2020高考数学《平面向量》复习专题

高考数学专题复习题：平面向量一、单项选择题（共8小题）1.已知向量(1,)x =a ，(1,3)=−b .若向量2+a b 与向量b 垂直，则x 的值为（ ） 33||||4AC CB =.若AB BC λ=，则λ34 C.74 3.已知向量a ，b 不共线，设k =+u a b ，2=−v a b ，若//u v ，则实数k 的值为（ ）A.4.如图所示，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近点C 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（ ）A.1151818AB AC −+B.1111189AB AC −+C.114189AB AC −+D.1526AB AC −+第4题图 第5题图 第6题图5.如图，在等边三角形ABC 中，如果3BD DC =，那么向量AB 在向量AD 上的投影向量为（ ）AD AD AD AD 6.如图，在ABC △中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，如果AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，那么μ值是（ ）7−7.单位向量a ，b ，c 满足22−+=0a b c ，则cos ,2〈−〉=a b c （ ）8.若AB AC ⊥，||AB t =，1||AC =，ABC 平面内一点，2||||AB AC AP AB AC =+，则的最大值为（ ）A.13B.二、多项选择题（共2小题）9.已知向量，，其中，则下列说法中正确的是（ ）A.若，则B.若a 与b 的夹角为锐角，则C.若1x =，则a 在b 上的投影向量为bD.若，则10.在ABC △中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点D 为线段AB 上靠近A 点的三等分点，E 为CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A.16AE AB AC = AE 与EB 的夹角的余弦值为 C.AE CD ⋅=三、填空题（共5小题）11.图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，如果A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，那么AB CD ⋅=________.12.已知向量(2,5)=a ，(,4)λ=b ，若//a b ，则λ=________.13.平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，()m m =+∈R c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹PB PC ⋅5−−+(1,3)=a (2,2)x x =−b x ∈R ⊥a b 6x =6x <||||||+=+a b a b 27x =角，则m =________.14.在ABC △中，2AB =，3AC =，A =3255AD AB AC =+，则AB 与AD 夹角的大小为________.15.如图，在平行四边形ABCD 中，已知M 是BC 中点，DE AM ⊥于E ，2AB AD =，cos DAB ∠=AB =a ，，以，为基底表示EC ，则EC =________.AD =b a b。

平面向量03 平面向量的数量积及应用一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 二、知识概述： 一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量a r 、b r ，它们的夹角为θ，则r a ·b rθcos . 若a r =(1x ,1y ),b r =(2x ,2y )，则a r ·b r=2121y y x x +.2.向量的模：若a r =(,)x y ，则|a r.3.两向量的夹角余弦值：>=<=,cos cos θa ba b×r r r r.【考点讲解】4.向量垂直的等价条件：a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .二）主要知识点： 1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作OA u u u r ＝，OB u u u r＝，则∠AOB ＝θ 叫做向量与的夹角．（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量与θ⋅叫做与的数量积，记作⋅，即⋅θcos ，其中θ是与的夹角．规定00=⋅a.当⊥时，θ＝90°，这时0r ra b?.（2）⋅的几何意义：数量积⋅等于与在θcos 的乘积．3.向量数量积的性质：（1）=⋅=（2）>=<=,cos cos θa ba b×r r r r (θ为与的夹角). （3≤⋅4.数量积的运算律（1）交换律：⋅=⋅. （2）分配律：()⋅+⋅=⋅+（3）对()()()R λλλλ⋅=⋅=⋅∈,.5.数量积的坐标运算：设()()2211,,,y x b y x a ==，有下面的结论：（1）2121y y x x +=⋅.（2）a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .（3.2121y x +=（4）>=<=b a ,cos cosθr r r r a ba b×=(θ为与的夹角).1．【2019年高考全国I 卷】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】本题考查的是向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考全国II 卷】已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r=（ ） A ．−3 B ．−2 C ．2 D ．3【解析】本题考点为平面向量的数量积.由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r，1BC ==u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u rg g ．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国II 卷】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【解析】本题主要考查平面向量的数量积.因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ,所以选B.【真题分析】4.【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A 1BC ．2D ．2【解析】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题.设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)， 则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ，由b 2−4e ·b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1,因此|a −b |的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x的距离21，为√3−1.选A. 【答案】A5.【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积.AB u u u r 与AC u u u r的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22||||AB AC AC AB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，所以|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r|；当|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r |成立时，|AB u u u r +AC u u u r |2>|AB u u u r -AC u u u r |2AB ⇒u u u r •AC u u u r >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以ABu u u r与AC u u u r 的夹角为锐角.故“AB u u u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”是“|AB u u u r +AC uuur |>|BC u u u r |”的充分必要条件,故选C ．【答案】C6.【2018年高考北京卷理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.7.【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（ ）A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【解析】如图所示，连结MN ，由BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CN ⃑⃑⃑⃑⃑ =2NA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可知点M,N 分别为线段AB,AC 上靠近点A 的三等分点，则BC⃑⃑⃑⃑⃑ =3MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )， 由题意可知：OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=12=1，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1×2×cos120∘=−1， 结合数量积的运算法则可得：BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −3OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=−3−3=−6. 本题选择C 选项.【答案】C8.【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________． 【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【答案】89.【2019年高考全国III 卷】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________.【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【答案】2310.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r___________．【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则0)B，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BEy x =-， 直线AE的斜率为-y x =.由(3y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以5(,)1)122BD AE =-=-u u u r u u u r g g .【答案】1-11.【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是___________．【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g ，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ， 得2213,22AB AC =u u u r u u u r即,AB =u u u r u u r故ABAC=.12.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r ；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r ； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-313.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】14.【2017年高考山东卷理数】已知12,e e与的夹角为60︒，则实数的值是___________．【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-=e e e e e e e，12|2-===e，12||λ+===e ecos60λ=︒3λ=．1.已知向量(1,2)a=r，(1,1)b=-r，则()(2)a b a b+•-=r r r r（）A．2 B．-2 C．-3 D．4【解析】因)4,1(2),1,2(-=-=+baba，故224412)1()2()(=-=⨯+⨯-=-⋅+baba，应选A. 【答案】A2.已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=13.若n⊥（t m+n），则实数t的值为（）A.4B.–4C.94D.–94【解析】由43m n=u r r，可设3,4(0)m k n k k==>u r r，又()n tm n⊥+r u r r，所以22221()cos,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=r u r r r u r r r u r r u r r r.所以4t=-，故选B.【答案】B12-e12λ+e eλ∴【模拟考场】3.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）A.85-B.81 C.41 D.811【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.【答案】B4.已知向量a r 与b r 的夹角为60°，||2a =r ，||5b =r，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．23 B ．2 C ．52 D ．3【解析】由已知条件可知，2a b -r r 在a ra b a 2，其中()360cos 2=⋅-=⋅-=⋅-ο.23=.【答案】A5. 在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r ，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【解析】本题考点是平面向量的数量积、三角函数同角关系、三角形的面积公式的应用.由题意可知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r 得，⋅=u u u r u u u rAB AC tantan 26||||cos tan ,||||cos 3cos 6A AB AC A A AB AC A ππ⋅=⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，11221||||sin sin 223636ABC S AB AC A π∆=⋅=⨯⨯==u u u r u u u r .【答案】166.已知向量,,21==，若对任意单位向量，均有6≤⋅+⋅ ,则⋅的最大值是 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知221|(a b)||a ||b ||a b ||a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅+≤++⋅≤⇒⋅≤r r r r r r r r r r r r r r r ，即最大值为12.【答案】127.在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算， 在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+12132 221131218=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB AD BC AD AB BC AB111291331818=++-=【答案】29188.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．【解析】本题考点是平面向量的线性运算及数量积的运算，由题意可设==,，则()()433=-=+-⋅+=⋅b a b a CABA ，()()1-=-=+-⋅+=⋅，.85813==则()().8722=-=+-⋅+=⋅【答案】789.设向量()2log 3,a m =r，()3log 4,1b =-r ，且a b ⊥r r ，则m 的值为__________．【解析】因为a b ⊥rr ，所以有0r r a b?，可以得到23log 3log 40m -=，则23lg3lg4log 3log 42lg2lg3m ==⨯=，应填答案2. 【答案】210.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为___________.【解析】由题意可知：360cos ==⋅ο，()32313232+=-+=+=，()-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅λ3231=433293143233-=⨯-⨯-⨯+⨯λλ， 所以可得113=λ. 【答案】11311.已知3a =r ， 4b =r ， 0a b ⋅=r r ，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r，则c r 的取值范围是__________．【解析】易知5a b +=r r ，由()()0a c b c -⋅-=r r r r，且0a b ⋅=r r ，可得：()2cos ,5cos ,=+=+⋅+=+r r r r r r r r r r r r r r c a b c a b c a b c c a b c .所以0c =r 或5cos ,c a b c =+r r rr，由此可得c r的取值范围是[]0,5. 【答案】[]0,512.已知两个不共线的向量b a ,，它们的夹角为θ13==，x 为正实数．(1)若b a 2+与b a 4-垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量与x -是否垂直．【解析】(1)因为2+与4-垂直，所以()()042=-⋅+.所以08222=-⋅-b b a a ，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0， 所以cos θ＝16，又θ∈(0，π)，sin θ＝1－cos 2θ＝356，所以tan θ＝sin θcos θ＝35.。

