高二数学必修5《等差数列》练习卷

习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。

第2课时(kèshí) 等差数列1．等差数列的定义：－＝d〔d为常数〕．2．等差数列的通项公式：⑴ a n＝a1＋ ×d⑵ a n＝a m＋ ×d3．等差数列的前n项和公式：S n＝＝．4．等差中项：假如a、b、c成等差数列，那么b叫做a与c的等差中项，即b ＝．5．数列{a n}是等差数列的两个充要条件是：⑴数列{a n}的通项公式可写成a n＝pn＋q(p, q∈R)⑵数列{a n}的前n项和公式可写成S n＝an2＋bn(a, b∈R)6．等差数列{a n}的两个重要性质：⑴ m, n, p, q∈N*，假设m＋n＝p＋q，那么．⑵数列{a n}的前n项和为S n，S2n－S n，S3n－S2n成数列．例1.在等差数列{a n}中，(1)a15＝10，a45＝90，求a60；(2)S12＝84，S20＝460，求S28；(3)a6＝10，S5＝5，求a8和S8．解：(1)方法(fāngfǎ)一：∴a60＝a1＋59d＝130．方法二：，由a n＝a m＋(n－m)d a60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．(2)不妨设S n＝An2＋Bn，∴∴S n＝2n2－17n∴S28＝2×282－17×28＝1092(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，又S6＝∴15＝即a1＝－5而d＝∴a8＝a6＋2 d＝16S8＝变式训练1.在等差数列{a n}中，a5＝3，a6＝－2，那么a4＋a5＋…＋a10＝．解：∵d＝a6－a5＝－5，∴a4＋a5＋…＋a10＝例2. 数列{a n}满足a1＝2a，a n＝2a－〔n≥2〕．其中a是不为0的常数，令b n ＝．⑴求证：数列{b n}是等差数列．⑵ 求数列(sh ùli è){a n }的通项公式．解：∵ ⑴ a n ＝2a －(n≥2) ∴ b n ＝ (n≥2)∴ b n －b n －1＝ (n≥2)∴ 数列{b n }是公差为的等差数列．⑵ ∵ b 1＝＝a 1 故由⑴得：b n ＝a 1＋(n －1)×a 1＝即：a a n -1＝an 得：a n ＝a(1＋) 变式训练2.公比为3的等比数列与数列满足，且， 〔1〕判断{}n a 是何种数列，并给出证明；〔2〕假设，求数列的前n 项和 解：1〕，即 为等差数列。

等差数列前n项和（填空题：较易）1、已知等差数列中，满足，且，是其前项和，若取得最大值，则= ．2、已知等差数列的前项和为，若3，，也成等差数列，则__________．3、在等差数列的值为_____________．4、设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=________5、已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则_____________6、设数列的通项公式为，则__________．7、在等差数列中，若，则前10项和 __________．8、已知等差数列的前项和为，若，则取最大值的是__________．9、已知等差数列{a n}的前n项和S n＝－n2＋2tn，当且仅当n＝7时S n最大，则t的取值范围是________．10、数列的前项和满足，则数列的通项公式__________．11、等差数列的前项和为，则其通项公式__________．12、在等差数列中，若__________．13、在等差数列中，已知，那么它的前8项和__________.14、已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1＋ (n≥2)，则数列{a n}的前9项和等于________．15、等差数列中，若，则__________．16、已知等差数列的前项和，若，且三点共线(为该直线外一点)，则等于________ .17、己知数列{a n}的前n项和满足S n=2n+1-1,则a n=______.18、设是等差数列的前项和，已知，，则________19、在等差数列中，，则________．20、若等差数列满足，则其前项和=________．21、设为等差数列，公差为其前项和．若，则__．22、等差数列的前项和为，已知，，则当时，__________．23、已知是等差数列的前项和，若，则数列的公差为__________．24、已知为等差数列，为其前项和，若，，则________25、在等差数列{a n}中，S4＝4，S8＝12，则S12＝________.26、已知｛｝是等差数列, 为其公差, 是其前项和,若只有是{}中的最小项,则可得出的结论中正确的是．①>0 ②③④⑤27、已知数列中，，（），则数列的前9项和等于____________.28、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝________．29、设等差数列的前项和为，若首项，公差，，则正整数=______．30、已知数列是等差数列，其公差为1，且是与的等比中项，是的前项的和，则=__________.31、已知等差数列满足，且是此数列的前项和，则__________．32、各项均不为的数列满足，且，则数列的前10项和为__________．33、等差数列中，，则=______.34、将正整数1,3,5,7,9…排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第（）行的所有数之和为__________．35、已知为等差数列，为其前n项和. 若，，则_______．36、在等差数列中,,,则_________.37、《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是__________．38、设等差数列的前项和为，若，，则_______；39、设是等差数列的前项和，已知，，则_______.40、我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计。

