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第3讲根系关系

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望子成龙学校 2012年暑假初三数学学案 赵老师

1 第3讲 一元二次方程的根与系数的关系

一、公式推导:

一元二次方程20axbxc （0a）

当△≥0时，12bxa 22bxa

（1） 1x+2x=

（2） 1x·2x=

（3） 12xx=

二、直击考点：

考点一、利用根系关系求代数式的值：

1、（成都2010）．设1x，2x是一元二次方程2320xx的两个实数根，则2211223xxxx的值为__________________．

2、1x、2x是方程05322xx的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

（1）2221xx （2）21xx （3）2222133xxx

考点二、已知根的情况，确定方程中的字母：

1、如果方程12mxx的两个实根互为相反数，那么m的值为 （ ）

A、0 B、－1 C、1 D、±1

2、如果关于x的一元二次方程042kxx有两个相等的负根，则_____k；

3、32是方程012bxx的一个根，则b=_______，另一个根是_______；

4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，求k的值

考点三、利用根系关系构造一元二次方程： 望子成龙学校 2012年暑假初三数学学案 赵老师

1 1、以1313－和的根为方程是______________。

2、若两数和为3，积为－4，则这两个数分别为_____________。

考点四、利用根系关系和判别式，确定方程中的字母：

1、已知关于x的一元二次方程21230kxkx的两根之差为1，试求k的值。

2、已知关于x的方程05)2(222mxmx有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。

3、已知关于x的方程03)1(222mxmx

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设1x、2x是方程的两根，且012)()(21221xxxx，求m的值。

望子成龙学校 2012年暑假初三数学学案 赵老师

1 4、已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115，

（1）求k的值； （2）求x12+x22+8的值.

5、已知1x,2x是 一元二次方程24104kxkkx的两个实数根。

⑴是否存在实数k，使12123222xxxx成立？若存在，求出k的值；

若不存在，请说明理由。

⑵求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值。

6．（2011乐山）已知关于x的方程222(1)740xaxaa的两根为1x、2x，且满足12123320xxxx.求242(1)4aaa的值。

望子成龙学校 2012年暑假初三数学学案 赵老师

1 7. （2010湖北孝感）已知关于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.

（1）求k的取值范围；（4分）

（2）若12121xxxx，求k的值. （6分）

考点五、在几何背景中用根系关系

1、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程：03)12(22mxmx的根，则m的值为 （ ）

A、－3 B、5 C、5或－3 D、－5或3

2、已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2860xx的根，试求直角三角形的斜边的长。

3、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程：03)12(22mxmx的根，求m的值为。

4、△ABC的两边AB、AC的长是关于x的方程x2－(2k＋3) x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC长为5。

（1）当k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形。

（2）当k取何值时，△ABC为等腰三角形，并求△ABC的周长。

望子成龙学校 2012年暑假初三数学学案 赵老师

1 三、课后作业：

1、已知2860xx有两个实数根1x和2x，则2212xx=

2、（河北）若关于x的一元二次方程2(1)40xmxm两实数根的平方和是2，

求m的值．

3、已知关于x的一元二次方程2(12)0xkxk有两个实数根1x和2x，且

1212()30xxxx，求实数k的值．

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(完整版)九年级数学一元二次方程(带答案)

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1 第二章 一元二次方程

第1讲 一元二次方程概念及解法

【知识要点】

一。 知识结构网络

一元二次方程

解

法 直接开平方法

配方法

公式法

因式分解法

分式方程的解法

二元二次方程组的解法

性质 判别式

根与系数的关系

应用 二次三项式的因式分解

列方程或方程组解应用题

二、一元二次方程的四种解法

直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法

1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为02bbx或bax2的形式的方程求解。当0b时，可两边开平方求得方程的解；当0b时，方程无实数根。

2. 因式分解法解方程的步骤:（1）将方程一边化为0；(2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。

3.

