湖北省十堰市中考数学试卷及答案解析

2021年湖北省十堰市初中毕业生统一考试（中考）数学试卷及解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内. 1．（3分）−12的相反数是（ ） A ．﹣2B ．2C ．12D ．−122．（3分）如图，直线AB ∥CD ，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝（ ）A ．87°B ．23°C ．67°D ．90°3．（3分）由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 3•a 3＝2a 3 B ．（﹣2a ）2＝4a 2 C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（a +2）（a ﹣2）＝a 2﹣25．（3分）某校男子足球队的年龄分布如下表：年龄 13 14 15 16 17 18 人数268321则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A ．8，15B ．8，14C ．15，14D ．15，156．（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x 台机器，则下列方程正确的是（ ）A ．400x −450x−50=1B ．450x−50−400x =1C ．400x−450x+1=50 D ．450x+1−400x=507．（3分）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）A ．（15√3+32）mB ．5√3mC ．15√3mD ．（5√3+32）m8．（3分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 是⊙O 的直径，若AD ＝3，则BC ＝（ ）A ．2√3B ．3√3C ．3D ．49．（3分）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A ．2025B ．2023C ．2021D ．201910．（3分）如图，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过点A （2，1），过A 作AB ⊥y 轴于点B ，连OA ，直线CD ⊥OA ，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点B 关于直线CD 的对称点B ′恰好落在该反比例函数图像上，则D 点纵坐标为（ ）A ．5√5−14B ．52C ．73D ．5√5+14二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000用科学记数法表示为 ．12．（3分）已知xy ＝2，x ﹣3y ＝3，则2x 3y ﹣12x 2y 2+18xy 3＝ ．13．（3分）如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若AB ＝5，AD ＝12，则四边形ABOM 的周长为 ．14．（3分）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：a ⊗b ＝a 2+b 2﹣ab ，若x ⊗（x ﹣1）＝3，则x 的值为 ． 15．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是 ．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 是平面内一个动点，且AP ＝3，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是 ．三、解答题（本题有9个小题，共72分） 17．（5分）计算：√2cos45°+（13）﹣1﹣|﹣3|．18．（5分）化简：（a+2a 2−2a−a−1a 2−4a+4）÷a−4a．19．（9分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A 、B 、C 、D 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．等级 成绩（x ） 人数 A 90≤x ≤100 15 B 80≤x ＜90 a C 70≤x ＜80 18 Dx ＜707根据图表信息，回答下列问题：（1）表中a ＝ ；扇形统计图中，C 等级所占的百分比是 ；D 等级对应的扇形圆心角为 度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A 等级的学生共有 人； （2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．21．（7分）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC 交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若CF＝2，∠F AC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若tan∠A=12，⊙O的半径为3，求EF的长．23．（9分）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：y ={0.25x +30(1≤x ≤20且x 为整数)35(20＜x ≤40且x 为整数)，且日销量m （kg ）与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 … 日销量m （kg ）142138132124…（1）填空：m 与x 的函数关系为 ； （2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（n ＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．24．（10分）已知等边三角形ABC ，过A 点作AC 的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接CP ，把线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60°得到CQ ，连QB ． （1）如图1，直接写出线段AP 与BQ 的数量关系；（2）如图2，当点P 、B 在AC 同侧且AP ＝AC 时，求证：直线PB 垂直平分线段CQ ；（3）如图3，若等边三角形ABC 的边长为4，点P 、B 分别位于直线AC 异侧，且△APQ 的面积等于√34，求线段AP 的长度．25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD=√3MN，求N点的坐标．2021年湖北省十堰市初中毕业生统一考试（中考）数学参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内. 1．（3分）−12的相反数是（ ） A ．﹣2B ．2C ．12D ．−12【分析】只有符号不同的两个数互为相反数． 【解答】解：−12的相反数是12．故选：C ．2．（3分）如图，直线AB ∥CD ，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝（ ）A ．87°B ．23°C ．67°D ．90°【分析】根据“两直线平行，内错角相等”∠C ＝55°，再根据三角形的外角定理求解即可． 【解答】解：∵AB ∥CD ，∠1＝55°， ∴∠C ＝∠1＝55°，∵∠3＝∠2+∠C ，∠2＝32°， ∴∠3＝32°+55°＝87°， 故选：A ．3．（3分）由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【解答】解：从上面看，底层有3个正方形，上层右边有一个正方形．故选：A ．4．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 3•a 3＝2a 3 B ．（﹣2a ）2＝4a 2 C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（a +2）（a ﹣2）＝a 2﹣2【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【解答】解：a 3•a 3＝a 6，故选项A 错误； （﹣2a ）2＝4a 2，故选项B 正确； （a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故选项C 错误； （a +2）（a ﹣2）＝a 2﹣4，故选项D 错误； 故选：B ．5．（3分）某校男子足球队的年龄分布如下表：年龄 13 14 15 16 17 18 人数268321则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A ．8，15B ．8，14C ．15，14D ．15，15【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15；根据图表数据可知共有22名队员，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15+15）÷2＝15． 故选：D ．6．（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x 台机器，则下列方程正确的是（ ） A ．400x −450x−50=1 B ．450x−50−400x =1C ．400x−450x+1=50 D ．450x+1−400x=50【分析】设现在平均每天生产x 台机器，则原计划平均每天生产（x ﹣50）台机器，根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可．【解答】解：设现在平均每天生产x 台机器，则原计划平均每天生产（x ﹣50）台机器，根据题意，得450x−50−400x=1．故选：B．7．（3分）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）A．（15√3+32）m B．5√3m C．15√3m D．（5√3+32）m【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义求出DE的长，由CE＝CD+DE 即可得出结论．【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×√33=5√3（m），∴CE＝CD+DE＝（5√3+1.5）（m）．故选：D．8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD＝3，则BC＝（）A．2√3B．3√3C．3D．4【分析】根据∠BAC＝120°，AB＝AC即可推出∠ACB和∠ABC的度数，然后由同弧所对圆周角相等以及直径所对圆周角为直角即可推出△ABD为直角三角形且∠ADB＝30°，即可算出直径BD的长，再过点O过点O作OE⊥BC于点E，利用直角三角形中锐角三角函数计算出BE的长，再根据垂径定理即可计算出BC的长．【解答】解：过点O作OE⊥BC于点E，如图所示：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵AB̂对应圆周角为∠ACB和∠ADB，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，而BD为直径，∴∠BAD＝90°，在Rt△BAD中，∠ADB＝30°，AD＝3，∴cos30°=ADBD=3BD=√32，∴BD＝2√3，∴OB=√3，又∵∠ABD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°，∠ABC＝30°，∴∠OBE＝30°，又∵OE⊥BC，∴△OBE为直角三角形，∴cos∠OBE＝cos30°=BEOB=BE√3=√32，∴BE=3 2，由垂径定理可得：BC＝2BE＝2×32=3，故C正确，故选：C．9．（3分）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A ．2025B ．2023C ．2021D ．2019【分析】先由题意得出位于第32行第13列的数是连续奇数的第1011个数，再将n ═1011代入奇数列通式：2n ﹣1求解即可． 