平行四边形、矩形、菱形-正方形练习题

平行四边形、菱形、矩形、正方形综合测试题 姓名 得分 一、选择题（5分×5=25分）1、根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是( )A ．一组对边平行且相等的四边形B ．两组对边分别相等的四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相平分的四边形2、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等 3、能够判别一个四边形是正方形的条件是（ ） A.对角线相等且互相平分 B.对角线互相垂直平分且相等 C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角 4、下列图形中，面积最大的是（ ） （A ）边长为3的正方形 （B ）边长为2、高为1的平行四边形 （C ）对角线长分别为4和1的菱形 （D ）一边为1，对角线为3的矩形5、矩形ABCD 的周长为20cm,两条对角线相交于O 点，过O 作AC 的垂线EF ，分别交AD 、BC 于E 、F 点，连接EC ，则△CDE 的周长为（ ） A.5cm B.8cm C.9cm D.10cm 二、填空题（5分×6=30分）1、矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE BD⊥于E ，13OE ED =∶∶，AE =则BD = 2、已知平行四边形的面积是144cm 2，相邻两边上的高分别为8cm 和9cm ，则这个平行四边形的周长为________．3、在平行四边形ABCD 中，若∠A+∠C=120°，则∠A=_______，∠B=_________．4、菱形的两个邻角之比为1：2，周长为4a ，则较短的对角线的长为___________.5、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB=60°，AE 平分∠BAD ，AE 交BC 于E ，则∠BOE 的度数是_______________.6、如图，菱形ABCD 中，BE ⊥AD,BF ⊥CD ，E 、F 分别是垂足，AE=DE ，则∠EBF 是（ ） A.75° B.60° C.50° D.45°三、解答题（1至4题每题6分，5至7题每题7分）C 第5题图第6题图 C B3、在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。

特殊的平行四边形练习题（50题）菱形、矩形、正方形一、单选题（共18题；共36分）1.下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A. 对角线互相平分的四边形B. 对角线相等且平分的四边形C. 对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形【答案】B【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线相等的四边形不是矩形，故C不符合题意；D、对角线相等且互相垂直的四边形不是矩形，故D不符合题意.故答案为：B.【分析】根据矩形的判定方法，逐项进行判断，即可求解2.如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH= c ，则下列各式中正确的是（）A. a > b > cB. a =b =cC. c > a > bD. b > c > a【答案】B【解析】【解答】解：连接OA、OD、OM，如图所示：则OA=OD=OM，∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，∴a=b=c；故答案为：B.【分析】连接OA、OD、OM，则OA=OD=OM，由矩形的对角线相等得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，再由同圆的半径相等即可得出a=b=c.3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )A. 1B. 2C.D.【答案】 D【解析】【解答】解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∵AE=BE=AB=1，∴DE⊥AB，在Rt△ADE中，DE=，∴ PE+PB的最小值是.故答案为：D.【分析】连接DE交AC于P，连接BD，BP，根据菱形的性质得出B、D关于AC对称，得出DE就是PE+PB 的最小值，根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB，再根据勾股定理求出DE的长，即可求解.4.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，根据题意得：x2+x2=22，∴x2=2，∴正方形的面积=x2=2（cm2）.故答案为：B.【分析】设正方形的边长为xcm，利用勾股定理列出方程，求出x2=2，即可求出正方形的面积为2.5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A. 72B. 24C. 48D. 96【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=4，∴BD=8，∵OA=6，∴AC=12，∴菱形ABCD的面积= AC•BD＝×12×8＝48．故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．6.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC等于( )A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°【答案】A【解析】【解答】如图，∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°，由折叠的性质可得∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°.故答案为：A【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠CBE，可得出∠ABC的度数.7.如图，已知矩形AOBC的顶点O(0，0)，A（0，3），B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（）A. (4，1)B. (4，)C. (4，)D. (4，)【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，∴OC＝＝5，作GH⊥OC于H，如图，由题意可知：OG平分∠BOC，∵GB⊥OB，GH⊥OC，∴GB＝GH，设GB＝GH＝x，由S△OBC＝×3×4＝×5×x+ ×4×x，解得：x＝，∴G（4，）.故答案为：B.【分析】根据勾股定理可得OC的长，作GH⊥OC于H，根据角平分线的性质可得GB＝GH，然后利用面积法求出GB即可.8.如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是( )A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【解答】解：由图象可知：AE＝3，BE＝4，在Rt ABE中，∠AEB＝90°AB= =5当x＝6时，点P在BE上，如图,此时PE=4-(7-x)=x-3=6-3=3∵∠AEB＝90°, PQ⊥CD∴∠AEB=∠PQE=90°,在矩形ABCD中，AB//CD∴∠QEP=∠ABE∴PQE BAE, ∴=∴=∴PQ=故答案为：B.【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5,当x＝6时，点P在BE上，先求出PE的长，再根据△ PQE ∽△ BAE，求出PQ的长.9.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位B. 向左平移个单位，再向上平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位【答案】 D【解析】【解答】解：因为B（1,1）由勾股定理可得OB=,所以OA=OB，而AB<OA.故以AB为对角线，OB//AC，由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，故选D.【分析】根据平移的性质可得OB//AC，平移A到C，有两种平移的方法可使O，A，B，C四点构成的四边形是平行四边形；而OA=OB>AB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.10.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于（）A. 25ºB. 50ºC. 100ºD. 115º【答案】 D【解析】解析:∵把矩形ABCD沿EF对折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．故选D11.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】 D【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1．∴△OAB，△OCD为正三角形．AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，BF＝BO＝1．∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，∴∠CAH＝45°﹣30°＝15°．∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED．所以正确的是②③④.故选D．【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质．12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB 上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A. （3，1）B. （3，）C. （3，）D. （3，2）【答案】B【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y= ，∴点E坐标（3，）故选：B．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．13.如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）．A. 3B. 4C. 5D.【答案】C【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM==5，故DN+MN的最小值是5．故选C．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．14.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A. （4，2）B. （2，4）C. （，3）D. （3，）【答案】 D【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，∵∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO，∴∠AEO∽△COM，∴=，∵∠BAN+∠OAN=90°,∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中∴△ABN≌△OCM(AAS)，∴BN=CM，∵点A(−1,2),点B的纵坐标是，∴BN= ，∴CM= ，∴MO==2CM=3，∴点C的坐标是：(3, ).故选：D.【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.15.如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M 为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（）A. 5B.C.D.【答案】B【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x，∵四边形ABCD矩形，AB=4，∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，又∵F是AB的中点，∴BF=2，又∵EF⊥ED，∴∠FED=90°，∴∠FEB+∠DEC=90°，∴∠FEB=∠CDE，∴△BFE∽△CED，∴=，∴=，∴（x-2）（x-4）=0，∴x=2，或x=4，①当x=2时，∴EF=2，DE=4，DF=2，∴AM=ME=，∴AE===2,②当x=4时，∴EF=2，DE=2，DF=2，∴AM=ME=，∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意，舍去故答案为：B.【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出AE===2,②当x=4时，由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意，舍去.17.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．18.如图,P是正方形ABCD内一点，∠APB=135，BP=1，AP=，求PC的值（）A. B. 3 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解.如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，点C的对应点C′与点A重合.根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后由∠APB=135,可得出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出.故选B.二、填空题（共15题；共16分）19.如图所示，△ABC为边长为4的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边的正方形ADEF的面积为________。

经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【【答案】20、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二:连接3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC A DCBA DC BD C AB EF∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又A F C E D F ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)．AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A BDE F C A DCB（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=°1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴=AE EP =DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，°Rt Rt DAM ABE ∴△≌△14DM AE ∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥AE EP ⊥ A D C B E B C E DA F P FDM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。

平行四边形 、矩形、菱形、正方形习题平行四边形的性质及判定1．平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（ ）A.大于1B.小于7C.大于1且小于7D.小于7或大于12．在ABCD 中，M 为CD 的中点，如DC =2AD ，则AM 、BM 夹角度数是（ ）A.90°B.95°C.85°D.100°3．如图1，四边形ABCD 是平行四边形，∠D =120°，∠CAD =32°.则∠ABC 、∠CAB 的度数分别为（ ）A.28°，120°B.120°，28°C.32°，120°D.120°，32° 4．在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ）A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶15．如图2，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3， OF =1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ）A.8.3B.9.6C.12.6D.13.66．下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A.AB =CD ，AD ∥BCB.AB =CD ，AB ∥CDC.AB ∥CD ，AD ∥BCD.AB =CD ，AD =BC7．在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，如果只给出条件“AB ∥CD ”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（ ）（1）如果再加上条件“AD ∥BC ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； （2）如果再加上条件“AB =CD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； （3）如果再加上条件“∠DAB =∠DCB ”那么四边形ABCD 一定是平行四边形； （4）如果再加上“BC =AD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； （5）如果再加上条件“AO =CO ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； （6）如果再加上条件“∠DBA =∠CAB ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形. A.3个B.4个C.5个D.6个8. 如图6所示，在□ABCD 中，E ，F 分别在BC ，AD 上，若想使四边形AFCE 为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ）①AF=CF ；②AE=CF ；③∠BAE=∠FCD ；④∠BEA=∠FCE 。

平行四边形练习 一、选择题1、如图1，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，则图中面 积相等的平行四边形有（ ）A 0对B 1对C 2对D 3对 2、如图2，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）A ．12B ．33C ．313-D ．314-CBD A图 （1） 图（2） 图（3）3、如图3，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50. (2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350（4）AC=CE(5) AD ∶CE=1∶2. 其中正确的有（ ） A 5个 B 4个 C 3个 D 2个4、如图4，在四边形ABCD 中，E 是AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，点P 、Q 、 M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形MNPQ 是（ ） A 等腰梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形A DEFB C图（5）二、填空题5、如图5,正方形ABCD 中,∠DAF=25°,AF 交对角线BD 于E,交CD 于F, 则∠BEC= 度6、在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周 长为________．7、在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ．•若矩形ABCD•的周长为48cm ，•则矩形ABCD 的 面积为_______c m 2．三、解答题C BB '__D C 'D 'DAAQ E PMN DCBA 图（4）_ E _ F_ B_ C8、已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OB 的中点． （1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若AD=4cm ，AB=8cm ，求OF 的长．10、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． ⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝6，E 是AB 上一点， 且∠DCE ＝45°，BE ＝2，求DE 的长．6.如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作□APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）. （1）求证：∠EAP=∠EPA；（2）□APCD 是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F 为BC 中点，连接FP ，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M 、N 分别是∠MEN 的两边与BA 、FP 延长线的交点）.猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论.图1ABDCE P 图2ABDCEPM NFB CA G D FEB CA DE图1图2。

