高考数学常考题型：非线性目标函数--分式型

非线性规划高考知识点归纳总结非线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究在非线性目标函数和非线性约束条件下的优化问题。

在高考数学中，非线性规划通常不会作为主要考点，但了解其基本概念和简单应用对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。

首先，非线性规划问题可以定义为：给定一个目标函数 \( f(x_1,x_2, ..., x_n) \) 和一组约束条件 \( g_i(x_1, x_2, ..., x_n) \leq 0 \)（对于 \( i = 1, 2, ..., m \)），以及 \( h_j(x_1,x_2, ..., x_n) = 0 \)（对于 \( j = 1, 2, ..., p \)），求 \( x \) 的值，使得目标函数 \( f \) 达到最大值或最小值。

在高考中，非线性规划的知识点通常包括以下几个方面：1. 目标函数与约束条件：理解目标函数和约束条件在非线性规划中的作用，以及它们如何影响问题的解。

2. 可行域：掌握如何根据约束条件确定可行域，这是求解非线性规划问题的基础。

3. 拉格朗日乘数法：了解拉格朗日乘数法的基本原理，以及如何利用它求解带有等式约束的非线性规划问题。

4. KKT条件：掌握KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，这是求解非线性规划问题的必要条件。

5. 数值方法：了解一些基本的数值方法，如梯度下降法、牛顿法等，这些方法在实际求解非线性规划问题时非常有用。

6. 实际应用：能够将非线性规划的概念应用到实际问题中，如资源分配、成本最小化等。

在复习非线性规划时，建议从以下几个步骤进行：- 理解概念：首先，要理解非线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行域等。