【解答】解：由题意可知：行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数； ∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数， ∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）═1012个数， ∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1═2023． 故选：B ．10．（3分）如图，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过点A （2，1），过A 作AB ⊥y 轴于点B ，连OA ，直线CD ⊥OA ，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点B 关于直线CD 的对称点B ′恰好落在该反比例函数图像上，则D 点纵坐标为（ ）A ．5√5−14B ．52C ．73D ．5√5+14【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，由点A 的坐标可得AB ＝2，OB ＝1；设BB ′交直线CD 于点E ，过点E 作EG ⊥BD 于G ，过B ′作B ′F ⊥BD 于点F ，利用待定系数法求得直线OA ，BB ′的解析式和反比例函数的解析式，进而求得点B ′的坐标，由此得到线段EG 的长度，利用解直角三角形求得线段DG ，BG ，利用OD ＝OB +BG +DG 求得线段OD ，则点D 的纵坐标可求．【解答】解：设BB ′交直线CD 于点E ，过点E 作EG ⊥BD 于G ，过B ′作B ′F ⊥BD 于点F ，如图，∵B 与B ′关于直线CD 对称，∴CD 垂直平分BB ′．即E 为BB ′的中点，EB ＝EB ′． ∵EG ⊥BD ，B ′F ⊥BD ， ∴EG ∥B ′F ． ∴EG =12B ′F ．∵直线OA 经过点A （2，1）， ∴直线OA 的解析式为：y =12x ． ∵CD ⊥OA ，BB ′⊥CD ， ∴BB ′∥OA ．设直线BB ′的解析式为y =12x +b ， ∵B （0，1）， ∴b ＝1．∴设直线BB ′的解析式为y =12x +1．∵反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过点A （2，1）， ∴反比例函数y =2x ． ∴{y =12x +1y =2x． 解得：{x 1=−1+√5y 1=√5+12，{x 2=−1−√5y 2=−√5−12．∴B ′（√5−1，√5+12）．∴B ′F =√5−1． ∴EG =√5−12．∵AB ⊥BD ， ∴∠OAB ＝∠ODC ．∴tan ∠OAB ＝tan ∠ODC =OBAB =12． 在Rt △DGE 中，∵tan ∠ODCEGDG=12，∴DG =√5−1． 同理：BG =√5−14．∴OD ＝OB +BG +DG =5√5−14． ∴D 点纵坐标为5√5−14．故选：A ．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000用科学记数法表示为 1.412×109 ．【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】解：1412000000＝1.412×109， 故答案为：1.412×109．12．（3分）已知xy ＝2，x ﹣3y ＝3，则2x 3y ﹣12x 2y 2+18xy 3＝ 36 ．【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后整体代入求值即可． 【解答】解：原式＝2xy （x 2﹣6xy +9y 2） ＝2xy （x ﹣3y ）2， ∵xy ＝2，x ﹣3y ＝3， ∴原式＝2×2×32 ＝4×9 ＝36， 故答案为：36．13．（3分）如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若AB ＝5，AD ＝12，则四边形ABOM 的周长为 20 ．【分析】根据题意可知OM 是△ADC 的中位线，所以OM 的长可求；根据勾股定理可求出AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM=12CD=12AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC=√52+122=13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=12AC＝6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案为：20．14．（3分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x﹣1）＝3，则x的值为2或﹣1．【分析】依据新定义得到关于x的方程，解方程可得结论．【解答】解：由题意得：x2+（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝3．整理得：x2﹣x﹣2＝0．即（x﹣2）（x+1）＝0．解得：x1＝2，x2＝﹣1．故答案为：2或﹣1．15．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是3π﹣6．【分析】根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：连接BE，∵AB为直径，∴BE⊥AC，∵AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝90°， ∴BE ＝AE ＝CE ， ∴S 弓形AE ＝S 弓形BE ，∴图中阴影部分的面积＝S 半圆−12（S 半圆﹣S △ABE ）﹣（S △ABC ﹣S 扇形CBF ）=12π×22−12（12π×22−12×12×4×4）﹣（12×4×4−45π×42360）＝3π﹣6， 故答案为3π﹣6．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 是平面内一个动点，且AP ＝3，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是72≤m ≤132 ．【分析】取AB 的中点M ，连接QM ，CM ，分析可知，点C ，点M 是定点，点Q 是动点，且点Q 在以点M 为圆心，QM 长为半径的圆上运动，且当点C ，M ，Q 三点共线，且点Q 在线段CM 上时，m 取得最小值72，当点C ，M ，Q 三点共线，且点Q 在射线CM 上时，m 取得最大值132，可得结论．【解答】解：如图，取AB 的中点M ，连接QM ，CM ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB ＝10，∵点M 是AB 的中点，∴AM ＝BM ＝CM =12AB ＝5，∵点Q 是PB 的中点，点M 是AB 的中点， ∴QM 是△APB 的中位线， ∴QM =12AP =32，在△CMQ 中，CM ﹣MQ ＜CQ ＜CM +MQ ， ∴72＜m ＜132， ∵点C ，点M 是定点，点Q 是动点，且点Q 以点M 为圆心，QM 长为半径的圆上运动， ∴当点C ，M ，Q 三点共线，且点Q 在线段CM 上时，m 取得最小值72，当点C ，M ，Q 三点共线，且点Q 在射线CM 上时，m 取得最大值132，综上，m 的取值范围为：72≤m ≤132．故答案为：72≤m ≤132．三、解答题（本题有9个小题，共72分） 17．（5分）计算：√2cos45°+（13）﹣1﹣|﹣3|．【分析】利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂和绝对值的意义解答即可． 【解答】解：原式=√2×√22+3﹣3＝1． 18．（5分）化简：（a+2a 2−2a−a−1a 2−4a+4）÷a−4a． 【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题． 【解答】解：（a+2a 2−2a−a−1a 2−4a+4）÷a−4a＝[a+2a(a−2)−a−1(a−2)2]⋅a a−4=(a+2)(a−2)−a(a−1)a(a−2)2⋅aa−4=a 2−4−a 2+a (a−2)2⋅1a−4=a−4(a−2)2⋅1a−4 =1(a−2)2．19．（9分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．等级成绩（x）人数A90≤x≤10015B80≤x＜90aC70≤x＜8018D x＜707根据图表信息，回答下列问题：（1）表中a＝20；扇形统计图中，C等级所占的百分比是30%；D等级对应的扇形圆心角为42度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有450人；（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．【分析】（1）由A等级的人数和所对应的圆心角的度数求出抽取的学生人数，即可解决问题；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）抽取的学生人数为：15÷90°360°=60（人），∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等级所占的百分比是18÷60×100%＝30%，D等级对应的扇形圆心角为：360°×760=42°，估计成绩为A等级的学生共有：1800×1560=450（人），故答案为：20，30%，42，450；（2）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，画树状图如图：共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种， ∴甲、乙两人至少有1人被选中的概率为1012=56．20．（7分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣2m +5＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m 的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（﹣2m +5）＞0，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝4＞0，x 1x 2＝﹣2m +5＞0，则m ＜52，所以m ＝1或m ＝2． 【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（﹣2m +5）＞0， 解得m ＞12；（2）设x 1，x 2是方程的两根，根据题意得x 1+x 2＝4＞0，x 1x 2＝﹣2m +5＞0，解得m ＜52， 所以m 的范围为12＜m ＜52，所以m ＝1或m ＝2， 所以整数m 的值为1或2．21．（7分）如图，已知△ABC 中，D 是AC 的中点，过点D 作DE ⊥AC 交BC 于点E ，过点A 作AF ∥BC 交DE 于点F ，连接AE 、CF ． （1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若CF ＝2，∠F AC ＝30°，∠B ＝45°，求AB 的长．【分析】（1）由题意可得△AFD ≌△CED （AAS ），则AF ＝EC ，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF 是平行四边形；又EF 垂直平分AC ，根据垂直平分线的性质可得AF ＝CF ，根据“有一组临边相等的平行四边形是菱形”可得结论；（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据题意可得∠AEG＝60°，AE＝2，则BG＝AG=√3，AB=√2BG=√6．【解答】解：（1）证明：如图，在△ABC中，点D是AC的中点，∴AD＝DC，∵AF∥BC，∴∠F AD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，∴△AFD≌△CED（AAS），∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，∴AF＝FC，∴平行四边形AECF是菱形．（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠F AC＝30°，∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠F AE＝2∠F AC＝60°，∴∠AEB＝∠F AE＝60°，∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠AGE＝90°，∴∠GAE＝30°，∴GE=12AE＝1，AG=√3GE=√3，∵∠B＝45°，∴∠GAB＝∠B＝45°，∴BG＝AG=√3，∴AB=√2BG=√6．