(江西版)高考数学总复习 第七章7.3 空间图形的基本关系与公理 理 北师大版(含详解)

求证：EF∥A1C1.
D1
C1
A1
B1
D
A
E
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C F B
23
感谢您的观看！
24
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Aa α
A
B
α a
C Bb
C
b
(3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
5
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公理2 的三个推论 推论1 经过一条直线和直线外一点唯一确 定一个平面. 推论2 经过两条相交直线唯一确定一个平面.
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
6
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知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
（2）两条直线可以确定一个平面
（3）两条相交直线可以确定一个平面
（4）一条直线和一个点可以确定一个平面
（5）三条平行直线可以确定三个平面 （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （7）若四点不共面，那么每三个点一定不共线
当堂练习3：列图形中不一定是平面图形的（ ）
A、三角形 B、菱形
C、梯形
D、四边相等的四边形天Fra bibliotek板墙面 P 墙面
P
a
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知识探究：平面的基本性质3
文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
图形语言
P
P 且P
l
符号语言 l且P l.
公理作用
（一1）、判判定定两两个个平平面面是相否交相的交依的据依据，只要两个平面有一个公共 点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线； （二2）、判判定定点点在在直线线上上的的依依据据，点是某两个平面的公共点，线是这

(3)以下四个命题中，正确命题的个数是( B )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，
C，D，E 共面；
③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0
B．1
C．2
D．3
(4)如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且 C∉l，直线 AB∩l ＝M，过 A，B，C 三点的平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必通过( D )
设 AB＝1，在△CFN 中，CN＝ 25，FN＝ 45，CF＝
17 4.
由余弦定理得 cosθ＝|cos∠CNF|＝CN2＋ 2CFNN·F2－N CF2＝25.
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
考点一 平面的基本性质
【例 1】 已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中 点，则这四个点不共面的一个图是( D )
解析：A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面．
2.如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，直线 AB，BC， AD，DC 分别与平面 α 相交于点 E，G，H，F，求证：E，F，G， H 四点必定共线．
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．异面
D．平行
解析：连接 D1E 并延长交 AD 于 M 点，因为 A1E＝2ED，可 得，M 为 AD 中点，连接 BF 并延长交 AD 于 N 点，因为 CF＝ 2FA，可得 N 为 AD 中点，所以 M，N 重合．且EMDE1＝12，MFBF＝12. 所以EMDE1＝MFBF，所以 EF∥BD1.

学 习 资 料 汇编第二节 空间图形的基本关系与公理[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．1．空间图形的公理(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 4．定理(等角定理)空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(4)若直线a不平行于平面α，且aα，则α内的所有直线与a异面．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编) 如图7­2­1所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A．30°B．45°C．60° D．90°图7­2­1C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．在下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是公理．]4．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意知aα，bβ，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．]5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．b 与α相交或bα或b∥α11111(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．图7­2­2[证明] (1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1. 2分又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面. 5分(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD. 8分同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点. 12分[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法： (1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． [变式训练1] 如图7­2­3所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？【导学号：66482329】图7­2­3[解] (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，得GH 綊12AD . 2分又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形. 5分 (2)C ，D ，F ，E 四点共面，理由如下：由BE 綊12AF ，G 为FA 的中点知BE 綊GF ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 8分 由(1)知BG ∥CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面. 12分121内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)(2017·郑州模拟)在图7­2­4中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④图7­2­4(1)D(2)②④[(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH 与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．][规律方法] 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．[变式训练2] (2017·烟台质检)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为( ) A．①④B．②③C．③④D．①②A[对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b M，a ∥b，则a∥M或a M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．](1)如图7­2­5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.15B．25C.35D．45图7­2­5(2)(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )A.32B．22C．33D．13(1)D(2)A[(1)连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45.(2)设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n所成的角．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为32 .][规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[变式训练3] 如图7­2­6，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB 的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．图7­2­62[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.][思想与方法]1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了转化与化归思想．[易错与防范]1．异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．敬请批评指正。