- 掌握方法：其次，要掌握求解非线性规划问题的基本方法，如拉格朗日乘数法和KKT条件。

- 练习题目：通过大量的练习题目来巩固知识点，提高解题能力。

- 实际应用：尝试将非线性规划的概念应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。

各式各样的目标函数线性规划问题是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题． 但在各级各类考试中，针对于此的考查却不拘泥于线性，有非线性的约束条件，亦有非线性的目标函数． 本文将带领读者一起梳理各式各样的目标函数，这里既有大家熟悉的截距型、距离型、斜率型目标函数及其变式，又有不太为人所知的曲线型目标函数；这里既有处理此类问题的常规方法——利用目标函数的几何意义，又有笔者自己钻研的特殊方法——换元法、不等式放缩法等． 下面和盘托出，与读者一一分享． 1. 截距型目标函数目标函数形如by ax z +=. 求这类目标函数的最值时，常将by ax z +=（0≠b ）转化为直线的斜截式b z x b a y +-=，通过求截距bz的最值间接求出z 的最值. 注意：当0>b 时，截距bz与z 同时最大和最小；当0<b 时，两者的最值情况相反. 新的角度：by ax z +=也可看作两个向量的数量积. 设可行域内一点()y x P ,，定点()b a Q ,，则OQ OP z ⋅=，当OP 在OQ 方向上的投影最大（小）时，OQ OP ⋅最大（小），z 最大（小）. 这也是处理截距型（线性）目标函数的一个通法.2. 距离型目标函数形如22y x z +=，表示点()y x ,与原点()0,0的距离；形如()()22b y a x z -+-=，表示点()y x ,与点()b a ,的距离；形如22y x z +=，()()22222222b a by ax y x b y a x z ++--+=-+-=则表示相应距离的平方；形如c by ax z ++=，可变形为2222ba c by axb a z +++⋅+=（b a ,不同时为零），表示点()y x ,到直线0=++c by ax 的距离的22b a +倍. 3. 斜率型目标函数形如x yz =，表示点()y x ,与原点()0,0连线的斜率； 形如ax by z --=，表示点()y x ,与点()b a ,连线的斜率；形如b ax d cy z ++=（0≠ac ），可变形为ab xcd y a c z ++⋅=，表示点()y x ,与点⎪⎭⎫ ⎝⎛--c d a b ,连线的斜率的ac倍.例1 设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x ，则y x x y z +=的取值范围是（ ）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡310,31 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,31 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡310,2 解： 令xyt =，表示可行域内的点()y x ,与原点连线的斜率，作出可行域（图略）可得其范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,31. 又t t z 1+=，结合对勾函数的单调性可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈310,2z ，选（D ）.例2 若实数y x ,满足13≤≤-y x ，则yx yx z ++=2的最小值为（ ） （A ）35 （B ）2 （C ）53 （D ）21 解： 因为0≠x ，xyx y y x y x z ++=++=122，令x y t =，作出可行域（图略）可得其范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++=++=2,3511112t t t z ，选（A ）. 例3 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+103203x y x y x ，求y x y x z +++=12的取值范围.解法1：不等式组表示的平面区域如图1中阴影部分，注意到0≠+y x ，故点()1,1-应为空心点.()y x x y x x y x y x y x z +++=++++=+++=11112，记yx x t ++=1，因为1≥x ，所以()11111111+-+=+-++=++=x y x y x x y x t ， 其中11+-x y 表示点()y x ,与点()1,1-连线的斜率. 由图易知21111≤+-<-x y ，则231110≤+-+<x y ，得32≥t ，则t z +=1的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,35.解法2：令⎩⎨⎧++=+=12y x v y x u ，则⎩⎨⎧+-=--=121v u y u v x ，代入原不等式组，得实数v u ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+-≤-2063503u v v u u ，作出可行域如图2中阴影部分，注意到0≠u ，故点()2,0应为空心点. 目标函数u v z =，表示可行域内的点()v u ,与原点连线的斜率，易得其范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,35.4. 曲线型目标函数如xy z =，可变形为xzy =（0,0≠≠z x ），表示一系列反比例函数； 如xy z 1=，可变形为xz y =（0>z ，且1≠z ），表示底数为z 的一系列指数函数；如xy z 2=，可变形为zx y =2（0≠z ），表示一系列焦点在x 轴上的抛物线；如222y x z +=，可变形为1222=+z y zx （0>z ），表示一系列离心率相同的椭圆. 例4 设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤+6142102y x y x y x ，则xy 的最大值为（ ）（A ）225 （B ）249 （C ）12 （D ）16解法1：不等式组表示的平面区域如图3中阴影部分，记xy z =，显然，当z 最大时，y x ,均为正，则xzy =，表示一系列反比例函数的图象（仅考虑第一象限）. 需要当反比例函数的图象过点()6,2时z 较大，还是当反比例函数的图象与直线102=+y x 相切时z 较大.对于前者：1262=⨯=z ；对于后者：联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=102y x xz y 得01022=+-z x x ，令0=∆得225=z . 综上，z 的最大值为225，选（A ）.解法2：因要求xy 的最大值，故可只考虑正数y x ,. 由102≤+y x 得x y 210-≤，由基本不等式得()()225252522102=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-=-≤x x x x x x xy ，当且仅当⎩⎨⎧-=-=xx x y 5210，即⎪⎩⎪⎨⎧==525y x 时等号成立. 经检验取等条件满足不等式组，故xy 的最大值为225.例5 已知y x ,的二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142080192y x y x y x ，则x y z 1=的取值范围是（ ）（A ）[]3,1 （B ）[]10,2 （C ）[]9,2 （D ）[]9,10解：不等式组表示的平面区域如图4中阴影部分，xy z 1=即x z y =（0>z ，且1≠z ），表示一系列底数为z 的指数函数，其图象与可行域有交点. 易得，当图象过点()8,3时，z 最小，为2831=；当图象过点()9,1时，z 最大，为9. 于是[]9,2∈z .