5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1） 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】 －23【解析】 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=， 当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>， 于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-， 由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四 考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】 －2或6【解析】 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为． 【答案】 (3,3)【解析】 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为． 【答案】 3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心， 则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ， 则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________． 【答案】2133【解析】 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______． 【答案】102【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

考点25 平面向量基本定理及坐标表示1、已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2、已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0) D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3、若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1) D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 4、已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 5、设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．7、已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 【答案】D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴CO →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2B ． 2C ．2D ．42【答案】A【解析】因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以点C 的坐标为(2，2)．又OC →＝λOA ＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9、已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则．【答案】【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，10、若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________． 【答案】－54【解析】AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，由题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.11、已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=， 即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ， 据此可知：210+=m n ．12、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若 P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－P A →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝P A →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(2018青海西宁质检)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________. 【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.13、P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________. 【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．14、已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，3AP PB =，则点P 的坐标是____________． 【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故3AP PB =-，设(),P x y ， ，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．15、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．【解】以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，则点C 的坐标为(cos α，sin α)， 由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝2 33sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.16、已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．【答案】（1）()16,16--；（2） 【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影17，()sin ,cos x x =n ， （1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n【答案】（1）tan 1x =；（2）12．【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即sin cos 022x x -=， 化简可得sin cos x x =，则tan 1x =．（2而由m ，n )1sin cos 2x x -=，18、如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （1）若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？）213OP OA OB =+；213）由题意得1AP AB =，∴()1OP OA OB OA -=-，∴21OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=， ∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+．∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=，。