2019届初三数学中考复习矩形、菱形、正方形专项复习练习1．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB2. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( )A．5 B．4 C．3.5 D．33. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )A．2 B．3 C. 3 D．2 34. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC5. 下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )A．2 2 B. 2 C．6 2 D．8 27. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，C E∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，则四边形OCED 的面积( )A．2 3 B．4 C．4 3 D．88. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC ＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 39. 如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( )A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm10. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形11. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF 交边BC于G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③EG＝DE＋BG；④AG∥CF；⑤S△FGC ＝3.6.其中正确结论的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个12. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为_______________________．13. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是___________．14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．15. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是____．16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．参考答案：1---11 CBDCC AAACD D12. 45°或105°13. ①③④14. 3015.2 216. 解：(1)在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝12 AC，∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形．理由：在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°，AC＝12AB＝AE，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝CE，又∵四边形ACEF为平行四边形．∴四边形ACEF为菱形2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知////AB CD EF，那么下列结论正确的是（）A．AD BCDF CE=B．BC DFCE AD=C．CD BCEF BE=D．CD ADEF AF=2．已知二次函数y=（x+m）2–n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mnx的图象可能是（）A. B. C. D.3．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A.①③④B.②④C.①②③D.①②③④4．下列所述图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A．正三角形B．平行四边形C．正五边形D．圆5．在的环湖越野赛中，甲乙两选手的行程(单位：)随时间(单位：)变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，下列说法中，错误的是：( )A.出发后1小时，两人行程均为；B.出发后1.5小时，甲的行程比乙多；C.两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；D.甲比乙先到达终点.6．下列运算正确的是（）A. B. C. D.7．在数列3、12、30、60……中，请你观察数列的排列规律，则第5个数是( )A．75 B．90 C．105 D．1208．估计的值应在（）A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间9．下列形状的地砖中，不能把地面作既无缝隙又不重叠覆盖的地砖是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．长方形10．下列说法正确的个数是（）①一组数据的众数只有一个②样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据④数据：1，1，3，1，1，2的众数为4 ⑤一组数据的方差一定是正数．A．0个B．1个C．2个D．4个11．八年级6班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件：如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，____，求证：四边形AECF是平行四边形. 你能在横线上填上最少且简捷的条件使结论成立吗？条件分别是：①BE＝DF；②∠B＝∠D；③BAE＝∠DCF；④四边形ABCD是平行四边形．其中A、B、C、D四位同学所填条件符合题目要求的是（）A．①②③④B．①②③C．①④D．④12．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A ．43π-B ．83π-C ．83π-D ．843π- 二、填空题13．在实数范围内分解因式：24x -=______________________.14．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=________．15．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是__________．16．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于_____． 17．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数上，第二象限的点B 在反比例函数上，且OA ⊥OB ，，则k 的值为________________ .18．从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是________ 三、解答题19．某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．从凌晨4点到早8点只进水不出水，8点到12点既进水又出水，14点到次日凌晨只出水不进水．下图是某日水塔中贮水量y （立方米）与x （时）的函数图象．（1）求每小时的进水量；（2）当8≤x≤12时，求y与x之间的函数关系式；（3）从该日凌晨4点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于28立方米时，直接写出x的取值范围．20．某小区应政府号召,开展节约用水活动,效果显著.为了了解该小区节水情况,随机对小区的100户居民节水情况进行抽样调查,其中3月份较2月份的节水情况如图所示.（1）补全统计图;（2）计算这100户居民3月份较2月份的平均节水量;（3）已知该小区共有5000户居民,根据上面的计算结果,估计该小区居民3月份较2月份共节水多少吨?21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，tan∠DBC=43，且BC=6，AD=4．求cosA的值．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．23．定义：若一个三角形一条边上的高长为这条边长的一半，则称该三角形为这条边上的“半高”三角形，这条高称为这条边上的“半高”，如图，△ABC是BC边上的“半高”三角形．点P在边AB上，PQ∥BC交AC于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，连接MQ．（1）请证明△APQ为PQ边上的“半高”三角形．（2）请探究BM，PM，CN之间的等量关系，并说明理由；（3）若△ABC的面积等于16，求MQ的最小值24．“全民阅读”活动，是中央宣传部、中央文明办和新闻出版总署贯彻落实关于建设学习型社会要求的一项重要举措．读书必须要讲究方法，只有按照一定的方法去阅读，才能取得事半功倍的效果．常用的阅读方法有：A．圈点批注法；B．摘记法；C．反思法：D．撰写读后感法；E．其他方法．某县某中学张老师为了解本校学生使用不同阅读方法读书的情况，随机抽取部分本校中学生进行了调查，通过数据的收集、整理绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：中学生阅读方法情况统计表（1）请你补全图表中的a，b，c数据：a＝，b＝，c＝；（2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有人；（3）小明从以上抽样调查所得结果估计全县6000名中学生中有1200人采用“撰写读后感法”读书，你同意小明的观点吗？请说明你的理由．（4）该校决定从本次抽取的“其他方法”4名学生（记为甲，乙，丙，丁）中，随机选择2名成为学校阅读宣讲志愿者，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．25．（某中学九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人．该校对九年级所有学生进行了一次体育模拟测试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：（1）a＝； b＝；（2）若将该表绘制成扇形统计图，那么Ⅲ类所对应的圆心角是°；（3）若随机抽取的学生中有64名男生和56名女生，请解释“随机抽取64名男生和56名女生”的合理性；（4）估计该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．()()22x x +- 14．85° 15．47° 16．3517． 18．14三、解答题19．（1）每小时的进水量为5立方米；（2）当8≤x≤12时，y ＝3x+1；（3）3792x 剟. 【解析】 【分析】（1）由4点到8点只进水时，水量从5立方米上升到25立方米即能求每小时进水量；（2）由图象可得，8≤x≤12时，对应的函数图象是线段，两端点坐标为（8，25）和（12，37），用待定系数法即可求函数关系式；（3）由（2）的函数关系式即能求在8到12点时，哪个时间开始贮水量不小于28立方米，且能求出每小时的出水量；14点后贮水量为37立方米开始每小时减2立方米，即能求等于28立方米的时刻 【详解】解：（1）∵凌晨4点到早8点只进水，水量从5立方米上升到25立方米 ∴（25﹣5）÷（8﹣4）＝5（立方米/时） ∴每小时的进水量为5立方米．（2）设函数y ＝kx+b 经过点（8，25），（12，37）8251237k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：31k b =⎧⎨=⎩∴当8≤x≤12时，y ＝3x+1 （3）∵8点到12点既进水又出水时，每小时水量上升3立方米 ∴每小时出水量为：5﹣3＝2（立方米） 当8≤x≤12时，3x+1≥28，解得：x≥9 当x ＞14时，37﹣2（x ﹣14）≥28，解得：x≤372∴当水塔中的贮水量不小于28立方米时，x 的取值范围是9≤x≤372【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是理解图象中横纵坐标代表的意义并结合题意分析图象的每个分段函数．20．（1）见解析；（2）这100户居民3月份较2月份的平均节水量为1.48 t ；（3）估计该小区5000户居民3月份较2月份共节水7400 t.【解析】【分析】（1）从图中可获得节水量在0.4-0.8t 的有5户，0.8-1.2t 的有20户，1.6-2.0t 的有30户，2.0-2.4t 的有10户，样本共100户，可求得节水1.2-1.6t 的有35户，补全图形即可；（2）运用加权平均数公式把组中值当作每组数据，户数看成权，可求得平均节水量；（3）利用样本估计总体可得结果.【详解】解：(1)100-5-20-30-10=35(户).∴节水1.2~1.6吨的有35户.补全统计图如下.(2)由统计图得每小组中的组中值分别为0.40.82+=0.6,0.8 1.22+=1.0,1.2 1.62+=1.4,1.6 2.02+=1.8,2.0 2.42+=2.2, 所以这100户居民3月份较2月份的平均节水量 =0.65 1.020 1.435 1.830 2.210100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.48(t). 答:这100户居民3月份较2月份的平均节水量为1.48 t;(3)由题意可得1.48×5000=7400(t).答:估计该小区5000户居民3月份较2月份共节水7400 t.【点睛】本题考查从统计图表中获取信息的能力，加权平均数的应用和统计中用样本估计总体的思想．21 【解析】【分析】先在Rt △BDC 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由AC=AD+DC 求出AC 的长，然后在Rt △ABC 中，根据勾股定理求出AB 的长，从而求出 cosA 的值．【详解】解：在Rt △BDC 中， tan ∠DBC=43， 且BC=6 ， ∴ tan ∠DBC=DC BC =6DC =43， ∴CD=8，∴AC=AD+DC=12，在Rt △ABC 中，，∴ cosA =ACAB =5. 【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．22．(1)见解析；（2【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理和一元二次方程根的判别式解方程即可得到结论．【详解】（1）∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m ﹣2）2≥0，∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）∵AB 、AC 的长是该方程的两个实数根，∴AB+AC ＝m+2，AB•AC＝2m ，∵△ABC 是直角三角形，∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴（AB+AC ）2﹣2AB•AC＝BC 2，即（m+2）2﹣2×2m＝32，解得：m ，∴m又∵AB•AC＝2m ，m 为正数，∴m【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．23．(1)见解析；（2）2PM ＝BM+CN ，理由见解析；（3）5. 【解析】【分析】（1）根据平行相似，证明△APQ ∽△ABC ，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比：PQ AK BC AR =，由“半高”三角形的定义可结论；（2）证明四边形PMNQ 是矩形，得PQ ＝MN ，PM ＝KR ，代入AR ＝12BC ，可得结论；（3）先根据△ABC 的面积等于16，计算BC 和AR 的长，设MN ＝x ，则BM+CN ＝8﹣x ，PM ＝QN ＝12（8﹣x ），根据勾股定理表示MQ ，配方可得最小值．【详解】（1）证明：如图，过A 作AR ⊥BC 于R ，交PQ 于K ，∵△ABC 是BC 边上的“半高”三角形，∴AR ＝12BC ， ∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ， ∴PQ AK BC AR=， ∴AK AR 1PQ BC 2==， ∴AK ＝12PQ ， ∴△APQ 为PQ 边上的“半高”三角形．（2）解：2PM ＝BM+CN ，理由是：∵PM ⊥BC ，QN ⊥BC ，∴∠PMN ＝∠MNQ ＝∠MPQ ＝90°，∴四边形PMNQ 是矩形，∴PQ ＝MN ，PM ＝KR ，∵AK ＝12PQ ，AR ＝12BC ， ∴AK+RK ＝12（BM+MN+CN ）， 12PQ+PM ＝12BM+12MN+12CN ， ∴2PM ＝BM+CN ；（3）解：∵△ABC 的面积等于16， ∴12BC AR ⋅＝16， ∵AR ＝12BC ， 1122BC BC ⋅⋅＝16， BC ＝8，AR ＝4，设MN ＝x ，则BM+CN ＝8﹣x ，PM ＝QN ＝12（8﹣x ），∵MQ ==∴当x ＝85时，MQ 有最小值是5．【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是新定义：“半高”三角形，涉及到相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理及新定义的理解和运用等知识，解决问题的关键是作辅助线解决问题．24．（1）32，8，10%；（2）96；（3）1200人；（4）16. 【解析】【分析】(1)先根据“摘记法”的频数及其频率求得总人数，再根据频数、频率与总数间的关系可得a 、b 、c 的值；(2)总人数乘以样本中“反思法”学生所占比例可得；(3)利用总人数乘以撰写读后感法的百分比即可解答（4）用树状图表示出四人中随机抽取两人有12种可能，即可解答【详解】解：（1）本次调查的学生有：20÷25%＝80，a ＝80×40%＝32，b ＝80×（100﹣40﹣25﹣20﹣5）%＝80×10%＝8，c ＝（100﹣40﹣25﹣20﹣5）%＝10%，故答案为：32，8，10%；（2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有：960×10%＝96人，故答案为：96；（3）同意小明的观点；理由如下：全县6000名中学生中采用“撰写读后感法”读书的有：6000×20%＝1200人；（4）树状图如图所示，∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能， ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是21=126．【点睛】此题考查树状图法，扇形统计图，解题关键在于看懂图中数据25．（1）a ＝54；b ＝0.45； （2）72°；（3）“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理；（4）该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人．【解析】【分析】（1）先利用一类的频数除以频率计算出总频数c，再用总频数减去其余三类，即可得到a，再用a的频数除以总频数即可得到b（2）圆周角为360°，第三类占总数的0.2，所以第三类的圆心角=360°×0.2（3）根据九年级学生共600人，其中男生320人，女生280人进行反推即可解答（4）利用总人数乘频率即可解答【详解】（1）总频数=36÷0.3=120，a的频数=总频数-36-24-6=54，b频率=54÷120=0.45，a＝54；b＝0.45；（2）0．2×360°=72°；（3）∵6432056280== 120600120600，，∴“随机抽取64名男生和56名女生”比较合理；（4）0.3×600＝180(人)答：该校九年级学生体育测试成绩是40分的人数约为180人．【点睛】此题考查了频数分布表，圆周角，用样本估计总体，熟练掌握运算法则是解题关键2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A.此抛物线的解析式是y=﹣15x2+3.5B.篮圈中心的坐标是（4，3.05）C.此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D.篮球出手时离地面的高度是2m2．下列等式一定成立的是（）A．2a﹣a＝1 B．a2•a3＝a5C．（2ab2）3＝2a3b6D．x2﹣2x+4＝（x﹣2）23．某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍数量这种计算器，由于量大，每个进价比上次优惠1元，该店又用2580元购进所需计算器，该店第一次购进计算器的单价为（）A.20元B.42元C.44元D.46元4．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣45．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为（）A.8B.9.5C.10D.11.56．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值是（）A. B. C. D.7．如图，AB∥CD，直线MN与AB、CD分别交于点E、F，FG平分∠EFD，EG⊥FG于点G，若∠CFN＝110°，则∠BEG＝( )A．20°B．25°C．35°D．40°8．如图1，等边△ABD与等边△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移k个单位到△A′B′D′的位置，得到图2，则下列说法：①阴影部分的周长为4；②当k＝当k；正确的是( )A．①B．①②C．①③D．①②③9．若x是不等于1的实数，我们把11x-称为x的差倒数，如2的差倒数是11x-＝﹣1，﹣1的差倒数为11(1) --＝12，现已知x1＝13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2019的值为（）A．﹣13B．﹣2 C．3 D．410．如图，已知直线y＝34x﹣6与x轴、y轴分别交于B、C两点，A是以D（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC、AB，则△ABC面积的最小值是（）A．26 B．24 C．22 D．2011．华为手机Mate X在5G网络下能达的理论下载速度为603 000 000B/s，3秒钟内就能下载好1GB的电影，将603 000 000用科学计数法表示为（）A．603×610B．6.03×810C．60.3×710D．0.603×91012．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，折叠△ABC使得点C落在AB边上的E处，连接DE、CE，下列结论：①△DEB是等腰直角三角形；②AB＝AC+CD；③BE BDAC AB；④S△CDE＝S△BDE．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l：y＝15x+b经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…B n(n，y n) (n为正整数)，依次是直线l上的点，第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1(x1，0)和A2(x2，0)，第二个抛物线与x轴交点A2(x2，0)和A3(x3，0)，以此类推，若x1＝d(0＜d＜1)，当d为_____时，这组抛物线中存在直角抛物线．14．如图，点为等边内一点，若，，，则的度数是__________．15．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A 逆时针旋转，当边AC第一次与圆相切时，旋转角为_____．16．抛物线 221y x =-的顶点坐标是________．17．命题“若a ＝b ，则a 3＝b 3．”是真命题．它的逆命题“若a 3＝b 3，则a ＝b”是_____（填真或假）命题．18．如图，直线y 1＝mx 经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y 2＝kx ＋b 交于点P ，则不等式kx ＋b ＞mx ＞－2的解集为_________________．三、解答题19．关于x 的一次函数y ＝ax+b 与反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象交于点A （m ，4）和点B （4，1）． （1）求m 的值和反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式．20．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，4），B （8，0），C （8，4）．（1）试说明四边形AOBC 是矩形．（2）在x 轴上取一点D ，将△DCB 绕点C 顺时针旋转90°得到△D'CB'（点D'与点D 对应）．①若OD ＝3，求点D'的坐标．②连接AD'、OD'，则AD'+OD'是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值及此时点D'的坐标；若不存在，请说明理由．21．抛物线L ：y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（常数a≠0）与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），与y 轴交于点C ，且x 1•x 2＜0，AB ＝4，当直线l ：y ＝﹣3x+t+2（常数t ＞0）同时经过点A ，C 时，t ＝1．（1）点C 的坐标是 ；（2）求点A ，B 的坐标及L 的顶点坐标；（3）在如图2 所示的平面直角坐标系中，画出L 的大致图象；（4）将L 向右平移t 个单位长度，平移后y 随x 的增大而增大部分的图象记为G ，若直线l 与G 有公共点，直接写出t 的取值范围．22．从沈阳到大连的火车原来的平均速度是180千米/时，经过两次提速后平均速度为217.8干米/时，这两次提速的百分率相同．（1）求该火车每次提速的百分率；（2）填空：若沈阳到大连的铁路长396千米，则第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了小时．23．立定跳远是嘉兴市体育中考的抽考项目之一，某校九年级（1），（2）班准备集体购买某品牌的立定跳远训练鞋．现了解到某网店正好有这种品牌训练鞋的促销活动，其购买的单价y（元/双）与一次性购买的数量x（双）之间满足的函数关系如图所示．（1）当10≤x＜60时，求y关于x的函数表达式；（2）九（1），（2）班共购买此品牌鞋子100双，由于某种原因需分两次购买，且一次购买数量多于25双且少于60双；①若两次购买鞋子共花费9200元，求第一次的购买数量；②如何规划两次购买的方案，使所花费用最少，最少多少元？24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）请用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）在（1）作出的图形中，若∠A＝30°，BC，则点D到AB的距离等于．25．设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m ，n]上的“闭函数”．如函数y ＝﹣x+4．当x ＝1时，y ＝3；当x ＝3时，y ＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y ＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”（1）反比例函数2019y x是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由． （2）若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣k 是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k 的值；（3）若一次函数y ＝kx+b （k≠0）是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m ，n 的代数式表示）．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1120、1320、32014．150°15．75°16．（0，-1）17．真18．－4＜x ＜2三、解答题19．（1）m ＝1，y ＝4x ；（2）y ＝﹣x+5； 【解析】【分析】（1）把B 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m 的值，从而求出反比例函数的解析式和m 的值；（2）求得A 点坐标，进而把A 、B 点的坐标代入一次函数y ＝kx+b 的解析式，就可求出a 、b 的值，从而求得一次函数的解析式．【详解】（1）∵点B （4，1）在反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象上， ∴1＝4k ， ∴k ＝4． ∴反比例函数的解析式为y ＝4x∵点A（m，4）在反比例函数y＝4x的图象上，∴4＝4m，∴m＝1．（2）点A（1，4）和点B（4，1）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴4 41 a ba b+=⎧⎨+=⎩解得15 ab=-⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．20．（1）见解析；（2）①D'的坐标为（4，9），②AD'+OD'，点D'的坐标是（4，2）．【解析】【分析】（1）根据矩形的判定证明即可；（2）①当点D在原点右侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可；②当点D在原点左侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可．【详解】（1）∵A（0，4），B（8，0），C（8，4）．∴OA＝4，BC＝4，OB＝8，AC＝8，∴OA＝BC，AC＝OB，∴四边形AOBC是平行四边形，∵∠AOB＝90°，∴▱AOBC是矩形；（2）∵▱AOBC是矩形，∴∠ACB＝90°，∠OBC＝90°，∵△D'CB'将△DCB绕点C顺时针旋转90°得到（点D'与点D对应），∴∠D'B'C＝∠DBC＝90°，B'C＝BC＝4，D'B'＝DB，∠BCB'＝90°，即点B'在AC边上，∴D'B'⊥AC，①如图1，当点D在原点右侧时：D'B'＝DB＝8﹣3＝5，∴点D'的坐标为（4，9）；②如图2，当点D在原点左侧时：D'B'＝DB＝8+3＝11，∴点D'的坐标为（4，15），综上所述：点D'的坐标为（4，9）或（4，15）．AD'+OD'，点D'的坐标是（4，2）．【点睛】此题考查四边形的综合题，关键是根据旋转的性质和矩形的性质解答．21．(1) 点C的坐标是（0，3）; （2）A（1，0），B（﹣3，0），L的顶点坐标为（﹣1，4）；(3)见解析；（4）t≥1 2【解析】【分析】(1)把t＝1代入y＝﹣3x+t+2，令x＝0，求得相应的y值，即可得到点C的坐标；(2)根据待定系数法，可得函数解析式；(3)根据描点法，可得函数图象；(3)根据平移规律，可得G的解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案．【详解】(1)直线的解析式为y＝﹣3x+3，当x＝0时，y＝3，即C点坐标为(0，3)，故答案为：(0，3)；(2)当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x1＝1，即A(1，0)，由点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1•x2＜0，AB＝4，得1﹣x2＝4，解得x2＝﹣3，即B(﹣3，0)；L：y＝a(x﹣1)(x+3)，将C(0，3)坐标代入L，得a＝﹣1，∴L的解析式为y＝﹣(x﹣1)(x+3)，即y＝﹣(x+1)2+4，∴L的顶点坐标为(﹣1，4)；(3)函数图象如图所示：；(4)L向右平移t个单位的解析式为y＝﹣(x+1﹣t)2+4，a＝﹣1＜0，当x≤t﹣1时，y随x的增大而增大．若直线l与G有公共点时，则有当x＝﹣1+t时，G在直线l的上方，即﹣(t﹣1+1﹣t)2+4≥﹣3(t﹣1)+t+2，解得t≥12．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是利用自变量与函数值的对应关系；解(2)的关键是待定系数法；解(3)的关键是描点法，解(4)的关键是利用函数值的大小得出不等式，还利用了函数图象平移的规律．22．（1）该火车每次提速的百分率为10%．（2）0.2．【解析】【分析】(1)设该火车每次提速的百分率为x，根据提速前的速度及经两次提速后的速度，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)利用第一次提速后的速度＝提速前的速度×(1+提速的百分率)可求出第一次提速后的速度，再利用少用的时间＝两地间铁路长÷提速前的速度﹣两地间铁路长÷第一次提速后的速度，即可求出结论．【详解】(1)设该火车每次提速的百分率为x，依题意，得：180(1+x)2＝217.8，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1(舍去)，答：该火车每次提速的百分率为10%；(2)第一次提速后的速度为180×(1+10%)＝198(千米/时)，第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用的时间为396396180198-＝0.2(小时)，故答案为：0.2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．（1）y＝150﹣x；（2）①第一批购买数量为30双或40双．②第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．【解析】【分析】（1）若购买x双（10＜x＜60），每件的单价＝140﹣（购买数量﹣10），依此可得y关于x的函数关系式；（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双，根据购买两批鞋子一共花了9200元列出方程求解即可．分两种情况考虑：当25＜x≤40时，则60≤100﹣x＜75；当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60．②把两次的花费与第一次购买的双数用函数表示出来．【详解】解：（1）购买x双（10＜x＜60）时，y＝140﹣（x﹣10）＝150﹣x．故y关于x的函数关系式是y＝150﹣x；（2）①设第一批购买x双，则第二批购买（100﹣x）双．当25＜x≤40时，则60≤100﹣x＜75，则x（150﹣x）+80（100﹣x）＝9200，解得x1＝30，x2＝40；当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60，则x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝9200，解得x＝30或x＝70，但40＜x＜60，所以无解；答：第一批购买数量为30双或40双．②设第一次购买x双，则第二次购买（100﹣x）双，设两次花费w元．当25＜x≤40时w＝x（150﹣x）+80（100﹣x）＝﹣（x﹣35）2+9225，∴x＝26时，w有最小值，最小值为9144元；当40＜x＜60时，w＝x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]＝﹣2（x﹣50）2+10000，∴x＝41或59时，w有最小值，最小值为9838元，综上所述：第一次买26双，第二次买74双最省钱，最少9144元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（1）作图见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图可得；（2）作DE⊥AB于E，设DE＝DC＝x，由∠A＝30°，BC AD＝2DE＝2x，AB＝2BC＝由BC2+AC2＝AB2得到关于x的方程，解之可得．【详解】（1）如图所示，BD即为所求；。