22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB 上，且DF ⊥BC ，垂足为E ，连接AD 、BD ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若tan ∠A =12，⊙O 的半径为3，求EF 的长．【分析】（1）连接OD ，则∠ODC ＝∠OCD ，CD 平分∠OCB ，则∠OCD ＝∠BCD ＝∠ODC ，所以OD ∥CE ，又CE ⊥DF ，则OD ⊥DF ，所以DF 是⊙O 的切线； （2）在Rt △ABD 中，tan ∠A =BD AD =12，则AD ＝2BD ，由勾股定理可得，BD 2+AD 2＝AB 2，即BD 2+（2BD ）2＝62，解得BD =6√55，在Rt △BDE 中，BD =6√55，由勾股定理可得，BE 2+DE 2＝BD 2，即BE 2+（2BE ）2＝（6√55）2，解得BE =65，则DE =125，由（1）知BE ∥OD ，EF DF =BE OD ，即EF 125+EF=653，解得EF =85．【解答】解：（1）如图，连接OD ，∵OC ＝OD ， ∴∠ODC ＝∠OCD ， ∵CD 平分∠OCB ， ∴∠OCD ＝∠BCD ， ∴∠ODC ＝∠BCD ， ∴OD ∥CE ， ∴∠CEF ＝∠ODE ， ∵CE ⊥DF ， ∴∠CEF ＝90°，∴∠ODE ＝90°，即OD ⊥DF ， ∴DF 是⊙O 的切线； （2）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴tan ∠A =BD AD =12，则AD ＝2BD ， 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，AB ＝2r ＝6， ∴BD 2+AD 2＝AB 2，即BD 2+（2BD ）2＝62， 解得BD =6√55， 由（1）知DF 是⊙O 的切线， ∴∠BDF ＝∠A ， ∵BE ⊥DF ， ∴∠BEF ＝90°， ∴tan ∠BDF =BE DE =12，则DE ＝2BE ， 在Rt △BDE 中，BD =6√55， 由勾股定理可得，BE 2+DE 2＝BD 2，即BE 2+（2BE ）2＝（6√55）2， 解得BE =65，则DE =125， 由（1）知BE ∥OD ， ∴EF DF=BE OD，即EF 125+EF=653，解得EF =85．23．（9分）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：y ={0.25x +30(1≤x ≤20且x 为整数)35(20＜x ≤40且x 为整数)，且日销量m （kg ）与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 … 日销量m （kg ）142138132124…（1）填空：m 与x 的函数关系为 m ═﹣2x +144（1≤x ≤40且x 为整数） ；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（n ＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围． 【分析】（1）根据题意建立一次函数模型，利用待定系数法求解即可；（2）根据题意找到等量关系式：日销售利润═（销售单价﹣单件成本）×销售量，列出方程，再分情况进行讨论总结即可；（3）根据题意列出方程，根据二次函数的图像与性质进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可设日销量m （kg ）与时间x （天）之间的一次函数关系式为：m ═kx +b （k ≠0），将（1，142）和（3，138）代入m ═kx +b ，有：{142=k +b 138=3k +b ，解得k ═﹣2，b ═144，故m 与x 的函数关系为：m ═﹣2x +144（1≤x ≤40且x 为整数）； （2）设日销售利润为W 元，根据题意可得：当1≤x ≤20且x 为整数时，W ═（0.25x +30﹣20）（﹣2x +144）═﹣0.5x 2+16x +1440═﹣0.5（x ﹣16）2+1568，此时当x ═16时，取得最大日销售利润为1568元，当20＜x ≤40且x 为整数时，W ═（35﹣20）（﹣2x +144）═﹣30x +2160， 此时当x ═21时，取得最大日销售利润W ═﹣30×21+2160═1530（元）， 综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元； （3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P ，根据题意可得：P ═﹣0.5x 2+16x +1440﹣n （﹣2x +144）═﹣0.5x 2+（16+2n ）x +1440﹣144n ，其对称轴为直线x ═16+2n ， ∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大， ∴16+2n ≥20，求得n ≥2， 又∵n ＜4，∴n 的取值范围是：2≤n ＜4， 答：n 的取值范围是2≤n ＜4．24．（10分）已知等边三角形ABC ，过A 点作AC 的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接CP ，把线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60°得到CQ ，连QB ． （1）如图1，直接写出线段AP 与BQ 的数量关系；（2）如图2，当点P 、B 在AC 同侧且AP ＝AC 时，求证：直线PB 垂直平分线段CQ ；（3）如图3，若等边三角形ABC 的边长为4，点P 、B 分别位于直线AC 异侧，且△APQ 的面积等于√34，求线段AP 的长度．【分析】（1）由“SAS ”证得△ACP ≌△BCQ （SAS ）可得AP ＝BQ ．（2）由“SAS ”证得△ACP ≌△BCQ （SAS ）可得AP ＝BQ ，所以BQ ＝AP ＝AC ＝BC ，由“等边对等角”可得∠ABP ＝∠APB ＝75°，则∠CBP ＝∠ABC +∠ABP ＝135°，所以∠CBD ＝∠QBD ＝45°，则BD 是△BCQ 的平分线，又BC ＝BQ ，则PB 垂直平分CQ ．（3）需要分点Q 在直线l 上方和点Q 在直线l 下方两种情况讨论，设AP 的长度，根据△APQ 的面积等于√34建立等式，可求出AP 的长． 【解答】解：（1）在等边△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝60°， 由旋转可得，CP ＝CQ ，∠PCQ ＝60°， ∴∠ACB ＝∠PCQ ，∴∠ACP ﹣∠PCB ＝∠BCQ ﹣∠PCB ，即∠ACP ＝∠BCQ ， ∴△ACP ≌△BCQ （SAS ）， ∴AP ＝BQ ．（2）在等边△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝60°， 由旋转可得，CP ＝CQ ，∠PCQ ＝60°， ∴∠ACB ＝∠PCQ ，∴∠ACP ﹣∠PCB ＝∠BCQ ﹣∠PCB ，即∠ACP ＝∠BCQ ， ∴△ACP ≌△BCQ （SAS ），∴AP ＝BQ ，∠CBQ ＝∠CAP ＝90°； ∴BQ ＝AP ＝AC ＝BC ， ∵AP ＝AC ，∠CAP ＝90°，∴∠BAP ＝30°，∠ABP ＝∠APB ＝75°， ∴∠CBP ＝∠ABC +∠ABP ＝135°，∴∠CBD＝45°，∴∠QBD＝45°，∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，∴BD⊥CQ且点D是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ．（3）①当点Q在直线l上方时，如图所示，延长BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△APC≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，∵∠CAB＝∠ABC＝60°，∴∠BAE＝∠ABE＝30°，∵AB＝AC＝4，∴AE＝BE=4√3 3，∴∠BEF＝60°，设AP＝t，则BQ＝t，∴EQ=4√33−t，在Rt△EFQ中，QF=√32EQ=√32（4√33−t），∴S△APQ=12AP•QF=√34，即12•t√32（4√33−t）=√34，解得t=√3或t=√33．即AP的长为√3或√33．②当点Q在直线l上方时，如图所示，设BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△APC≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，∵∠CAB＝∠ABC＝60°，∴∠BAE＝∠ABE＝30°，∵AB＝AC＝4，∴AE＝BE=4√3 3，∴∠BEF＝60°，设AP＝m，则BQ＝m，∴EQ＝m−4√3 3，在Rt△EFQ中，QF=√32EQ=√32（m−4√33），∴S△APQ=12AP•QF=√34，即12•t√32（m−4√33）=√34，解得m=2√3+√213（m=2√3−√213负值舍去）．综上可得，AP的长为：√3或√33或2√3+√213．25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD=√3MN，求N点的坐标．【分析】（1）运用待定系数法将点A （﹣1，0）和B （﹣5，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣5，解方程组即可得出答案；（2）如图1，过点A 作AF ⊥AC 交直线CM 于点F ，过点F 作FE ⊥x 轴于点E ，通过△AEF ∽△CAO ，得出F （﹣7，﹣2），运用待定系数法求出直线CF 解析式为y =−37x ﹣5，再结合抛物线y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5，即可求得答案；（3）设N （﹣3，n ），利用待定系数法求出直线AN 解析式为y =−12nx −12n ，再结合抛物线y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5，求得M （12n ﹣5，−14n 2+2n ），根据MD =√3MN ，建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （﹣5，0）， ∴{a −b −5=025a −5b −5=0， 解得：{a =−1b =−6，∴该抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5； （2）在y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5中，令x ＝0，则y ＝﹣5， ∴C （0，﹣5）， ∴OC ＝5，如图1，过点A 作AF ⊥AC 交直线CM 于点F ，过点F 作FE ⊥x 轴于点E ， ∴∠AEF ＝∠CAF ＝∠AOC ＝90°， ∴∠EAF +∠CAO ＝∠CAO +∠ACO ＝90°， ∴∠EAF ＝∠ACO ， ∴△AEF ∽△CAO ，∴EF OA=AE OC=AF AC=tan ∠ACM ＝2，∴EF ＝2OA ＝2，AE ＝2OC ＝10， ∴OE ＝OA +AE ＝1+10＝11， ∴F （﹣7，﹣2），设直线CF 解析式为y ＝kx +c ， ∵C （0，﹣5），F （﹣7，﹣2）， ∴{c =−5−7k +c =−2， 解得：{k =−37c =−5，∴直线CF 解析式为y =−37x ﹣5，结合抛物线：y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5，得：﹣x 2﹣6x ﹣5=−37x ﹣5， 解得：x 1＝0（舍），x 2=−397， 当x =−397时，y =−37×（−397）﹣5=−12849， ∴点M 的坐标为（−397，−12849）； （3）∵y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5＝﹣（x +3）2+4， ∴顶点P （﹣3，4），设N （﹣3，n ），直线AN 解析式为y ＝k 1x +c 1， ∵A （﹣1，0），N （﹣3，n ）， ∴{−k 1+c 1=0−3k 1+c 1=n ， 解得：{k 1=−12nc 1=−12n， ∴直线AN 解析式为y =−12nx −12n ，结合抛物线y ＝﹣x 2﹣6x ﹣5，得：﹣x 2﹣6x ﹣5=−12nx −12n ， 解得：x 1＝﹣1（舍），x 2=12n ﹣5，当x =12n ﹣5时，y =−12n ×（12n ﹣5）−12n =−14n 2+2n ，∴M （12n ﹣5，−14n 2+2n ），∵PD ∥x 轴，MD ⊥PD ， ∴D （12n ﹣5，4），∴MD ＝4﹣（−14n 2+2n ）=14n 2﹣2n +4， 如图2，过点M 作MG ⊥PN 于点G ，则MG ＝﹣3﹣（12n ﹣5）＝2−12n ，NG ＝n ﹣（−14n 2+2n ）=14n 2﹣n ，∵∠MGN ＝90°，∴MN 2＝MG 2+NG 2＝（2−12n ）2+（14n 2﹣n ）2=116（n 2+4）（n ﹣4）2，∵MD =√3MN ， ∴MD 2＝3MN 2，∴（14n 2﹣2n +4）2＝3×116（n 2+4）（n ﹣4）2，∴116（n ﹣4）4=316（n 2+4）（n ﹣4）2，∵点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方， ∴n ＜0， ∴n ﹣4＜0， ∴（n ﹣4）2＞0， ∴（n ﹣4）2＝3（n 2+4），解得：n 1=√6−2（舍），n 2=−√6−2， ∴N （﹣3，−√6−2）．。

