第10讲 空间中的平行关系

高三新数学第一轮复习教案（讲座10）空间中的平行关系一．课标要求：1．平面的基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

2．空间中的平行关系以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行； ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行； ◆垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

二．命题走向立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。

在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

预测2007年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系： （1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。

三．要点精讲1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） （2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。

2．三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂l公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。

3．空间直线:（1）空间两条直线的位置关系： 相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。

相交直线和平行直线也称为共面直线。

异面直线的画法常用的有下列三种：（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。

即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。

推理模式：,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线。

4．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。

a A α= ，//a α。

aαaα线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒ ．a bab ααabβα5．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。

推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒（2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

四．典例解析题型1：共线、共点和共面问题例1．（1）如图所示，平面ABD 平面BCD ＝直线BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形MNPQ 是以PN 、QM 为腰的梯形。

试证明三直线BD 、MQ 、NP 共点。

证明：∵ 四边形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰， ∴直线MQ 、NP 必相交于某一点O 。

∵ O ∈直线MQ ；直线MQ ⊂平面ABD ， ∴ O ∈平面ABD 。

同理，O ∈平面BCD ，又两平面ABD 、BCD 的交线为BD ，故由公理二知，O ∈直线BD ，从而三直线BD 、MQ 、NP 共点。

点评：由已知条件，直线MQ 、NP 必相交于一点O ，因此，问题转化为求证点O 在直线BD 上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线BD 是这两个平面的交线，同时点O 是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题。

（2）如图所示，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线。

α DCB A EFH证明：∵AB ∥CD ， ∴AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β， 即E 为平面α与β的一个公共点。

同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线。

点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。

例2．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面。

证明：1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1所示：∴直线d 和A 确定一个平面α。

又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α。

∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α。

同理可证b ⊂α，c ⊂α。

∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内。

2o当四条直线中任何三条都不共点时， 如图2所示：∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α。

设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α。

又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α。

同理可证d ⊂α。

∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内。

本题最容易忽视“三线共点”这一种情况。

因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义。

题型2：异面直线的判定与应用例3．已知：如图所示， ＝a ，b ⊂ ，a b ＝A ，c ⊂ ，c ∥a 。

求证直线b 、c 为异面直线。

αb adcG F EAa bcd α H K 图1图2证法一：假设b、c共面于 ．由A∈a，a∥c知，A∉c，而a b＝A， ＝a，∴A∈ ，A∈ 。

又c⊂ ，∴ 、 都经过直线c及其外的一点A，∴ 与 重合，于是a⊂ ，又b⊂ 。

又 、 都经过两相交直线a、b，从而 、 重合。

∴ 、 、 为同一平面，这与 ＝a矛盾。

∴b、c为异面直线．证法二：假设b、c共面，则b，c相交或平行。

（1）若b∥c，又a∥c，则由公理4知a∥b，这与a b＝A矛盾。

（2）若b c＝P，已知b⊂ ，c⊂ ，则P是 、 的公共点，由公理2，P∈a，又b c＝P，即P∈c，故a c＝P，这与a∥c矛盾。

综合（1）、（2）可知，b、c为异面直线。

证法三：∵ ＝a，a b＝A，∴A∈a。

∵a∥c，∴A∉c，在直线b上任取一点P（P异于A），则P∉ （否则b⊂ ，又a⊂ ，则 、 都经过两相交直线a、b，则 、 重合，与 ＝a矛盾）。

又c⊂ ，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，b、c为异面直线。

点评：证明两直线为异面直线的思路主要有两条：一是利用反证法；二是利用结论“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．。

异面直线又有两条途径：其一是直接假设b、c共面而产生矛盾；其二是假设b、c平行与相交；分别产生矛盾。

判定直线异面，若为解答题，则用得最多的是证法一、二的思路；若为选择或填空题，则往往都是用证法三的思路。

用反证法证题，一般可归纳为四个步骤：（1）否定结论；（2）进行推理；（3）导出矛盾；（4）肯定结论．宜用反证法证明的命题往往是（1）基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题（如立体几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等）；（2）肯定或否定型的命题（如结论中出现“必有”、“必不存在”等一类命题）；（3）唯一型的命题（如“图形唯一”、“方程解唯一”等一类命题）；（4）正面情况较为繁多，而结论的反面却只有一两种情况的一类命题；（5）结论中出现“至多”、“不多于”等一类命题。

例4．（1）已知异面直线a,b所成的角为700，则过空间一定点O，与两条异面直线a,b都成600角的直线有( )条A．1 B．2 C．3 D．4（2）异面直线a,b所成的角为θ,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都是600，则θ的取值可能是（ ）A ．300B ．500C ．600D ．900解析：（1）过空间一点O 分别作a '∥a,b '∥b 。