矩形、菱形与正方形一、选择题1．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）．A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°2.如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，把ADE ∆沿AE 对折，点D 的对称点F 恰好落在BC上，已知折痕AE =cm ，且3tan 4EFC ∠=，那么该矩形的周长为（ ）A ．72cmB ．36cmC ．20cmD ．16cm3.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE ＝DF ，②∠DAF ＝15°，③AC 垂直平分EF ，④BE +DF ＝EF ，⑤S △CEF ＝2S △ABE ．其中正确的结论有( )个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．下列命题中，真命题是( )A.对角线相等的四边形是等腰梯形B.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.四个角相等的边形是矩形5.如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）A ．15°或30°B ．30°或45°C ．45°或60°D ．30°或60°6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1、S 2，则S 1+S 2的值为（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19 7.如图，菱形ABCD 中，60B ∠=，4AB =，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．178．如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 9.下列命题中，正确的是（ ）A ．平行四边形的对角线相等 B ．矩形的对角线互相垂直C ．菱形的对角线互相垂直且平分D ．梯形的对角线相等10.顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（ ） A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．直角梯形11．下列命题中的真命题是（ ）A ．三个角相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C ．顺次连接矩形四边(第2题)B60 （第7题图）对称图形 12．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE =DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO =OE ；（4）AOB DEOF S S ∆=四边形中正确的有( ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个13．如图，矩形ABCD 的面积为20cm 2，对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边做平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边做平行四边形AO 1C 2B ；…；依此类推，则平行四边形AO 4C 5B 的面积为（ ）A ． cm 2 B ． cm 2 C ．cm 2 D ．cm 214.如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 是，连接BM 、DN ，若四边形MBND 是菱形，则MDAM等于（ ） A ．83 B ．32 C ．53 D ．5415.下列说法正确的是（ ）A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 16.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =（ ）A ．2825cm B ．2120cm C ．2815cm D ．2521cm17．在平面中，下列命题为真命题的是（ ）A ．四个角相等的四边形是矩形 B ．对角线垂直的四边形是菱形 C ． 对角线相等的四边形是矩形 D ．四边相等的四边形是正方形 18．如图4，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB . 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN = （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 19．（2013河北省，12，3分）如已知：线段AB ，BC ，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD . 以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对对于两人的作业，下列说法正确的是( )B CDA 第14题图MN（第12题图）二、填空题 1．如图6，Rt △ABC 的斜边AB =16, Rt △ABC 绕点O 顺时针旋转后得到C B A Rt '''∆，则C B A Rt '''∆的斜边B A ''上的中线D C '的长度为_____________ .2.如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE ＝CF ②∠AEB ＝750③BE+DF ＝EF ④S 正方形ABCD ＝2+3，其中正确的序号是 。