2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题12 平面向量【主题考法】本热点考查形式为择题或填空题，主要考查平面向量的概念与向量的线性运算、平面向量 基本定理与平面向量的数量积的概念、运算法则及性质，考查利用平面向量的知识计算向量的夹角、长度及最值或范围问题，考查分运算求解能力、数形结合思想，以向量为工具和载体与其他知识交汇命题的也是命题的一个方向，难度为基础题或中档题，分值为5分.【主题考前回扣】 1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 3．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.学-科网5．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 6．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 7.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3. 【易错点提醒】1.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．2．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件； a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件． 3.注意向量的数量积不满足消去率和结合律4.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系. 【主题考向】考向一 平面向量的概念与线性运算【解决法宝】1．对平面向量的线性运算问题，若已知向量的坐标或易建立坐标系，常用坐标法，否则利用三角形法则和平行四边形法则处理向量的线性运算，一般地，共起点的向量利用平行四边形法则，差用三角形法则.当M 是BC 的中点，AM =)(21AC AB +应作为公式记住.2．对向量共线问题，要熟记平面向量共线的充要条件，①b a //（0≠a ）⇔存在唯一实数λ，使得a b λ=；②已知),(11y x a =，),(22y x b =，则b a //⇔01221=-y x y x ，处理选择合适的方法.例1已知向量()2,1a =, (),1b x =，若a b +与a b -共线,则实数x 的值是（ ） A. 2- B. ２ C. 2± D. ４【分析】求出向量a b +与a b -的坐标，利用向量共线的充要条件的坐标形式列出关于x 的方程，即可求出x 的值.【解析】由()2,1a =， (),1b x =，则()2,2a b x +=+， ()2,0a b x -=-， 因为a b +与a b -共线，所以()()2022x x +⨯=-，解得2x =，故选B ． 考向二 平面向量基本定理【解决法宝】平面向量的线性表示，常选择已知不共线的向量为基底，常从未知向量开始，逐步构造三角形，最终用已知向量表示出来，即直接法；也可用待定系数法，即所要表示的向量用基底表示出来，用两种不同逐步构造三角形的方法所要表示的向量表示出来，再利用平面向量基本定理即可列出关于参数的方程，解出参数，即可所要表示向量的表示形式，其中回路法是解题的常用方法，回路即向量从一点出发，通过一个的图形又回到起点的那个通路，构成一个回路.回路法的关键是利用条件，将我们关心的两个向量列成比例式，关联题设条件，最后将向量分解成共线形式，问题迎刃而解.例2 已知AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为90°，()2,1,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈u u u r u u u r u u u v u u u v u u u u v，且0AM BC =u u u u r u u u r g ，则λμ的值为 ．【分析】建立直角坐标系，用坐标法及0AM BC =u u u u r u u u rg 列出关于μλ,的方程，解出μλ,的值，即可求出λμ的值.例3已知在△ABC中，D为边BC上的点，且BD=3DC，点E为AD的中点，，则=_________.【答分析】通过构造三角形，利用向量加法的三角形法则逐步将未知向量用已知向量表示出来.【解析】如图：.又，所以，所以.又因为与不共线，所以，，所以.考向三平面向量的数量积【解决法宝】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量b在向量a方向上的投影有两种思路：思路1，用|b|cosθ计算;思路2，利用•a b |a|计算.3.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.4.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出的形式：可以用定义式，也可以用坐标式.5.对于长度问题，可以用向量的模来处理，若向量a 是非坐标形式，用==•22|a |a a a 求模长；若给出向量a 的坐标，则用|a |=2211x y +来求解.学-科网例4若非零向量,a b r r满足223a b =r r ,且()()32a b a b -⊥+r r r r ,则a r 与b r 的夹角为（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．34π【分析】利用向量垂直的充要条件，计算出a r 与b r 的数量积与a r 、b r模的关系，再利用向量夹角公式，即可求出向量a r 与b r的夹角.【解析】()()()()22223232=03203a b a b a b a b a b a b a b b -⊥+⇒-⋅+⇒--⋅=⇒⋅=r r r r r r r r r r r r r r r所以22223cos ,,.2422||||3b a b a b a b a b b π⋅<>===⇒<>=r r r r r r r r r r 选A. 考向四 向量与其他知识的交汇【解题法宝】对向量与其他知识结合的综合问题，有两种思路，思路1:需要将题中以向量形式给出的条件利用相关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量的相关知识，转化为向量问题去处理. 例5在ABC ∆中， BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1【分析】以BC 边的中点为原点，BC 上的中线为y 轴建立坐标系，设P(x,y)，将PA PB PA PC ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 用x,y表示出来，再求出其范围. 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则()0,2A ．设点P 的坐标为(),x y ，则()(),2,,PA x y PO x y =--=--u u u r u u u r ， 故()()22222PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+-u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()222122x y ⎡⎤=+--≥-⎣⎦，当且仅当0,1x y ==时等号成立． 所以PA PB PA PC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为2-．选C ． 【主题集训】1.在ABC ∆中，若4AB AC AP +=u u u v u u u v u u u v ，则CPu u u v ＝（ ） A. 3144AB AC -u u u v u u u v B. 3144AB AC -+u u uv u u u vC. 1344AB AC -u u u v u u u vD. 1344AB AC -+u u uv u u u v【答案】C【解析】由题意得4AB AC AP +=u u u v u u u v u u u v =()4AB CP +u u u v u u u v ，解得CP u u u v ＝1344AB AC -u u u v u u u v，选C.2. 已知向量()2,3a =r， ()1,2b =-r ，若ma b +r r 与2a b -r r 垂直，则实数m 的值为（ ）A. 65-B. 65C. 910D. 910-【答案】B【解析】()()21,32,24,1ma b m m a b +=-+-=-v vv v ,由于两个向量垂直,所以()()21,324,18432560m m m m m -+⋅-=---=-=,解得65m =,故选B. 3.若两个非零向量a r ， b r 满足2a b a b b +=-=r rr r r ，则向量a b +r r 与a r 的夹角为（ ）A.6π B. 3π C. 23π D. 56π 【答案】A4.已知向量()1,3a =v ， (),23b m m =-v ，平面上任意向量c v都可以唯一地表示为(),c a b R λμλμ=+∈v v v，则实数m 的取值范围是（ ）． A. ()(),00,-∞⋃+∞ B. (),3-∞ C. ()(),33,-∞-⋃-+∞ D. [)3,3- 【答案】C【解析】根据平面向量基本定理可知，若平面上任意向量c r都可以唯一地表示为(),c a b R λμλμ=+∈r r r，则向量a r ， b r 不共线，由()1,3a =r ， (),23b m m =-r 得233m m -≠，解得3m ≠-，即实数m 的取值范围是()(),33,-∞-⋃-+∞,故选C ．5.已知向量 AB AC AD u u u ru u u ru u u r，，满足 2 1AC AB AD AB AD =+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，，， E F ，分别是线段 BC CD，的中点，若54DE BF ⋅=-u u u r u u u r，则向量AB u u u r 与AD u u u r的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C.23π D ．56π 【答案】B【解析】 22AD ABDE AB BF AD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，∴225555224244AB AD AD AB DE BF AB AD ⋅⋅=--+=-+⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r .∴1AB AD ⋅=u u u r u u u r ，1cos 2AB AD <>=u u u r u u u r ，，∴AB u u u r 与AD u u u r 的夹角为3π.选B. 6.在ABC ∆中， BC 边上的中线AD 的长为2， 26BC =，则AB AC ⋅=u u u v u u u v（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 【答案】C【解析】()()()()22462AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB AD DB ⋅=++=+-=-=-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,故选C.7已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则OC AB u u u r u u u rg 的值为（ ）A ．85B ．75 C. 15- D ．45【答案】C【解析】因为3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，所以453OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r，所以2221640259OB OB OC OC OA +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为1OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r ，所以45OB OC ⋅=-u u u r u u u r ，同理可求35OA OC ⋅=-u u u r u u u r ，所以431()()555OC AB OC OB OA ⋅=⋅-=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选C.8.已知BC 是圆O 的直径， H 是圆O 的弦AB 上一动点， 10BC =， 8AB =，则HB HC⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A. 4-B. 25-C. 9-D. 16- 【答案】D9.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈u u u v u u u v u u u v，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】分三种情况讨论：①当P 在线段AB 上时，设BP PA λ=u u u r u u u r，则1OB OA OP λλ+=+u u u r u u u ru u u r ．由于(),OP xOA yOB x y =+∈R u u ur u u u r u u u r ，所以1x λλ=+，11y λ=+，故1x y +=；②当P 在线段MN 上时，设MP PN λ=u u u r u u u r，则1OM ON OP λλ+=+u u u u r u u u r u u u r ．由于()11,22OP xOA yOB xOM yON x y R =+=+∈u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，所以121x λλ=+，1121y λ=+，故2x y +=；③当在阴影部分内（含边界），则113,244y x y +⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦，故选C ．10.在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为为三角形的重心，所以，又，，所以，，所以，因为三点共线，所以，故，故选A.11.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，若点P 为CD 的中点，且AP AB AE λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．3B ．52C ．2D ．1 【答案】B【解析】由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则(0,0),(1,0),(1,1)A B E -，1(,1)2P ，所以1(,1)2AP=u u u r ，(1,0)AB =u u u r ，(1,1)AE =-u u u r ，所以由1(,)(,1)2AP AB AE λμλμμ=+=-=u u u r u u u r u u u r ，得121λμμ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，即321λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以52λμ+=，故选B ．11.在中，是的中点，是上一点，且，则的值是( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】，所以,选A.12.设向量a r ，b r 满足||1a =r ，||3a b +=r r ，()0a a b ⋅+=r r r ，则|2|a b -=r r（ ） A ．2 B ．23 C ．4 D ．43【答案】B【解析】||1a =r Q ，||3a b +=r r，()22222||32322a b a b a b b a b ∴+=⇒+⋅+=∴⋅+=r r r r r r r r r ,又22()00,1a a b a a b a b a ⋅+=∴+⋅=⋅=-=-r r r r r r r r r Q ，故由222b a b ⋅+=r r r 可得24,2b b ==r r，则222|2|4444412|2|23a b a ab b a b -=-+=++=∴-=r r r r r r r r ，选B 13.在直角坐标系中，已知三点若向量与在向量方向上的投影相同，则的最小值为（ ）A. 2B. 4C.D.【答案】D 【解析】向量在向量方向上的投影相同，，，，在直线上，的最小值为原点到直线距离的平方，因为，所以的最小值为，故选D. 14.已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】如图三点共线， ∵是的重心，解得， 结合图象可知令故故当且仅当等号成立，故选D15.已知平面向量,,a b c r r r 满足： 5a b ==r r ， 0a b ⋅=r r ， 2,3c a c b π--=r r r r ， 23c a -=r r ，则a b -r r 与c b -rr 的夹角正弦值为 _____________【答案】3210【解析】由题意得25,,,233OA OB OA OB BCA AC π==⊥∠==，即求sin CBA ∠，如下图，所以52,sin sin AC ABAB CBA BCA ==∠∠， 2352332,sin sin 103522CBA CBA =∠==∠，填3210。