2020年湖北省十堰市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．的倒数是（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣2．某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．四棱柱3．如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O．若∠AOC＝130°，则∠BOD＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3B．a6÷a3＝a2C．（﹣a2b）3＝a6b3D．（a﹣2）（a+2）＝a2﹣45．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：鞋的尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25销售量双 1 2 5 11 7 3 1若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数6．已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④7．某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（）A．＝+1 B．＝﹣1C．＝+2 D．＝﹣28．如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝（）A．2 B．4 C．D．29．根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n＝（）A．17 B．18 C．19 D．2010．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BAD＝120°，则||＝（）A．B．3 C．D．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．已知x+2y＝3，则1+2x+4y＝．12．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为．13．某校即将举行30周年校庆，拟定了A，B，C，D四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图．若该校有学生3000人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B的人数为．14．对于实数m，n，定义运算m*n＝（m+2）2﹣2n．若2*a＝4*（﹣3），则a＝．15．如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB．若阴影部分的面积为（π﹣1），则AC＝．16．如图，D是等边三角形ABC外一点．若BD＝8，CD＝6，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为．三、解答题（本题有9个小题，共72分）17．（5分）计算：（）﹣1﹣|﹣2|+20200．18．（6分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝﹣3，b＝3．19．（7分）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6m的梯子，当梯子底端离墙面2m时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°＝0.26）？20．（7分）某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同．（1）小文诵读《长征》的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率．21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．22．（8分）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AE＝2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由．23．（10分）某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元/台），m与x的关系如图所示．（1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为，x的取值范围为；（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？（3）求当天销售利润低于10800元的天数．24．（10分）如图1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB＝∠EDB＝90°，点D在AB上，连接CD并延长交AE于点F．（1）猜想：线段AF与EF的数量关系为；（2）探究：若将图1的△EBD绕点B顺时针方向旋转，当∠CBE小于180°时，得到图2，连接CD并延长交AE于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E作EG⊥CB，垂足为点G．当∠ABC的大小发生变化，其它条件不变时，若∠EBG ＝∠BAE，BC＝6，直接写出AB的长．25．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：的倒数是4故选：A．2．【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个圆，∴此几何体为圆柱，故选：B．3．【解答】解：∵∠AOC＝130°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝40°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝50°．故选：C．4．【解答】解：A、a与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a6÷a3＝a3，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a﹣2）（a+2）＝a2﹣4，原计算正确，故此选项符合题意，故选：D．5．【解答】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数．故选：C．6．【解答】解：A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；B．AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；C．AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；D．AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误．故选：B．7．【解答】解：∵原计划每周生产x万个口罩，一周后以原来速度的1.5倍生产，∴一周后每周生产1.5x万个口罩，依题意，得：＝+1．故选：A．8．【解答】解：连接OC，如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA⊥BC，∴CE＝BE，在Rt△COE中，OE＝OC，CE＝OE，∵OE＝OA﹣AE＝OC﹣1，∴OC﹣1＝OC，∴OC＝2，∴OE＝1，∴CE＝，∴BC＝2CE＝2．故选：D．9．【解答】解：根据图形规律可得：上三角形的数据的规律为：2n（1+n），若2n（1+n）＝396，解得n不为正整数，舍去；下左三角形的数据的规律为：n2﹣1，若n2﹣1＝396，解得n不为正整数，舍去；下中三角形的数据的规律为：2n﹣1，若2n﹣1＝396，解得n不为正整数，舍去；下右三角形的数据的规律为：n（n+4），若n（n+4）＝396，解得n＝18，或n＝﹣22，舍去故选：B．10．【解答】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，OD⊥OC，如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．∵DO⊥OC，∴∠COM+∠DON＝90°，∠DON+∠ODN＝90°，∴∠COM＝∠ODN，∵∠CMO＝∠DNO＝90°，∴△COM∽△ODN，∴，∵菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，∠BAD＝120°，∴∠OCD＝60°，∠COD＝90°，∴，∴，∴，∴．故选：B．二、填空题11．【解答】解：∵x+2y＝3，∴2（x+2y）＝2x+4y＝2×3＝6，∴1+2x+4y＝1+6＝7，故答案为：7．12．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，∴AC＝2AE＝6，AD＝DC，∵AB+BD+AD＝13，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝13+6＝19．故答案为：19．13．【解答】解：根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人，占样本的22%，∴样本容量为：44÷22%＝200（人），∴赞成方案B的人数占比为：，∴该校学生赞成方案B的人数为：3000×60%＝1800（人），故答案为：1800人．14．【解答】解：∵m*n＝（m+2）2﹣2n，∴2*a＝（2+2）2﹣2a＝16﹣2a，4*（﹣3）＝（4+2）2﹣2×（﹣3）＝42，∵2*a＝4*（﹣3），∴16﹣2a＝42，解得a＝﹣13，故答案为：﹣13．15．【解答】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2＝π﹣1，∵BC为直径，∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB，故CD＝DB＝DA，∴D点为中点，由对称性可知与弦CD围成的面积与S3相等．设AC＝BC＝x，则S扇ACB﹣S3﹣S4＝S1+S2，其中，，故：，求解得：x1＝2，x2＝﹣2（舍去）故答案：2．16．【解答】解：如图，以CD为边向外作等边△CDE，连接BE，∵△CDE和△ABC是等边三角形，∴CE＝CD，CB＝CA，∠ECD＝∠BCA＝60°，∴∠ECB＝∠DCA，在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE＝AD，∵DE＝CD＝6，BD＝8，∴在△BDE中，BD﹣DE＜BE＜BD+DE，即8﹣6＜BE＜8+6，∴2＜BE＜14，∴2＜AD＜14．则当B、D、E三点共线时，可得BE的最大值与最小值分别为14和2．∴则AD的最大值与最小值的差为14﹣2＝12．故答案为：12．三、解答题17．【解答】解：＝2﹣2+1＝1．18．【解答】解：原式＝1﹣÷＝1﹣•＝1﹣＝＝﹣，当a＝﹣3，b＝3时，原式＝﹣＝﹣．19．【解答】解：在Rt△ABC中，∵cosα＝，∴AC＝AB•cosα，当α＝50°时，AC＝AB•cosα≈6×0.64≈3.84m；当α＝75°时，AC＝AB•cosα≈6×0.26≈1.56m；所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在1.56m～3.84m之间，故当梯子底端离墙面2m时，此时人能够安全使用这架梯子．