平行四边形、矩形、菱形、正方形1．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．~3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD上的点，∠1＝∠2．求证：AF＝CE．~4．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：（1）AE＝AB；（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．5．如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，且BE＝AB，DF＝CD．求证：四边形AECF是平行四边形．-6．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．）7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，（1）求证：AE＝CE；（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF 的面积为．！8．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF为平行四边形．9．已知：如图，点E、F在线段BD上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．|求证：（1）AE＝CF；（2）AF∥CE．10．如图所示，▱ABCD中，E，F分别是AB、CD上的点，AE＝CF，M、N分别是DE、BF的中点．（1）求证：四边形ENFM是平行四边形．、（2）若∠ABC＝2∠A，求∠A的度数．11．在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝CF，连接EF，BD．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；：（2）若∠C+∠ABE＝90°，求证：BD＝EF．12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．<13．如图，在△NMB中，BM＝6，点A，C，D分别在边MB、BN、MN上，DA∥NB，DC∥MB，∠NDC＝∠MDA．求四边形ABCD的周长．;14．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）AE ＝，EF＝|（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．15．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．"（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．）16．如图，▱ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．（1）求证：▱ABCD是矩形．（2）若AD＝3，∠COD＝60°，求▱ABCD的面积．|17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD （1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若BE＝2，AE＝2，求EF的长．，18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点E是BC 延长线上一点，且CE＝3，连结DE．（1）求证：四边形ACED为矩形．（2）连结OE，求OE的长．|19．如图，▱ABCD中，点E在BC延长线上，EC＝BC，连接DE，AC，AC⊥AD于点A．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接BD，交AC于点F．若AC＝2AD，猜想∠E与∠BDE的数量关系，并证明你的猜想．|20．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD＝，求DE的长．|21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的长．/22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F．]（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．"23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C 作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．24．如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；}（2）若AB＝2，AC＝2，求四边形ABCD的面积．25．同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．@（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）求菱形AECF的面积．！26．如图，EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于点E、F．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若ED＝5，BD＝8，求菱形BFDE的面积．|27．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．—28．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求OC的长．<29．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．#（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．30．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连结BD．（1）求证：四边形EFCD是正方形；（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．{31．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC．求证：四边形OCED是正方形．【32．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形《33．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是正方形．\34．E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，四边形EFMN是什么图形证明你的结论．35．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：四边形AECF是平行四边形．；36．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AD、OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．求证：四边形AOBE为菱形．>37．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）连接OB，若AB＝8，AF＝10，求OB的长．38．如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．/39．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．>40．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝10，∠ABC＝60°，求AC和BD的长．41．如图，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长之比为3：4，周长为40cm，求菱形的高及面积．,42．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，~（1）求证：∠DHO＝∠DCO．（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．】43．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，已知AC＝8cm，BD＝6cm，（1）求菱形ABCD的面积．（2）求OE的长度．44．在菱形ABCD中，E是AB边的中点，连接DE，DE⊥AB，对角线AC、BD交于点H．（1）求∠ABC的度数；（2）如果菱形的对角线AC＝2，求菱形的面积．<￥45．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．46．如图，小方将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长方形（记作A）后，再将剩下的长方形纸片剪去一个宽为5cm的长方形（记作B）．（1）若A与B的面积均为Scm2，求S的值．（2）若A的周长是B的周长的倍，求这个正方形的边长．47．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形48．如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为AD，CD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ ＝AP．49．如图，已知正方形CDEF的面积为169cm2，且AC⊥AF，AB＝3cm，BC＝4cm，AF＝12cm，试判断△ABC的形状，并说明你的理由．50．如图，正方形ABCD中，AB＝AD，G为BC边上一点，BE⊥AG，于E，DF⊥AG于F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）若AF＝1，EF＝4，求四边形ABED的面积．。