第6单元 平面向量第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，若∥a b ，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】C【解析】由题意，向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，因为∥a b ，则231m =，即32m =，解得23m =．故选C ．2．已知向量(2,1)=a ，(,1)m =-b ，且()⊥-a a b ，则m 的值为（ ） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B【解析】因为(2,1)=a ，(,1)m =-b ，所以(2,2)m -=-a b ，因为()⊥-a a b ，则()2(2)20m ⋅-=-+=a a b ，解得3m =，所以答案选B ． 3．已知向量a ，b 满足||1=a，=b ，a 与b 的夹角为2π3，则2-a b 为（ ） A ．21 BCD【答案】B【解析】2||12b ==，2π1||||cos12132a b a b 骣琪?=创-=-琪桫，|2|a b \-=故选B ．4．已知向量a ，b 满足||1=a ，⊥a b ，则向量2-a b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．1-【答案】B【解析】根据向量的投影公式可知，向量2-a b 在向量a 方向上的投影为2(2)()1||||-⋅==a b a a a a ，故选B ．5．设a ，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数λ，使得λ=a b ，说明向量a ，b 共线， 当a ，b 同向时，+=+a b a b 成立，当a ，b 反向时，+=+a b a b 不成立，所以充分性不成立．当+=+a b a b 成立时，有a ，b 同向，存在实数λ，使得λ=a b 成立，必要性成立， 即“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的必要而不充分条件． 故选B ．6．已知非零向量a ，b ，若(3)0⋅+=a a b ，2=a b ，则向量a 和b 夹角的余弦值为（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】B【解析】设向量a 与向量b 的夹角为θ，||2||=a b ，∴由(3)0⋅+=a a b ，可得2222()33cos 46cos 0θθ+⋅=+⋅=+=a a b a a b b b ， 化简即可得到2cos 3θ=-，故答案选B ． 7．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF=（ ）A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD + D ．3142AB AD + 【答案】D【解析】根据题意得1()2AF AC AE =+， 又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+，故选D ．8．设D 为所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若，则（ ）A ．2B ．3C ．D ．【答案】D【解析】因为D 为所在平面内一点，由1433AD AB AC =-+， 可得34AD AB AC =-+，即44AD AC AD AB -=-， 则4CD BD =，即4BD DC =-，可得3BD DC DC +=-，故3BC DC =-，则，故选D ．9．在四边形中，2AB =+a b ，43BC =--a b ，55CD =--a b ，那么四边形的形状是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对【答案】C【解析】86AD AB BC CD =++=--a b ，2AD BC ∴=，AD BC ∴∥，AB CD ∥，四边形是梯形，答案选C ．10．在中，为的重心，为上一点，且满足3MC AM =，则（ ）A ．11312GM AB AC =+ B ．11312GM AB AC =-- C ．17312GM AB AC =-+ D ．17312GM AB AC =- 【答案】B【解析】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得GM GA AM =+， 因为G 为△ABC 的重心，M 满足3MC AM =，所以()()211323AG AB AC AB AC =⨯+=+，14AM AC =， 所以11111334312GM AB AC AC AB AC ⎛⎫=-++=--⎪⎝⎭，所以选B ．11．如图所示，设为所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则与的面积之比等于（ ）A ．25B ．35C ．34D ．14【答案】D【解析】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线， 所以()1CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =，代入可得CP mCA nkCB =+，即()()1AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+， 又因为1142AP AB AC =+，即14nk =，112m nk --=，且，解得1344m n ==，，所以1344CP CA CD =+，可得4AD PD =， 因为与有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比，所以与的面积之比为14．故选D ． 12．已知向量a ，b 满足4=a ，b 在a 上投影为，则3-a b 的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】b 在a 上投影为，即cos ,2=-b a b ，0>b ，cos ,0∴<a b ，又[)cos ,1,0∈-a b ，min 2∴=b ，2222223696cos ,9964-=-⋅+=-+=+a b a a b b a a b a b b b ，min 310∴-==a b ，本题正确选项B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量(1,2)x =+a 和向量(1,2)=-b 垂直，则-=a b _______． 【答案】5 【解析】向量()1,2x =+a 和向量()1,2=-b 垂直，140x ∴⋅=+-=a b ，解得3x =，()3,4∴-=a b，5∴-==a b ，本题正确结果5．14．已知向量()2,3=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =________． 【答案】9【解析】因为⊥a b ，所以(2,3)(,6)2180m m ⋅=⋅-=-=a b ，解得m =9，故填9．15．已知向量=a ，向量b 为单位向量，且1⋅=a b ，则2-b a 与2b 夹角为__________． 【答案】60︒【解析】很明显2=a ，设向量,a b 的夹角为θ，则21cos 1θ⋅=⨯⨯=a b ，1cos 2θ∴=，π3θ=， 据此有()()22224242-⋅=-⋅=-=b a b b a b ，且22==-=b a ，22=b ，向量2-b a 与2b 的夹角为β，则21cos 222β==⨯，60β=︒， 综上可得：2-b a 与2b 夹角为60︒．16．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0， 则OP ＝_____．【答案】12x x 【解析】因为PA PB PC ++=0，所以P 为ABC △的重心，故P 的坐标为123123,33++++⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,2，故22OP =．填12x x ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ． （1）求3-a b 的值；（2）若()λ⊥+a a b ，求λ的值．【答案】（1）3-=a b ；（2）1λ=-．【解析】（1）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则3(6,2)-=a b ，则3-==a b ．（2）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则(13,24)λλλ+=-+a b ， 若()λ⊥+a a b ，则()1(13)2(24)550λλλλ⋅+=⨯-+⨯+=+=a a b ， 解得1λ=-．18．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =，设AB =a，AD =b ．（1）用向量,a b 表示向量AM ，AN ，MN ； （2）若2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为π3，求AM MN ⋅的值． 【答案】（1）见解析；（2）92-． 【解析】（1）因为在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =，又AB =a ，AD =b ，故1122AM AD DM AD AB ===+++a b ， 1133AN AB BN AB AD ===+++a b ，11123223MN AN AM ⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭=⎝=⎭a b a a b b ．（2）2211212192234362AM MN ⎛⎫⎛⎫+⋅-=-⋅=-⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝=⎭+a b a a b a b b ，故答案为92-．19．（12分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）若，求的值；（2）设点为单位圆上的一个动点，点满足OQ OA OP =+．若，π6π2θ≤≤， 表示OQ ，并求OQ 的最大值．【答案】（1）15；（2）．【解析】（1）点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 可得4sin 5α=，3cos 5α=-，∴341cos sin 555αα+=-+=． （2）因为，，所以()1cos2,sin 2OQ OA OP θθ=+=+，所以(12cos OQ θ===，因为π6π2θ≤≤，所以2cos OQ θ⎡=∈⎣， OQ 的最大值．20．（12分）设向量()()()11,cos22,14sin 1sin,12θθ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，，，，a b c d ，其中4π0,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求⋅-⋅a b c d 的取值范围； （2）若函数，比较()f ⋅a b 与()f ⋅c d 的大小． 【答案】（1）；（2）()()f f ⋅>⋅a b c d ．【解析】（1）∵2cos2θ⋅=+a b ，22sin 12cos2θθ⋅=+=-c d ，∴2cos2θ⋅-⋅=a b c d ， ∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()0,2⋅-⋅的取值范围是a b c d ．（2）∵()22cos211cos22cos f θθθ⋅=+-=+=a b ，()22cos211cos22sin f θθθ⋅=--=-=c d ，∴()()()222cos sin 2cos2f f θθθ⋅-⋅=-=a b c d ，∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()()f f ⋅>⋅a b c d ． 21．（12分）在中，三内角的对边分别为，已知向量()2sin ,cos2x x =m ，),1x =n ，函数()f x =⋅m n 且．（1）求角的值；（2）若23BA BC +=且成等差数列，求．【答案】（1）π3B =；（2）2． 【解析】（1）()cos cos2cos2f x x x x x x =⋅=+=+m n ， 整理得()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∵，∴12sin 21si 62ππn 26B B ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵，∴π3B =． （2）由成等差数列，得，由余弦定理得，由23BA BC +=，得，三个等式联立解得．22．（12分）如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记AB =a ，AD =b ，试以,a b 为平面向量的一组基底．利用向量的有关知识解决下列问题．（1）用,a b 来表示向量DE ，BF ；（2）若，且3BF =，求．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵在中，2DF FC =，∴111222DE DC CE AB CB AB AD =+=+=-=-a b ， 111333BF BC CF AD CD AD AB =+=+=-=-b a ．（2）由（1）可知：13BF AD AB =-，12DE AB AD =-， ∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，∵且，∴22221223cos 339BAD ∠=-⨯⨯⨯+⨯，∴1cos 2BAD ∠=，∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=，∴7DE =。

