高中数学笔记 求分式函数值域例题

函数定义域、值域、解析式习题及答案一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$先求分母的取值范围，$x+3\neq 0$，$x\neq -3$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。

然后考虑分子的取值范围，$x^2-2x-15$的值域为$(-\infty,-16]\cup [3,\infty)$，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$，$4-x^2$的值域为$[-4,\infty)$。

因此，$y$的定义域为$(-\infty,-3)\cup (-3,1)\cup (1,3)\cup (3,\infty)$。

⑵ $y=1-\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{x^2-4}$先求分母的取值范围，$x^2-4\neq 0$，$x\neq \pm 2$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。

然后考虑分子的取值范围，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$。

因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。

⑶ $y=x+1-\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}}$先求分母的取值范围，$x-1\neq 0$，$x\neq 1$；$4-x^2\neq 0$，$x\neq \pm 2$。

然后考虑分母的值域，$1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}>0$，即$\frac{2x-1}{x^2-4}>-\frac{1}{x-1}$。

因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。

4）$f(x)=\frac{x-3}{x^2-2}$的定义域为$(-\infty,-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2},3)\cup (3,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\infty)$。

函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合（2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零；☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。

（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。

例1．函数()1f x x =- 的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()f x =的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D例2．函数y =( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D 【解析】函数y 可知: 2210{ 10x x -≥-≥,解得： 1x =±.函数y =的定义域为{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2113x -≤-≤，故函数f (x )的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022{10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ） A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤，所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37，【答案】A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数y =的定义域为___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。

分式型函数供值域的要领探讨之阳早格格创做正在教教中，笔者时常逢到一类函数供值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，两次式比一次式，一次式比两次式，两次式比两次，当前对付那类问题举止探讨.一、形如d cx bax x f ++=)((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）正在定义域内供值域. 例1：供2312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域. 解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}⎩⎨⎧≠32/y y普遍性论断，d cx bax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域}⎩⎨⎧≠c a y y /例2：供2312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域.分解：由于此类函数图像不妨通过反比列函数图像仄移得出，所以办理正在给定区间内的值域问题，咱们不妨绘出函数图像，供出其值域.解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由xy 31-=背左仄移32，进与仄移32得出，通过图像瞅察，其值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛85,53小结：函数闭系式是一次式比一次式的时间，咱们收当前此类函数的真量是反比率函数通过通常得出的，果此咱们不妨做出其图像，去供函数的值域.二、形如供xa x x f +=)(（)0≠a 的值域.分解：此类函数中，当0<a ，函数为单调函数，较简朴，正在此咱们没有干计划，当0>a 时， 对付函数供导，,1)(2'xa x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈⋃+∞,a ），0)('<x f 时，),0()0,(a a x ⋃-∈，根据函数单调性，咱们不妨干出此类函数的大概图像，其咱们常道的单勾函数，通过图像供出其值域.例3)上递三、用），nmx c bx ax x f +++=2)(（0,0≠≠a m ）正在定义内供值域的问题.例3：（2010沉庆文数）已知0t >，则则函数241t t y t-+=的最小值为_______.解：41142-+=+-=t t t t t y ，∴>o t 由基原没有等式天2-≥y例4:供)1(21)(2>++-=x x x x x f 的值域.解：令,1,1+==-t x t x 则则2)1()1()(2++++=t t tx f =341432++=++t t t t t，其中t .0>则由基原没有等式得71)(≤x f例5:供)21(12224)(2->+++=x x x x x f 的值域.解：令,12+=x t 则21-=t x ，t t t x f 2)21(2214)(2+-+⎪⎭⎫⎝⎛-==t t t 22+-=12-+t t，其中0>t ，由基原式得122)(-≥x f小结：对付于此类问题，咱们普遍换元整治后，将函数形成)0()(>+=a x ax x f 那典型的函数，办理此类函数注意应用基原没有等式，当基原没有等式没有成的时间，注意应用单勾函数的思维去办理此类问题三、形如)0,0()(22≠≠++++=m a c bx mx c bx ax x f 正在定义域内供值域.例5：供11222++++=x x x x y 的值域. 分解：当定义域为R 时，咱们采与判别式法供此类函数的值域.当定义域没有为R 时，没有该采与此法，可则有大概堕落.此时，咱们要根据函数闭系的特性，采与其余要领. 解：012>++x x恒恒创造，所以此函数的定义域为R x ∈，将函数整治成闭于x 的圆程，1222++=++x x y yx yx ，,0)1()1()2(2=-+-+-y x y x y 当,02≠-y 闭于x的圆程恒有解，则)1)(2(4)1(2----=∆y y y ,0≥即371≤≤y ，隐然，2=y 也创造，所以其值域为{}371/≤≤y y以上是供此类函数的罕睹要领，但是共教们正在解题历程中.没有要拘泥以上要领，咱们要根据简直函数的特性采与相对付应的要领，多思索，闻一知十，那以去办理此类问题便很简单了.。