课时训练7 等差数列一、等差数列通项公式的应用1.等差数列{a n }中,a 2=-5,d=3,则a 5为( )A.-4B.4C.5D.6答案:B解析:a 5=a 1+4d=(a 1+d )+3d=a 2+3d=-5+3×3=4.2.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1=2a n +1,则a 101的值为( )A.49B.50C.51D.52答案:D解析:∵2a n+1=2a n +1,∴a n+1=a n +12.∴a n+1-a n =12.∴数列{a n }是首项为2,公差为12的等差数列.∴a 101=a 1+(101-1)d=2+1002=52.3.(2015福建厦门高二期末,2)已知数列{a n }满足a 1=1,a n =a n-1+3(n ≥2),则a 100等于() A.297 B.298 C.299 D.300答案:B解析:由a n =a n-1+3(n ≥2),得a n -a n-1=3(n ≥2),即数列{a n }是以3为公差的等差数列.又a 1=1,∴a 100=1+(100-1)×3=298.4.若等差数列{a n }的公差为整数,首项为19,从第6项开始为负值,则公差为( )A.-5B.-4C.-3D.-2答案:B解析:设等差数列{a n }的公差为d (d ∈Z ),依题意得a 6=a 1+5d=19+5d<0,即d<-195,a 5=a 1+4d=19+4d ≥0,即d ≥-194,所以-194≤d<-195,又d ∈Z ,所以d=-4.5.等差数列{a n }中,a 2=5,a 4=a 6+6,则a 1= .答案:8解析:由a4=a6+6,得2d=a6-a4=-6,∴d=-3.又∵a1=a2-d=5-(-3)=8,∴a1=8.二、等差中项的应用6.(2015福建宁德五校联考,1)已知实数m是1和5的等差中项,则m等于()A.√5B.±√5C.3D.±3答案:C解析:因为实数m是1和5的等差中项,所以2m=1+5=6,则m=3.故选C.7.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.9答案:B解析:依题意可得m+2n=8,2m+n=10,故3m+3n=18⇒m+n=6,故m和n的等差中项是3.8.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值为()A.1B.0或32C.32D.log25答案:D解析:由题意得lg 2+lg(2x+3)=2lg(2x-1),所以2(2x+3)=(2x-1)2,解得2x=5或2x=-1(舍去),所以x=log25.三、等差数列的判断与证明9.(2015山东威海高二期中,21)数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*).令b n=a2n,求证{b n}是等差数列,并求{b n}的通项公式.解:当n≥2时,b n-b n-1=a2n-a2n-2=2,∴{b n}是等差数列,且b1=a2=2,∴b n=2n.10.已知1b+c ,1c+a,1a+b成等差数列,求证:a2,b2,c2成等差数列.证明:∵1b+c ,1c+a,1a+b是等差数列,∴1b+c +1a+b=2c+a.∴(a+b)(c+a)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c).∴(c+a)(a+c+2b)=2(a+b)(b+c).∴2ac+2ab+2bc+a2+c2=2ab+2ac+2bc+2b2.∴a2+c2=2b2.∴a2,b2,c2成等差数列.(建议用时:30分钟)1.数列{a n}的通项公式a n=4n-7,则此数列是()A.公差为4的等差数列B.公差为-7的等差数列C.首项为-7的等差数列D.公差为n 的等差数列答案:A解析:a n+1-a n =4(n+1)-4n=4.故选A.2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是( )A.45B.46C.47D.92答案:B解析:由题可知,等差数列的首项a 1=1,公差d=-2,且a n =-89.由a n =a 1+(n-1)d ,解得n=46.故选B .3.{a n }为等差数列,且a 7-2a 4=-1,a 3=0,则公差d= () A.-2 B.-12 C.12 D.2答案:B解析:{a 1+6d -2(a 1+3d )=-1,a 1+2d =0,即{a 1=1,d =-12.4.等差数列的相邻4项是a+1,a+3,b ,a+b ,那么a ,b 的值分别是( )A.2,7B.1,6C.0,5D.无法确定答案:A解析:由等差中项知识得{2a +6=a +b +1,2b =2a +b +3,解得{a =2,b =7.5.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围为( )A.d>83B.d<3C.83≤d<3D.83<d ≤3答案:D解析:设公差为d ,a n =-24+(n-1)d ,∴{a9≤0,a 10>0,{-24+8d ≤0,-24+9d >0,∴83<d ≤3.6.已知等差数列{a n }中,a 1<a 2<…<a n ,且a 3,a 6为x 2-10x+16=0的两个实根,则此数列的通项公式是答案:a n =2n-4解析:由题意得{a 3+a6=10,a 3a 6=16,又a 1<a 2<…<a n ,所以解得a 3=2,a 6=8,所以{a 1+2d =2,a 1+5d =8,a 1=-2,d=2. 从而a n =-2+2(n-1),即a n =2n-4.7.已知a ,b ,c 成等差数列,那么二次函数y=ax 2+2bx+c 的图象与x 轴的公共点的个数是 . 答案:1或2解析:∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b=a+c.二次函数y=ax 2+2bx+c 的判别式Δ=4b 2-4ac=(a+c )2-4ac=(a-c )2≥0,∴图象与x 轴有一个或两个公共点.8.若x ≠y ,且x ,a 1,a 2,y 和x ,b 1,b 2,b 3,y 各自都成等差数列,则a 2-a1b 2-b 1= . 答案:43解析:由题知a 2-a 1=d 1=y -x 3,b 2-b 1=d 2=y -x 4, ∴a 2-a 1b 2-b 1=43. 9.某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?解:由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,…,每年获利构成等差数列{a n },且当a n <0时,该公司会出现亏损.设从第1年起,第n 年的利润为a n ,则a 1=200,a n -a n-1=-20(n ≥2,n ∈N *),所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n },且公差d=-20,从而a n =a 1+(n-1)d=220-20n.若a n <0,则该公司经销这一产品将亏损,所以由a n =220-20n<0,得n>11,即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.(1)设数列{a n }是公方差为p 的等方差数列,求a n 和a n-1(n ≥2)的关系式;(2)若数列{a n }既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列.解:(1)由等方差数列的定义可知:a n 2−a n -12=p (n ≥2).(2)∵{a n }是等差数列,设公差为d ,则a n -a n-1=a n+1-a n =d (n ≥2).又{a n }是等方差数列,∴a n 2−a n -12=a n+12−a n 2(n ≥2),∴(a n +a n-1)(a n -a n-1)=(a n+1+a n )(a n+1-a n ),即d(a n+a n-1-a n+1-a n)=-2d2=0.∴d=0,即{a n}是常数列.。