专题06 平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用．§6－1 向量的概念与运算【知识要点】1．向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量c b a ,,,自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．(2)向量的模：向量的长度，记作：|||,|a向量的夹角：两个非零向量a ，b ，作b a ==,，则(AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作：〈a ，b 〉零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a 共线的单位向量是：)0(||=/±a a a(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量． 相反向量：长度相等，方向相反的向量．向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a ∥b向量垂直；〈a ，b )＝90°时，向量a 与b 垂直，规定：0与任意向量垂直． 2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则． (2)减法：三角形法则． (3)数乘：记作：λ a ．它的长度是：｜λ a ｜＝｜λ ｜·｜a ｜ 它的方向：①当λ ＞0时，λ a 与a 同向 ②当λ ＜0时，λ a 与a 反向 ③当λ ＝0时，λ a ＝0 (4)数量积：①定义：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉其物理背景是力在位移方向所做的功． ②运算律：1．(交换律)a ·b ＝b ·a2．(实数的结合律)λ (a ·b )＝(λ a )·b ＝a ·(λ b ) 3．(分配律)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ③性质：设a ，b 是非零向量，则：a ·b ＝0⇔a ⊥ba 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜ a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜ 特殊地：a ·a ＝｜a ｜2或a a a ⋅=||夹角：||||,cos b a ba b a ⋅>=<|a ·b |≤|a | |b |3．向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)数乘：λ a ＝(λ x 1，λ y 1) (4)数量积：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 (5)若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a(6)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a(7)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(||y y x x AB -+-=(8)a 在b 方向上的正射影的数量为22222121||,cos ||y x y y x x ++=>=<⋅b b a b a a 4．重要定理(1)平行向量基本定理：若a ＝λ b ，则a ∥b ，反之：若a ∥b ，且b ≠0，则存在唯一的实数λ 使得a ＝λ b (2)平面向量基本定理：如果e 1和e 2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2使a ＝a 1e 1＋a 2e 2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 则：a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=2121y y x x b a【复习要求】1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．【例题分析】例1 向量a 、b 、c 是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直， (2)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ， (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )， (4)a ·b ≤｜a ｜｜b ｜ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以c (b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直；(2)假命题．a ·c ＝b ·c ≠a ＝b ；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a 与向量b 都是与向量c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a 、b 这两个向量不相等；(3)假命题．(a ·b )c ≠a (b ·c )，实际上(a ·b )c 是与向量c 方向相同或相反的一个向量，a (b ·c )是与a 方向相同或相反的一个向量，向量a 、c 的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题．a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉，且cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ≤｜a ｜｜b ｜． 解答：选C ． 【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质．例2 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．)37,97(B ．)97,37(--C ．)97,37(D ．)37,97(--【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解．解：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，则有37,97-=-=n m 故选择D 【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．例3 (1)已知向量)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===，且A 、B 、C 三点共线，求实数k 的值．(2)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，求实数k 的值． 【分析】(1)向量a 与b (b ≠0)共线⇔存在实数m 使a ＝m b ． 当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题． a ·b ＝0⇔a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0解：(1)∵)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===, ∴)5,4(),7,4(-+=--=k CB k AB , ∵A 、B 、C 三点共线，∴CB AB //，即(4－k )(－5)－(4＋k )(－7)＝0，解得：⋅-=32k (2)由(k a －2b )⊥a ，得(k a －2b )·a ＝k a 2－2b ·a ＝2k －2·(2－3)＝0，所以k ＝－1． 【评析】①向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数m 使a ＝m b ；当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立．②利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合．例4 已知：｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，求：①a ·b ；②(2 a ＋b )·b ；③｜2a ＋b ｜；④2 a ＋b 与b 的夹角θ 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2a a a a a a ⋅⋅=⇒=||||2，若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a解：①∵｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝5； ②(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝10＋25＝35； ③;6125201644)2(|2|222=++=++=+=+⋅⋅b b a a b a b a④⋅==++=++>=+<⋅⋅⋅⋅6161756135||)2()2(|||2|)2(,2cos 2b b a b b a b b a b b a b b a【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式．例5 已知向量a ＝(sin θ ，cos θ －2sin θ )，b ＝(1，2)． (Ⅰ)若a ∥b ，求tan θ 的值；(Ⅱ)若｜a ｜＝｜b ｜，0＜θ ＜π，求θ 的值．【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画． 解：(Ⅰ)因为a ∥b ，所以2sin θ ＝cos θ －2sin θ ，于是4sin θ ＝cos θ ，故41tan =θ． (Ⅱ)由｜a ｜＝｜b ｜知，sin 2θ ＋(cos θ －2sin θ )2＝5，所以1－2sin2θ ＋4sin 2θ ＝5． 从而－2sin2θ ＋2(1－cos2θ )＝4，即sin2θ ＋cos2θ ＝－1， 于是22)4π2sin(-=+θ又由0＜θ ＜π知，49π4π24π<+<θ，所以45π4π2=+θ，或47π4π2=-θ因此2π=θ，或43π=θ． 例6 设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) (A)－2(B)22-(C)－1(D)21-【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口解：∵a ，b ，c 是单位向量，∴(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 221〉,〈cos 121-≥+-=⋅⋅c b a故选D ．例7 在△ABC ，已知23||.||32BC ==⋅，求角A ，B ，C 的大小． 【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题 解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c由||||32⋅⋅=得bc A bc 3cos 2=，所以23cos =A 又A ∈(0，π)，因此6π=A 由23||||3BC AC AB =⋅得23a bc =，于是43sin 3sin sin 2==⋅A B C 所以43)sin 23cos 21(sin ,43)6π5sin(sin =+=-⋅⋅C C C C C ，因此02cos 32sin ,3sin 32cos sin 22=-=+⋅C C C C C ，即0)3π2sin(=-C由6π=A 知6π50<<C ，所以34π3π2,3π<--C ，从而03π2=-C ，或π3π2=-C ，即6π=C ，或32π=C ，故 6π,32π,6π===C B A ，或⋅===32π,6π,6πC B A【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要．练习6－1一、选择题1．平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ ∈R ，b ＝λ aD ．存在不全为零的实数λ 1，λ 2，λ 1a ＋λ 2b ＝02．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λ a ＋b 与a 垂直，则λ 是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．23．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且2=，则顶点D 的坐标为( ) A ．)27,2(B ．)21,2(-C ．(3，2)D ．(1，3)4．设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量)cos 3,(cos ),sin ,sin 3(A B B A ==n m ，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 二、填空题5．设a ＝(2k ＋2，4)，b ＝(8，k ＋1)，若a 与b 共线，则k 值为______． 6．已知向量),3(),2,1(m =-=，若⊥，则 m ＝______． 7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MN MP 21=，则P 点坐标为______． 8．已知a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 和b 的夹角是______． 三、解答题9．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB 相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求实数x 的值．10．已知向量a 与b 同向，b ＝(1，2)，a ·b ＝10．(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a ．11．若向量a 与b 的夹角为60°，｜b ｜＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，求向量a 的模．§6－2 向量的应用【知识要点】1．向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识； 2．以向量为载体考查三角函数的知识；3．在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式． 【复习要求】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．例1若AB CA CA BC BC AB ·==⋅⋅，求证三角形ABC 是正三角形，【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某些判定的结论．证明0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅，即与BC 边上的中线垂直，所以AB ＝AC ，同理BC ＝BA ，可以得到该三角形是等边三角形；例2 已知四边形ABCD 中，若⋅⋅⋅⋅===，判断四边形ABCD 的形状．【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究．解答1从几何意义上设k ====⋅⋅⋅⋅若k ＞0，则∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 都是钝角，与四边形内角和为360°矛盾，舍；同理k ＜0时，也不可能，故k ＝0，即四边形ABCD 为矩形．解答2从运算上，0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 同理；0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 于是BC AD //，同理CD AB //，得到四边形ABCD 是平行四边形；∴02)()(==+=-=-⋅⋅⋅⋅⋅ ∴BC AB ⊥，∴四边形ABCD 为矩形．【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量积的正负对向量夹角的约束，另外，一些对称式告诉我们几何图形应该具有一个规则的形状，不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状．例3 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量)1,3(-=m ，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，求角A ，B 的大小．【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A 角的三角方程，从而求出三角形的内角A ，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知识求三角形的其余内角．解：∵ 0sin cos 3=-=⊥⋅∴A A n m n m ，即3tan =A ，∴三角形内角;3π=A ∵a cosB ＋b cos A ＝c sinC ，∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin C ＝1，,2π=C ∴⋅=6πB 【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行考查，常见的有中点的表达(比如221OM AM 、AM +===等都说明M 是AB 中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表达的信息．例4 已知△ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)．(1)若0=⋅，求c 的值；(2)若c ＝5，求sin ∠A 的值．【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可．(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如①利用数量积⋅求出cos A 进而求sin A ；②余弦定理正弦定理解：(1))4,3(),4,3(--=--=c 由0=⋅AC AB 可得－3(c －3)＋16＝0解得325=c (2)[法一]当c ＝5时，可得AB ＝5，52=AC ，BC ＝5，△ABC 为等腰三角形， 过B 作BD ⊥AC 交AC 于D ，可求得52=BD 故,552sin ==ABBD A[法二].cos ||||),4,2(),4,3(A ⋅=-=--=Θ⋅=∈=+-=⨯∴∴∴552sin ],π,0[,55cos 166cos 525A A A A Θ 【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使用时不仅可以数形结合，还可以和解三角形的其他知识——余弦定理、正弦定理一起来解决有关三角形的问题．例 5 若等边△ABC 的边长为32，平面内一点M 满足3261+=，则 =⋅MB MA ______．解析：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0，0)，)3,3(),0,32(B A ，利用向量坐标运算，求得)21,233(M ，从而求得)25,23(),21,23(--=-=MB MA ，运用数量积公式解得为－2．另外，还可以通过向量的几何运算求解．解：),3265()6131()()(--=--=⋅⋅⋅ 660cos 3232,32||||=⨯===⋅⋅ο，得到.2-=⋅MB MA【评析】注意向量有两套运算公式，有坐标时用代数形式运算，没有坐标时用向量的几何形式运算，同时注意向量在解三角形中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性．例6 已知向量a ＝(cos a ，sin a )，b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0) (Ⅰ)求向量b ＋c 的长度的最大值；(Ⅱ)设4π=α，且a ⊥(b ＋c )，求cos β 的值． 【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式，另一方面有几何意义，可以数形结合；解：(1)解法1：b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，则 ｜b ＋c ｜2＝(cos β －1)2＋sin 2β ＝2(1－cos β )．∵－1≤cos β ≤1，∴0≤｜b ＋c ｜2≤4，即0≤｜b ＋c ｜≤2．当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2． 解法2：∵｜b ｜＝1，｜c ｜＝1，｜b ＋c ｜≤｜b ｜＋｜c ｜＝2 当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝(－2，0)，即｜b ＋c ｜＝2， b ＋c 的长度的最大值为2．(2)解法1：由已知可得b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，a ·(b ＋c )＝cos α cos β ＋sin α sin β －cos α ＝cos(α －β )－cos α ． ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α －β )＝cos α ．由4π=α，得4πcos )4πcos(=-β，即).(4ππ24πZ ∈±=-k k β ∴4ππ2+=k β或β ＝2k π，(k ∈Z )，于是cos β ＝0或cos β ＝1．解法2：若4π=α，则)22,22(=a ，又由b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0)得,22sin 22cos 22)sin ,1(cos )22,22()(-+=-⋅=+⋅ββββc b a ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β (cos β －1)＝0∴sin β ＝1－cos β ，平方后sin 2β ＝(1－cos β )2＝1－cos 2β ，化简得cos β (cos β －1)＝0 解得cos β ＝0或cos β ＝1，经检验，cos β ＝0或cos β ＝1即为所求 例7 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角,3π=C 求△ABC 的面积． 【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三角形的条件解决问题证明：(1)∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 即Rbb R a a 22⋅⋅=，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．解(2)由题意可知m ⊥p ，m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab ， 由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)∴33πsin 421sin 21===⋅⋅C ab S 例8 已知向量)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos xx x x -==b a ，其中].2π,0[∈x(1)求a ·b 及｜a ＋b ｜；(2)若f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜的最小值是23-，求λ 的值． 【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入，继而转化为三角函数与函数的有关知识．解：(1)x xx x x 2cos 2sin 23sin2cos 23cos =-=⋅b a ]2π,0[,cos 22cos 22)(||2∈=+=+=+x x x b a b a或]2π,0[,cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos||22∈=+=-++=+x x x x x x x b a (2)f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜＝cos2x －4λ cos x ＝2cos 2x －4λ cos x －1＝2(cos x －λ )2－2λ 2－1∵],1,0([cos ]2π,0[x x ∴∈①当λ ≤0时；f (x )的最小值是－1，不可能是23-，舍； ②当0＜λ ＜1时，f (x )的最小值是23122-=--λ，解得;21=λ③当λ ≥1时，f (x )的最小值是2341-=-λ，解得185<=λ，舍；∴⋅=21λ【评析】向量的知识经常和三角函数、函数、不等式等的知识联系在一起进行考查，向量仅仅是一步坐标运算，继而转化为其他知识，因此使用公式时要准确，为后续解题做好准备．练习6－2一、选择题1．若为a ，b ，c 任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) 2．设)31,(cos ),sin ,23(αα==b a ，且a ∥b ，则α 的值是( ) A ．)(,4ππ2Z ∈+=k k α B ．)(,4ππ2Z ∈-=k k α C ．)(,4ππZ ∈+=k k α D ．)(,4ππZ ∈-=k k α3．在△ABC 中，b a ==,，且a ·b ＞0，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．已知：△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且=++，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上二、填空题5．若向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，且a 与b 的夹角为3π，则｜a ＋b ｜＝______． 6．已知向量a ＝(cos θ ，sin θ )，向量)1,3(-=b ，则｜2a －b ｜的最大值是______． 7．若)1,2(),3,1(x ==b a ，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，则x ＝______．8．已知向量)5,3(),6,4(==OB OA ，且//,⊥，则向量＝______ 三、解答题9．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，｜b ｜＝1，求｜a ＋2b ｜．10．P 在y 轴上，Q 在x 轴的正半轴上，H (－3，0)，M 在直线PQ 上，,0=⋅23-=．当点P 在y 轴移动时，求点M 的轨迹C 方程．11．已知向量a ＝(sin θ ，1)，2π2π),cos ,1(<<-=θθb (1)若a ⊥b ，求θ ；(2)求｜a ＋b ｜的最大值．习题6一、选择题1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2 a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4) 2．给出下列五个命题： ①｜a ｜2＝a 2；②aba b a 2=⋅；③(a ·b )2＝a 2·b 2； ④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；其中正确命题的序号是( )A ．①②③B ．①④C ．①③④D ．②⑤3．函数y ＝2x ＋1的图象按向量a 平移得到函数y ＝2x ＋1的图象，则( ) A ．a ＝(－1，－1) B ．a ＝(1，－1) C ．a ＝(1，1) D ．a ＝(－1，1) 4．若a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5．已知在△ABC 中，,⋅⋅⋅==则O 为△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 二、填空题6．已知p ＝(1，2)，q ＝(－1，3)，则p 在q 方向上的正射影长为______； 7．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①．2=+ ②．AF AB AD 22+= ③．AB AD AD AC ⋅⋅=④．)()(⋅=⋅其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号)．8．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若y x +=，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．9．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(1，1)，若向量b ⊥(a ＋λ b )，则实数λ 的值______；若b ba aa a c )(⋅⋅-=，则向量a 与c 的夹角为______；10．已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝4，a ·b ＝－2，则｜a ＋b ｜＝______． 三、解答题11．已知).1,3(),3,1(-==b a(1)证明：a ⊥b ；(2)若k a －b 与3a －k b 平行，求实数k ；(3)若k a －b 与k a ＋b 垂直，求实数k ．12．设向量a ＝(cos23°，cos67°)，b ＝(cos68°，cos22°)，u ＝a ＋t b ，(t ∈R )．(1)求a ·b(2)求u 的模的最小值．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，.73tan =C(1)求cos C ； (2)若25=⋅，且a ＋b ＝9，求c ．14．已知函数f (x )＝kx ＋b 的图象与x ，y 轴相交于点A ，B ，j i j i ,(22+=，分别是与x ，y 轴正半轴同方向的单位向量)函数g (x )＝x 2－x －6，(1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数)(1)(x f x g +的最小值．15．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围．专题06 平面向量参考答案练习6－1一、选择题1．D 2．A 3．A 4．C 二、填空题5．3或－5 6．4 7．)23,1(-- 8．45° 三、解答题9．由已知)0,2(==AB a ，所以⎩⎨⎧=--=+043232x x x ，得x ＝－1．10．(1)由已知设a ＝(λ ，2λ )且λ ＞0，a ·b ＝λ ＋4λ ＝10，λ ＝2，所以a ＝(2，4)； (2)(b ·c )a ＝(2－2)a ＝0． 11．6．练习6－2一、选择题1．D ． 2．C ． 3．C ． 4．D ． 二、填空题5．7 6．4 7．－6或9 8．)214,72(- 三、解答题9．32 由已知｜a ｜＝2，｜a ＋2b ｜2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴32|2|=+b a .10．解答：设M (x ，y )，∵M 在直线PQ 上, ),0,32(),2,0(,23x Q y P --=∴ ∵)2,(),2,3(,0y y x y+=-==⋅ ∴02323.=-yy x ，即y 2＝4x ．(除原点．) 11．解：(Ⅰ)若a ⊥b ，则sin θ ＋cos θ ＝0，由此得)2π2π(1tan <<--=θθ，所以;4π-=θ(Ⅱ)由a ＝(sin θ ，1)，b ＝(1，cos θ )得)cos (sin 23)cos 1()1(sin ||22θθθθ++=++=+b a,)4πsin(223++=θ当1)4πsin(=+θ时，｜a ＋b ｜取得最大值，即当4π=θ时，｜a ＋b ｜最大值为.12+习题6一、选择题1．B 2．B 3．A 4．B 5．D二、填空题 6．2107．①、②、④ 8．2 9．λ ＝－3；90° 10．21 三、解答题11．(2)k ＝±3；(3)k ＝±1． 12．答案：(1)22=⋅b a ，(2)22||min =u13．解答：(1)∵73tan =C ，∴73cos sin =C C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1 解得⋅±=81cos C ∵tan C ＞0，∴C 是锐角． ∴⋅=81cos C(2)∵20,25cos ,25===⋅∴∴ab C ab ．又∵a ＋b ＝9 ∴a 2＋2ab ＋b 2＝81．∴a 2＋b 2＝41．∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36．∴c ＝6．14．略解：(1)由已知得)0,(k b A -，B (0，b )，则),(b k b AB =，于是.2,2==b kb∴k ＝1，b ＝2．(2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，得－2＜x ＜4，521225)(1)(2-+++=+--=+x x x x x x f x g由于x ＋2＞0，则3)(1)(-≥+x f x g ，其中等号当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时成立∴)(1)(x f x g +的最小值是－3． 15．略解：解法1：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f '(x ＝－3x 2＋2x ＋t ．若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0．∴f '(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，在区间(－1，1)上恒成立，考虑函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5．而当t ≥5时，f '(x )在(－1，1)上满足f ′(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5．解法2：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，f '(x )＝－3x 2＋2x ＋t ． 若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0． ∵f '(x )的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f '(1)＝t －1≥0，且f '(－1)＝t －5≥0时，f '(x )在(－1，1)上满足f '(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5．。