高中函数值域和定义域的大小,是常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）函数定义域的常见其一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1、求函数yx 2 2x 15的定义域。

x 3 82 x 5或x3 x 2x 15 0解：要使函数有意义，则必须满足即 x 5且x 11 x 3 8 0解得x 5或x 3且x 11即函数的定义域为x x 5或x 3且x 11 。

二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。

（一）已知f (x )的定义域，求f g (x ) 的定义域。

其解法是：已知f (x )的定义域是[a ,b ]求f g (x ) 的定义域是解a g (x ) b ，即为所求的定义域。

例2、已知f (x )的定义域为[ 2,2]，求f (x 1)的定义域。

2解： 2 x 2， 2 x 1 2，解得 3 x 23即函数f (x 1)的定义域为x 3 x 3（二）已知fg (x ) 的定义域，求f (x )的定义域。

2其解法是：已知f g (x ) 的定义域是[a ,b ]求f (x )的定义域的方法是：a x b ，求g (x )的值域，即所求f (x )的定义域。

例3、已知f (2x 1)的定义域为[1,2]，求f (x )的定义域。

解： 1 x 2， 2 2x 4， 3 2x 1 5。

即函数f (x )的定义域是x |3 x 5 。

三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例4、已知函数ymx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。

22分析：函数的定义域为R ，表明mx 6mx m 8 0，使一切x R 都成立，由x 项的系数是m ，所以应分m 0或m 0进行讨论。

高中函数定义域、值域经典习题及答案1、求函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$首先要注意分母不能为0，所以$x\neq-3$和$x\neq1$。

又因为分式中有$x-1$的项，所以还要满足$x\neq1$。

所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-3)\cup(-3,1)\cup(1,+\infty)$。

⑵ $y=1-\frac{1}{x+1}$分母不能为0，所以$x\neq-1$。

所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$。

⑶ $y=\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}}+\frac{2x-1}{2-x^2}$分母不能为0，所以$x\neq1$。

分式中有$x-1$的项，所以还要满足$x\neq1$。

分母不能为0，所以$x\neq\pm\sqrt{2}$。

所以函数的定义域为$x\in(-\infty,-\sqrt{2})\cup(-\sqrt{2},1)\cup(1,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$。

2、设函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，则函数$f(x+2)$的定义域为$[2,3]$；函数$f(2x)$的定义域为$[0,\frac{1}{2}]$。

3、若函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域为$[-\frac{5}{2},2]$；函数$f(-2)$的定义域为$[-3,-1]$。

4、知函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$，且函数$F(x)=f(x+m)-f(x-m)$的定义域存在，求实数$m$的取值范围。

由于$F(x)$的定义域存在，所以$f(x+m)$和$f(x-m)$的定义域都存在，即$x+m\in[-1,1]$，$x-m\in[-1,1]$。

解得$-1-m\leq x\leq1-m$，$m-1\leq x\leq m+1$。

分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。

今天我们主要讨论分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域求法。

一、若21a a ，同时为零，则函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=就变为形如2211c x b c x b y ++=（22b b ，不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。

例１ 求函数312+-=x x y 的值域 解法１：（分离常数法） 利用恒等变形可化为：37237)3(2+-=+-+=x x x y 所以，该函数的值域为)2()2(∞+-∞∈，， y ： 解法２：（求反函数法） 函数 312+-=x x y 的反函数为132xy x -=- 所以 原函数值域为{}2≠∈y y y （即反函数定义域为原函数值域）。

二、若21a a ，不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。

如果不约分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。

例２ 求函数2312+--=x x x y 的值域解：可先将函数变为)2)(1(1)(---==x x x x f y 。

约分后函数变为21)(-=x x g 。

所以 0)(≠x g约分后函数)(x g 的定义域扩大了（严格来说()g x 与原函数)(x f 不是同一个函数，但在不引起混淆的情况下也可直接约分），)(x g 在１处所对应的函数值1-，也是)(x f 不能取到的值，所以函数2312+--=x x x y 的值域是）（０，０）１（１），（∞+∞- ,--。