例6 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤-+010104x y y x ，则xy z 2=的最大值是（ ）（A ）31（B ）1 （C ）3 （D ）9 解法1：不等式组表示的平面区域如图5中阴影部分，xy z 2=即zx y =2，表示顶点在原点，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4z （0>z ），开口向右的一系列抛物线，其通径长为z . 显然，当抛物线过点()3,1A 时，开口最大，通径最长，则z 最大，为9132=，选（D ）.解法2：由条件得341≤-≤≤y x ，同理31≤≤y ，于是91322=≤x y ，当且仅当⎩⎨⎧==31y x 时取等号，故xy z 2=的最大值为9，选（D ）.例7 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤--≥-143323y x y x y x ，若a y x ≥+229恒成立，则实数a 的最大值为 .解法1：由题意知，()min 229yx a +≤，则实数a 的最大值即为229y x z +=的最小值.作出约束条件表示的平面区域，如图6中阴影部分.0922>+=y x z ，即1922=+z y zx ，表示一系列以原点为中心，长轴长为z 2，离心率相同的椭圆. 由图易知，当椭圆与直线1=+y x 相切时，长轴长最短，z 最小. 由⎩⎨⎧+==+2291yx z y x 得0918102=-+-z x x ，令0=∆，得109=z . 所以z 的最小值为109，即为a 的最大值. 解法2：令y t 3=，则转化为在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤--≥-33432t x t x t x 下寻求22229t x y x z +=+=的最小值. 新的可行域如图7中阴影部分，由图易知原点到可行域内的点()t x ,的距离的最小值为原点到直线33=+t x 的距离，为103133022=+-，则z 的最小值为1091032=⎪⎭⎫⎝⎛，即为a 的最大值.例8 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤-0040x y x y x ，则8243+++-+=y x y x z 的最小值是（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）16 （D ）18解：作出可行域如图8中阴影部分，易知082>++y x ，直线043=-+y x 与可行域交于点()4,0C 和()1,1A . 当点()OAC y x △,∈时，043≤-+y x ；当点()ABC y x △,∈时，043≥-+y x . 则目标函数8243+++-+=y x y x z 8243+++-+=y x y x ()()⎩⎨⎧∈++∈++-=ABC y x y x OACy x y x △,,434△,,122，由图可知，1221++-=y x z 和4342++=y x z 均在点A 处取得最小值，所以z 的最小值为11821413=+++-+，选（A ）.例9 若实数y x ,满足122≤+y x ，则y x y x 3622--+-+的最小值是 . 解法1：满足122≤+y x 的实数y x ,表示的点()y x ,构成的区域是单位圆及其内部，如图9所示. 由图可知，单位圆面在直线036=--y x 的左下方，则恒有036>--y x ；直线022=-+y x 与圆122=+y x 交于点⎪⎭⎫⎝⎛54,53A 和()0,1C ，当点()∈y x ,弓形面ANC 时，有022≥-+y x ；当点()∈y x ,弓形面AMC 时，有022≤-+y x . 于是y x y x z 3622--+-+=()()⎩⎨⎧∈--∈+-=AMCx,y y x ANCx,y y x 弓形面弓形面 ,438 ,42，设421+-=y x z ，y x z 4382--=，分别作直线x y 21=和x y 43-=，并平移，容易看出1z 和2z 均在点A 处取得最小值，所以z 的最小值为3543536=⨯--.解法2：由绝对值不等式得()()84336223622-+=----+≥--+-+y x y x y x y x y x ，其中2243843+-+y x 表示满足122≤+y x 的点()y x ,到直线l ：0843=-+y x 的距离.如图10，作l OB ⊥于点B ，与圆122=+y x 交于点B ，与圆122=+y x 交于点⎪⎭⎫⎝⎛54,53A ，则531438438432222=-+-=-=≥+-+OA OB AB y x ，故35353622=⨯≥--+-+y x y x . 又当53=x ，54=y 时，33622=--+-+y x y x ，故所求最小值为3.例10 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥-41y x y x x ，则y x z 21+=的最大值和最小值分别是多少？解法1：作出可行域（图略）得⎩⎨⎧-≤≤≤≤x y x x 421，则3321≤≤+=x y x z ，当且仅当1==y x 时，等号成立，故z 的最大值为3；由分式型柯西不等式得()4223421421212+=-++≥-+≥+=x x x x y x z ， 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧-=-=xx x y 4214，即()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1224124y x 时，等号成立，故z 的最小值为4223+. 解法2：令⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=1,211x u ，01>=y v ，则v u z 2+=，约束条件变为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤≥-41111011v u v u u ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤<≤<14010u uv u v u ，作出可行域如图11中阴影部分. v u z 2+=即221zu v +-=，表示一系列斜率为21-的直线. 当直线过点()1,1时，2z 最大，z 最大，为3；当直线与曲线14-=u u v 相切时，2z最小，z 最小，为4223+.1. 如果实数b a ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+10102a a b b a ，则b a b a ++22的最大值是 .2. 若实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则132+++=x y x z 的取值范围是 .3. 若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+101033y y x y x ，则y x z +=2的取值范围是（ ）（A ）[]3,1- （B ）[]11,1 （C ）[]3,1 （D ）[]11,1-4. 如果函数()()()182212+-+-=x n x m x f （0,0≥≥n m ）在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）281答案：1. 57 2. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11,23 3. 有两种思路： ①分类讨论：⎩⎨⎧≤≤+≤≤-+-=+=60,202,22x y x x y x y x z ，将可行域分为左右两块，分别规划相应的目标函数，可得[]11,1-∈z ； ②考察几何意义：y x z +=2即z x y +-=2，表示一系列与x y 2-=平行的“∧型”折线，易见最优解为()1,0-和()1,6-，得[]11,1-∈z .4. 先由单调性得到n m ,满足的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+≥-+0,001820122n m n m n m ，仿照例4中两种解法均可得mn 的最大值为18.。

