【原创】人教2015初高中数学衔接教程：第九讲 一次分式函数

【点拨】①k＝0时，不是一次函数；
第十九章 一次函数
1．函数 s＝15t－5 和 s＝15－5t 都是形如 解：由题意得y＋a＝k(x－b)(k≠0)，化简得y＝kx－kb－a(k≠0)，故y是x的一次函数．
6．如图，图象表示的一次函数解析式为( )
y＝kx＋b
的一次函数，
A．－3
B．3 C．±3
D．±2
(1)写出y与x之间的函数表达式，并判断y是不是x的一次函数；
当x＝7时，y＝1，求这个一次函数的解析式．
3．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是( C ) A．y＝－x2 B．y＝－2x C．y＝－x－2 1 D．y＝x2－2 1 【点拨】A.是一次函数也是正比例函数；
B．不是一次函数；C．是一次函数但不是正比例函数；
RJ版八年级下
第十九章 一次函数
19.2 一次函数 第3课时 一次函数
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1 见习题 2B 3C 4A
5D 6D 7 见习题 8 见习题
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解：由题意得y＋a＝k(x－b)(k≠0)，化简得y＝kx－kb－a(k≠0)，故y是x的一次函数．
当x＝7时，y＝1，求这个一次函数的解析式．
【点拨】①k＝0时，不是一次函数；
已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是( )
A．y＝－x－5
B．y＝x－5
第十九章 一次函数
(2)若八年级(1)班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌拼成一行？
⑤y＝－x＋4是一次函数．
8．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人，如图所示，请你结合这个规律，填写
其中第一个式子中 当x＝7时，y＝1，求这个一次函数的解析式__5__；第二个式子中

精品【初中语文试题】 精品【初中语文试题】 《分式》 我们知道，分式是表示数量关系的工具，是解决实际问题的一种模型。本节课的内容是分式的起始课。下面我将从教学背景、教法学法、教学过程、设计说明四个方面来具体阐述我对这节课的理解和设计。 一、教学背景 1.教学内容分析 （1）地位与作用：《分式》是第十五章的内容，本节内容分两课时完成。我设计的是第一课时的教学，主要内容是分式概念、意义和用分式表示数量关系。分式是继整式之后，又一代数学习的基本内容，是小学所学分数的延伸和扩展，学好本节课，是今后继续学习分式的性质、运算以及解分式方程的前提。 （2）重点：分式的概念 （3）难点：识别分式有无意义；用分式描述数量关系 分式概念是《分式》这一章学习的起点和基础，因此分式的概念是教学的重点。又由于初中学生的认知结构中存在着这样的障碍：不善于概括数学材料、缺乏对字母及其他数学符号用于运算的能力，所以判定分母中整式的值何时不为零、用分式表示数量关系是教学的难点。 2.教学目标 （1）知识与技能目标：掌握分式概念，学会判别分式何时有意义，能用分式表示数量关系。 （2）过程与方法目标：经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比转化、合情推理、抽象概括等。 （3）情感与态度目标：通过丰富的数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会分式的模型思想。 经过七年级一年的学习，学生初步养成了自主探究意识。一方面，在七年级下册中，学生已经学习了整式，分式与整式一样也是代数式，因此研究与学习的方法与整式相类似；另一方面，“分式”是“分数”的“代数化”，学生可以通过类比进行分式的学习。所以我依据《数学课程标准》，以教材特点和学生认知水平为出发点，确定以上3个方面为本节课的教学目标。 二、教法与学法 基于以上教材特点和学生情况的分析，我在本节课主要采用“引导—发现教学法”，借助于计算机课件，通过“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开教学。 三、教学过程 《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。”为能更多地向学生提供从事数学活动的机会，我将本节课设为以下五个环节：发现新知—再探新知—应用新知—深化拓展—小结巩固，以期在多样的活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新。 （一） 发现新知 在这儿我对教材进行了处理，课本引例是 “土地沙化、固沙造林”问题，设问是“这一问题中有哪些等量关系？”我将引课方式改为通过学生自己构造代数式去发现分式，创设了这样的情境： 精品【初中语文试题】 精品【初中语文试题】 1.创设情境： 师生共同欣赏画面，教师给出探究要求： “代数式”庄园的果树上挂满了“整式”的果子：t，300，s，n，a-x，0，180(n-2)，请你任选其中的两个，分别运用整式的四则运算，合成四个代数式；并与同组的伙伴交流你的成果。其中有新的一类代数式吗？请说一说。 作这样的改动，是基于以下考虑：原有引例不仅要求学生用分式表示数量关系，还需要列出分式方程。针对我校学生的实际情况，我认为在起始课上这样的要求过高，而从学生熟悉的整式及其运算入手，引导学生从旧知中发现新知，与学生的原有认知水平更相吻合，有利于探索活动的展开，培养学生的创新意识。 “好的教师不是在教数学而是激发学生自己去学数学”。用已给的7个整式进行代数式的构造时，学生可以写出多种多样的式子，里面既有单项式，也有多项式，还有分式。通过学生对自己所构造的代数式进行观察，创设发现情境，学会把自己的活动作为思考的对象，更好地进行分式概念的建构活动。 2.探索交流 ： （1）议一议：你们所发现的这一类新代数式： ， ，……它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？ （2）类比分数，概括分式的概念及表达形式 被除数÷除数=商数 被除式÷除式=商式

