量子力学基本原理分析理解
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课程设计：量子力学基本原理分析理解
目的：加深对量子力学基本原理理解和应用
指导教师：张晓霞教授
学号：2905402036 姓名：胡淼
一、说明量子力学中粒子的状态是由波函数描写
实物粒子的波粒二象性
量子理论的发展过程是人们对微观世界的认识逐步深化的过程。在Planck-Einstein的光量子
论（光子具有波粒二象性）的启发下，面对Bohr的原子的量子理论取得的成功和碰到的困难，
de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，例如电子）也具有波粒二象性的假
说：一个能量为E动量为p的质点，同时具有粒子性和波动性，其波长λ由p确定，频率ν由
能量E确定。自由粒子满足的徳布罗意关系：
E=hν ⑴
⑵
至此，人们清楚地认识到微观粒子不是经典粒子，也不是经典波，不能用经典的牛顿定律来描
述其运动状态，必须引进一种新的函数来描述其波粒二象性------波函数。
波函数的统计解释
把微观粒子的粒子性和波动性统一起来的是M.Born（1926）提出的几率波。他认为，粒子的干
涉和衍射实验中所揭示的波动性质，既可以看成大量粒子在同一实验中的统计结果，也可看成
单个粒子在许多次相同实验中的统计结果。在分析电子的双缝干涉实验时可以发现在底片r点
附近干涉花样的强度电子出现在r附近的几率。干涉图样如图（1）
图（1）
设干涉波用来描述，干涉花样在空间的分布则用描述，这里的意义与经典波
不同，是刻画粒子在空间出现几率大小的量。既然几率波决定粒子在空间出现的几率，那么，
在t时刻，几率波应该是空间位置（x,y,z）的函数，我们把该函数写为或,
称为波函数。所以，量子力学中波函数所描述的不是实在的物理量，而是粒子在空间分布的几
率。
其实比较我们经典力学中对波动性的解释：波动性是指某种物理在空间分布呈周期性变化，并
且由于波的相干性，而出现干涉衍射等现象。在的Born统计解释中，他保留了波最重要的特性
----相干叠加，不过他把“某种物理量”改为“粒子出现的几率”。量更确切的说，
表示在r点附近体积元内找到粒子的几率，这就是Born对波函数的统计解释，是量子
力学基本原理之一。按照Born对波函数的统计解释在非相对论的情况下很自然要求该粒子在空
间各点的概率之和为1，即要求波函数满足下列条件：
⑶
而且在某一时刻在空间某点出现的几率是单值的，因此，除孤立奇点外，波函数还应
满足是r的单值、有界、连续的函数。
二、用态叠加原理分析双缝干涉实验
量子力学中态叠加原理：对于一般情况，如果和是体系的可能态，那么他们的线性叠加
=+ （） ⑷
也是这个体系的一个可能状态。
现在，我们利用上述态叠加原理来讨论电子的双缝干涉现象（对光子同样适用，但本文就简单
起见只讨论电子）。一个电子有和两种可能的态，如图（2），是通过的电子的态，是
通过电子的态，=+是这两种态的叠加。
图（2）
按照态叠加原理，也是电子可能状态。那么，根据上节波函数统计解释，电子的几率分布为：
把（4）式推广到更一般情况，态可以表示为许多态
= ⑸
三、建立薛定谔方程
在经典力学中，体系运动状态随时间变化遵循牛顿方程，牛顿方程是关于变量t的二阶全微分
方程。在量子力学中，体系的运动状态由波函数描述。和经典力学相似可以建立一个
决定随时间t变化规律的方程式。从物理上看，这个方程必须满足：
⑴ t时刻，已知初态且只知道这样一个初始条件，所以，描写离子状态的波函数
所满足的方程只能含对时间t的一阶导数。
⑵ 要满足态叠加原理，即若和是方程的解，那么
=+也应该是方程的解。因此方程必须是线性的，只能包
含，的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能包含它们的平方或开方项。
⑶方程的系数不应包含状态参量，如动量，能量等，因为方程系数如含有状态的参量，则方程
只能被粒子的部分状态所满足，而不能被所以状态满足。
根据以上三个条件来建立波函数满足的方程。对于自由粒子这一特殊情况，我们已知方程的解
是平面波：
⑹
将平面波（6）式对t和x, y, z求微商得
⑺
⑻
在非相对论的情况下对与自由粒子，能量等于动能
E= ⑼
由（7）、（8）、（9）得到
⑽
式（10）就为自由粒子波函数所满足的微分方程，其中m为粒子的质量。由式（7）（8）可看出
能量和动量作用在波函数上相当于算符和作用在波函数上，即有
把式（10）推广到更一般情况，来建立力场中粒子波函数所满足的微分方程。已知此时粒子能
量为
将式中E和p用（11）中对应关系表示并作用在波函数上有
这个方程成为薛定谔波动方程。对于多粒子体系，式中哈密顿算符H可表示为更一般的形式
（） （14）
多粒子体系薛定谔方程是
（） （15）
注意，因为哈密顿量是非相对量，因此薛定谔方程只适用于非相对论情况。
四、证明动量算符是线性厄密算符
1.厄密性
由式（11）我们可以得出在三维情况下动量算符
要证明该算符的厄密性，即 或
（16）
为简单起见，这里只考虑其一维情况，即 的厄密性质。
也就是说，就束缚态而言，当x时，都趋于零，
算符的厄密性得证
2.线性性
设是任意两个波函数，且有
⒄
态叠加原理可知，对于=+（，的作用必须是：
+ ⒅
即：
⒆
因此，的线性性得证。
综上，动量算符是线性厄密算符。
五、分析本征函数的性质
厄密算符的本征函数具有正交、归一、完备性
1.厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交
证明：设
存在。因为是厄密算符，因此，所以对式（）两
边取复共轭
，对变量的整个空间求积分
（22）
同理有
（23）
由厄密算符的定义有
（24）
式（22）和式（23）左边相等，因此右边也相等，则有
（25）
因为，证毕。。
由以上论证可知，本征函数可以归一化为函数还代替
满足上两式的成为正交归一系。
2.满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系，设有，那么任意函数可
按展开。
式中和x无关，若本征值n是连续的，则上式求和变积分。关于叠加系数，可将上式左右
两边左乘,然后同去积分再由正交归一性得出：
而且可以证明当
证明：
至此，本文已经从上述的五个部分分别阐述了：
量子力学基本假定Ⅰ：波函数完全描述粒子状态
波粒二象性除波函数统计解释的另一种表现形式：态叠加原理
量子力学基本假定Ⅱ：波函数随时间演化的薛定谔方程
量子力学基本假定Ⅲ：量子力学中力学量用线性厄密算符表示
量子力学基本假定Ⅳ：任何力学量算符的本征函数组成正交完备系，在任意已归一态
的几率等于前面的系数
