊿ABC=_______ ; 二．自主探究，知识应用应用一：确定函数表达式，求交点坐标：确定函数表达式，求交点坐标例：（09成都）已知一次函数y=x+2与反比例函数kyx=，其中一次函数y=x+2的图像过点p(k,5)。