分式函数求值域

分式函数求值域问题的通用解法韩善豪我这里所讲的分式函数指的是一次除一次,二次除一次,一次除二次,二次除二次,具体来看是指一下四种形式： 一次除以一次dcx b ax y ++= 二次除以一次nmx c bx ax y +++=2 一次除以二次cbx ax n mx y +++=2 二次除以二次rnx mx c bx ax y ++++=22 下面我以一些具体的例子来说一说分式函数值域的具体求法;例1.求函数212-+=x x y 的值域; 解析：此题的标准解法叫分离常数 则该函数是由xy 5=向右平移两个单位,向上平移2个单位得到,显然值域为()()+∞⋃∞-,22, 说明：d cx b ax y ++=该函数可以称为是反比例型函数,其值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ;另外此函数的对称性和单调性规律也很简单,大家可以试着总结一下; 再随便举一个例子：231-+=x x y 其值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠31y y 例2.求函数xx x y 422++=的值域; 解析：此例子比较简单,分母上的一次只是x ,显然我们可以化简得24++=xx y 则可以用对号函数的单调性解决值域为(][)+∞⋃-∞-,62, 例3.求函数1422+++=x x x y 的值域; 解析：此题和例2其实一样,只不过分母稍复杂一点;令1),0(1-=≠+=t x t x t 代入上式得 所以值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,例4.求函数4212+++=x x x y 的值域;解析：此题为一次除以二次的形式,则根据例3当01≠+x 时,我们可以先求出y1的值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,,则此时⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈63,00,63y ,当01=+x 时,0=y ,综上进得到该函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈63,63y 例5.求函数113222++++=x x x x y 的值域; 解析：此题可以转化成例4来求;121)1(2123222222+++=+++++=++++=x x x x x x x x x x x x y 仍然是一次除以二次的情况 当0=x 时2=y当0≠x 时[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃∈+++=37,22,11112xx y 综上⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈37,1y 说明：分式函数求值域的问题,除了一次除以一次可以口算之外,其余的几种情况基本上都可以转化成对号函数来求;以上几个题目都是我随手编的几个题,只是想给大家展示一下分式求值域通用的规律;后面我会再给大家补充几道涉及到分式求值域的高考题以及高考模拟题;。

方法集锦求函数值域问题比较常见,其中含有分式函数的值域问题较为复杂.要求含有分式的函数值域,我们需首先求出函数的定义域,尤其要考虑分式的分母不为0的情况,然后将函数式化简、变形.求含有分式的函数值域的关键在于对函数式进行合理的化简和变形.这里介绍三种求含有分式的函数值域的方法.一、采用反函数法我们知道，反函数的定义域就是原函数的值域.当含有分式的函数存在反函数时，我们可利用反函数法来解题，先求其反函数的定义域，这样便能快速求得原函数的值域.例1.求函数y=x+1x+2的值域.解：函数y=x+1x+2的反函数为x=2y-11-y，由题意知函数的定义域为y≠1，故函数y的值域为{}y|y≠1,y∈R.利用反函数法求函数值域的前提条件是原函数存在反函数.运用该方法求函数的值域较为直接、简单.二、运用判别式法判别式法一般适用于求解一元二次函数、不等式、方程问题.对于形如y=ax2+bx+cdx2+ex+f、y=bx+cdx2+ex+f的二次分式函数，可用判别式法求函数的值域.在解题时，需先将函数式化为关于x的一元二次方程，然后求出方程根的判别式，令其大于或等于0，解不等式即可求得函数的值域.例2.求函数y=2(x+1)(x-2)(x2-1)的值域.分析：可将原函数式化为关于x的一元二次方程，然后运用二次方程根的判别式来求出原函数的值域.解：y=2(x+1)(x-2)(x2-1)=2(x-2)(x-1)=2x2-3x+2则yx2-3yx+2y-2=0，由题意知y≠0，则由Δ≥0得(-3y)2-4y(2y-2)=y2+8y≥0，解得y≤-8或y>0.所以函数y=2(x+1)(x-2)(x2-1)的值域为{}y|y≤-8或y>0.三、分离常数法分离常数法主要适用于求形如f(x)=bx+cex+f、f(x)=ax2+bx+cdx2+ex+f的分式函数的值域.在解题时，我们需将分子配凑为分母的倍数，将函数中的整式和分式分离，然后利用基本不等式或配方法求最值.例3.求函数y=(x-1)2x2+1的值域.解：y=（x2+1)-2xx2+1=1-2xx2+1.①当x=0时，y=1.②当x≠0时，y=1-2x+1x.当x>0时，由基本不等式可得x+1x≥2,此时y∈[0,1)，当x<0时，由基本不等式可得x+1x≤-2,此时y∈(1,2]，综上可述，原函数值域为[0,2].解答本题，需首先将函数式变形，使整式与分式分离，然后利用基本不等式分别讨论当x>0和x<0时函数式的值域，进而求得函数的值域.求含有分式的函数值域的方法有很多，除了以上三种方法，还有换元法、一一映射法、单调性法等.对于求含有分式的函数值域问题，我们需重点关注函数的定义域和函数的解析式，需在确定函数的定义域和将函数式变形后选择合适的方法来解题.（作者单位：江西省赣州市兴国县兴国中学）48Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