高考数学常考题型：线性规划非线性目标函数---绝对值型典例1．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是（ ） A ．5[,5]3B ．[0,5)C ．[0,5]D ．5[,5)31．B由约束条件作出可行域如图：()22,110x A x y =⎧⇒-⎨+-=⎩， 21012,1033x y B x y -+=⎧⎛⎫⇒⎨⎪+-=⎝⎭⎩． 令221u x y =--，变形可得12u y x +=-，平移目标函数线12u y x +=-使之经过可行域，当目标函数线过点()2,1A -时，纵截距最小，此时u 取得最大值，即()max 222115u =⨯-⨯--=．当目标函数线过点12,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，纵截距最大，此时u 取得最小值，即min 125221333u =⨯-⨯-=-． 因为点()2,1A -不在可行域内，所以553u -≤<，[)0,5z u ∴=∈．故B 正确．点评：有关线性规划的最值问题，数形结合是解决问题的关键。

求目标函数z ax by =+的最值，应先函数变为a z y x b b=-+，然后平移直线，求纵截距zb 的最值，进而可得z 的最值。

变式题1．若x,y 满足约束条件220130x y y x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则4312z x y =+-的最小值为（ ）A ．53B ．1C ．2D ．35典例2．已知点(),P x y 满足10100x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，2628x y y x +-+-+的取值范围是__________．4．画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．∵2628x y y x +-+-+=+=，∴2628x y y x +-+-+表示可行域内的点到直线260x y +-=和280x y --=2628x y y x +-+-+无最大值．由28010x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得32x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()3,2-．此时26282x y y x +-+-+=．由26010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得54x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()5,4-． 此时26286x y y x +-+-+=． ∴2628x y y x +-+-+的最小值为2，故得2628x y y x +-+-+的取值范围为[)2,+∞．点评：线性规划中的目标函数中若含有绝对值，则解题时可根据点到直线的距离公式求解，在求解过程中需要注意对目标函数进行相应的变形，使之变为距离的形式，如ax by c ++=变式题2．变量,x y 满足约束条件220240,10x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数231z x y =--的取值范围是___. 闯关题：1．已知221log 2()220xx f x x xx ⎧≤≤⎪=⎨⎪--≤⎩，若1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，且方程2[()]()0f x af x b -+=有5________ 2．若实数,x y 满足方程228x y +=，则|2||6||6|x y x y x y +-++++--的最大值为( ) A ．12 B ．14C ．18D ．24参考答案变式题1．A将目标函数变形为431255x y z +-=⨯，即“目标函数表示可行域内的点到直线43120x y +-=的距离的5倍”.画出可行域如下图所示，由图可知，点A 到直线43120x y +-=最短，联立22030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得45,33A ⎛⎫⎪⎝⎭最短距离为16151213353+-=，乘以5得53，故选A.变式题2．[]1,3-不等式组对应的可行域如下图所示，当x≥0，0≤y≤1时，23(1)233z x y x y =--=+-，此时2333z y x +=-+，直线的纵截距越大，z 越大，纵截距越小，z 越小. 当直线经过点B(0,1)时，z 最小=0+3-3=0，当直线经过点D 3(,1)2时，z 最大=3+3-3=3，所以此时z 的范围为[0,3]当x≥0，y ＞1时，23(1)233z x y x y =--=-+，此时2333z z x -=+，直线的纵截距越大，z 越小，纵截距越小，z 越大. 当直线经过点A(1,2)时，z 最小=2-6+3=-1，当直线经过点D 3(,1)2时，z 最大=3-3+3=3，所以此时z 的范围为[-1,3]综合得z 的取值范围为：[]1,3-故答案为：[]1,3- 闯关题：1．作出函数()y f x =的图象如下图所示：设()t f x =，则方程()()20f x af x b -+=⎡⎤⎣⎦有5个不同根转化二次方程20t at b -+=的两根101t <<，20t <，构造函数()2g t t at b =-+，可得不等式()()0010g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩，即010b a b <⎧⎨-+>⎩，结合1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，作出图形如下图所示，不等式组1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的平面区域为边长为2的正方形ABCD ，不等式组0101111b a b a b <⎧⎪-+>⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩表示的区域为下图中的阴影部分（不包括a 轴），视为可行域中的点(),a b 到直线210a b -+=的距离，当点(),a b 与点()1,0E==的取值范围是0,5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，故答案为：0,5⎡⎢⎣⎭. 2．C 令t x y =+，则4sin [4,4]4t πθθθ⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭， 于是|2|[0,6]t -∈，60t +>，60t ->，从而|2||6||6||2||6||6||2|12[12,18]x y x y x y t t t t +-++++--=-+++-=++∈，故选：C.。