20．【解答】解：（1）P（小文诵读《长征》）＝；故答案为：；（2）记《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》分别为A、B、C，列表如下：A B CA （A，A）（A，B）（A，C）B （B，A）（B，B）（B，C）C （C，A）（C，B）（C，C）由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小文和小明诵读同一种读本的有3种结果，∴小文和小明诵读同一种读本的概率为．21．【解答】解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范围是：k≥2．故答案为：k≥2．（2）由题意得：，由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由（1）中可知k≥2，∴k的值为k＝3．故答案为：k＝3．22．【解答】解：（1）证明：连接OC，如下图所示：∵CD为圆O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠D+∠OCD＝180°，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，又OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAB．（2）四边形EAOC为菱形，理由如下：连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示，由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC＝180°，又∠AEC+∠DEC＝180°，∴∠DEC＝∠B，又∠B+∠CAB＝90°，∠DEC+∠DCE＝90°，∴∠CAB＝∠DCE，又∠CAB＝∠CAE，∴∠DCE＝∠CAE，且∠D＝∠D，∴△DCE∽△DAC，设DE＝x，则AE＝2x，AD＝AE+DE＝3x，∴，∴CD2＝AD•DE＝3x2，∴，在Rt△ACD中，，∴∠DAC＝30°，∴∠DAO＝2∠DAC＝60°，且OA＝OE，∴△OAE为等边三角形，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC＝2∠EAC＝60°，∴△EOC为等边三角形，∴EA＝AO＝OE＝EC＝CO，即EA＝AO＝OC＝CE，∴四边形EAOC为菱形．23．【解答】解：（1）根据题意，得y与x的解析式为：y＝22+2（x﹣1）＝2x+20（1≤x≤12），故答案为：y＝2x+20，1≤x≤12；（2）设当天的销售利润为w元，则当1≤x≤6时，w＝（1200﹣800）（2x+20）＝800x+8000，∵800＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝6时，w最大值＝800×6+8000＝12800．当6＜x≤12时，设m＝kx+b，将（6，800）和（10，1000）代入得：，解得：，∴m与x的关系式为：m＝50x+500，∴w＝[1200﹣（50x+500）]×（2x+20）＝﹣100x2+400x+14000＝﹣100（x﹣2）2+14400．∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数，∴当x＝7时，w有最大值，为11900元，∵12800＞11900，∴当x＝6时，w最大，且w最大值＝12800元，答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元．（3）由（2）可得，1≤x≤6时，800x+8000＜10800，解得：x＜3.5则第1﹣3天当天利润低于10800元，当6＜x≤12时，﹣100（x﹣2）2+14400＜10800，解得x＜﹣4（舍去），或x＞8，∴第9﹣12天当天利润低于10800元，故当天销售利润低于10800元的天数有7天．24．【解答】解：（1）延长DF到K点，并使FK＝DC，连接KE，如图1所示，∵△ABC≌△EBD，∴DE＝AC，BD＝BC，∴∠CDB＝∠DCB，且∠CDB＝∠ADF，∴∠ADF＝∠DCB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠ADF+∠FDE＝90°，∴∠ACD＝∠FDE，∵FK+DF＝DC+DF，∴DK＝CF，在△ACF和△EDK中，，∴△ACF≌△EDK（SAS），∴KE＝AF，∠K＝∠AFC，又∠AFC＝∠KFE，∴∠K＝∠KFE∴KE＝EF∴AF＝EF，故AF与EF的数量关系为：AF＝EF．故答案为：AF＝EF；（2）仍旧成立，理由如下：延长DF到K点，并使FK＝DC，连接KE，如图2所示，设BD延长线DM交AE于M点，∵△ABC≌△EBD，∴DE＝AC，BD＝BC，∴∠CDB＝∠DCB，且∠CDB＝∠MDF，∴∠MDF＝∠DCB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠MDF+∠FDE＝90°，∴∠ACD＝∠FDE，∵FK+DF＝DC+DF，∴DK＝CF，在△ACF和△EDK中，，∴△ACF≌△EDK（SAS），∴KE＝AF，∠K＝∠AFC，又∠AFC＝∠KFE，∴∠K＝∠KFE，∴KE＝EF，∴AF＝EF，故AF与EF的数量关系为：AF＝EF．（3）如图3所示，延长DF到K点，并使FK＝DC，连接KE，过点E作EG⊥BC交CB的延长线于G，∵BA＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵∠BAE＝∠EBG，∴∠BEA＝∠EBG，∴AE∥CG，∴∠AEG+∠G＝180°，∴∠AEG＝90°，∴∠ACG＝∠G＝∠AEG＝90°，∴四边形AEGC为矩形，∴AC＝EG，且AB＝BE，∴Rt△ACB≌Rt△EGB（HL），∴BG＝BC＝6，∠ABC＝∠EBG，又∵ED＝AC＝EG，且EB＝EB，∴Rt△EDB≌Rt△EGB（HL），∴DB＝GB＝6，∠EBG＝∠ABE，∴∠ABC＝∠ABE＝∠EBG＝60°，∴∠BAC＝30°，∴在Rt△ABC中，由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：AB＝2BC＝12．25．【解答】（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2﹣2ax+c中，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，当时，y＝4，∴D（1，4）；（2）如图1，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，∴x＝﹣1，或x＝3，∴B（3，0）．设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点C（0，3），B（3，0）代入，得，解得，∴y＝﹣x+3．∵EF⊥CB．设直线EF的解析式为y＝x+b，设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），将点E坐标代入y＝x+b中，得b＝﹣m2+m+3，∴y＝x﹣m2+m+3，联立得．∴．∴．把x＝m代入y＝﹣x+3，得y＝﹣m+3，∴G（m，﹣m+3）．∵BG＝CF．∴BG2＝CF2，即．解得m＝2或m＝﹣3．∵点E是BC上方抛物线上的点，∴m＝﹣3，舍去．∴点E（2，3），F（1，2），G（2，1），，，∴；（3）如图2，过点A作AN⊥HB，∵点D（1，4），B（3，0），∴y DB＝﹣2x+6．∵点A（﹣1，0），点C（0，3），∴y AC＝3x+3，联立得，∴，∴．设，把（﹣1，0）代入，得b＝，∴，联立得，∴，∴，∴＝，，∴AN＝HN．∴∠H＝45°．设点P（n，﹣n2+2n+3）．过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS＝PR，∴∠RSP＝45°且点S的坐标为（﹣n2+3n+3，0）．若∠OPB＝∠AHB＝45°在△OPS和△OPB中，∠POS＝∠POB，∠OSP＝∠OPB，∴△OPS∽△OBP．∴．∴OP2＝OB•OS．∴n2+（n+1）2（n﹣3）2＝3•（﹣n2+2n+3）．∴n＝0或．∴P1（0，3），，．。

湖北省十堰市2021年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．1. 的相反数是（ ）12-A. B. 2 C. D. 2-12-12【答案】D【解析】【详解】因为-+＝0，所以-的相反数是.12121212故选D.2. 如图，直线，则（ ）//,155,232AB CD ∠=︒∠=︒3∠=A. B. C. D. 87︒23︒67︒90︒【答案】A【解析】【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质即可求解．155C ∠=∠=︒【详解】解：∵，//,155AB CD ∠=︒∴，155C ∠=∠=︒∴，3287C ∠=∠+∠=︒故选：A ．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键．3. 由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．【详解】解：该几何体从上向下看，其俯视图是，故选：A ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．4. 下列计算正确的是（ ）A. B. 3332a a a ⋅=22(2)4a a -=C. D. 222()a b a b +=+2(2)(2)2a a a +-=-【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可．【详解】解：A ．，该项计算错误；336a a a ⋅=B ．，该项计算正确；22(2)4a a -=C ．，该项计算错误；222()2a b a ab b +=++D ．，该项计算错误；2(2)(2)4a a a +-=-故选：B ．【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键．5. 某校男子足球队的年龄分布如下表年龄131415161718人数268321则这些队员年龄的众数和中位数分别是（）A. 8，15B. 8，14C. 15，14D. 15，15【答案】D【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【详解】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15岁；22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15＋15）÷2＝15岁．故选：D ．【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据中的数．6. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x 台机器，则下列方程正确的是（）A. B. C. D. 400450150x x -=-450400150x x -=-400450501x x -=+45040051x x-=+【答案】B【解析】【分析】设现在每天生产x 台，则原来可生产（x −50）台．根据现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时间少1天，列出方程即可．【详解】解：设现在每天生产x 台，则原来可生产（x −50）台．依题意得：．450400150x x-=-故选：B ．【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时间少1天”这一个条件，列出分式方程是解题关键．7. 如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距30°离为，为（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）BC 15m AB 1.5mA. B. C. D. 3m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭3m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】先根据题意得出AD 的长，在Rt △AED 中利用锐角三角函数的定义求出ED 的长，由CE ＝CD ＋DE 即可得出结论．