平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结[1]

1 平行四边形专题详解

18.1 平行四边形

知识框架

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基础知识点{ 平行四边形的定义平行四边形的性质平行四边形的判定定理三角形中位线定理典型题型{利用平行线的性质求角度平行线间距离的运用平行四边形的证明难点题型{平行四边形间距离的应用平行四边形有关的计算平行四边形的有关证明

一、基础知识点

知识点1 平行四边形的定义

1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”

注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形

2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。

3）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。平行线间距离处处相等。

例1.如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，A，B，C分别在EF，EG上，则图中有 个平行四边形，可分别记作 。

例2.如图，▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE=DF。 2

例3.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法错误的是（ ）

A.AB=CD B.CE=FG

C.直线a，b之间的距离是线段AB的长 D.直线a，b之间的距离是线段CE的长

知识点2 平行四边形的性质

平行四边形的性质，主要讨论：边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：

1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC

2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC

3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD

菱形知识点全总结

1. 菱形是一个四边形，有四条边，每两条边长度相等，且相邻的两条边夹角是直角。

2. 菱形也可以被看作是一个平行四边形，因为它有两组对边互相平行。

二、菱形的性质

1. 对角线的性质

a. 菱形的对角线互相垂直且相等长。

b. 对角线互相平分对角。

2. 边的性质

a. 菱形的四条边长度相等。

b. 相邻边夹角是直角。

c. 相对边互相平行。

3. 角的性质

a. 菱形的每个内角是直角。

b. 菱形的四个角相等。

4. 对角线与边的关系

a. 对角线、边和角的关系可以应用正弦、余弦和正切的关系式来计算。

三、菱形的相关公式

1. 菱形的周长公式

周长 = 4 × 边长

2. 菱形的面积公式

面积 = 对角线1 × 对角线2 ÷ 2

四、菱形的应用

1. 几何图形的构建

菱形是一种常见的几何图形，可以作为其他几何图形的组成部分。

2. 建筑设计 在建筑设计中，菱形常用于窗户、天花板和地板的设计。

3. 工程测量

在工程测量中，菱形可以用于测量与角度有关的工程数据。

4. 人造物体

许多人造物体，如菱形图案的地砖、墙壁等，都设计成菱形的形状。

五、菱形的属性

1. 对角线的垂直性

对角线互相垂直是菱形的重要属性，可以用于解决与菱形相关的几何问题。

2. 对角线的长度

确定对角线的长度可以帮助我们计算菱形的面积和周长。

3. 菱形的边长

知道菱形的边长可以帮助我们确定其它属性，如周长和面积。

六、菱形的相关定理

1. 菱形的内角和是360°

因为菱形是一个四边形，所以它的内角和等于360°。

2. 菱形的每个角都是90°

证明：根据菱形的定义和角的性质，可以得出菱形的每个角都是90°。

3. 菱形的属性定理

根据对角线的垂直性和长度、边长的关系，可以得出一些菱形的属性定理，用于解决相关的几何问题。

七、菱形的相关图形

1 3 正方形的性质和判定 相关知识链接 1. 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质定理：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相垂直。 菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边相等的四边形是菱形。 2. 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。 矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形。 基础知识全解 知识点1 正方形的概念 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 知识点2 正方形的性质 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 正方形是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。 提示：正方形既是菱形，又是矩形，而菱形、矩形又是平行四边形，因此正方形具有平行四边形、菱形、矩形的性质。 正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 例1 如图所示，在正方形ABCD中，延长BC到点E，使CE=BD，连接AE交CD于点F，求∠AFC的度数。 知识点3 正方形的判定 正方形的判定依据根据正方形的概念进行。 正方形的判定： 定理：对角线相等的菱形是正方形。 定理：对角线垂直的矩形是正方形。 定理：有一个角是直角的菱形是正方形。 拓展：有一组邻边相等的矩形是正方形。 例2 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CEDF是正方形。 A F D C E B 知识点4 菱形、正方形与平行四边形之间的区别和联系

2 例3 填空 对角线________的四边形是矩形；对角线___________的平行四边形是矩形； 对角线_________的平行四边形是正方形；对角线__________的矩形是正方形； 对角线__________的菱形是正方形。 典型例题 题型一 正方形的性质与判定的运用 1. 如图所示，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE平分∠OBA，CF⊥BE于点F，交OB于点G。 （1）求证：OE=OG （2）若E在O，A两点之间运动（不与O，A重合），CF保持与BE的垂直关系，那么OE与OG还相等吗？ 2. 如图所示，过正方形ABCD的对角线BD上的一点P，作PEBC，PFCD，垂足分别是E，F，求证：AP=EF。 中考真题 如图所示，在梯形ABCD中，AD║BC，AB=DC，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点 （1）求证：四边形EFGH是正方形。 若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。

菱形的知识点总结

菱形是一种特殊的平行四边形，在几何图形的学习中具有重要地位。接下来，咱们就详细地梳理一下菱形的相关知识点。

一、菱形的定义

菱形是指在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形。这里要注意，一组邻边相等这个条件是菱形区别于一般平行四边形的关键。

二、菱形的性质

1、 边的性质

菱形的四条边都相等。这是菱形最显著的特点之一。因为菱形是平行四边形，平行四边形对边相等，再加上菱形一组邻边相等，所以四条边都相等。

2、 角的性质

菱形的对角相等，邻角互补。这一点和平行四边形是相同的。

3、 对角线的性质

（1）菱形的对角线互相垂直且平分。对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形。

（2）菱形的两条对角线分别平分两组对角。

4、 对称性 菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；又是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

三、菱形的判定

1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、 四条边都相等的四边形是菱形。

四、菱形的面积计算

1、 菱形的面积等于底乘以高。

假设菱形的底为 a，高为 h，那么面积 S ＝ ah。

2、 菱形的面积还等于两条对角线乘积的一半。

如果菱形的两条对角线分别为 d1 和 d2，那么面积 S ＝ 1/2 × d1 ×

d2 。

五、菱形在实际生活中的应用

菱形在生活中有很多应用，比如菱形的地砖图案，既美观又能保证拼接的完整性；一些铁丝网的形状也设计成菱形，增强稳定性和防护效果。

六、菱形与其他图形的关系

1、 菱形是平行四边形的一种特殊情况，具有平行四边形的所有性质。 2、 正方形是特殊的菱形，它不仅具有菱形的所有性质，还具有矩形的性质，即四个角都是直角。

七、求解菱形相关问题的常见思路

1、 当已知菱形的边长和一个内角时，可以利用三角函数求出对角线的长度，进而计算面积等。

2、 若已知菱形的对角线长度，可直接利用对角线乘积的一半来计算面积。