33整式的除法(基础)知识讲解

整式的除法（基础）
【学习目标】
1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．
2. 会进行单项式除以单项式的计算．
3. 会进行多项式除以单项式的计算．
【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则

同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnmnaaa（a≠0，mn、都是正整数，
并且mn）
要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
要点二、零指数幂

任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a（a≠0）

要点诠释：底数a不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.
因此常数项也叫0次单项式.
要点三、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，
则连同它的指数作为商的一个因式.
要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出
现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组
合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.
要点四、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即


ambmcmmammbmmcmmabc

要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实
质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变
化.

【典型例题】
类型一、同底数幂的除法

1、计算：
（1）83xx；（2）3()aa；（3）52(2)(2)xyxy；（4）531133．
【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号．
【答案与解析】
解：（1）83835xxxx．
（2）3312()aaaa．
（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xyxyxyxyxy．

（4）535321111133339．
【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包
括它前面的符号．

类型二、单项式除以单项式

2、计算：
（1）342222(4)(2)xyxy；

（2）2137323mnmmnxyzxyxyz；
（3）22[()()]()()xyxyxyxy；
（4）2[12()()][4()()]abbcabbc．
【思路点拨】：（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、
（4）中多项式因式当做一个整体参与计算．
【答案与解析】

解：（1）342222684424(4)(2)1644xyxyxyxyxy．

（2）2137323mnmmnxyzxyxyz
21373211()()()3mmmnnxxxyyyzz










21432nxyz

．

（3）22[()()]()()xyxyxyxy
222
()()()()xyxyxyxy

2
()()xyxyxy

．

（4）2[12()()][4()()]abbcabbc
2
(124)[()()][()()]ababbcbc

3()33abab
．

【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独
有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，
必须写成假分数．
举一反三：
【变式】计算：

（1）3153abab； （2）532253xyzxy；

（3）2221126abcab； （4）63(1010)(210)．
【答案】
解：（1）33202153(153)()()55ababaabbaba．

（2）532252323553(53)()()3xyzxyxxyyzxyz．

（3）22222201111()()332626abcabaabbcabcac．
（4）63633(1010)(210)(102)(1010)510．
3、（2015春•泾阳县校级月考）金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是
人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为4.2×107千米，从金星射
出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105千米/秒）
【答案与解析】

解：t=秒，
答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102秒．
【总结升华】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此
题比较简单，易于掌握．
类型三、多项式除以单项式

4、计算：
（1）324(67)xyxyxy；

（2）42(342)(2)xxxx；
（3）22222(1284)(4)xyxyyy；
（4）232432110.3(0.5)36abababab．
【答案与解析】
解：（1）32432423(67)(6)(7)67xyxyxyxyxyxyxyxyx．

（2）42(342)(2)xxxx
42
[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]xxxxxx

3
3
212xx
．

（3）22222(1284)(4)xyxyyy
2222222
12(4)(8)(4)4(4)xyyxyyyy

2
321xx

（4）232432110.3(0.5)36abababab
22322432
11
0.3(0.5)(0.5)(0.5)36abababababab




22
321
533
abab
．

【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计
算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号
的变化．

举一反三：
【变式1】计算：

（1）23233421(3)2(3)92xyxxxyyxy；

（2）2[(2)(2)4()]6xyxyxyx．
【答案】

解： （1）原式223239421922792xyxxxyyxy

52510428(927)93xyxyxyxxy．
（2）原式2222[44(2)]6xyxxyyx
2222
(4484)6xyxxyyx

2
(58)6xxyx

54
63
xy
．

【变式2】（2016•江西校级模拟）化简：2212332xxxxx
解：2212332xxxxx
=32212332xxxxx
=322122xxx
=24x