百花园地新课程NEW CURRICULUM判别式法是求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f（a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域的常用方法。

但是很多学生在学习和运用判别式法的过程中，发现运用判别式法求值域时，有时候是对的，有时候又是错的，其中的原因究竟为何并不清楚，后来干脆不用判别式法而改用其他方法。

其实只要你掌握了判别式法的理论依据及易错点，一般来说，求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f（a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域还是比较方便的。

下面就本人对判别式法的一些理解，来分析一下为什么用判别式法有时是对的，有时候又是错的。

首先，让我们通过一道例题来看一下，判别式法求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f （a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域的一般步骤及其理论依据。

例1：求函数y =x 2+x -1x 2+x -6的值域。

解：由y =x 2+x -1x 2+x -6可得（y -1）x 2+（y -1）x -6y +1=0★10当y -1=0即y =1时，★式可化为-5=0显然不成立。

20当y -1≠0即y ≠1时，★式为关于x 的一元二次方程Δ=（y -1）2-4（y -1）（1-6y ）≥0得y ≥1或y ≤15由10、20可得y ∈（-∞，15）∪（1，+∞）即所求函数的值域为y ∈（-∞，15）∪（1，+∞）。

例2：求函数y =2x 2-x +1x 2+2x -3的值域。

解：由y =2x 2-x +1x 2+2x -3可得（y -2）x 2+（2y +1）x -3y -1=0★10当y -2=0即y =2时，★式可化为5x -7=0得x =75因为函数y =2x 2-x +1x 2+2x -3的定义域为（-∞，-3）∪（-3，1）（1，+∞）而x =75∈（-∞，-3）∪（-3，1）（1，+∞）所以，y =2符合题意。

20当y -2≠0即y ≠2时，★式为关于x 的一元二次方程Δ=（2y +1）2+4（y -2）（3y+1）≥0得y ≥2+11√4或y ≤2-11√4由10、20可得y ≥2+11√4或y ≤2-11√4即所求函数的值域为(-∞,2-11√4］∪［2+11√4，+∞）注：由上述例1和例2可以看出，用判别式法求值域大致可分为四步：1.将分式形如y =ax 2+bx +c dx 2+ex+f （a 2+d 2≠0）的分式型二次函数转化为关于x 的整式方程（dy-a ）x 2+（ye-b ）x +yf -c =0★。

分式型函数求值域的方法探讨在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题， 此类函数是以分式函数形式出现， 有次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。

ax b一、形如f(x)(a o,b 0)(一次式比一次式)在定义域内求值域。

cx d 2x 1 2例1 ：求f (x)( x )的值域。

3x 23其值域为 y/y —3ax bd一般性结论，f (x)( a o,b 0 )如果定义域为x/ x,则值域cx d c/ a y/yc2x 1例2 :求f(x)，x 1,2的值域。

3x 2分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值 域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。

X4 一33X1-3 X1一21-3 X12x 1 2 3解：f(x) 么」=二 3，是由y3x 2 3 3x 23 5像观察，其值域为 -，—5 813向左平移-，向上平移-得出，通过图x3 3/V f小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

a二、形如求f(X) x -( a 0)的值域。

x分析：此类函数中，当a 0，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当 a 0时,对函数求导，f'(x) 1 弓，f'(x) 0时，x (，掐) 掐，)，f'(x) 0时，xx ( ..a,0) (0,a)，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常说的双勾函数，通过图像求出其值域。

当然在某些时候可以采用基本不等式来解决4 例3：求f(x) 2x , (x (1,4)上的值域。

x2 i~解：将函数整理成f(x) 2(x -)，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在(0八2)x单调递减，在(、..2,)上递增，其在2处取最小值，比较1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为4、2,6(m 0,a 0)在定义内求值域的问题。