例３求函数2652-+-=x x x y 的值域解：函数可变形为32)3)(2(-=---=x x x x y ，所以该函数的值域是{}1-≠∈y y y 。

高中数学，函数值域的求法，方法总结与例题分析1、换元法：将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。

思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。

2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。

（2）f(x)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 f(x)函数的图像，从而利用图像求得函数的值域（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式思路：（1）函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。

那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜率，即是(x,xlnx)与定点(1,-3)连线的斜率，那么只需在坐标系中作出f(x)=xlnx在[2,4]的图像与定点(1,-3)，观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出函数的值域。

高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题（含答案解析）作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。

所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。

一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。

（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。

若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。

（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。

（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。

（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。

（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内） 例：()[]223,1,4f x x x x =−−∈−解：()()214f x x =−−∴对称轴为：1x = ()[]4,5f x ∴∈−（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称 （2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →−∞→（4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > 注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a = ② 极值点：,x a x a ==− ③ 极值点坐标：()(),2,,2a a a a −−④ 定义域：()(),00,−∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎤⎡−∞−+∞⎦⎣（5）函数：()0ay x a x=−> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =± ③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。

高中函数求值域的九种方法和例题讲解
【读者按】高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.
一.观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，
故3+√(2-3x)≥3。

∴函数的知域为.
点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)
二.反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数。

每日一题第32道：分式函数的值域
首先公布每日一题第31道的答案.
题目是这样的.
这道题是一道非常好的一题多解的素材.
读者朋友们答题踊跃，其中@改变自己一人就提供了5种解法，非常精彩.
五种方法分别可概括为：1.几何意义法；2.单调性法；3.三角换元法；4.判别式法；5.构造图形法.
解法6：基本不等式法，选取@刘勇提供的解答.
解法7：构造向量法，选取@YSYYRPS提供的解答，这个解法有创造力.
另外，@来者犹可追、@handsome、@王启丞、@李佳伟、@sdyhj等朋友也有不错的思路和解法.
今天真是精彩纷呈啊，来来来，小伙伴们，都参与进来.
每日一题第32道
读者朋友们回答问题的方法是这样的：
在文章后点击“写留言”.
然后，写上你的分析和答案.
有的数学符号不方便书写，可以写文字.
比如根号2,三次根号下5...，这样的表达我能看懂.。

1、函数y = 1 / (x - 2)的值域是：A. 所有实数B. 所有实数除了0C. 所有实数除了2D. 所有实数除了1（答案）2、已知函数f(x) = 3 / (x^2 + 1)，求其值域。

A. (-∞, 0)B. (0, ∞)（答案）C. [0, ∞)D. (-∞, ∞)3、函数y = 4 / (3x - 5)的值域是：A. 所有实数B. 所有实数除了0C. 所有实数除了3/5D. 所有实数除了5/3（答案）4、已知函数f(x) = -2 / (x^2 - 4)，求其值域。

A. (-∞, 0)B. (0, ∞)C. (-∞, -1/4] U [1/4, ∞)（答案）D. (-∞, ∞)5、函数y = 5 / (x^2 + 3)的值域是：A. (-∞, 0)B. (0, ∞)（答案）C. [0, ∞)D. (-∞, ∞)6、已知函数f(x) = 1 / (x - 3)，求其值域。

A. 所有实数B. 所有实数除了3C. 所有实数除了1/3D. 所有实数除了1（答案）7、函数y = 6 / (2x + 7)的值域是：A. 所有实数B. 所有实数除了0C. 所有实数除了-7/2（答案）D. 所有实数除了7/28、已知函数f(x) = -3 / (x^2 + 2)，求其值域。

A. (-∞, 0)B. (0, ∞)C. (-∞, -3/2] U [3/2, ∞)（答案）D. (-∞, ∞)9、函数y = 7 / (x^2 + 1)的值域是：A. (-∞, 0)B. (0, ∞)（答案）C. [0, ∞)D. (-∞, ∞)10、已知函数f(x) = 2 / (x - 1)，求其值域。

A. 所有实数B. 所有实数除了1C. 所有实数除了-1（答案）D. 所有实数除了2。

函数专题之值域与最值一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。