高考数学非线性问题知识点一、引言数学作为一门科学，一直以来都是高考的重要科目之一。

其中，数学的非线性问题是考生们普遍认为较为困难的部分。

本文将重点探讨高考数学非线性问题的知识点，帮助考生们更好地理解和应对这一部分内容。

二、什么是非线性问题在介绍高考数学非线性问题的知识点之前，我们先来了解一下什么是非线性问题。

非线性问题是指不能用线性关系式表达的数学问题。

与线性问题不同，非线性问题的解不再具有简单的直线关系，而是具有曲线、波动等复杂的特征。

三、非线性函数的性质1. 导数的变化在处理非线性问题时，我们需要掌握函数的导数变化对函数性质的影响。

例如，当函数的导数大于零时，函数是单调递增的；当函数的导数小于零时，函数是单调递减的。

这对于理解函数图像的变化以及解题非常重要。

2. 极值点的判定对于非线性函数，我们通常需要找到它的极值点。

极值点可以是函数的最大值或最小值。

判定极值点的方法之一是使用导数。

当函数的导数为零时，该点很可能是极值点。

然后，我们可以对导数的符号进行分析，进一步确认该点的性质。

四、非线性方程的求解除了处理非线性函数外，我们还需要掌握如何求解非线性方程。

求解非线性方程的方法有多种，常见的包括牛顿迭代法、二分法、试位法等。

1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种有效的求解非线性方程的方法。

它通过不断逼近方程的根，直到满足所需的精度要求。

该方法需要利用函数的导数信息，因此在应用时需要先求出导数，并进行迭代计算。

2. 二分法二分法是一种简单却有效的求解非线性方程的方法。

它利用函数在连续区间上的中间值进行判断，然后不断地缩小区间范围，最终逼近方程的根。

该方法的优点在于不需要求导，适用范围广。

3. 试位法试位法是一种通过区间划分来求解非线性方程的方法。

它将方程的解所在的区间划分为若干段，然后通过函数值的符号变化来判断解所在的区间。

该方法的优点在于可以根据实际情况进行区间的调整，从而更快地逼近方程的根。

五、非线性几何问题的解析方法除了函数和方程的处理外，非线性几何问题也是高考数学中的重要内容。

高中数学解分式方程的方法及相关题目解析分式方程是高中数学中的重要内容之一，解分式方程需要掌握一定的方法和技巧。

本文将介绍解分式方程的常用方法，并通过具体题目的解析来说明考点和解题技巧，帮助高中学生和家长更好地理解和应用。

一、解分式方程的基本方法解分式方程的基本方法主要包括以下几个步骤：1. 化简分式：首先将分式进行化简，将分子和分母的多项式进行因式分解或者通分，使方程变为更简单的形式。