一、性质1、下列性中.矩形具有而质平行四边形不一定具有的是（）A 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行2 .在矩形ABCD 中.NAOD=130°.则NACB=__3 .已知矩形的一条对角线长是8cm.两条对角线的一个交角为60°.则矩形的周长为4 .矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形.如果四个小三角形的周长的和是86cm.对角线是13cm.那么矩形的周长是5 .如图所示.矩形ABCD 中.AE ，BD 于E.Nk BAE=30°.BE=1cm.那么DE 的长为 6、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm.则它的面积为7、已知.在Rt△ABC 中出口为斜边AC 上的中线.若NA=35°.那么NDBC 二。

8、如图.矩形ABCD 中.AC 与8口交于。

点.BELAC 于E.CFLBD 于F.求证：BE=CF. 9 .如口图.△ABC 中.NACB=90度.点D 、E 分别为AC 、AB 矩形的习题精选AB的中点.点F在BC延长线上.且/CDF=NA.求证：四边形DECF是平行四边形；10.已知：如图.在aABC中.NBACW90°NABC=2NC.AD±AC.交BC或CB的延长线D。

试说明：DC=2AB.11、在4ABC中.NC=90O.AC=BC.AD=BD.PE^AC于点E.PFLBC于点F。

求证：DE=DF二、判定1、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（C）A.测量两条对角线.是否相等B.测量两条对角线.是否互相平分他用曲尺测量门框的三个角.是否都是直角口.用曲尺测量对角线.是否互相垂直2、平行四边形ABCD.E是CD的中点.4人8£是等边三角形.求证：四边形ABCD是矩形3、在平行四边形ABCD中.对角线AC、BD相交于O.EF过点O.且AF，BC. 求证：四边形AFCE是矩形4、平行四边形ABCD中.对角线AC、8口相交于点。

9.4 矩形、菱形、正方形（解答题）1．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．2．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：DF=BE．3．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．4．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．6．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE 的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．8．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．9．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．11．如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E 关于AC所在直线的对称点．（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．12．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为，∠ABC=°．（直接填写结果）13．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）14．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．15．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．16．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．19．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．21．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．22．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．23．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．24．已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．25．如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．（1）求证：△ABE≌△EGF；=2S△ECF，求BE．（2）若AB=2，S△ABE26．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ 于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．27．在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由28．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知EO=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．29．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．30．如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．答案与解析1．（2016•安顺）如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．2．（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【解答】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．3．（2016•荆州）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四边形DEFD′是菱形，∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中，，∴△A′DE≌△EFC′．【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2016•淮安）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE ≌△CDF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（2016•苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D 作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．6．（2016•枣庄）如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．【分析】（1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．【解答】解：（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．∵PE=PF=6，EF=6，∴FG=EG=3，∠FPG=∠EPG=∠EPF．在Rt△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=120°．（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME=NF．又AP=10，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AN=APcos30°=10×=5，∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=10．（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P′，P之间运动，∴P′O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6，【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线．7．（2016•三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；（2）利用菱形的判定证明即可．【解答】证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键．8．（2016•抚顺）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°，从而得到∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；（2）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，=180°，∴∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠AOD=90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．9．（2016•沈阳）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【分析】（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可．（2）先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定．【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴∠CEB=∠CBE．（2））∵△ABC≌△ABD，∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．10．（2016•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．【分析】先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明△AED ≌△ABD，推出DF⊥AC，由此即可证明．【解答】证明：∵AF∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AFE和△CDE中，，∴△AEF≌△CED．∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．由题意知，AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD，∴△AED≌△ABD．∴∠AED=∠B=90°，即DF⊥AC．∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．11．（2016•德阳）如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到CE=AB=EA，根据轴对称的性质得到AE=AF，CE=CF，得到CE=EA=AF=CF，根据菱形的判定定理证明结论；（2）根据菱形的性质得到OA=OC，OE=OF，根据三角形中位线定理求出OE，得到答案．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，点E是AB边的中点，∴CE=AB=EA，∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，∴AE=AF，CE=CF，∴CE=EA=AF=CF，∴四边形CFAE为菱形；（2）解：∵四边形CFAE为菱形；∴OA=OC，OE=OF，∴OE=BC=5，∴OF=5．【点评】本题考查的是菱形的判定和性质、轴对称的性质，掌握四条边相等的四边形是菱形、菱形的对角线垂直且互相平分是解题的关键．12．（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是菱形；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为10，∠ABC=120°．（直接填写结果）【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB=∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为菱形．（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO，∵AB=10，∴AB=2BO，∵∠AOB=90°∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，∴AO=BO=5，∠ABC=2∠ABO=120°．故答案为，120．【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．13．（2016•贺州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键．14．（2016•衢州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；（2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四边形BEDF为菱形．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．15．（2016•扬州）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．【分析】（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt △CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．【解答】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．16．（2016•遵义）如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE=BP=，得出EQ=PE+PQ=3，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．（2016•广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴AO=OB，∵AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD=60°．【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．18．（2016•岳阳）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．19．（2016•福州）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=；∴S△NAB（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．20．（2016•吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．21．（2016•南通）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，再由BE=AB得出BE=CD，根据平行线的性质得出∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，进而可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，再由AB=BE，可得CD=EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC=DE即可得到四边形BECD是矩形【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF，∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形．【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．22．（2016•兰州）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）是平行四边形，证明：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；（2）AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形，（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．23．（2016•台州）如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【分析】（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH 和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF=∠PCH．。

1. 3.4平行四边形的判定1．下面几组条件中，不一定能判定一个四边形是平行四边形的是（．下面几组条件中，不一定能判定一个四边形是平行四边形的是（ ））． A A．两组对边相等．两组对边相等．两组对边相等; B ; B ; B．两条对角线互相平分．两条对角线互相平分．两条对角线互相平分 C C C．两组组对边平行．两组组对边平行．两组组对边平行; D ; D ; D．两组对角相等．两组对角相等．两组对角相等 E.E.一组对边平行，一组对角相等一组对边平行，一组对角相等一组对边平行，一组对角相等 F. F. F. 一组对边平行，一组对边相等一组对边平行，一组对边相等一组对边平行，一组对边相等2. BD 是平行四边形ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，可以添加的一个条件是____________．．3.3.如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形ABCD 中，P 1、P 2是对角线BD 的三等分点，求证：的三等分点，求证：••四边形AP 1CP 2是平行四边形．是平行四边形．4.4.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD 中，中，EF EF 为边AD AD、、BC 上的点，且AE=CF AE=CF，连结，连结AF AF、、EC EC、、BE BE、、DF 交于M 、N ，求证：线段MN MN、、EF 互相平分互相平分. .5、如图，点E 、F 、G 、H 分别在□ABCD 的各边上，且AE=CG,BF=DH,AE=CG,BF=DH,求证：求证：求证：EH EH EH∥∥GF.6.6.已知：已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC AC、、BD•BD•相交于点相交于点O ，EF 经过点O 并且分别和AB AB、、CD 相交于点E 、F ，又知G 、H 分别为OA OA、、OC 的中点．求证：四边形EHFG 是平行四边形．是平行四边形．1.3.5矩形的判定1．下列说法错误的是（．下列说法错误的是（ ）） （（A ）有一个内角是直角的平行四边形是矩形）有一个内角是直角的平行四边形是矩形 （（B ）矩形的四个角都是直角，并且对角线相等）矩形的四个角都是直角，并且对角线相等 （（C ）对角线相等的平行四边形是矩形）对角线相等的平行四边形是矩形 （（D ）有两个角是直角的四边形是矩形）有两个角是直角的四边形是矩形 2．平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（．平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（ ）） （（A ）梯形）梯形 （（B ）矩形）矩形 （（C ）正方形）正方形 （（D ）不是平行四边形）不是平行四边形 3．如图，．如图，E E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 四条边的中点，要使四边形EFGH 为矩形，四边形ABCD 应具备的条件是（应具备的条件是（ ））． （（A ）一组对边平行而另一组对边不平行）一组对边平行而另一组对边不平行;;（B ）对角线相等）对角线相等（C ）对角线互相垂直）对角线互相垂直; ; ; （（D ）对角线互相平分）对角线互相平分 4.4.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD AB=CD，，EF=GH EF=GH；； （2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是_ ___ ___ __形，根据的数学原理是：形，根据的数学原理是：形，根据的数学原理是：______________________________________________________；； （3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，，调整窗框的边框，••当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是，说明窗框合格，这时窗框是_____________________形，根据的数学原理是：形，根据的数学原理是：形，根据的数学原理是：_______________________________________________________________．．N MF DAB C EF G D A B CE H5．已知平行四边形ABCD 的对角线AC AC，，BD 交于点O ，△AOB 是等边三角形，是等边三角形，AB=4cm AB=4cm AB=4cm．． （（1）平行四边形是矩形吗？说明你的理由．（2）求这个平行四边形的面积．）求这个平行四边形的面积．6．已知：如图，．已知：如图，BC BC 是等腰△是等腰△BED BED 底边ED 上的高，四边形ABEC 是平行四边形．求证：四边形ABCD 是矩形．是矩形．7.7.如图所示，折叠矩形纸片如图所示，折叠矩形纸片ABCD ABCD，，•先折出折痕（先折出折痕（••对角线）对角线）BD BD BD，再折叠使，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG DG．若．若AB=2AB=2，，BC=1BC=1，求，求AG AG．．1.3.7菱形的判定1、利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架，已知其中每个菱形的边长为20cm ，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉之间的距203cm ，则菱形的锐角等于（，则菱形的锐角等于（ ）A ．90° B.60° C.45° D.30°2、下列条件中，能判断四边形是菱形的是（、下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ） A 、两条对角线相等、两条对角线相等 B 、两条对角线互相垂直、两条对角线互相垂直 C 、两条对角线相等且互相垂直、两条对角线相等且互相垂直 D 、两条对角线互相垂直平分、两条对角线互相垂直平分3、下列图形既是轴对称，又是中心对称的是（、下列图形既是轴对称，又是中心对称的是（ ）A 、平行四边形、平行四边形 B 、三角形、三角形 C 、菱形、菱形 D 、等腰梯形、等腰梯形4、从四边形内能找到一点，使该点到各边的距离都相等的图形是（、从四边形内能找到一点，使该点到各边的距离都相等的图形是（ ） A 、平行四边形、矩形、菱形、平行四边形、矩形、菱形 B 、菱形、矩形、正方形、菱形、矩形、正方形 C 、矩形、正方形、矩形、正方形 D 、菱形、、菱形、 正方形正方形5、如图所示，将宽度为1的两张纸条交叉重叠在一起，得到重叠部分为四边形ABCD ，四边形ABCD 为菱形吗？为什么？为菱形吗？为什么？6、如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，DE 和CE 相交于E ， 求证：四边形OCED 是菱形。