2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题08 平面向量1、考情解读高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．预测2020年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．2、重点知识梳理 1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量． (2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0. (3)长度等于1的向量叫单位向量． (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行． 2．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4．两向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角．5．向量的坐标表示及运算 (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．6．平面向量共线的坐标表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．7．平面向量的数量积设θ为a与b的夹角．(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.(2)投影：a·b|b|＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．8．数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；(3)|a·b|≤|a|·|b|；(4)cosθ＝a·b |a|·|b|.9．数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝x21＋y21；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．a在b方向上的投影为a·b|b|，而不是a·b|a|.4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.3、高频考点突破考点1 平面向量的概念及运算例1．【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2b |= . 【答案】23所以|2|1223a b +==r r.【变式探究】(2016·高考全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝____. 解析：基本法：∵a ∥b ，∴a ＝λb 即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ) ∴⎩⎨⎧m ＝3λ，4＝－2λ，故m ＝－6. 速解法：根据向量平行的坐标运算求解： ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ∴m ×(－2)－4×3＝0 ∴－2m －12＝0，∴m ＝－6. 答案：－6【变式探究】(1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)答案：A【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD→B.12AD →C.BC→D.12BC →解析：基本法一：设AB→＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD→，故选A.基本法二：如图，EB→＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 答案：A考点2 平面向量数量积的计算与应用例2．【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为___________.【答案】311【变式探究】(2016·高考全国丙卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．∵BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴|BA →|＝1，|BC →|＝1，BA →·BC →＝12×32＋32×12＝32， ∴cos ∠ABC ＝cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.∵0°≤〈BA →，BC →〉≤180°，∴∠ABC ＝〈BA →，BC →〉＝30°.速解法：如图，B 为原点，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32∴∠ABx ＝60°，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12∠CBx ＝30°，∴∠ABC ＝30°.答案：A【变式探究】(1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2答案：C【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 解析：基本法：以AB→、AD →为基底表示AE →和BD →后直接计算数量积．AE →＝AD →＋12AB →，BD →＝AD →－AB →， ∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →) ＝|AD →|2－12|AB →|2＝22－12×22＝2.速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解．如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (1,2)，∴AE→＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， ∴AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：2考点3 平面向量的综合应用例3、【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP u u u r =λ AB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系【举一反三】【2017江苏，16】 已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，()f x 取得最大值，为3； 5π6x =时，()f x 取得最小值，为23-.（2）()()(πcos ,sin 3,33cos 3sin 23cos 6f x a b x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅=-=+ ⎪⎝⎭.因为[]0,πx ∈，所以ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 从而π31cos 6x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.于是，当ππ66x +=，即0x =时， ()f x 取到最大值3； 当π6x π+=，即5π6x =时， ()f x 取到最小值23-.4、真题感悟（2014-2017）1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP u u u r =λ AB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设 ()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==- ，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+ ，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，即21514z -≤+ ，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A 。