2. 求解分子方程和分母方程：将化简后的分式方程分别看作分子方程和分母方程，分别解出两个方程的未知数。

3. 检验解的合理性：将求得的解代入原方程，检验是否满足原方程，确保解的正确性。

二、一次分式方程的解法一次分式方程是指分式的分子和分母都是一次多项式的方程。

下面通过一个具体的例子来说明一次分式方程的解法。

例题：求解方程 $\frac{2x+1}{3x-4} = \frac{3x+2}{2x-3}$解析：首先，我们可以将方程进行通分，得到 $(2x+1)(2x-3) = (3x+2)(3x-4)$展开并整理得到 $4x^2 - 6x + 2x - 3 = 9x^2 - 12x + 6x - 8$化简后得到 $4x^2 - 4x - 3 = 9x^2 - 2x - 8$移项整理得到 $5x^2 - 2x - 5 = 0$解这个二次方程，可以使用求根公式或者配方法。

假设方程的解为 $x_1$ 和$x_2$，则有 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 和 $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$带入系数得到 $x_1 + x_2 = \frac{2}{5}$ 和 $x_1 \cdot x_2 = -1$因此，方程的解为 $x_1 = -1$ 和 $x_2 = \frac{5}{2}$将解代入原方程进行检验，可以发现两个解都满足原方程，因此解的合理。

三、二次分式方程的解法二次分式方程是指分式的分子和分母至少有一个是二次多项式的方程。

目标函数的几种类型目标函数是数学优化问题中的一个重要概念，目的是通过数学表达式来描述优化问题的目标。

目标函数主要分为以下几种类型：1. 线性目标函数线性目标函数是最简单也是最常见的一种目标函数形式，其数学表达式为：f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn其中，x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为常数系数。

线性目标函数的优化问题称为线性规划问题，其特点是目标函数和约束条件均为线性。

线性规划问题在供应链管理、运输调度等领域有广泛的应用。

2. 非线性目标函数非线性目标函数是目标函数中存在非线性项的情况，其数学表达式为：f(x) = h(x) + Σ g(x)其中，h(x)为非线性项，g(x)为线性或非线性项。

非线性目标函数的优化问题被称为非线性规划问题。

非线性规划问题在经济学、管理学等领域中常用于描述复杂的现实问题。

3. 凸函数目标函数凸函数目标函数是指目标函数满足凸性质的函数形式。

凸性质是指函数的图像位于函数的上方，即图像上任意两点之间的连线均位于函数图像的上方。

凸函数在优化问题中具有较好的性质，可以保证全局最优解的存在和唯一性，是一类重要的目标函数类型。

4. 二次型目标函数二次型目标函数是一种特殊的非线性目标函数形式，其数学表达式为：f(x) = x^T Ax + b^T x + c其中，x是n维向量，A为一个n×n的矩阵，b和c为常向量。

二次型目标函数在数学建模和最优化问题中应用广泛，例如，在物流领域中可以用于描述最小化运输成本的问题。

5. 目标函数约束目标函数约束是指在目标函数中添加一些约束条件来限制决策变量的取值范围，使其满足一定的约束条件。

例如，可以在目标函数中添加等式约束、不等式约束、非线性约束等。

目标函数约束广泛应用于各个领域的最优化问题中，可以用于调整优化问题的解空间。

综上所述，目标函数具有不同的类型，包括线性目标函数、非线性目标函数、凸函数目标函数、二次型目标函数以及目标函数约束等。

高考数学中的非线性方程组解析技巧数学是高考必考的科目，而数学中解析几何的一些内容，如直线、平面、圆锥曲线等知识点会涉及到非线性方程组的解法。

如何解决非线性方程组成为考生必须掌握的考点之一。

非线性方程组的解题需要逐步推导出未知量的值，而其中解析的技巧必不可少。

本篇文章将介绍一些高考数学中的非线性方程组解析技巧。

I. 消元法在高考中，消元法是求解一元或多元非线性方程组的常用方法。

以 $n$ 元非线性方程组为例：$$ \begin{cases} F_1(x_1, x_2, ..., x_n) = 0 \\ F_2(x_1, x_2, ..., x_n) = 0 \\ ... \\ F_n(x_1, x_2, ..., x_n) = 0 \end{cases} $$通过消元法，我们可以将复杂的方程组转化为简单的一元方程。