【详解】解：∵AB ⊥BC ，DE ⊥BC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是矩形，∵BC ＝15m ，AB ＝1.5m ，∴AD ＝BC ＝15m ，DC ＝AB ＝1.5m ，在Rt △AED 中，∵∠EAD ＝30°，AD ＝15m ，∴ED ＝AD •tan30°＝＝，∴CE ＝CD ＋DE ＝．3m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：D ．【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键，属于基本知识的考查．8. 如图，内接于是的直径，若，则ABC ,120,,O BAC AB AC BD ∠=︒= O 3AD =BC =（ ）A. B. C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】首先过点O 作OF ⊥BC 于F ，由垂径定理可得BF ＝CF ＝BC ，然后由∠BAC ＝12120°，AB ＝AC ，利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠C 与∠BAC 的度数，由BD 为⊙O 的直径，即可求得∠BAD 与∠D 的度数，又由AD ＝3，即可求得BD 的长，继而求得BC 的长．【详解】解：过点O 作OF ⊥BC 于F ，∴BF ＝CF ＝BC ，12∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠C ＝∠ABC ＝（180°−∠BAC ）÷2＝30°，∵∠C 与∠D 是同弧所对的圆周角，∴∠D ＝∠C ＝30°，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝60°，∴∠OBC ＝∠ABD −∠ABC ＝30°，∵AD ＝3，∴BD ＝AD ÷cos30°＝，∴OB ＝BD ，12∴BF ＝OB •cos30°＝，32∴BC ＝3．故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线．9. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A. 2025B. 2023C. 2021D. 2019【答案】B【解析】【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B ．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．10. 如图，反比例函数的图象经过点，过A 作轴于点B ，连，直线()0ky x x =>(2,1)A AB y ⊥OA ，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点B 关于直线的对称点恰好落在该反比CD OA ⊥CD B '例函数图像上，则D 点纵坐标为（ ）A. B. C. D. 5273【答案】A【解析】【分析】设点B 关于直线的对称点，易得求出a 的值，再根据勾股定理CD 2,B a a ⎛⎫' ⎪⎝⎭'//BB OA 得到两点间的距离，即可求解．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，()0k y x x =>(2,1)A ∴，2k =∴直线OA 的解析式为，12y x =∵，CD OA ⊥∴设直线CD 的解析式为，2y x b =-+则，()0,D b 设点B 关于直线的对称点，CD 2,B a a ⎛⎫' ⎪⎝⎭则①，()22221b a b a ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭且，'//BB OA即，解得，2112a a -=1a =-代入①可得，b =故选：A ．二、填空题11. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000科学记数法表示为_________．【答案】91.41210⨯【解析】【分析】直接利用科学记数法表示数的方法即可求解．【详解】解：1412000000用科学记数法表示为，91.41210⨯故答案为：．91.41210⨯【点睛】本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键．12. 已知，则_________．2,33xy x y =-=322321218x y x y xy -+=【答案】36【解析】【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可．【详解】∵，2,33xy x y =-=∴原式=，()222322336xy x y -=⨯⨯=故答案是：36．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．13. 如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为_______.【答案】20．【解析】【详解】∵AB＝5，AD ＝12，∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC ＝13.∵BO 为R ｔ△ABC 斜边上的中线∴BO＝6.5∵O 是AC 的中点，M 是AD 的中点，∴OM 是△ACD 的中位线∴OM＝2.5∴四边形ABOM 的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20故答案为2014. 对于任意实数a 、b ，定义一种运算：，若，则x 的值为22a b a b ab ⊗=+-()13x x ⊗-=________．【答案】或21-【解析】【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方()()()221113x x x x x x ⊗-=+---=程即可．【详解】解：根据新定义内容可得：，()()()221113x x x x x x ⊗-=+---=整理可得，220x x --=解得，，11x =-22x =故答案为：或2．1-【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．15. 如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E ，以C 为ABCD AB AC 圆心、长为半径画弧交于点F ，则图中阴影部分的面积是_________．BC AC【答案】3-6π【解析】【分析】连接BE ，可得是等腰直角三角形，弓形BE 的面积=，再根据阴影部分ABE △2π-的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-的面积，即可求解．BCE 【详解】连接BE ，∵在正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E ，ABCD AB AC ∴∠AEB =90°，即：AC ⊥BE ，∵∠CAB =45°，∴是等腰直角三角形，即：AE =BE ，ABE △∴弓形BE 的面积=，211222242ππ⨯-⨯⨯=-∴阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-的面积BCE =+-=3-6．2π-2454360π⨯⨯114422⨯⨯⨯π故答案是：3-6．π【点睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是解题的关键．16. 如图，在中，，点P 是平面内一个动点，且，Q Rt ABC 90,8,6ACB AC BC ∠=︒==3AP =为的中点，在P 点运动过程中，设线段的长度为m ，则m 的取值范围是BP CQ __________．【答案】≤m ≤72132【解析】【分析】作AB 的中点M ，连接CM 、QM ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得QM 和CM 的长，然后在△CQM 中根据三边关系即可求解．【详解】解：作AB 的中点M ，连接CM 、QM ．3,AP = 在以为圆心，为半径的圆上运动，∴P A 3在直角△ABC 中，AB ，10==∵M 是直角△ABC 斜边AB 上的中点，∴CM ＝AB ＝5．12∵Q 是BP 的中点，M 是AB 的中点，∴MQ ＝AP ＝．1232∴在△CMQ 中，5−≤CQ ≤＋5，即≤m ≤．323272132故答案是：≤m ≤．72132【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作圆，作AB 的中点M ，连接CM 、QM ，构造三角形，是解题的关键．三、解答题17. ．1133-⎛⎫︒+-- ⎪⎝⎭【答案】1【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质逐项计算，即可求解．【详解】解：原式33=+-．1=【点睛】本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质是解题的关键．18. 化简：．22214244a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭【答案】21(2)a -【解析】【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法运算，进行约分，即可求解．【详解】解：原式=221(2)(2)4a a aa a a a ⎛⎫+--⋅ ⎪---⎝⎭=()()()22221(2)(2)4a a a a aa a a a a +--⎛⎫-⋅ ⎪---⎝⎭=2224(2)4a a a a a a a --+⋅--=24(2)4a aa a a -⋅--=21(2)a -【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．19. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A 、B 、C 、D 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．等级成绩（x ）人数A 90100x ≤≤15B 8090x ≤<aC 7080x ≤<18D70x <7根据图表信息，回答下列问题：（1）表中__________；扇形统计图中，C 等级所占的百分比是_________；D 等级对应的a =扇形圆心角为________度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A 等级的学生共有_______人．（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率【答案】（1）20,30%，42°，450人；（2）56【解析】【分析】（1）先由A 等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到a 的值，再根据C 和D 占总人数的比例，求出百分比或圆心角度数，利用样本估计总体的方法求出全校成绩为A 等级的人数；（2）先列出表格，将所有情况列举，利用概率公式即可求解．【详解】解：（1）总人数为人，901560360÷=∴，601518720a =---=C 等级所占的百分比，18100%30%60⨯=D 等级对应的扇形圆心角，73604260⨯=︒若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A 等级的学生共有15180045060⨯=人；（2）列表如下：甲乙丙丁甲甲乙甲丙甲丁乙甲乙乙丙乙丁丙甲丙乙丙丙丁丁甲丁乙丁丙丁共有12种情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，∴P (甲、乙两人至少有1人被选中)．105126==【点睛】本题考查统计与概率，能够从扇形统计图和统计表中获取相关信息是解题的关键．20. 已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．24250x x m --+=（1）求实数m 的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m 的值．【答案】（1）；（2）112m >【解析】【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解；（2）根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m 12250x x m =-+>124x x +=1522m <<都是整数，进行分类讨论即可求解．