空间向量的坐标运算 第二课时

素养目标
数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算
环节2：教学重难点
重点： 1.掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示 2.能利用空间向量的坐标运算解决垂直、夹角、长度等 问题
难点：能利用空间向量的坐标运算解决垂直、夹角、 长度等问题
情景一：
问题1 平面向量中有哪些运算？
加法 减法 数乘 数量积
课本P22 练习
2.已知
a
2,
1, 3
，
b
4,
2,
x
，且
a
b
，求
x
的值．
【详解】因为
a
b
，所以
a
b
0
，
所以 2 (-4)+(-1)2+3x=0 ，
所以
x
10 3
.
课本P22 练习
4.如图，正方体OABC DABC 的棱长为 a、点 N，M 分别在 AC，BC 上， AN 2CN ， BM 2MC ，求 MN 的长．
【详解】因为正方体OABC DABC 的棱长为 a、点 N，M 分别在 AC，BC 上，AN 2CN ，
BM 2MC ，
所以
M
a 3
,
a,
2a 3
,
N
a 3
,
2a 3
,
0
，
所以 MN
a2 4a2 0
5a .
99 3
课本P22 习题
2. M x, y, z 是空间直角坐标系 Oxyz 中的一点，写出满足下列条件的点的坐标；
（3）与点 M 关于 z 轴对称的点为x, y, z （4）与点 M 关于原点对称的点为x, y, z
课本P22 习题

由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐 标表示是完全一致的．例如，我们有：
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去 起点坐标．
类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：
当b 0时, a // b a b a1 b1, a2 b2,a3 b3( R);
0,
1 4
,1
,
17
17
BE1 4 , DF1 4 .
所以BE1
DF1
0
0
1 4
1 4
11
15 16
,
15
所以cos BE1 , DF1
BE1 DF1 BE1 DF1
16
15 ,
17 17 17
44
所以,
BE1与DF1所成角的余弦值为
15 17
.
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ),
a (a1, a2 , a3 ), R
a b a1b1 a2b2 a3b3 .
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示．其他运算的坐标 表示可以类似证明，请同学们自己完成．
设{i, j, k}为空间的一个单位正交基底,
z
k
j
iO
y
x 图1.3-2
探究 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐 标）表示．对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表 示呢？
在空间直角坐标系Oxyz中, i, j, k为坐标向量, 对空间任意一点A, 对应
一个向量OA, 且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,
同理, 点C的坐标是(0, 4, 0).
点A在x轴、y轴和z轴上的射影分别为

Z
. . . .
X
C
. .
. . . .D
A
. .
B
Y
P39练习 3
3. 点B是点A(3,4,5)在坐标平面xOy内的 射影, 求|OB|
z
5
A
O
3
4
y
B
x
P39练习 4
(2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的 射影坐标 (3)写出点P(1,3,5)关于原点 z 成中心对称的点坐标. Py(0,3,4)
则
AB = OB－OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
【注】空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
练习：写出下列各题中 向量的坐标： 1） i 2 j 3k ２ ) i 5 j 4k 3)8i 3k 4) 5i 2 j 5 )3 j
记作A ( x ,
y , z ) x, y, z分别称作点A的横坐标, 纵坐标, 竖坐标.
3. 空间内某点的坐标确定
P(3,4,5)
5
z

P
4
3
y

x
P
例：如图已知长方体的长、宽、高分别为2、3、4， 求下列点的坐标：A、B、C、D、A1、B1、C1、D1
z
A1 B1 C1
D1
A
D
C
yxLeabharlann B练习P38：1~4
z
k i
x O
j
y
④ i 、j 、k 为坐标向量； ⑤通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面, …
3. 坐标 ①向量的坐标 给定一个空间坐标系和向量 a , 且设 i , j ,k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组 ( a1, a2, a3)使 a=a1 i a2 j a3 k

空间向量运算的坐标表示学习目标：1、 掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。

2、 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。

3、 掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。

学习重点：1、 利用空间向量的坐标运算证明线线垂直或平行。

2、 利用空间向量的坐标运算求两点间的距离。

学习难点：利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角。

学习方法：类比法和启发探究 学习过程： 一、复习回顾 平面向量坐标运算a =(1x ,1y )，b =(2x ,2y )，写出以下向量的坐标表示 a +b =(1x +2x ，1y +2y ) a -b =(1x -2x ，1y -2y )λa =(1x λ，1y λ)a •b =1212x x y y + a //b ⇔1221x y x y -=0a ⊥b ⇔1212x x y y +=0设(,)x y =a ，那么222||a x y =+或2||a x y =+如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么1||(a x =-平面内两点间的距离公式)co s θ =||||a ba b ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=〔πθ≤≤0〕二、新授：我们知道，向量a 在平面上可用有序实数对(x ，y)表示，在空间那么可用有序实数组{},,x y z 表示。

类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示。

空间向量的直角坐标运算：1．设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，那么 ⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++.上述运算法那么怎样证明呢？〔将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可〕2．两个向量共线或垂直的判定：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，那么 ⑴a //b⇔a ＝λb ⇔112233,,a b a b a b λλλ===，()R λ∈⇔312123a a ab b b ==；⑵a ⊥b ⇔a ·b =0⇔1122330a b a b a b ++=练习1：()()3,2,5,1,5,1a b =-=-，求：⑴a ＋b . ⑵3a －b ；⑶6a . ； ⑷a ·b . 练习2：()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥，那么x ＝.练习3： ()()1,2,,,1,2a y b x =-=， 且(2)//(2)a b a b +-，那么〔 〕A. 1,13x y == B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-3．向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，那么｜a 222123a a a ++利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：4．空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，点111222(,,),(,,)A a b c B a b c ，那么A ，B 两点间的距离222212121()()()AB d AB a a b b c c ==-+-+-5、两个向量夹角公式cos ,||||⋅<>=⋅a b a b a b 112233222222123123=++⋅++a a a b b b这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个公式，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向； 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向； 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．练习：()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.三、典型例题例5. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ 解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系O-xyz ，那么13(1,1,0),1,,1,4⎛⎫⎪⎝⎭B E11(0,0,0),0, 1.4⎛⎫⎪⎝⎭，D F1311,,1(1,1,0)0,,1,44⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BE1110, 1(0,0,0)0, 1.44⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，DF1111150011,4416⎛⎫=⨯+-⨯+⨯= ⎪⎝⎭BE DF111717||,||.4==BE DF 111111151516cos ,.17||||1717<>===⋅⨯BE DF BE DF BE DF因此1BE 与1DF 所成的角的余弦值是1517。