例如，假设我们要解决如下非线性方程组：$$\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ x+y=1 \end{cases} $$We can solve this system of equations by using the elimination method. Adding the equations together, we get:$$x^2 + 2xy + y^2 = 2$$Since $x^2+y^2=1$, we can substitute this into the above equation and obtain:$$2xy = 1$$Then, we can substitute $y=1-x$ into the above equation and obtain:$$2x(1-x) = 1$$This is a quadratic equation that we can solve using the quadratic formula:$$x^2 - x + \frac{1}{2} = 0$$Solving the above quadratic equation, we get:$$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$$Substituting these values of $x$ into $y=1-x$, we get:$$(x, y) = \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}, \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right) \text{ and } \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$$消元法可谓是非线性方程组解法的基础，要牢牢掌握。

高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略一.线性目标函数问题当目标函数是线性关系式如（）时，可把目标函数变形为 ，则可看作在上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.二.非线性目标函数问题的解法当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。

近年来，出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：1． 比值问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

例2已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则y x 的取值范围是（）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D ）[3，6]解析 y x是可行域内的点M （x ，y ）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x取得 最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y x取得最大值6.答案A 2．.距离问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。

例3已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，求x 2＋y 2的最大值与最小值. 解析作出不等式组表示的平面区域（如图）.设x 2＋y 2＝z ，则z 是以原点为圆心的圆的半径的平方.当圆x 2＋y 2＝z 过点B （2，3）时，z 取得最大值，从而z 取得最大值z max ＝22＋32＝13； 当圆x 2＋y 2＝z 与直线AC ：2x ＋y －2＝0相切时，z 取得最小值，从而z 取得最小值. 设切点坐标为（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋y 0－2＝0，y 0x 0·（－2）＝－1. z ax by c =++0b ≠a z c y x b b -=-+z c b-y 在轴y a z x b-=-(,)P x y (,)Q b a 22()()z x a y b =-+-(,)P x y (,)Q a b解得x 0＝45，y 0＝25.因此，z min ＝（45）2＋（25）2＝45. 故，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值13；当x ＝45，y ＝25时，x 2＋y 2取得最小值45. 3． 截距问题例4 不等式组表示的平面区域面积为81，则的最小值为_____解析 令，则此式变形为，z 可看作是动抛物线在y 轴上的截距，当此抛物线与相切时，z 最小，故答案为 4．.向量问题 例5已知点P 的坐标（x ，y ）满足：及A （2，0），则的最大值 解析=||·cos ∠AOP 即为在上的投影长 由∴·cos ∠AOP 的最大值为5.5线性变换问题例6 在平面直角坐标系x O y 中，已知平面区域A ＝{（x ，y ）|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{（x ＋y ，x －y ）|（x ，y ）∈A }的面积为.解析令x ＋y ＝u ，x －y ＝v ，则x ＝u ＋v 2，y ＝u －v 2. 由x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0得u ≤1，u ＋v ≥0，u －v ≥0.因此，平面区域B 的图形如图.其面积为S ＝12×2×1＝1.6线性规划的逆向问题例8 给出平面区域如图所示.若当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范围是.解析当直线y ＝ax －z （a ＜0）过点（23，45），且不与直线AC ，BC 重合时,－z 取得最大值，从而z 取得最小值.k AC ＝4523－1＝－ 125，k BC ＝45－123＝－ 310.所以，实数a 的取值范围是（－ 125，－ 310）. x+y 00x y x a ≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩2x y +2z x y =+2y x z =-+2y x z =-+y x =-14-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-.01,2553,034x y x y x OP OA OA ⋅u u u r u u u r u u u u r OP OA OA⋅u u u r u u u r u u u u r OP OP uuu r OA u u u r ，，M y x y x )25(2553,034⇒⎩⎨⎧=+=+-OP u u u r7、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