分式函数三种值域求法
在求解分式函数的值域时，通常可以使用以下三种方法：
1. 构造法：通过对分式函数进行构造，确定函数的值域范围。

具体步骤如下：
- 将分式函数表示为一个等式，将等式中的分母进行因式分解，找出分母的零点，得到不可取的值。

- 根据分式函数的定义域限制和函数的性质，确定分子函数和分母函数的值域范围。

- 根据值域范围的限制，求解分式函数的值域。

2. 导数法：对分式函数求导，利用导数的性质来确定值域范围。

具体步骤如下：
- 首先找到分式函数的定义域，并求出其导数。

- 根据导数的增减性分析函数的单调性，并确定函数的极值点。

- 根据函数的单调性和极值点，确定值域范围。

3. 图像法：通过绘制函数的图像，观察其图像特征来确定函数的值域范围。

具体步骤如下：
- 绘制分式函数的图像，可以使用计算机软件、图
形计算器等工具。

- 观察图像的函数曲线，确定函数的最大值、最小值和区间。

- 根据图像的特征，确定函数的值域范围。

这三种方法可以根据具体情况选择使用，有时也可以结合使用以求得更准确和全面的值域范围。

在实际应用中，可以根据具体的分式函数和问题的要求来选择适合的方法。

分式函数三种值域求法（原创实用版）目录1.引言2.分式函数的定义和性质3.三种值域求法a) 直接法b) 反函数法c) 数形结合法4.实际应用举例5.总结正文一、引言分式函数是数学中一种重要的函数类型，它在各个领域中都有着广泛的应用。

在研究分式函数的过程中，值域问题是一个关键环节。

为了更好地理解和解决这个问题，本文将为大家介绍三种求分式函数值域的方法。

二、分式函数的定义和性质分式函数是指形如 f(x)=a(x)/b(x)（a(x)、b(x) 为多项式，且 b(x)≠0）的函数。

在研究分式函数时，我们需要关注它的定义域、值域、单调性等性质。

三、三种值域求法1.直接法直接法是最简单也最容易理解的方法。

它主要通过分析函数的性质和结构，直接求出函数的值域。

具体操作步骤如下：a) 确定函数的定义域；b) 分析函数的单调性；c) 求出函数的最大值和最小值；d) 得出函数的值域。

2.反函数法反函数法是通过求解原函数的反函数，从而得到原函数的值域。

具体操作步骤如下：a) 求出原函数的反函数；b) 求出反函数的定义域；c) 根据反函数的定义域得出原函数的值域。

3.数形结合法数形结合法是将函数的性质与图形结合起来求解值域的方法。

具体操作步骤如下：a) 画出函数的图形；b) 观察图形的特征，如渐近线、极值点等；c) 根据图形特征得出函数的值域。

四、实际应用举例假设有一个分式函数 f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)，我们需要求出它的值域。