第4讲 分式的运算1．分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质： A A M B B M ⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 2．繁分式 像ab c d+，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 【例1】若54(2)2x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值． 解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩ 解得 2,3A B ==．【例2】（1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯L ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+L ． （1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++， ∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立． （2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯L 11111(1)()()223910=-+-++-L 1110=-＝910． （3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+L ＝111111()()()23341n n -+-++-+L ＝1121n -+， 又n ≥2，且n 是正整数， ∴1n ＋1 一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+L ＜12． 【例3】设c e a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． 解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0，∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．3．多项式除以多项式做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。

专题01数与式的运算初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂），掌握运算性质，能够区别n n a 与()nn a 的异同. 通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道字母表示数的基本代数思想2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数幂的含义 《高中课程要求》 1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数幂的运算及其性质推广到分数指数幂专题综述课程要求高中必备知识点1：绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．高中必备知识点3：二次根式一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如232a a b b +++，22a b +等是无理式，而22212x x ++，222x xy y ++，2a 等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入知识精讲有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+，等等．一般地，a x 与x ，a x b y +与a x b y -，a x b +与a x b -互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a b ab a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式2a 的意义2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像a b c d+，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．高中必备知识点1：绝对值【典型例题】阅读下列材料：典例剖析我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为 ；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【答案】（1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-或203x = . 【解析】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3解得1x =或x =－5．（2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8．（3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边．若x对应的点在3的右边，可得x=4；若x对应的点在－4的左边，可得x=－5，∴方程|x－3|+|x+4|=9的解是x=4或x=－5，∴不等式|x－3|+|x+4|≥9的解集为x≥4或x≤－5．（4）在数轴上找出|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．若x对应的点在5的右边，可得203x=；若x对应的点在－2的左边，可得103x=-，∴方程|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是103x=-或203x=.【变式训练】实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简√a2+|a−b|−|b−a|.【答案】a-2b【解析】解：由数轴知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，所以b-a>0，a-b＜0原式=|a|-（b-a）-(b-a)=-a-b+a-b+a=a-2b【能力提升】已知方程组{x+y=5+a4x−y=10−6a的解x、y的值的符号相同.(1)求a的取值范围；(2)化简：|2a+2|−2|a−3|.【答案】(1) −1<a<3；(2)4a−4.【解析】(1){x+y=5+a①4x−y=10−6a②，①+②得：5x=15−5a，即x=3−a，代入①得：y =2+2a ，根据题意得：xy =(3−a )(2+2a )>0，解得−1<a <3；(2)∵−1<a <3，∴当−1<a <3时，|2a +2|−2|a −3|=2a +2−2(3−a )=2a +2−6+2a =4a −4. 