【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，24250x x m --+=∴，()164250m ∆=--+>解得；12m >（2）设该方程的两个根为、，1x 2x ∵该方程的两个根都是符号相同的整数，∴，，12250x x m =-+>124x x +=∴，1522m <<∴m 的值为1或2，当时，方程两个根为、；1m =11x =23x =当时，方程两个根与不是整数；2m =1x 2x ∴m 的值为1．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．21. 如图，已知中，D 是的中点，过点D 作交于点E ，过点A 作ABC AC DE AC ⊥BC 交于点F ，连接、．//AF BC DE AE CF（1）求证：四边形是菱形；AECF （2）若，求的长．2,30,45CF FAC B =∠=︒∠=︒AB【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）通过证明得到，即四边形AECF 是平行四边形，再根据ADF CDE △≌△AF CE =对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；（2）点A 作，通过解直角三角形即可求解．AM BC ⊥【详解】解：（1）∵，//AF BC ∴，FAD ECD ∠=∠∵D 是的中点，，AC DE AC ⊥∴，，FDA EDC ∠=∠AD CD =∴，ADF CDE △≌△∴，AF CE =∴四边形AECF 是平行四边形，∵，DE AC ⊥∴平行四边形AECF 是菱形；（2）∵AECF 是菱形，∴，2AF CF ==∴cos30AD AF =⋅︒=∴，2AC AD ==过点A 作，AM BC ⊥∴，sin 30AM AC =⋅︒=∴sin 45AMAB ==︒22. 如图，已知是的直径，C 为上一点，的角平分线交于点D ，F 在直AB O O OCB ∠O 线上，且，垂足为E ，连接、．AB DF BC ⊥AD BD（1）求证：是的切线；DF O（2）若，的半径为3，求的长．1tan 2A ∠=O EF 【答案】（1）证明见解析；（2）85EF =【解析】【分析】（1）连接OD ，通过等边对等角和角平分线的定义得到，利用平行线ODC BCD ∠=∠的性质与判定即可得证；（2）通过证明求出线段DF 和BF 的长度，再通过证明，利用ADF DBF △∽△ODF BEF ∽相似三角形的性质即可求解．【详解】解：（1）连接OD ，，∵，OD OC =∴，OCD ODC ∠=∠∵CD 平分，OCB ∠∴，OCD BCD ∠=∠∴，ODC BCD ∠=∠∴，//OD BC ∵DF BC ⊥∴，OD DF ⊥∴是的切线；DF O （2）∵，，90ADO BDO ∠+∠=︒90FDB BDO ∠+∠=︒∴，ADO FDB ∠=∠∵，ADO OAD ∠=∠∴，OAD FDB ∠=∠∴，ADF DBF △∽△∴，1tan 2DB DF BF A AD AF DF ===∠=∴，122DF AF BF ==即，解得，，()1622BF BF +=2BF =4DF =∵，，OD DF ⊥BE DF ⊥∴，ODF BEF ∽∴，解得．223EF BF DF OF ==+85EF =23. 某商贸公司购进某种商品的成本为20元/，经过市场调研发现，这种商品在未来40天kg 的销售单价y （元/）与时间x （天）之间的函数关系式为：且xkg 0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩为整数，且日销量与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：()kg m 时间x （天）13610…日销量()kg m 142138132124…填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售商品就捐赠n 元利润（）给当地福1kg 4n <利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．【答案】（1）；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）1.75＜n ＜42144m x =-+【解析】【分析】（1）设，将，代入，利用待定系数法即可求解；m kx b =+()1142,()3138,（2）分别写出当时与当时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数120x ≤≤2040x <≤的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴，求解即可．16220n +≤【详解】解：（1）设，将，代入可得：m kx b =+()1142,()3138,，解得，1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩2144k b =-⎧⎨=⎩∴；2144m x =-+（2）当时，120x ≤≤销售利润，()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+当时，销售利润最大为1568元；16x =当时，2040x <≤销售利润，20302160W my m x =-=-+当时，销售利润最大为1530元；21x =综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：，()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-对称轴为直线x ═16+2n ，∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，且x 只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要大于19.5∴16+2n ＞19.5，求得n ＞1.75，又∵n ＜4，∴n 的取值范围是：1.75＜n ＜4，答：n 的取值范围是1.75＜n ＜4．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．24. 已知等边三角形，过A 点作的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连ABC AC 接，把线段绕点C 逆时针方向旋转得到，连．CP CP 60︒CQ QB（1）如图1，直接写出线段与的数量关系；AP BQ （2）如图2，当点P 、B 在同侧且时，求证：直线垂直平分线段；AC AP AC =PB CQ （3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P 、B 分别位于直线异侧，且的面ABC AC APQ，求线段的长度．AP【答案】（1）AP=BQ ；（2）见详解；（3【解析】【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP =CQ ，∠ACP =∠BCQ ，AC =BC ，进而即可得到结论；（2）先证明是等腰直角三角形，再求出∠CBD =45°，根据等腰三角形三线合一的性BCQ △质，即可得到结论；（3）过点B 作BE ⊥l ，过点Q 作QF ⊥l ，根据，可得AP =BQ ，ACP BCQ △≌△∠CAP =∠CBQ =90°，设AP =x ，则BQ =x ，MQ =x ，QF =( x ，再列出关于x 的方程，即可求解．【详解】（1）证明：∵线段绕点C 逆时针方向旋转得到，CP 60︒CQ ∴CP =CQ ，∠PCQ =60°，∵在等边三角形中，∠ACB =60°，AC =BC ，ABC ∴∠ACP =∠BCQ ，∴，ACP BCQ △≌△∴=；AP BQ （2）∵，CA ⊥l ，AP AC =∴是等腰直角三角形，ACP △∵，ACP BCQ △≌△∴是等腰直角三角形，∠CBQ =90°，BCQ △∵在等边三角形中，AC =AB ，∠BAC =∠ABC =60°，ABC ∴AB =AP ，∠BAP =90°-60°=30°，∴∠ABP =∠APB =(180°-30°)÷2=75°，∴∠CBD =180°-75°-60°=45°，∴PD 平分∠CBQ ，∴直线垂直平分线段；PB CQ （3）①当点Q 在直线上方时，如图所示，延长BQ 交l 与点E ，过点Q 作与点F ，QF l ⊥由题意得，60AC BC PC CQ ACB PCQ ==∠=∠=︒，，，ACP BCQ ∴∠=∠，()APC BCQ SAS ∴ ≌，90AP BQ CBQ CAP ∴=∠=∠=︒，，60CAB ABC ∠=∠=︒ ，30BAE ABE ∴∠=∠=︒，4AB AC ==，AE BE ∴==，60BEF ∴∠=︒设，则，AP t =BQ t =，EQ t ∴=-在中，，Rt EFQ )QF EQ t ==，12APQ S AP QF ==即1)2t t -=解得，t =即AP ；②当点Q 在直线l 下方时，过点B 作BE ⊥l ，过点Q 作QF ⊥l ，由（1）小题，可知：，ACP BCQ △≌△∴AP =BQ ，∠CAP =∠CBQ =90°，∵∠ACB =60°，∠CAM =90°，∴∠AMB =360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME =∠QMF =60°，∵∠BAE =90°-60°=30°，AB =4，∴BE =，122AB =∴BM =BE ，设AP =x ，则BQ =x ，MQ =x ，QF = MQ ×sin60°=( x∵的APQ∴AP ×QF ，即：x ×( x ，解得：1212x =x =（不合题意，舍去），∴AP综上所述，AP 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．25. 已知抛物线与x 轴交于点和，与y 轴交于点C ，顶点为25y ax bx =+-()1,0A -()5,0B -P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连交抛物线于M ，连、．AN AC CM（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当时，求M 点的横坐标；tan 2ACM ∠=（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作于D ，若，求N 点的坐MD l ⊥MD =标．【答案】（1）；（2）；（3）265y x x =---6311-(3,2N --【解析】【分析】（1）将点和点代入解析式，即可求解；()1,0A -()5,0B -（2）由想到将放到直角三角形中，即过点A 作交CM 的延长tan 2ACM ∠=ACM ∠AE AC ⊥线于点E ，即可知，再由想到过点E 作轴，即可得到2AE AC=90AOC EAC ∠=∠=︒EF x ⊥，故点E 的坐标可求，结合点C 坐标可求直线CE 解析式，点M 是直线CE 与AOC EFC ∆∆∽抛物线交点，联立解析式即可求解；（3）过点M 作L 的垂线交于点D ，故设点M 的横坐标为m ，则点M 的纵坐标可表示，且MD 的长度也可表示，由可得即可结合两点间距离公式表示出MN ，最//HM NQ AHM AQN ∆∆∽后由即可求解MD =【详解】解：（1）将点和点代入得()1,0A -()5,0B -25y ax bx =+-，解得： 5025550a b a b --=⎧⎨--=⎩16a b =-⎧⎨=-⎩265y x x ∴=---（2）点A 作交CM 的延长线于点E ，过作轴于 如下图AE AC ⊥E EF x ⊥,E 轴，EF x ⊥ AE AC⊥90EFA EAC ∴∠=∠=︒90FAE OAC ∴∠+∠=︒又90ACO OAC ∴∠+∠=︒EAF ACO∴∠=∠AOC EFA∴∆∆∽AC AO CO EA EF AF∴==即tan 2ACM ∠= 2AE AC =12AC AO CO EA EF AF ∴===当时，0x =5y =-即()0,5C ∴-5OC =即2,10EF AF ∴==()11,2E --设直线CE 的解析式为，并将C 、E 两点代入得∴()0y kx b k =+≠解得1125k b b -+=-⎧⎨=-⎩3115k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩3511y x ∴=--点M 是直线CE 与抛物线交点解得（不合题意，舍去）2351165y x y x x ⎧=--⎪∴⎨⎪=---⎩1263,011x x =-= 点M 的横坐标为∴6311-（3）设过点M 垂直于L 的直线交x 轴于点H ，对称轴交x 轴于点Q ，M 的横坐标为m 则OH m=-1AH m∴=--265y x x =--- 对称轴∴32b x a=-=-P 、Q 、N 的横坐标为，即∴3-3OQ =2AQ OQ OA ∴=-=当时，∴3x =-()()233654y =----⨯-=()3,4P ∴-点D 的纵坐标为4∴∴()()222465693MD m m m m m =----=++=+ //HM NQ∴AHM AQN ∆∆∽即AH HM AQ QN ∴=21652m m m QN --++=210QN m ∴=--()3,210N m ∴-+()()()2222223652103351MN m m m m m m ⎡⎤⎡⎤∴=-+-----=+++⎣⎦⎣⎦MD = ，即，223MD MN ∴=()()()42233351m m m ⎡⎤+=+++⎣⎦不符合题意，舍去，30,3m m +==- 当时，30m +≠2224690,m m ∴++=解得，m =由题意知m =(3,2N ∴---。

