2020高考数学 25个必考点 专题10 向量的最值问题检测
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2019年
【2019最新】精选高考数学 25个必考点 专题10 向量的最值问题检测
一、基础过关题
1.（2018天津高考）如图，在平面四边形ABCD中，，， ，若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，
以DC所在的直线为y轴，
2019年
，，，
设，
，，，
，
当时，取得最小值为．
故选：A．
如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，求出A，B，C的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．
本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．
2．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．
【答案】 3
3．设＝，＝(0,1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝y－x的最小值是________．
【答案】 －1 2019年
【解析】 由题得所以可行域如图所示，
所以当直线y－x＝z经过点A(1,0)时，zmin＝－1.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)··＋c·＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，试求·的最小值．
【答案】 (1) B＝；
(2) ·的最小值为－2.
5．(2016·青岛诊断考试)已知向量a＝(ksin ，cos2)，b＝(cos ，－k)，实数k为大于零的常数，函数f(x)＝a·b，x∈R，且函数f(x)的最大值为.
(1)求k的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若 【答案】(1) k＝1； (2) ·的最小值为20(1－) 【解析】(1)由题意，知f(x)＝a·b＝(ksin ，cos2)·(cos ，－k) ＝ksin cos －kcos2＝ksin －k·3＝(sin －cos )－2k ＝(sin －cos )－＝sin(－)－. 因为x∈R，所以f(x)的最大值为＝，则k＝1. 二、能力提高题 2019年 1.（2018高考浙江卷）已知，，是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】解：由，得， ， 如图，不妨设， 把等式变形，可得得，即，设，则的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点O的两条射线上，画出图形，数形结合得答案． 本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题． 2.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 【答案】 65π 2019年 【解析】 如图，向量α与β在单位圆O内，由于|α|＝1，|β|≤1， 且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为， 故以向量α，β为两边的三角形的面积为， 故β的终点在如图所示的线段AB上(α∥，且圆心O到AB的距离为)， 因此夹角θ的取值范围为. 3．(2015·福建改编)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于________． 【答案】 13 【解析】 建立如图所示坐标系， 4.已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·的最小值是________． 【答案】 6 【解析】 圆(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2， 圆M(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1，圆心M(2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1， ∵CM＝5＞2＋1，故两圆相离． 2019年 如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点， 5.(2016·青岛模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ， t)(0≤θ≤)． (1)若⊥a，且||＝||，求向量； (2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·. 【答案】(1) ＝(24,8)或＝(－8，－8)． (2) ·＝32. 【解析】(1)由题设知＝(n－8，t)， ∵⊥a，∴8－n＋2t＝0. 又∵||＝||， ∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8. 当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8， ∴＝(24,8)或＝(－8，－8)． (2)由题设知＝(ksin θ－8，t)， ∵与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16， tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k(sin θ－)2＋.