配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()xmn2的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式02cbxax，确定a、b、c的值；（2)计算acb42的值并判别其符号；（3）若042acb，则利用公式aacbbx242求方程的解，若042acb，则方程无实数解。

【典型例题】 (完整版)九年级数学一元二次方程(带答案)

2 （1）67302xx(用因式分解法）

解:0)32)(13(xx

23，31∴032或013∴21xxxx

(2）1432xx(用公式法)

解：01432xx

028)1(×3×4)4(2

植物根系与地上部分的对应关系

植物根系与地上部分的对应关系

植物根系与地上部分的对应关系

植物根系与地上部分的对应关系

植物的根系与地上部分是密切相关的，它们之间的对应关系在植物生长过程中起着至关重要的作用。从植物生理生态学的角度来看，植物的根系和地上部分之间存在着复杂的相互关系，这种关系不仅涉及植物的生长发育过程，还与植物的适应性和生存能力密切相关。接下来，我将从植物根系和地上部分的结构特点、功能作用和互相影响等方面进行深入解析，并探讨它们之间的密切关系。

1. 根系与地上部分的结构特点

植物的根系和地上部分在结构上具有各自独特的特点。根系通常包括主根、侧根和根毛等部分，主根向下延伸，负责在土壤中吸收水分和无机养分。而地上部分则包括茎、叶和花等组织结构，茎负责承担植物的机械支撑和输送养分的作用，叶片则是植物进行光合作用的主要器官。

2. 根系与地上部分的功能作用

根系与地上部分在植物生长发育过程中具有各自不可或缺的功能作用。根系通过吸收水分和养分，为植物提供必要的营养物质和水分，同时还能够与土壤微生物共生，促进土壤的肥力和结构改良。地上部分则通过光合作用，将阳光能量转化为化学能，并将合成的有机物质输送到根系和其他部位，并且还负责植物的繁殖和传播。

3. 根系与地上部分的互相影响

根系与地上部分之间存在着密切的互相影响关系。地上部分通过光合作用合成的有机物质，一部分会通过根系输送到地下，为根系提供能量和养分；而根系吸收的水分和养分，则通过茎和叶的输送系统被输送到地上部分，从而维持植物正常的生长发育。植物根系的生长和分泌物质也会影响地下土壤的结构和化学性质，进而影响地上部分的生长和生理活动。

总结

植物的根系与地上部分之间存在着密切的对应关系，它们在植物生长发育过程中发挥着重要的作用。根系通过吸收水分和养分为地上部分提供必要的营养物质，而地上部分通过光合作用合成的有机物质则为根系提供能量和养分。它们之间的互相影响不仅维持了植物的正常生长，还促进了土壤的肥力和结构改良。在今后的研究和实践中，我们需要更加深入地探讨植物根系与地上部分的对应关系，以促进植物的健康生长和提高农作物的产量和质量。

根与系数关系知识讲解及练习

根与系数关系知识讲解及练习

根与系数关系知识讲解及练习

TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

韦达定理：对于一元二次方程20(0)axbxca，如果方程有两个实数根12,xx，则

说明：（1）定理成立的条件0

（2）注意公式重12bxxa的负号与b的符号的区别

根系关系的几大用处

①

验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；

②

例如：已知方程x2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ ）

A． 3，-2 B. -2, 3 C. -2，-3 D. 3, 2

③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；

④

⑤ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.

⑥

⑦ 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.

（后三种为主）

（1）计算代数式的值

例 若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：

(1) 2212xx； (2)

1211xx； (3) 12(5)(5)xx； (4) 12||xx．

解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxxx

(1)

2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxxx

(2) 121212112220072007xxxxxx

(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx

(4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008xxxxxxxx

根及系数关系知识讲解和练习

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韦达定理：对于一元二次方程20(0)axbxca，如果方程有两个实数根12,xx，则

1212,bcxxxxaa

说明：（1）定理成立的条件0

（2）注意公式重12bxxa的负号与b的符号的区别

根系关系的几大用处

①

验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；

例如：已知方程x2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ ）

A． 3，-2 B. -2, 3 C. -2，-3 D. 3, 2

② 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；

③ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.

④ 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.

（后三种为主）

（1）计算代数式的值

例

若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：

(1) 2212xx； (2)

1211xx； (3) 12(5)(5)xx； (4)

12||xx．

解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxxx

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(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx

(4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008xxxxxxxx