专题19.1 矩形、菱形与正方形（基础篇）专项练习一、单选题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直 2．下列判断错误的是（ ）A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．四个内角都相等的四边形是矩形C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形3．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则菱形两邻角度数比为（ ）A ．4：1B ．5：1C ．6：1D ．7：1 4．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A ．15B ．14C ．13D ．3105．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的高DE 为( )A ．2.4cmB ．4.8cmC ．5cmD ．9.6cm 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，()0,0O ，()4,0A ，60AOC ∠=，则对角线交点E 的坐标为( )A．(B．)2C．)D．(7．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝, DE ＝2,则四边形OCED 的面积为（）A．B．4C．D．88．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将∥BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到∥DCF，连接EF，若∥BEC=60°，则∥EFD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°9．如图，在∥ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B、C 两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC 于E、F 两点，下列说法正确的是（）A．若AD 平分∥BAC，则四边形AEDF 是菱形B．若BD＝CD，则四边形AEDF 是菱形C．若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是矩形D ．若 AD ∥BC ，则四边形 AEDF 是矩形10．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为（ ）A ．4B ．245C ．6D ．485二、填空题 11．已知菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ，则菱形的边长是______cm ． 12．如图，在∥ABC 中，AD 是高，E 是AB 的中点，EF∥AD ，交AC 于点F ，若AC=6，则DF 的长为______.13．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接CE ，则CE 的长为________．14．如图，菱形ABCD 的边长为2，∥DAB=60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使∥PBE 的周长最小，则∥PBE 的周长的最小值为________．15．如图：已知：AM MN ⊥，BN MN ⊥，垂足分别为M 、N ，点C 是MN 上使AC BC +的值最小的点．若3AM =，5BN =，15MN =，则AC BC +=________．16．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，∥EAF ＝45°，∥ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为_____．17．如图，在Rt∥ABC 中，∥ABC=90°，AC=10cm ，点D 为AC 的中点，则BD=_____cm ．18．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，PE AB ⊥于点E ，若5PE =，则点P 到AD 的距离为________．19．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT 的长为_____．20．如图，在Rt∥BAC 和Rt∥BDC 中，∥BAC ＝∥BDC ＝90°，O 是BC 的中点，连接AO 、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．21．如图，在正方形ABCD，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接∠=︒，则CEFCE．若56BAE∠=______︒．22．如图，边长为1的菱形ABCD中，∥DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∥FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∥HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是___．三、解答题23．如图，∥ABC中，AB=AC，AD是∥ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO 并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当∥ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．24．如图，在∥ABC 和∥DCB 中，AB=DC ，AC=DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：∥ABC∥∥DCB（2）过点C 作CN∥BD ，过点B 作BN∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论．25．如图，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA (不包括端点)上运动，且满足AE CG =，AH CF =．(1)求证：AEH CGF ∆≅∆；(2)试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．(3)请探究四边形EFGH 的周长一半与矩形ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由．26．在∥ABC 中，M 是AC 边上的一点，连接BM．将∥ABC 沿AC 翻折，使点B 落在点D 处，当DM∥AB 时。

平行四边形、菱形、矩形、正方形测试题一、选择题 (每题 3 分，共 30 分 )。

1．平行四边形 ABCD 中，∠ A=50°，则∠ D=（ ）A. 40°B. 50°C. 130°D. 不可以确立 2．以下条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ）A. 一组对边相等B. 对角线相互均分C. 一组对角相等D. 对角线相互垂直3．在平行四边形 ABCD 中，EF 过对角线的交点 O ，若 AB=4 ，BC=7，OE=3，则四边形 EFCD 周长是（ ） A ．14 B. 11 C. 10 D. 17 4．菱形拥有的性质而矩形不必定有的是 ( )A ．对 角相等且互补B ． 对角线相互均分C ． 一组对边平行另一组相等D ．对 角线相互垂直5．已知菱形的周长为 40cm ，两条对角线的长度比为 3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）A ．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ， 16cm D. 24cm ，32cm6．如图在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 订交于点 O ，则以下说法错误的选项是 ( ) A ．AB= 1AD2B ．AC=BDC ． DAB ABC BCD CDA 90 D ．AO=OC=BO=OD图 57．如图 5 连接正方形各边上的中点，获得的新四边形是 ( )A ．矩形 B. 正方形 C.菱形 D.平行四边形8. 一矩形两对角线之间的夹角有一个是 600, 且这角所对的边长 5cm,则对角线 长为 ( )A. 5 cmB. 10cmC. 5 2 cmD. 没法确立9. 当矩形的对角线相互垂直时 , 矩形变为 ( )A. 菱形B. 等腰梯形C. 正方形D. 没法确立 .10. 如下图，在ABCD 中， 、 分别 AB 、CDA E BE F 的中点，连接 DE 、EF 、BF ，则图中平行四边形共有（ ） DCA ．2 个B ．4 个C ．6 个D ． 8 个F二、填空题（每题 3 分，共 24 分 ）11．□ABCD 中, AB ：BC=1：2，周长为 24cm,则AB=_____cm, AD=_____cm. 12．已知：四边形ABCD中， AB＝ CD，要使四边形 ABCD为平行四边形，需要增加__________，（只要填一个你以为正确的条件即可）你判断的原因是：。

中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题（含答案）一、选择题(每题4分，共24分)1．[2015·泸州]菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D) A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．[2015·衢州]如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是(B)A．6 3 m B．6 m图28－1 C．3 3 m D．3 m【解析】易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝6 m.3．[2015·益阳]如图28－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD图28－2 图28－34．[2014·福州]如图28－3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C) A．45°B．55°C．60°D．75°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE ＝AD ＝DE ，∠DAE ＝60°， ∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°， ∴∠ABE ＝(180°－150°)÷2＝15°， 又∵∠BAC ＝45°， ∴∠BFC ＝45°＋15°＝60°.5．[2015·临沂]如图28－4，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结EB ，EC ，DB .添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是 (B) A ．AB ＝BEB ．BE ⊥DCC ．∠ADB ＝90°D ．CE ⊥DE【解析】 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AD 綊BC ，因为DE ＝AD ，所以DE 綊BC所以四边形EDBC 为平行四边形，A ．假若AB ＝BE ，因为AB ＝BE ，AD ＝DE ，BD ＝BD ，所以△ADB ≌△EDB ，所以∠BDE ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形； B ．假若BE ⊥DC ，可得四边形EDBC 为菱形；C ．假若∠ADB ＝90°，所以∠EDB ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形；D ．假若CE ⊥DE ，所以∠DEC ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形，故选B. 6．[2015·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为正方形(如图28－5)现有下列四种选法，你图28－4图28－5认为其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④【解析】此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征，故选B.二、填空题(每题4分，共20分)7．[2015·铜仁]已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.8．[2014·衡阳]如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．9．[2015·上海]已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，图28－6 AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠F AD＝__22.5__度．10．[2014·淄博]已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．11．[2014·资阳]如图28－7，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图28－7【解析】如答图，连结BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，∵DE＝BQ＋QE＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.三、解答题(共20分)12．(10分)[2015·安顺]如图28－8，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于图28－8F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．证明：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD，∵AE∥DF，∴∠EAD＝ADF，∠DAF＝∠FDA，∴AF＝DF，∴平行四边形AEDF为菱形．13．(10分)[2015·青岛]已知：如图28－9，在△ABC中，AB ＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；图28－9(2)连结DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 解：(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD . ∵AE ∥BC ，CE ⊥AE ， ∴四边形ADCE 是矩形， ∴AD ＝CE .在Rt △ABD 与Rt △CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CE ，AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE (HL )；(2)DE ∥AB ，DE ＝AB .证明如下： 如答图所示，∵四边形ADCE 是矩形， ∴AE ＝CD ＝BD ，AE ∥BD ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴DE ∥AB ，DE ＝AB .14．(10分)[2014·扬州]如图28－10，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H .(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形． 解：(1)DE ⊥FG ，理由如下：由题意得∠A ＝∠EDB ＝∠GFE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，第13题答图图28－10∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG；(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．15．(10分)[2015·南京]如图28－11，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD交于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ.由已知条件__FG平分∠CFE__，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MEG≌△QFH，易证__GE＝FH__，__∠GME ＝∠FQH__.故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．图28－11解：(1)证明：∵EH平分∠BEF.∴∠FEH＝12∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH＝12∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°，∴∠FEH＋∠EFH＝12(∠BEF＋∠DFE)＝12×180°＝90°，又∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，同理可证，∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∴∠FEG＝12∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH＝12∠BEF，∵点A，E，B在同一条直线上．∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.∴∠FEG＋∠FEH＝12(∠AEF＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH＝90°.∴四边形EGFH是矩形；(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，FG平分∠CFE；GE＝FH；∠GME ＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16．(6分)[2015·资阳]若顺次连结四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(D) A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形17．(10分)如图28－12，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是__20__；四边形A2 016B2 016C2 016D2 016的周长是__521 005__．图28－12。

矩形、菱形、正方形辅导练习题（一）一、复习矩形、菱形、正方形有关的性质和判定方法。

二、例题讲解例1、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。

例2、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。

求：（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。

例3、如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1) 求证：DE－BF = EF．(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．三、巩固提高（一）选择题1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）.A、对角线相等B、对边相等C、对角相等D、对角线互相平分2、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（）A、3 个B、4个C、5个D、6个3、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )A、对边平行且相等B、对角线互相平分C、内角和等于外角和D、每一条对角线所在直线都是它的对称轴4、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )A、对角线互相平分的四边形B、对角线互相垂直且平分的四边形C、对角线相等的四边形D、对角线相等且互相垂直的四边形5、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是( )A、AB=CDB、AC=BDC、当AC⊥BD时，它是菱形D、当∠ABC=90°时，它是矩形6、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）。