线性规划问题经常出现在高考数学试题中.此类问题通常会要求同学们从实际问题中抽象出二元一次不等式，在了解二元一次不等式的几何意义的基础上，画出二元一次不等式组所表示的平面区域，并求出最优解.但问题中的目标函数经常会有所变化，常见的形式有直线型、分式型、平方型，且解法各不相同.下面结合实例，谈一谈三类线性规划问题的解法.一、直线型目标函数直线型的目标函数一般形如z =ax +by (ab ≠0)，这类问题通常要求根据二元一次不等式组，求目标函数z =ax +by (ab ≠0)的最值.求解此类线性规划问题，一般需将函数z =ax +by 转化为直线的斜截式方程：y =-a b x +z b，根据二元一次不等式组画出可行域后，在可行域内讨论直线的截距zb的最值.通过求直线的截距zb的最值来间接求出z 的最值.例1.设x ，y 满足ìíîïïx -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥-2,则z =2x +y 的最大值为.解：画出ìíîïïx -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥-2,表示的可行域，如图1中的阴影部分所示，由{x +y -2≤0,y ≥-2,可得{x =4,y =-2,平移直线y =-2x +z ，可知当直线y =-2x +z 经过点()4,-2时，该直线在纵轴上的截距最大，即在()4,-2点处，z 取大值，可得z max =2×4-2=6．由于直线的截距有正有负，所以取最值的情形有所不同.当b >0时，截距zb取最大值，此时z 也取最大值，当截距zb 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值，此时z 取最小值，当截距z b取最小值时，z 取最大值．图1图2例2.某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg ，其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，饲料公司每周仅能保证供应谷物饲料50000kg ，问怎样混合饲料，才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z 元，由题意可得ìíîïïïïx +y ≥35000，y ≥15x ，0≤x ≤50000，y ≥0，则z =0.28x +0.9y ，作出以上不等式组所表示的平面区域，如图2中阴影部分所示，联立x +y =35000和y =15x ，可得x =875003，y =175003，则A (875003,175003)，作一组平行直线y =-2890+10z9（即图2中虚线），当直线经过可行域内的点A (875003,175003)时，直线的纵截距最小，此时z 最小.故当x =875003，y =175003时，即将谷物饲料和动物饲料按5:1的比例混合时，成本最低.本题是一道实际应用问题.解答此类线性规划问题，需首先仔细读题，根据题意设出变量，建立关于变量的不等关系式以及目标函数.而本题中的目标函数为直线型，所以需将其转化为直线的截距式，在可行域内寻找直线的截距取最小值时的点，即可解题.一般地，线性目标函数的最优解一般会在可行域的顶点或边界处取得，我们可以重点研究可行域的顶点或边界上的点.二、分式型目标函数分式型目标函数一般形如z =y -bx -a.求解此类线性规划问题，需根据目标函数的几何意义：已知点(a ,b )与可行域内的点(x ,y )连线的斜率.当斜率取最大值时，z 取最大值；当斜率取最小值时，z 取最小值.而直线的斜率k =tan a 受倾斜角a 影响：（1）当倾斜角a 为魏上茗43当直线经过点(1,6)时，直线的斜率取得最大值，最大值为6；当直线经过点直线的斜率最小，此时yx取得最小值，最小的取值范围是éëùû95,6，所以本题选A.本题的可行域在第一象限，所以只需讨论直线的范围内的变化情况，可将直线y=zx在可行域内找出直线的倾斜角最大或即斜率取最值时的点，即可解题.图4图5例5.设实数x,y满足ìíîïïx+y-6≥0,x+2y-14≤0,2x+y-10≤0,则x2+y的最小值为____．解：x2+y2表示可行域内的点P(x,y)到原点的距离，作出不等式组表示的平面区域,如图5中的阴影部分所示，过点O作OA垂直于直线x+y-6=0，垂足为A在可行域内），所以原点到直线x+y-6=0的距离，就是点P(x,y)到原点距离的最小值，由点到直线的图3。