高中必备知识点2：乘法公式【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +--- 【答案】（1）3（2）4ab -8b 2【解析】解：（1）原式=4+1+（-8）÷4=5-2=3（2）原式=a 2-4b 2-(a 2-4ab+4b 2)=a 2-4b 2-a 2+4ab -4b 2=4ab -8b 2【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+-【答案】（1）8 （2）－6x+13【解析】(1)原式=1+16-9=8；(2)原式=x 2-6x+9-(x 2-4)=x 2-6x+9-x 2+4=-6x+13.【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）【答案】(1)ab;(2)a b ;(3)2a b. 【解析】解：（1）50x ＝10x ×5x ＝ab ；（2）2x ＝xx x 1010a 55b ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （3）20x ＝x x 2x x 1010a 101055b ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭． 高中必备知识点3：二次根式【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2【答案】(1) 56-;(2)【解析】（1））×3﹣＝﹣＝﹣（2）x4﹣4x＝2x4x2x．【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【答案】不正确，见解析【解析】解：不正确，正确解答过程为：═.2【能力提升】先化简，再求值：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+，其中【答案】2a a b -． 【解析】解：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+ =()()()()()2a b a b b a b a b a b a b a 2b ---++⋅+-- =2222a 3ab b ab b 1a b a 2b-+--⋅-- =()2a a 2b 1a ba 2b -⋅-- =2a a b -， 当+3，-3时，原式22． 高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x x x x x x +++-÷--+，其中x 满足x 2+x ﹣1＝0． 【答案】21x x-,1. 【解析】解：原式＝()()()221-211121x x x x x x x x---=-+ 210x x +﹣＝，21x x ∴＝﹣，∴原式＝1.【变式训练】 化简：22442x xy y x y -+-÷（4x 2－y 2） 【答案】yx +21 【解析】 22442x xy y x y-+-÷（4x 2－y 2） =2(2)12(2)(2)x y x y x y x y -⨯-+- =yx +21. 【能力提升】已知：112a b-=，则ab b a b ab a 7222+---的值等于多少？ 【答案】43-. 【解析】解：∵112a b-=， ∴a -b=-2ab ，则2ab 2ab 44ab 7ab 3--=--+1．下列运算正确的是（ ） A ．2xy xy y -＝-x x y B ．3710+=C ．3x 3﹣5x 3＝﹣2D ．8x 3÷4x ＝2x 3 【答案】A对点精练解：A ，2()xy xy x xy y y x y x y==--- ，正确．B ，不正确．C ，3x 3﹣5x 3＝﹣2x 3，不正确．D ，8x 3÷4x ＝2x 2，不正确．故选：A ．2．下列计算结果正确的是（ ）A ．321222x x x +=---B ．235()x x =C ．5()xy -÷3()xy -=22x y -D ．22352x y xy xy -=- 【答案】A ∵321222x x x +=---， ∴选项A 计算正确；∵236()x x =，∴选项B 计算错误；∵5()xy -÷3()xy -=22x y ，∴选项C 计算错误；∵223,5x y xy -不是同类项，无法计算，∴选项D 计算错误；故选A3．若式子1x x +有意义，则下列说法正确的是（ ） A ．1x >-且0x ≠B ．1x >-C ．1x ≠-D ．0x ≠ 【答案】C解：由题意可知：10x +≠∴1x ≠-故选：C4．计算3311a a a ---的结果是（ ） A ．3 B ．0 C ．1a a - D ．11a - 【答案】A 解：3311a a a --- =331a a -- =3(1)1a a -- =3．故选A ．5．若||4=a ，||2b ，且+a b 的绝对值与相反数相等，则-a b 的值是（ ）A ．2-B ．6-C ．2-或6-D ．2或6【答案】C解：∵||4=a ，||2b ，∴4a =±，2b =±，∵+a b 的绝对值与相反数相等，∴+a b ＜0，∴4a =-，2b =±， 426a b -=--=-或422a b -=-+=-，故选：C ．6．设有理数a 、b 、c 满足(0)a b c ac >><，且c b a <<，则222a b b c a c xx x ++++++﹣﹣的最小值是（ ）A ．2a c -B ．22a b c ++C ．22a b c ++D ．22a b c +- 【答案】C解：∵0ac <，∴a ，c 异号，∵a b c >>，∴0a >，0c <， 又∵c b a <<，∴0a b c c b a -<-<<<-<<， 又∵222a b b c a c xx x ++++++﹣﹣表示到2a b +，2b c +，2a c +-三点的距离的和， 当x 在2b c +时距离最小， 即222a b b c a c x x x ++++++﹣﹣最小，最小值是2a b +与2a c +-之间的距离，即22abc ++． 故选：C ．7．如果a ，b ，c 是非零有理数，那么a b c abc a b c abc +++的所有可能的值为（ ）． A ．4-，2-，0，2，4B ．4-，2-，2，4C ．0D ．4-，0，4【答案】D①a 、b 、c 均是正数，原式=1111+++=4；②a 、b 、c 均是负数，原式=1111----=4-；③a 、b 、c 中有一个正数，两个负数，原式=1111--+=0；④a 、b 、c 中有两个正数，一个负数，原式=1111+--=0；故选D ．