人教版九年级数学中考矩形、菱形、正方形专项练习基础达标一、选择题1.(2018江苏淮安)如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( )A.20B.24C.40D.48,AO=12AC=3,BO=12BD=4,且AO ⊥BO ,则AB=√AA 2+AA 2=5, 故这个菱形的周长L=4AB=20. 故选A.2.(2017四川广安)下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 ③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有( )个. A.4 B.3C.2D.13.(2017四川眉山)如图,EF 过▱ABCD 对角线的交点O ,交AD 于点E ,交BC 于点F ,若▱ABCD 的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD 的周长为( ) A.14 B.13C.12D.104.(2018贵州遵义)如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E、F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为()A.10B.12C.16D.18PM⊥AD于点M,交BC于点N.则四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,×2×8=8,∴S△DFP=S△PBE=12∴S阴影=8+8=16,故选C.5.(2017山东枣庄)如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=A(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为()AA.-12B.-27C.-32D.-366.(2018江苏无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan ∠AFE的值()A.等于37B.等于√33C.等于34D.随点E位置的变化而变化EF∥AD,∴∠AFE=∠FAG,△AEH∽△ACD,∴AAAA =AAAA=34.设EH=3x,AH=4x,∴HG=GF=3x,∴tan∠AFE=tan∠FAG=AA AA =3A3A+4A=37.故选A.二、填空题7.(2018湖南株洲)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为..5四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=10,BO=DO=12BD,∴OD=12BD=5,∵点P,Q分别是AO,AD的中点,∴PQ是△AOD的中位线,∴PQ=12DO=2.5.8.(2018广东广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.-5,4)菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,∴AB=5,∴AD=5,∴由勾股定理知:OD=√AA2-AA2=√52-32=4,∴点C的坐标是(-5,4).9.(2018湖北武汉)以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是.150°1,图1∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°,∴∠BAE=∠CDE=150°,又AB=AE,DC=DE,∴∠AEB=∠CED=15°,则∠BEC=∠AED-∠AEB-∠CED=30°.如图2,图2∵△ADE是等边三角形,∴AD=DE,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∴DE=DC,∴∠CED=∠ECD,∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°,∴∠CED=∠ECD=1(180°-30°)=75°,同理∠BEA=∠ABE=75°,2∴∠BEC=360°-75°×2-60°=150°.三、解答题10.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O.过点C 作BD 的平行线,过点D 作AC 的平行线,两直线相交于点E.(1)求证:四边形OCED 是矩形;(2)若CE=1,DE=2,则ABCD 的面积是多少?四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD , ∴∠COD=90°. ∵CE ∥OD ,DE ∥OC ,∴四边形OCED 是平行四边形,又∠COD=90°,∴平行四边形OCED 是矩形.(1)知,平行四边形OCED 是矩形,则CE=OD=1,DE=OC=2.∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC=2OC=4,BD=2OD=2, ∴菱形ABCD 的面积为12AC ·BD=12×4×2=4. 能力提升一、选择题1.下列说法中,正确的个数为( )①对顶角相等;②两直线平行,同旁内角相等; ③对角线互相垂直的四边形为菱形;④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.A.1B.2C.3D.4对顶角相等,故①正确;②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误; ④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,故选B .2.(2018山东枣庄)如图,在矩形ABCD 中,点E 是边BC 的中点,AE ⊥BD ,垂足为F ,则tan ∠BDE 的值是( )A.√24B.14C.13D.√23四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC ,AD ∥BC , ∵点E 是边BC 的中点, ∴BE=12BC=12AD , ∴△BEF ∽△DAF , ∴AA AA =AA AA =12, ∴EF=12AF , ∴EF=13AE ,∵点E 是边BC 的中点, ∴由矩形的对称性得:AE=DE , ∴EF=13DE ,设EF=x ,则DE=3x , ∴DF=√AA 2-AA 2=2√2x , ∴tan ∠BDE=AAAA =2√2A =√24.故选A.3.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P 从点A 出发,沿AB 方向以每秒√2 cm 的速度向终点B 运动;同时,动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1 cm 的速度向终点C 运动,将△PQC 沿BC 翻折,点P 的对应点为点P'.设Q 点运动的时间为t s,若四边形QPCP'为菱形,则t 的值为( )A.√2B.2C.2√2D.3PP',交BC于N点,过P作PM⊥AC,垂足为M.若运动t s时四边形QPCP'为菱形,则PQ=PC,PN⊥BC,四边形PMCN为矩形,BQ=t,AP=√2t,PM=NC=t,∴QC=2t,∴BC=BQ+QC=t+2t=3t=6cm,∴t=2,故选B.4.(2018河南)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()图1图2A.√5B.2D.2√5C.52D作DE⊥BC于点E由题图2可知,点F由点A到点D用时为a s,△FBC的面积为a cm2.∴AD=a.DE·AD=a.∴12∴DE=2.当点F从D到B时,用√5s,∴BD=√5.Rt△DBE中,BE=√AA2-AA2=√(√5)2-22=1,∵ABCD是菱形,∴EC=a-1,DC=a.Rt△DEC中,a2=22+(a-1)2,.解得a=52故选C.5.(2017广东)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=4S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正确的是()A.①③B.②③C.①④D.②④二、填空题6.(2018山东潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x 轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C'D'的位置,B'C'与CD相交于点M,则点M的坐标为.)-1,√33,连接AM ,∵将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D', ∴AD=AB'=1,∠BAB'=30°, ∴∠B'AD=60°,在Rt △ADM 和Rt △AB'M 中,∵{AA =AA ',AA =AA ,∴Rt △ADM ≌Rt △AB'M (HL), ∴∠DAM=∠B'AM=12∠B'AD=30°, ∴DM=AD tan ∠DAM=1×√33=√33, ∴点M 的坐标为(-1,√33).三、解答题 7.如图所示,在△ABC 中,点O 是AC 边上的一个动点,过O 作直线MN ∥BC ,设MN 交∠ACB 的平分线于点E ,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF ;(2)当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论.MN ∥BC ,∴∠OEC=∠BCE.又∠OCE=∠BCE ,∴∠OEC=∠OCE ,∴OE=OC.同理可证OF=OC ,∴OE=OF.O 运动到AC 中点时,四边形AECF 是矩形.证明:∵CE ,CF 分别是∠ACB 的内,外角平分线.∴∠OCE+∠OCF=12(∠ACB+∠ACD )=12×180°=90°,即∠ECF=90°,又∵OE=OF ,∴当O 点运动到AC 中点时,OA=OC ,四边形AECF 是矩形.8.(2018贵州遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN=135°,∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,∴∠AOM=∠BON,∴△OAM≌△OBN(ASA),∴OM=ON.,过点O作OH⊥AD于点H,∵正方形的边长为4,∴OH=HA=2,∵E为OM的中点,∴HM=4,则OM=√22+42=2√5,由(1)知OM=ON,∴MN=√2OM=2√10.。

ABCDO图19-3矩形、菱形与正方形单元测试题一、填空题1．如图19-1，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A （平方米）与拉开长度b （米）的关系式是： ．2．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图19-2所示的规律，拼成若干个图形： （1）第4个图形中有白色地面砖 块； （2）第n 个图形中有白色地面砖 块．3．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是___________________． 4．在正方形ABCD 所在的平面内,到正方形三边所在直线距离相等的点有__个．5．四边形ABCD 为菱形,∠A =60°, 对角线BD 长度为10c m ， 则此菱形的周长 c m ． 6．已知正方形的一条对角线长为8c m ，则其面积是__________c m 2．7．平行四边形ABCD 中，AB =6c m ，AC +BD =14c m ，则△AOC 的周长为_______． 8．在平行四边形ABCD 中，∠A =70°，∠D =_________, ∠B =__________．9．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =120°，两底分别是15c m 和49c m ，则等腰梯形的腰长为______． 10．用一块面积为450c m 2的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条 c m ．11．已知在平行四边形ABCE 中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平行四边形的周长为 cm .12．要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 形,再说明（只需填写一种方法）13．如图19-3,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .那么图中共有 个等腰直角三角形.14．把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.（1）正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; （2）菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; （3）矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成. 15．矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm .16．若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形，那么这个梯形中除两个直角外，其余两个内角的图19-2图19-1度数分别为 和 .17．平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为___________cm .18．如图19-4，根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 m .19．已知菱形的两条对角线长为12cm 和6cm ,那么这个菱形的面积为 2cm .20．如图19-5,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: （1）AB ∥CD ;（2）AB=CD ;（3）AB BC ;（4）AO=OC .其中正确的结论是 . （把你认为正确的结论的序号都填上）二、选择题21．给出五种图形：①矩形； ②菱形； ③等腰三角形（腰与底边不相等）； ④等边三角形； ⑤平行四边形（不含矩形、菱形）．其中，能用完全重合的含有300角的两块三角板拼成的图形是（ ） A ．②③ B ．②③④ C ．①③④⑤ D ．①②③④⑤22．如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（ ）23．四边形ABCD 中，∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D =2︰2︰1︰3，则这个四边形是（ ） A ．梯形 B ．等腰梯形C ．直角梯形D ．任意四边形 24．要从一张长40c m ，宽20c m 的矩形纸片中剪出长为18c m ，宽为12c m 的矩形纸片则最多能剪出（ ）A ．1张B ．2张C ．3张D ．4张25．如图19-7，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB ＝6，BC ＝4，则AE ︰EF ︰FB 为（ ）A ．1︰2︰3B ． 2︰1︰3C ． 3︰2︰1D ． 3︰1︰2 26．下列说法中错误的是（ ）A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．两条对角线相等的菱形是正方形．A B C D图19-6 A D B F E 图19-7 · 1m1m图19-4 A BCOl 图19-527．下列说法正确的是（ ）A ．任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形；B ．角既是轴对称图形又是中心对称图形；C ．线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形；D ．正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条．28．点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB //CD ；②AB ＝CD ；③BC //AD ；④BC ＝AD 四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ） A ．①② B ．②③ C ． ①③ D ． ③④29．已知ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB =CD B ．AC =BD C ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 D ．当∠ABC =90°时，它是矩形 30．平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（ ）A ．大于2，B ．小于14C ．大于2且小于14D ．大于2或小于1231．在线段、角、等边三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、等腰梯形这十种图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的共有 （ ） A ．4种 B ．5种 C ．7种 D ．8种32．下列说法中,错误的是 （ ） A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C ．菱形的对角线互相垂直 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形33．给出四个特征（1）两条对角线相等;（2）任一组对角互补;（3）任一组邻角互补;（4）是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个34．如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是 （ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．菱形、矩形或正方形35．如图19-8,直线a ∥b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ∆的面积 （ ） A ．变大 B ．变小 C ．不变 D ．无法确定36．如图19-10,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于 （ ）A ． 15B ． 30C ． 45D ． 6037．如图19-11,在ABC ∆中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F ,那么四边形AFDE 的周长是 （ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．2038．已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:（1）如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;（2）如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;A BC D E F a b图19-9 图19-10 图19-11（3）如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;（4）如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形其中正确的说法是 （ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3）（4） C ．（2）（3） D ．（2）（3）（4） 三、解答题39．如图19-12，已知四边形ABCD 是等腰梯形， CD //BA ,四边形AEBC 是平行四边形．请说明：∠ABD ＝∠ABE ．40．如图19-13，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一动点， 过点O 作直线MN //BC , 设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）说明EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？说明你的结论．41．如图19-14，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于F ． 试确定AD 与EF 的位置关系，并说明理由．D AEC图19-12A EBC F O N M D图19-13 A EB DC F1 图19-142 O42．如图19-15，在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过点C 作CN ⊥DM 交AB 于N ，设正方形对角线交点为O ，试确定OM 与ON 之间的关系，并说明理由．43．如图19-16，等腰梯形ABCD 中，E 为CD 的中点，EF ⊥AB 于F ，如果AB =6，EF =5，求梯形ABCD的面积．44．如图19-17，有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如左下图所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方 14×20方格纸内画出设计示意图．（提示：①画出的圆应符合比例要求； ②为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上．说明：正确地画出了符合要求的三个圆得5分，正确地画出了符合要求的四个圆得8分．）图19-15 A BN M C D O 图19-16A FB C ED图19-1745．如图19-18, 在正方形ABCD 中, M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ．试说明：MD =MN ．46．如图中,DB=CD , 70=∠C ,AE ⊥BD 于E .试求DAE ∠的度数.47．如图 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,100=∠DGE . （1）试说明DF=BG ; （2）试求AFD ∠的度数.48．.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图19-21①）,使AB=CD,EF=GH ;（2）摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是: ;D A B C ME N图19-18 AB CD E图19-19A B C D FE G图19-20（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③）,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④）,说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是:.（图①）（图②）（图③）（图④）图19-2149．如图19-22，已知平行四边形ABCD，AE平分∠DAB交DC于E，BF平分∠ABC交DC于F，DC=6c m，AD=2c m，求DE、EF、FC的长．图19-2250．如图19-23，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE＝15°，试求∠COE的度数。