1.使用直接法：首先确定定义域为{x|x≠±1}，然后分析函数的单调性，得出函数的最大值为 2，最小值为 -2。

因此，函数的值域为 (-∞,-2]∪[2,+∞)。

2.使用反函数法：求出原函数的反函数为 f^-1(x)=±√(1+x^2)，然后求出反函数的定义域为 R，因此原函数的值域为 R。

3.使用数形结合法：画出函数的图形后，观察到函数的渐近线为 y=±1，因此函数的值域为 (-∞,-1]∪[1,+∞)。

求分式函数值域的几种方法分式函数值域的求解是函数理论中的一个重要问题。

以下列举了几种常用的方法：1.观察法通过观察函数的分子和分母，以及它们的增减性，来确定整个函数的增减性。

例如，如果一个分式函数可以化简为一个常数加上一个分子，而这个分子的根的判别式小于0，那么这个函数就是一个单调递减的分式函数。

2.极限法如果一个函数在某一点处的极限为无穷大，那么这个函数的值域就是无穷大。

因此，可以通过求解函数在某一点处的极限来确定函数的值域。

3.反解法如果一个分式函数可以表示为一个简单函数的倒数，那么可以通过反解这个简单函数来求得这个分式函数的值域。

例如，如果一个分式函数可以表示为y=1/x，那么可以通过反解x=1/y来求得这个分式函数的值域。

4.判别式法对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的函数，可以利用判别式法进行求解。

通过求解一元二次方程的判别式来确定函数的值域。

5.换元法有时候，我们可以通过引入一个新的变量来简化函数的求解过程。

例如，如果一个函数可以化简为一个常数加上一个二次函数，那么我们可以引入一个新的变量来求解这个二次函数的值域。

6.反函数法对于形如y=f(x)的函数，如果存在一个反函数x=g(y)，那么我们可以利用反函数法来求解函数的值域。

通过求解反函数的定义域来确定原函数的值域。

7.比例法对于形如y=kx/(b+kx)的函数，我们可以利用比例法进行求解。

通过将原函数转化为一个比例函数来进行求解。

8.对数法对于形如y=logax/(logbx)的函数，我们可以利用对数法进行求解。

通过将原函数转化为一个对数函数来进行求解。

9.均值不等式法对于形如y=a/(b+cx)的函数，我们可以利用均值不等式法进行求解。

通过求解均值不等式来确定函数的值域。

10.构造函数法有时候，我们可以通过构造函数来求解函数的值域。

例如，如果一个函数可以化简为一个常数加上一个二次函数与一个指数函数的乘积，那么我们可以构造一个新的函数来求解这个函数的值域。

求分式函数值域的几种方法摘要：本文介绍了高中数学教学中求分式函数值域的常见方法，包括配方法、反函数法、判别式法、单调性法、换元法、不等式法、方程法和斜率法等。

这些方法在解决函数值域和最值问题中发挥了重要作用。

1 引言求分式函数值域是解决函数最值问题的一个重要工具，也是高中数学教学中的一个难点和重点。

本文总结了求分式函数值域的常见方法，包括配方法、反函数法、判别式法、单调性法、换元法、不等式法、方程法和斜率法等，以便更好地解决各种类型的分式函数值域问题。

2 求分式函数值域的常见方法2.1 配方法通过配方法，将分式函数变形为可以直接求值域的形式，例如y=a/(2a+x)+b，可以将其配方为y=b+(a/(2a+x))，然后利用直接法求得函数的值域。

在使用配方法时，需要注意自变量的取值范围。

2.2 判别式法利用二次函数的判别式，即Δ=b^2-4ac，来求分式函数的值域。

例如y=x^2-3x+4/(2x+3x+4)，可以将其变形为(y-1)x^2+(3y+3)x+(4y-4)=0，然后根据Δ的取值范围，求出y的取值范围。

2.3 反函数法通过求分式函数的反函数，可以得到其值域。

例如y=1/(x-1)，可以求出其反函数为x=1/y+1，然后确定x的取值范围，即可求出y的取值范围。

2.4 单调性法通过分析分式函数的单调性，可以确定其值域。

例如y=1/(x^2-x)，可以求出其导函数为y'=-1/(x-1)^2+x/(x^2-x)^2，然后分析其单调性，可以确定其值域。

2.5 换元法通过根式代换、三角代换等方法，将分式函数变形为可以直接求值域的形式。

例如y=1/(x^2-1)，可以将其根式代换为y=1/(u^2-1)，然后利用直接法求得函数的值域。

2.6 不等式法通过分析分式函数的不等式，可以确定其值域。

例如y=(2x-3)/(x^2+x-12)，可以将其变形为y=2/(x-4)-1/(x+3)，然后通过不等式求解，可以确定其值域。

次分式函数值域的求法 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】二次分式函数值域的求法甘肃王新宏一定义域为R 的二次分式函数用“判别式”法解题步骤：1把函数转化为关于x 的二次方程2 方程有实根，△≥03 求的函数值域例1：求y=22222+++-x x x x 的值域 解：∵x 2+x+2>0恒成立由y=22222+++-x x x x 得， （y-2）x 2+(y+1)x+y-2=0①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R②当y-2≠0时，即y ≠2时,∵x ∈R∴方程（y-2）x 2+(y+1)x+y-2=0有实根∴△=(y+1)2-(y-2)×(y-2)≥0∴3y 2-18y+15≤0∴1≤y ≤5∴函数值域为[]5,1练习1：求y=432+x x 的值域 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,43 二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。

先来学习“√”函数。

形如y=x+x k(x>0,k>0)的函数，叫“√”函数图像单调性：在x ∈[]k ,0时，单调递减。

在x ∈[]+∞,k 时，单调递减。

值域：[]+∞,2k解题步骤：①令分母为t,求出t 的范围②把原函数化为关于t 的函数③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域例2求y=12122-+-x x x （321≤<x ）的值域解令2x-1=t,得0<t ,5≤x=21+t∴y=2112++t t212+≥ 当且仅当t t12=时，即t=2时，取“=”。

∴y 212+≥ ∴值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞+,212练习2求y=2cos 4cos 3)(sin 2--+x x x 的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,1三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=edx cx b ax +++2(ac 0≠) 解题步骤：①令分子为t,求出t 的范围，把原函数化为关于t 的函数②分子分母同除以t ，把分母化为关于t 的“√”函数③根据复和函数的单调性得出原函数值域例3y=3312+++x x x x ()+∞-∈,1 解令x+1=t,得t ∈()+∞,0且x=t-1∴y=12++t t t =tt 111++ ∵1+t+t13≥(t=1时取“=”) ∴y 31≤且y>0 ∴值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 练习3:求y=12+x x 的值域？ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 四分子分母均为二次的二次分式函数可化为“三“求之。