（2020⾼考数学复习）2020⾼考数学《⾼中数学》必会基础题型5—《平⾯向量》《数学》必会基础题型——《平⾯向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有⼤⼩⼜有⽅向的量。

记作：AB u u u r 或a r。

2.向量的模：向量的⼤⼩（或长度），记作：||AB uuu r 或||a r。

3.单位向量：长度为1的向量。

若e r 是单位向量，则||1e =r。

4.零向量：长度为0的向量。

记作：0r 。

【0r⽅向是任意的，且与任意向量平⾏】5.平⾏向量（共线向量）：⽅向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和⽅向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，⽅向相反的向量。

AB BA =-u u u r u u u r。

8.三⾓形法则： AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ；AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；AB AC CB -=u u u r u u u r u u u r（指向被减数） 9.平⾏四边形法则：以,a b r r为临边的平⾏四边形的两条对⾓线分别为a b +r r ，a b -r r 。

10.共线定理：//a b a b λ=?r r r r 。

当0λ>时，a b r r 与同向；当0λ<时，a b r r与反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为⼀组基底。

12.向量的模：若(,)a x y =r，则||a =r ，22||a a =r r，||a b +=r r 13.数量积与夹⾓公式：||||cos a b a b θ?=?r r r r ； cos ||||a ba b θ?=?r rr r14.平⾏与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=r r r r ；121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同⼀条直线上的向量。