2021年十堰市初中毕业生学业考试数学试题注意事项:1．本卷共有4页，共有25小题，满分120分，考试时限120分钟．2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码．3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题:(本题有10个小题，每小题3分，共30分) 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内． 1．3的倒数是( )A. 13B. 13C. －3D. 32．如图，直线m ∥n ，则∠ α为( )A.70°B. 65°C. 50°D. 40°3．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )A ．正方体B ．长方体C ．球D ．圆锥 4．下列计算正确的是( )A ．523 B ．42 C ．623a a a D ．326a a5:月用水量(吨) 3 4 5 8 户 数2341则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误．．的是( ) A ．众数是4 B ．平均数是4.6 C ．调查了10户家庭的月用水量 D ．中位数是4.5 6．如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4，BC =6，AC 的垂直平分线交AD 于点E ，则△CDE 的周长是( ) A ．7 B ．10 C ．11 D ．12 7．根据左图中箭头的指向规律，从2021到2021再到2021，箭头的方向是以下图示中的( )…8．已知:2310a a ，则12aa的值为( )A 51B ．1C ．－1D ．－59．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点 9125 6108743A ．B ．C ．D ． EDB CA 第6题AF G第9题nmα130°αE ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD =2∠ACB ．若DG =3，EC =1，则DE 的长为( )A ．23B ．10C ．22D ．6 10．已知抛物线2yax bx c (a ≠0)经过点(1，1)和(－1，0).下列结论:①0a b c ；②2b ＞4ac ；③当a ＜0时，抛物线与x 轴必有一个交点在点(1，0)的右侧；④抛物线的对称轴为14xa．其中结论正确的个数有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个(2)若方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足2121216x x x x ，求实数m 的值.22．(8分)某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费用的报销比例标准如下表:医疗费用范围报销比例标准 不超过8000元不予报销 超过8000元且不超过30000元的部分 50% 超过30000元且不超过50000元的部分 60% 超过50000元的部分70%设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x 元，按上述标准报销的金额为(2)若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元，问他住院医疗费用是多少元? kx(4x(构成的四边形为正方形．求点A 的坐标．(2)若AB =4，B 为OE 的中点，CF ⊥AB ，垂足为点F ，求C F 的长；(3)如图2，连接OD 交AC 于点G ，若=4GA ，求sin E 的值． F DEAB O CGDAO C图1 图225．(12分)已知抛物线C 1:212ya x 的顶点为A ，且经过点B (－2，－1).(1)求A 点的坐标和抛物线C 1的解析式；(2)如图1，将抛物线C 1向下平移2个单位后得到抛物线C 2，且抛物线C 2与直线AB 相交于C ，D 两点，求:OAC OAD S S △△的值；(3)如图2，若过P (－4，0)，Q (0，2)的直线为l ，点E 在(2)中抛物线C 2对称轴右侧部分(含顶点)运动，直线m 过点C 和点E ．问:是否存在直线m ，使直线l ，m 与x 轴围成的三角形和直线l ，m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式；若不存在，说明理由．图1 图22021年十堰市初中毕业生学业考试数学试题参考答案及评分说明一、选择题:(本题有10个小题，每小题3分，共30分)1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．D 8．B 9．C 10．B 二、填空题:(本题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．6.7×106 12．1 13．12x ＜≤ 14．③ 15．24 16．24 三、解答题:(本题有9个小题，共72分) 17．解:原式＝1212x x xx x …………………………………………………4分＝x ……………………………………………………………………………6分18．证明:在△ABE 和△ACD 中，,AB AC A A AE AD ，，………………………………………………………………………………3分 ∴△ABE ≌△ACD . ……………………………………………………………………5分 ∴∠B =∠C ．……………………………………………………………………………6分 19．设乙单独整理这批图书需要x 分钟完工，……………………………………………1分由题意得，11202030=140x，……………………………………………3分解得x =100.………………………………………………………………………………5分 经检验，x =100是原方程的解，且符合题意.答:乙单独整理这批图书需要100分钟完工．………………………………………6分 20． 解:(1)60，90°，图形略(5人)；…………………………………………………………3分 (2)900×515+6060=300(人)．………………………………………………4分 (3)树状图或列表略………………………………………………………………7分 由树状图或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚和小明打平的结果有3种．所以，P(两人打平)=13．………………………………………………………9分 21．解:(1)222141188m m m ……………………………1分∵方程有实数根，∴0≥，即880m ≥，……………………………2分 1m ≥……………………………………………………………………3分(2)由题得:1221x x m ，2121x x m …………………………4分∵2121216x x x x ，∴21212316x x x x ………………………5分2890m m ，121 ,9m m ………………………………6分 1m ≥，1m …………………………………………………………7分22．解:(1)0,0.54000,0.67000,yx x 08000,800030000,3000050000.x x x ＜≤＜≤＜≤………………………………………3分 (2)∵当x =30000时，y =0.5×30000－4000=11000＜20000，………………4分当x =50000时，y =0.6×50000－7000=23000＞20000，………………5分∴0.6x －7000=20000，………………………………………………………7分 ∴x =45000.23．解:(1)∵B (3，3)在双曲线k yx (3k ………………………∴=9k (2)作DE ⊥x 轴于点E F ，…………………………………∵四边形ABCD ∴AB =AD ，∠BAD 又∵BF ⊥AF ，∴∠∴∠DAE =∠ABF .又∵∠DEA =∠AFB ∴△AED ≌△BF A ∴DE =AF ，EA =BF 设A (a ，0)，且0<a 又B (3，3)，∴BF ∴DE =AF =3－a ，EA =BF =3，∴EO =3－a ，∴D 点坐标为(a －3，3－a ).又点D 在双曲线4y x(x 43a…………………∴11a ，25a (舍去)24．(1)证明:连接OC ，∵CD 切⊙O 于点C 又AD ⊥CD ， ∴OC ∥AD ，∴∠ ∵OA =OC ，∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3 ∴AC 平分∠DAB.(2)连接CB ，∵B 为OE 的中点，∴OB = 又OC ⊥CD ，∴CB =12OE =OB ∴∠COF =60°，在Rt △OFC 中，=OC， 又OC =12AB =2， ∴322CF ， ∴CF =3.…………………………………6分(3)连接OC ，由(1)得 AD ∥OC ，∴△AGD ∽△CGO ，△ECO ∴34OC CG AD GA .设OA =OB =OC =3k ，则AD =4k ∵△ECO ∽△EDA ， ∴OC OE AD AE ，∴3346+k k BE k k BE，∴BE =6k ，OE =9k ,…………………………………………………………………9分∴31sin 93OC k EOE k .………………………………………………………10分 25．解:(1)∵抛物线C 1:2(+1)2y a x 的顶点坐标为(－1，－2)，∴A (－1，－2).……………………………………………………………1分 又抛物线C 1:2(+1)2y a x 经过点B21，∴21(2+1)2a ，∴=1a ，∴抛物线C 1的解析式为2(+1)2y x .……………………………………2分(2)将抛物线C 1:2(+1)2yx 向下平移2个单位后得抛物线C 2的顶点坐标为(－1，－4)，∴抛物线C 2的解析式为2(+1)4y x .…………………………………3分设直线AB 的解析式为+y kx b ，又A (－1，－2)，B (－2，－1)，∴2,12.k b kb 解得1,3.k b ∴3y x .………………………4分联立214,3.yx yx 解得0,3.x y或3,0.x y ∴C (－3，0)，D (0，－3).……………………………………………5分 ∴:OAC OADSS11=22A A OC y OD x :=11323122：2………………………………………………6分(3)设直线m 与直线l 相交于点M ，与y 轴相交于点N ，则直线l ，m 和x 轴围成的三角形为△PMC ；直线l ，m 和y 由题得，OP=4，OQ=2，OC=3.①如图①，当点N 在y 由于∠PQN 及∠QMN 均大于∠MPC ， 则要使△PMC ∽△MQN ，只能是∠MPC =∠QNM ， 此时有Rt △QOP ∽Rt △CON ，则12OC OQ ON OP ，∴ON =6，∴N (0，－6).……………………7分 又C (－3，0)，则直线m 的解析式为26y x .此时，直线m 与抛物线C 2线C 2的顶点，符合题意，所以直线m 的解析式为26y x .②如图②，当点N 在y ml C2EMP Q CONxy 图①时，∵显然∠PCM 与∠MQN 均为钝角， 要使△PCM ∽△NQM ，则∠PCM =∠MQN ，∴∠MNQ =∠MPC ， ∴Rt △CON ∽Rt △QOP ，则12OC OQ ON OP ，∴ON =6，∴N (0，6).同理，可求直线m③如图③，当点N 在线段OQ 若要△PMC ∽△NMQ ∴∠QPC =∠CNO ，∴Rt △则2ON OP OC OQ，∴ON =6>2，不符合题意.同理，当l ，m 的交点M 即点N 不可能在线段OQ 综上所述，满足条件的直线26y x 或26y x .【说明】若有其他解法，请参照评分说明酌情给分.。