8．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n -3）个数是（用含n 的代数式表示）（ ）．A B C D【答案】C由图中规律知，前（n -1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n -1）＝n （n -1），∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n -3）个数的被开方数是：n （n -1）+n -3＝n 2-3，∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n -3故选：C ．9最接近的整数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B解：原式3，∵49<54<64，∴78<<，∵27.556.25=， ∴7547.5，7，3-最接近7-3即4，故选：B ．10．设a b 21b a-的值为（ ）A 1+B 1+C 1D 1 【答案】B∴a ，∴b ，∴21b a -， 故选：B ．11．若113-=a b ，则分式2322a ab b a ab b+-=--______﹒ 【答案】35解：113-=a b 两边都乘ab ，得： 3b a ab -=①2322a ab b a ab b+--- ()232a b ab a b ab-+=-- ()232a b ab a b ab-+=--② 将①代入②得：6333==3255ab ab ab ab ab ab -+---- 故答案为：35﹒12．若分式222x x x ---的值为零，则x 的值为_______． 【答案】1- 解：∵分式222x x x ---的值为零， ∴220x x --=且20x -≠，解方程得，11x =-，22x =； 解不等式得，2x ≠，∴1x =-故答案为：1-．13．已知整数a 满足13a ，则分式2214a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值为________． 【答案】15 2214a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭ =()()222a a a a a -⋅+- =12a +， 由题意0a ≠且240a -≠，所以0a ≠且2a ≠且2a ≠-，又∵整数a 满足13a， ∴3a =，当3a =时，原式=11325=+， 故答案为：15．14．计算2的结果等于_________．【答案】14-解：2222=-⨯122=-14=-故答案为：14-15．计算21)+=__．【答案】3解：原式21=+-3=．故答案为：3．16．化简：23a b=___________【答案】-解：要使该二次根式有意义，则有10 9ab->22033ab a b a b∴∴====-＜故答案为：-17____．1解：原式===1=．1．18．若有理数x ，y ，z 满足（|x +1|+|x ﹣2|）（|y ﹣1|+|y ﹣3|）（|z ﹣3|+|z +3|）＝36，则x +2y +3z 的最小值是_____．【答案】﹣8解：当x ＜﹣1时，|x +1|+|x ﹣2|＝﹣（x +1）﹣（x ﹣2）＝﹣2x +1＞3，当﹣1≤x ≤2时，|x +1|+|x ﹣2|＝x +1﹣（x ﹣2）＝3，当x ＞2时，|x +1|+|x ﹣2|＝x +1+x ﹣2＝2x ﹣1＞3，所以可知|x +1|+|x ﹣2|≥3，同理可得：|y ﹣1|+|y ﹣3|≥2，|z ﹣3|+|z +3|≥6，所以（|x +1|+|x ﹣2|）（|y ﹣1|+|y ﹣3|）（|z ﹣3|+|z +3|）≥3×2×6＝36，所以|x +1|+|x ﹣2|＝3，|y ﹣1|+|y ﹣3|＝2，|z ﹣3|+|z +3|＝6，所以﹣1≤x ≤2，1≤y ≤3，﹣3≤z ≤3，∴x +2y +3z 的最大值为：2+2×3+3×3＝17，x +2y +3z 的最小值为：﹣1+2×1+3×（﹣3）＝﹣8．故答案为：﹣8．19．已知|2||1|9x x ++-=，则x y +的最小值为__．【答案】3-．|2||1|9x x ++-=|2||1||1||5|9x x y y ∴++-+++-=，|2||1|x x ++-可理解为在数轴上，数x 的对应的点到2-和1两点的距离之和；|1||5|y y ++-可理解为在数轴上，数y 的对应的点到1-和5两点的距离之和，∴当21x -，|2||1|x x ++-的最小值为3；当15y -时，|1||5|y y ++-的最小值为6， x 的范围为21x -，y 的范围为15y -，当2x =-，1y =-时，x y +的值最小，最小值为3-．故答案为：3-．20．已知式子|x+1|+|x ﹣2|+|y+3|+|y ﹣4|＝10，则x+y 的最小值是_____．【答案】4- 解：∴123410x x y y ++-+++-=，∴12x -≤≤，34y -≤≤，∴x y +的最小值为4-，故答案为：4-．21．（1）计算：1031(2)|2|(2)2-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭； （2）先化简，再求值：221224x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中1x =-．【答案】（1）9；（2）24x +；5解：（1）原式1228=++9=-（2）原式()22422x x x x ⎛⎫=+- ⎪+-⎝⎭， (2)2(2)x x x =-++24x =+．当1x =-时，原式2(1)4=-+5=．221．【答案】3解：原式3= 33323=23．已知a ，b ，c 满足2|3|(5)0a c +-=，请回答下列问题：（1）直接写出a ，b ，c 的值．a =_______，b =_______，c =_______．并在数轴上表示．（2）a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，若点A 以每秒1个单位长度向右运动，点C 以每秒3个单位长度向左运动；①运动1.5秒后，A ，C 两点相距几个单位长度．②几秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度．