新数学《平面向量》高考知识点一、选择题1．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C 【解析】 【分析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr2．下列说法中说法正确的有（ ）①零向量与任一向量平行；②若//a b rr，则()a b R λλ=∈rr；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅rr r r rr④||||||a b a b +≥+rrrr；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+r r r r，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．3．若向量a b r r，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．12-B ．12CD． 【答案】A 【解析】 【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r，即可得出答案.【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3b a b π=r r r ，所以b a =r r .又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r，即20t a a b ⋅+⋅=r r r .所以2221122ba b t a b⋅=-=-=-r r r r r 故选：A 【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.4．在平行四边形OABC 中，2OA =，OC =6AOC π∠=，动点P 在以点B 为圆心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则43λμ+的最大值为（ ）A ．2+B ．3+C ．5+D ．7+【答案】D 【解析】 【分析】先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，再求出7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为.【详解】如图所示，由2OA =，6AOC π∠=，由余弦定理得24+3221,12AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ，又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ， ∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；∴()43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6BAD π∠=,所以3,,222AD DB OB ===∴==, 所以7cosBOA ∠==,所以27OB OA ⋅==u u u r u u u r ，因为BP OA ⋅u u u r u u u r2cos0⨯=o ，∴43λμ+的最大值是7+. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．已知,a r b r 是平面向量，满足||4a =r，||1b ≤r 且|3|2b a -≤rr，则cos ,a b 〈〉rr 的最小值是（ ） A ．1116B ．78C ．158D 315【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r，利用几何意义知B 既在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案. 【详解】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r，由题意，知B 在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，由|3|2b a -≤r r，知B 在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示则B 只能在阴影部分区域，要cos ,a b 〈〉rr 最小，则,a b <>r r 应最大，此时()222222min4327cos ,cos 22438OA OB AB a b BOA OA OB +-+-〈〉=∠===⋅⨯⨯rr .故选：B. 【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.6．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λ＋μ的值为（ ）A ．65B ．85C ．2D ．83【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，列出方程组求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=.故选：B 【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.7．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u u r的夹角为（ ） A ．45° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C 【解析】 【分析】设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为cos =4BD α-u u u r，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．【详解】312AB AC ==，D 是AC 的中点，则4AC =，2AD DC ==，向量BD u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为4-，设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u ur 的夹角为θ， 则cos =4BD α-u u u r，∴()cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA ACBA AC BA AC BA AC θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB ACα⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u ru ur r u， 故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.8．已知a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r rr r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ） A ．-4 B ．-2C ．2D ．4【答案】D【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r方向上的投影a b b ⋅r r r .【详解】()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ， 即2220b a a b -+=r r r r g .2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，所以a r 在b r方向上的投影为4a b b⋅=r r r .故选：D . 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.9．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r.故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ）A ．4B ．22C ．2D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可求221216y y -=，结合221244y y CD =-即可求解 【详解】如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >， 由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，222212121212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，()222221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016y y y y ---= 解得221216y y -=（0舍去），所以222212124444y y y y CD -=-==故选：A 【点睛】本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题11．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v（ ）A ．43AD BE +u u uv u u u vB ．53AD BE +u u uv u u u vC ．4132AD BE +u u uv u u u vD ．5132AD BE +u u uv u u u v【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算求解即可 【详解】 据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．故选B ． 【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题12．已知点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，则椭圆C的离心率为（ ） A 31 B ．23C ．12D ．22【答案】A 【解析】 【分析】由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即12121||2MF MF OM F F c ⊥==，.又60MOF ∠=︒，∴2MF c =，13MF c =，∴23a c c =+，∴31ce a==-. 故选:A. 【点睛】考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.13．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，则当,1[]2t ∈-时，a tb-r r 的最大值为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D 【解析】 【分析】根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利用22()1a tb a tb t -=-=+r r r r 求解.【详解】因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r，所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，所以22()1a tb a tb t -=-=+r r r r ，当[]2,1t ∈-时，max5a tb-=r r. 故选：D 【点睛】本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.14．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u uv u u u v B ．2155AB AC +u u uv u u u v C ．481515AB AC +u u u v u u u v D ．841515AB AC +u u u v u u u v【答案】D【解析】【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r 为基底来表示的形式. 【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u u r u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.15．已知向量m →，n →的夹角为60︒，且1m →=，m n →→-=n →=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】设||n x →=，利用数量积的运算法则、性质计算即可.【详解】设||n x →=， 因为1m →=，向量m →，n →的夹角为60︒， 所以2213m n x x →→-=-+=，即220x x --=，解得2x =，或1x =-（舍去），所以2n →=. 故选：B【点睛】本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.16．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =u u u r（ ）A ．2136a b -r r B ．1133a b +r r C ．1124a b +r r D ．1133a b -r r 【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.【详解】 1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2136a b =-r r . 故选：A .【点睛】本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.17．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r （ ） A ．3144AB AC -u u u r u u u r B ．1136AB AC -u u u r u u u r C ．2133AB AC -u u u r u u u r D ．3144AB AC +u u u r u u u r 【答案】A【解析】【分析】 根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r ，化简得到答案.【详解】()11312444MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u u r r u u u r . 故选：A .【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r ，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )A ．[0,2]B．[0, C ．[0,4] D ．[0,8] 【答案】D【解析】【分析】以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．【详解】 设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r， 以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动， 设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，由圆心到直线22x y t +=的距离d =≤，可得[0,8]t ∈.故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．19．已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =u u u r ，1233OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值为（ ）. AB．C ．2 D ．3 【答案】D【解析】【分析】 判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r ，由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值.【详解】 圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r ，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点，所以1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r .所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OA OO O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u uu u u r u u u r r u u u r 22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323=+⨯⨯⨯+=o . 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.20．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（ ）A ．10B ．16C ．52D ．410【答案】C【解析】【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，()2225552a b +=+-=r r C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．。

一、知识纲要1、向量的相关概念：《必修 4》 第二章平面向量（1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为 AB 或a 。

向量又称矢量。

①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。

普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。

②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。

（2） 向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。

记作：| AB |或｜ a ｜。

向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

（3） 零 向 量： 长度为 0 的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。

①｜ a ｜＝0； ② 0 与 0 的区别：写法的区别，意义的区别。

（4） 单位向量：模长为 1 个单位长度的非零向量叫单位向量。

若向量a 是单位向量，则｜ a ｜= 1 。

2、 向量的表示：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意：方向是“起点指向终点”。

→（2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴正方向相同的两个单位向量i 、 j 为基底向量，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = ( x , y ) ，称( x , y ) 为向量 a 的坐标， a ＝( x , y ) 叫做向量 a 的坐标表示。

此时｜ a ｜。

若已知 A ( x 1 , y 1 )和B ( x 2 , y 2 ) ，则 AB = ( x 2 -x 1，y 2 -y 1 ) ， 即终点坐标减去起点坐标。

特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。

注意 注意 注意 注意a 3、 向量之间的关系：（1）平行（共线）：对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那么就称这种关系 为平行，记作a ∥ b 。

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲 平面向量的概念及其线性运算考纲要求：1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．命题趋势：平面向量的线性运算及其几何意义是高考的重点．主要以三角形或四边形为载体考查向量的有关概念及简单运算．探究一 平面向量的概念【例1】 (1)给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b.其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．①④(2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4跟踪训练1、下列命题中正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行探究二 平面向量的线性运算【例2】 (1)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0B ．BE →C ．AD → D ．CF →（2）(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为______.跟踪训练2、1.设M 为ABC ∆内一点，且AC AB AM 5141+=,则ABC ABM ∆∆与的面积之比为（ ） A.51 B.41 C.94 D.952.设D 为ABC ∆所在平面内一点，3431+-=,若）（则=∈=λλλ),(R DC BC A.2 B.3 C.-2 D.-33.已知G,N,P 在ABC ∆所在平面内，a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边，且分别满足,2sin 2sin 2sin ,=++=⋅+⋅+⋅=++c b a C B A ,则点G,N,P 依次是ABC ∆的（ ）A. 重心，外心，内心B. 重心，垂心，内心C. 重心，垂心，外心D. 内心，外心，重心探究三 平面向量共线定理的应用【例3】 设两个非零向量a 和b 不共线．(1)如果AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．跟踪训练3、1.设b a ,不共线，b a CD b a BC b p a AB 2,,2-=+=+=，若A,B,D 三点共线，则实数p 的值是（ ）A.-2B.-1C.1D.22.在ABC ∆中，N 是AC 边上一点，且21=,P 是BN 上的一点，若 m 92+=,则实数m 的值为（ ） A.91 B.31 C.1 D.3 3.O 为ABC ∆内一点，且t ==++,2,若B,O,D 三点共线，则t 的值为（ ） A.41 B.31 C.21 D.324．设两个非零向量e 1和e 2不共线． (1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．A B N CP易错警示易错点 向量线性运算法则、几何意义不明错因分析：对向量线性运算法则，几何意义的理解准确，从而不能熟练运用运算法则和几何意义来解题．【例】 已知P ，Q 为△ABC 内的两点，且AP →＝25AB →＋15AC →，AQ →＝23AB →＋14AC →，则S △ABP S △ABQ＝________.【跟踪训练】 已知O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，求△AOC 的面积．。