第二节 空间图形的基本关系与公理[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：(0°，90°]．3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [常用结论]1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a .( )(2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线． (3)平面ABC 与平面DBC 相交于线段B C. ( ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．下列命题正确的是( ) A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D [依据公理2可知D 选项正确．]3．(教材改编)如图所示，在正方体ABCD ­A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°C [连接B 1D 1，D 1C (图略)，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 为所求的角，又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.]4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A ．空间四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．正方形B [如图，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，易知EH 綊12BD ，FG 綊12BD ，∴EH 綊FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形， 又AC ⊥BD ，故EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 为矩形．故选B ．]5．在三棱锥S ­ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________．平行 [如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN . 由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，∴在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN，∴G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线， ∴MN ∥BC ， 因此可得G 1G 2∥B C.]空间两条直线的位置关系1．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使得m 与l ( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．互为异面直线C [若l α，则排除选项D ；若l ∩α＝A ，则排除选项A ；若l ∥α，则排除选项B ，故选C.]2．设a ，b ，c 是空间中三条不同的直线，给出下面四个说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a 平面α，b 平面β，则a 与b 一定是异面直线． 其中说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)① [①显然正确；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a 与c 可以相交，平行，异面，故②错误； ③当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可能相交，也可能平行，还可能异面，故③错误； ④中a 与b 的关系，也可能有相交，平行，异面三种情况，故④错误．故只有①正确．] 3．(2019·唐山模拟)如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．① ② ③ ④②④ [图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以在图②④中GH 与MN 异面．]【例1】如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B．∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABC D．同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．如图所示，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． [证明] (1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ． 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ， 所以EF ∥GH .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG 平面ABC ， 所以P ∈平面AB C.同理P ∈平面AD C. 所以P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， 所以P ∈AC ，所以P ，A ，C 三点共线． 异面直线所成的角【例2】 (1)(2018·银川二模)已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°(2)在三棱锥S ­ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝SA ，SA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，则异面直线AB 与SD 所成角的余弦值为( )A.55 B ．66 C.306D ．305(1)A (2)B [(1)连接AC ，并取其中点O ，连接OM ，ON ，则OM 綊12BC ，ON 綊12PA ，∴∠ONM 是异面直线PA 与MN 所成的角，由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝2，ON ＝23，MN ＝4，∴cos∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22ON ×MN ＝12＋16－42×23×4＝32，又∠ONM ∈(0°，90°]，∴∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小为30°，故选A.(2)以A 为原点，建立空间直角坐标系A ­xyz ，如图所示．设AB ＝AC ＝SA ＝2，则 AS →＝(0,0,2)，AB →＝(2,0,0)，AC →＝(0,2,0)，AD →＝12AB →＋12AC →＝(1,1,0)，SD →＝AD →－AS →＝(1,1，－2)．∴cos〈AB →，SD →〉＝226＝66.故选B ．](1)如图所示，正三棱柱­111的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( )A.55B ．255C.12D ．2(2)(2019·安庆模拟)正四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BD 的中点，则异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为________．(1)B (2)16 [(1)如图，取AC 中点G ，连接FG ，EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ，EG ∥BC ，EG＝12BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在R t △EFG 中， cos∠EFG ＝FG FE＝25＝255.(2)取BF 的中点G ，连接CG ，EG (图略)，易知EG ∥AF ，所以异面直线AF ，CE 所成的角即为∠GEC (或其补角)．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE ＝3，EG ＝32，CG ＝132，由余弦定理得cos∠GEC ＝EG 2＋CE 2－CG22EG ·CE＝34＋3－1342×32×3＝16，所以异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为16.]1.(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15 B ．56 C.55D ．22C [法一：如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C. 法二：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，所以AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)，则由向量夹角公式，得cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.] 2.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32 B ．155 C.105D ．33C [以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知条件知B 1(0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(1,0,0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1,0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)．所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|＝25×2＝105. 所以异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为105.故选C.] 3．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B ．22C.33D ．13A [如图，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1.∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m . 又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1， ∴B 1D 1∥m 1.∴B 1D 1∥m . ∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1， 同理可证CD 1∥n .因此直线m 与n 所成的角即直线B 1D 1与CD 1所成的角． 在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形， 故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32.]。