【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒解：（1）∵2|3|(5)0a c +-=，∴a +3=0，b -1=0，c -5=0，∴a =-3，b =1，c =5，数轴表示如下：（2）①由题意可得：1.5秒后，点A 表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，点C 表示的数为：5-3×1.5=0.5，0.5-（-1.5）=2，∴A ，C 两点相距2个单位长度；②设t 秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度，若点A 在点C 左侧，则-3+t +4=5-3t ，解得：t =1；若点A 在点C 右侧，则-3+t =5-3t +4，解得：t =3，综上：1秒或3秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度．24．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x -也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索： （1）|4(2)|--=_______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】（1）6；（2）-2，-1，0，1，2，3，4，理由见解析；（3）有最小值为3解：（1）原式=|4+2|=6，故答案为：6；（2）令x -4=0或x +2=0时，则x =4或x =-2，当x ＜-2时，∴-（x -4）-（x +2）=6，∴-x +4-x -2=6，∴x =-2（范围内不成立）；当-2＜x ＜4时，∴-（x -4）+（x +2）=6，∴-x +4+x +2=6，∴6=6，∴x =-1，0，1，2，3；当x ＞4时，∴（x -4）+（x +2）=6，∴x -4+x +2=6，∴x =4（范围内不成立），∴综上所述，符合条件的整数x 有：-2，-1，0，1，2，3，4；（3）|x -3|+|x -6|表示数轴上到3和6的距离之和，∴当x 在3和6之间时（包含3和6），|x -3|+|x -6|有最小值3．25．（1）已知250x x -=，求代数式2210x x -（2）化简：226993x x x x x ++---．【答案】（1（2）33x -.解：（1）由已知得：25x x -=，∴原式()225x x =-==（2）原式2(3)(3)(3)3+=-+--x x x x x 333+=---x x x x 33x =-．26．先化简，再求值：222111x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中x =【答案】1x x-解：222111x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭ ()2122111x x x x x x -+-+=⨯+- ()()21111x x x x x -+=⨯+- 1x x-=．当x =55==． 27．如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．（1）嘉嘉认为污染的数为3-，计算“A B +”的结果；（2）若3a =+“A B -”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．【答案】（1）2223a a --+；（2）0．解：（1）()2246323A B a a a a +=++-+--2246323a a a a =+-+--2223a a =--+；（2）设污染的数字为m ，∴()()224623A B a a ma a -+-=+-- 224623a a ma a =+--+-2269a a ma =+--()223a ma =--∵3a =+∴()()223333a -=+=是整数 ∵A B -的结果是整数∴2ma 是整数∵(22312a =+=+m 是整数 ∴0m =即存在整数0满足题意．28．（1）计算：12022011|3|tan 30(2021)2-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭︒π（2）先化简再求值：2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =． 【答案】（1）2；（2）22x x -+，1 解：（1）12022011|3|tan 30(2021)2-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭︒π13212=-++--+ 131212=-++--+2=（2）2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭ 23(1)(1)111(2)x x x x x x +-+⎡⎤=-⋅⎢⎥+++⎣⎦=223(1)11(2)x x x x --+=⋅++ 2(2+)(2)11(2)x x x x x -+=⋅++ 22x x -=+，当2x =时，原式1==．29．已知2210a a +-=，求代数式242a a a a⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值． 【答案】22a a +，1 解：242a a a a⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭ 2242a a a a -=⨯- 2(2)(2)2a a a a a +-=⨯-22a a =+．∵2210a a +-=，∴221a a +=．∴原式221a a =+=．30．计算：（1）()()()345222a a a ⋅÷- （2）()3242(3)2a a a -⋅+-（3）34()()x y y x -⋅-（4）2201901(1)( 3.14)3π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭ 【答案】（1）4a -；（2）6a ；（3）7()x y -；（4）9-．解：（1）()()()345222a a a ⋅÷-， = ()6810a a a⋅÷-，=6810a +--，=4a -； （2）()3242(3)2a a a -⋅+-，=24698a a a ⋅-，=6698a a -，=6a ； （3）34()()x y y x -⋅-，= 34()()x y x y -⋅-，（4）2 201901 (1)( 3.14)3π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，=119 -+-，=9-．。