高二第3讲 空间的平行关系(教师版)

第3讲空间的平行关系（教师版）一．学习目标1．理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．4．理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理，并且会灵活运用．5．会用文字、符号、图形三种语言准确地描述线面平行和面面平行的性质定理，并能判断由数学符号给出条件的线线、线面、面面间的位置关系．二．重点难点1．能应用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理判断或证明线面平行，面面平行．(重点、易错点)2．理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义并能应用定理解决有关问题．(重点)3．理解两个定理的含义，并会应用．(难点)三．知识梳理1.线面平行、面面平行的判定定理2.线面平行、面面平行的性质定理线面平行⇒线线平行面面平行⇒线面平行四．典例剖析题型一线面、面面平行判断题例1（1）1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．其中正确说法的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3答：A（2）(课本习题改编)下面命题中正确的是( )①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④解析：①②中两个平面可以相交，③是两个平面平行的定义，④是两个平面平行的判定定理．答案：D（3）(2013·浙江高三调研)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线( )A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：选C 由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．课堂小结：线面平行、面面平行的基本问题多以小题出现，处理方法是数形结合，先画图，再确定线与面的位置关系．课堂练习1：（一）判断题：(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( )(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( )(3)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线和平面平行．( )(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( )(5)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条．( )(6)空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则EF ∥平面BCD .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√[解析](1)这条直线有可能在这个平面内． (2)这条直线与平面内的任一直线的位置关系是平行或异面．(3)直线与平面平行或相交．(4)还有另一种可能：a ⊂α.(5)画图可知，过点P 且平行于a 的直线只有一条，且在平面α内．(6)EF 为△ABD 的中位线，故EF ∥BD ，由直线与平面平行的判定定理可知，EF ∥平面BCD .（二）判断题：(1)a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β⇒α∥β.( )(2)α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 平行或异面．( )(3)α∥β，β∥γ⇒α∥γ.( ) (4)若α∥β，直线a ∥α，则a ∥β.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×[解析] (1)由平面与平面平行的判定定理知，这两条直线必须是相交直线．(2)两个平面平行，则两个平面无公共点，故分别在这两个平面内的两条直线没有交点．(3)此为平面平行的传递性．(4)还有另一种可能：a ⊂β.题型二 线面平行的证明1.构造平行四边形证：例2 (2013年连云港模拟)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥EBCD 的体积．[解析] (1)证明：取BC 中点G ，连接AG ，EG ，因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1. 由直棱柱知，AA 1綊BB 1，而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD ，所以四边形EGAD 是平行四边形，所以ED ∥AG ，又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE ，所以V E -BCD ＝V D -BCE ＝V A -BCE ＝V E -ABC ，由(1)知，DE ∥平面ABC ，所以V E -ABC ＝V D -ABC ＝13AD ·12BC ·AG ＝16×3×6×4＝12.课堂练习2：(2012·广东省深圳市模拟)如图，AA 1、BB 1为圆柱OO 1的母线，BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是AA 1、CB 1的中点，DE ⊥平面CBB 1.证明：DE ∥平面ABC .证明：连接EO ，OA .因为E ，O 分别为B 1C ，BC 的中点，所以EO ∥BB 1，且EO ＝12BB 1. 又DA ∥BB 1，且DA ＝12BB 1，所以DA 綊EO ，所以四边形AOED 是平行四边形， 即DE ∥OA ，DE ⊄平面ABC ，OA ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .2，构造三角形中位线证。

例3 [2012·辽宁卷改编] 如图7－40－1直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．证明：MN ∥平面A ′ACC ′.证法一：：连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱．所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点．所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.证法二：（构造平行四边形证）课堂练习3：（2013年高考辽宁卷（文））如图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点(I)求证:BC PAC ⊥平面；（不做）(II)设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面提示：连AG,延长交BC 于E,连PE,由平几知识可证得G 为AE 中点，故QG ∥PE. 可得证。

3，运用比例性质证：例4 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面BCE .如图，连结AQ ，并延长交BC 延长线于K ，连结EK ，∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQ BQ ，又AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQ QK ，∴AP PE ＝AQ QK ，∴PQ ∥EK .又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ，∴PQ∥平面BCE.课堂练习4 正四棱锥P －ABCD 的各条棱长都是13，M 、N 分别是PA 和BD 上的点，且58PM BN MA ND ==，求证MN ∥平面PBC . [解析] 在平面PAB 内过M 作ME ∥AB 交PB 于E ，在平面BCD 内过N 作NF ∥DC 交BC 于F ，连EF ，可得ME ∥NF .∴ME ＝NF ，∴MNFE 是平行四边形，∴MN ∥EF ，∵MN ⊄平面PBC ，EF ⊂平面PBC ， ∴MN ∥平面PBC .4.构造平行平面证：例5 (2013·盐城模拟) 如图，P 为▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PC 的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；(2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．[解] (1)结论：BC∥l，因为AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，所以BC∥l.(2)结论：MN∥平面PAD.设Q为CD的中点，如右图所示，连接NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD.又因为NQ∩MQ＝Q，PD∩AD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.又因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.题型三面面平行的证明例6 (2013·江苏卷)如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F.点E，G分别是侧棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)略．证明：(1)因为E，G分别是侧棱SA，SC的中点，所以EG∥AC.又EG⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EG∥平面ABC.因为AB＝AS，AF⊥SB，所以F是SB的中点，所以FG ∥BC ，而FG ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以FG ∥平面ABC .又因为EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊂平面EFG ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)略．课堂练习5 （2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.【答案】解: (Ⅰ) 设111O D B 线段的中点为.11111111//D B BD D C B A ABCD D B BD ∴-的对应棱是和 .的对应线段是棱柱和同理，111111D C B A ABCD O A AO -为平行四边形四边形且且11111111//////OCO A OC O A OC O A OC AO O A AO ⇒=⇒∴ 1111111111//,.//B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且⇒==⇒ .(证毕)(Ⅱ) 的高是三棱柱面ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥11111 .在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在 11)2(2121111111=⋅⋅=⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱.所以,1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱.课堂小结：证明两个平面平行的关键在于证明线面平行，在证明面面平行时，可利用面面平行判定定理的推论：如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．即证一个平面内的两条相交直线与另一个平行。