M B AFAB 平行四边形.矩形.菱形.正方形演习题 【1 】姓名_________________1.如图,在△ABC 中,∠ACB=900,BC 的垂直等分线DE 交BC 于D,交AB 于E,F 在DE 上,并且AF=CE.（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形;（2）当∠B 的大小知足什么前提时,四边形ACEF 是菱形？请答复并证实你的结论.2.半数矩形纸片ABCD,使得AD 与BC 重合,折痕为MN.再一次折叠,使得点B 正好落在MN 的H 处,折痕为AE,延伸EH 交AD 于F.使断定△AEF 的外形.3.已知：如图,两个边长均为a 的正方形,个中一个的极点O 绕着另一个对角线的交点扭转,问重叠部分的面积是否转变？为什么？4.已知四边形ABCD 是正方形,E 是正方形内一点,以BC 为斜边作直角△BCE,又以BE 为直角边作等腰直角△BEF,且∠EBF=90°,衔接AF.(1).问AF 与CE 有什么关系？请解释来由;（2）.AF 与BE 的地位关系若何？解释你的猜测？（3）.若AFBDEY XDCBA o35=AB ,36=CE BE ,求E 到BC 的距离.5.如图,点O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点,AB ⊥AC,BD=10,AC=6, （1）求AB 的长. （2）求BC 的长.6.如图,CD.CE 分离为△ABC 的内角.外角等分线,O 是AC 上的一动点,过点O 且平行于BC 的直线交CD.CE 于D.E.（1）OD 与OE 相等吗？为什么？（2）当O 活动到何处,四边形ADCE 为矩形？并解释来由.（3）当△ABC 为何种外形时,四边形ADCE 为正方形？并解释来由.7.如图,在直角坐标系xoy 中,矩形OABC的两个极点），（、232)0,32(--B A ∠CAO =30°,把矩形OABC 以AC 地点的直线为对称轴翻折,点O 落在D 处,求点D 的坐标;在坐标平面是否消失点P,使得以点P D O A 、、、为极点的四边形为菱形？若消失,求出P 点的坐标;若不消失,解释来由.(2)ED CBA(1)EDCBA8.如图,点E,F 分离是菱形ABCD 的边AB 和BC 的中点,EG ⊥AB 交DC 于G ,假如∠A=100°,试求∠CGF 的度数.9.如图（1）,等边ABC ∆中,D 是AB 边上的动点,以CD 为一边,向上作等边EDC ∆,贯穿连接AE.1）DBC ∆和EAC ∆会全等吗？请说说你的来由. 2）试解释AE ∥BC 的来由3）如图（2）,将（1）中点D 活动到边BA 的延伸线上,所作仍为等边三角形.请问是否仍有AE ∥BC ？证实你的猜测.10. 如图,在平面直角坐标系中,△AOB 为等腰直角三角形,A （3,3）.（1）求B 点坐标;EAGA（3）过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E,点F （0,1-）,G 在EF 的延伸线上,以EG 为直角边作等腰Rt △EGH,过A 作x 轴垂线交EH 于点M,连AM FM OF =+是否成立？若不成立,请解释来由;若成立,求出11.已知：在矩形ABCD 中,AB =10,BC =12,四边形EFGH 的三个极点E .F .H 分离在矩形ABCD 边AB .BC .DA 上,AE =2.（1）如图①,当四边形EFGH 为正方形时,求△GFC 的面积;（2）如图②,当四边形EFGH 为菱形,且BF =a 时,求△GFC 的面积（用含a 的代数式暗示）;（3）在（2）的前提下,△GFC 的面积可否等于2？请解释来由.12.某养殖户预备进行大闸蟹与河虾的混杂养殖,他懂得到如下信息：每亩水面的年房钱为600元,水面需按整数亩出租;每亩水面在岁首?年月可混杂投入4kg 蟹苗和20kg 虾苗;个中每千克蟹苗的价钱为75元,豢养费用为525元,当年可获1 500元收益;而每千克虾苗的价钱为15元,其豢养费用为85元,当年可获150元收益,蟹虾混杂养殖成本包含水面年房钱.苗种费用和豢养费用.（1）若租用水面n 亩,则年房钱共需若干元;（2）求每亩水面蟹虾混杂养殖的年利润率;（养殖利润=收益－成本,利润率=%100 成本利润） （3）该养殖户现有资金28000元,他预备再向银行贷不超出30000元款,•用于蟹虾混杂养殖,已知银行贷款的年利率为8%,试问应当租若干亩水面,•并向银行贷款若干元,可使年利润不低于40000元？。

最全《平行四边形、矩形菱形、正方形》计算类典型题汇总一、平行四边形中，边(周长)的计算例1：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝10，BD＝8，则AD 的取值范围是_________．解析：利用平行四边形的性质，对角线互相平分，得AO＝5，DO＝4．借助三角形三边关系，AO－DO＜AD＜AO＋DO，则1＜AD＜9变式：1.已知平行四边形ABCD的周长是12，AC，BD交于点O，△ABO的周长比△BOC 的周长大1，求AB，BC的长．解析：对照上图，我们知道AO＝CO，BO为公共边，则△ABO的周长与△BOC的周长之差就是AB与BC之差，设AB＝x，BC＝x－1，根据周长＝12，可得2(x＋x－1)＝12，x＝3.5，AB＝3.5，BC＝2.5例2：如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC，BD相交于点O，OE⊥AC于O，则△BCE的周长为_________．解析：由OE⊥BD，BO＝DO，可知OE垂直平分BD，则BE＝DE，C△BCE＝BC＋CE ＋BE＝ BC＋CE＋DE＝BC＋CD＝8变式：如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AD于E，交BC于点F，若OE＝5，四边形CDEF的周长为25，则平行四边形ABCD的周长为________．解析：首先，可证△AEO≌△CFO，则OE＝OF．(事实上，经过平行四边形对称中心的线段，既平分平行四边形的周长，也平分面积．)EF＝2OE＝10，AE＝CF，C四边形CDEF＝CD＋DE＋CF＋EF＝CD＋DE＋AE＋EF＝CD ＋DA＋EF＝25CD＋DA＝15，C平行四边形ABCD＝30例3：在平行四边形ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分线分别交BC于E、F，EF＝3，则AB＝__________．解析：本题是典型的易错题，极易漏解，我们应该想到，AE，DF必然相交，且夹角为90°，但交点可以在平行四边形内，也可在形外．故而要分类讨论．同时，这里面隐藏着一个常见的基本模型，平行＋角平分，构造等腰，△ABE和△FCD是等腰三角形，且腰相同，AB＝BE＝DC＝CF．如图，当AE，DF交于形内，BE＋CF－EF＝11，2BE－3＝11，BE＝7，AB＝7如图，当AE，DF交于形外，BE＋CF＋EF＝11，2BE＋3＝11，BE＝4，AB＝4综上，AB＝7或4变式：1.平行四边形ABCD的周长为32，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB＝______．解析：看到“所在直线” 这样的字眼，第一时间应该想到两解了吧．如图，AD＜AB，则E在AD延长线上，AE＝AB，∵AE：ED＝3：2，∴AE：AD＝3：1，AB：AD＝3：1，设AD＝x，AB＝3x，3x＋x＝16，x＝4，AB＝3x＝12．如图，AD＞AB，则E在AD上，AE＝AB，∵AE：ED＝3：2，∴AE：AD＝3：5，AB：AD＝3：5，设AB＝3x，AD＝5x，3x＋5x＝16，x＝2，AB＝3x＝6．综上，AB＝6或12.二、平行四边形面积类问题例1：平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，若DE＝2，DF＝3，四边形ABCD 的周长是30，求其面积．解析：本题其实早在小学阶段，可能就有同学做过，知道平行四边形周长，则知道了邻边之和为其一半，有了2条高，自然想到面积，用等积法解决．如图，设AB＝x，BC＝15－x，2x＝3(15－x)，x＝9，S＝2x＝18例2：如图，M、N是平行四边形ABCD的边AB、AD的中点，连接MN、MC，若阴影四边形的面积为10，则图中空白部分的面积是____________．解析：面对一般四边形的面积问题，我们通常转化为熟悉的平行四边形求面积，或者将四边形分割成2个小三角形，分别求面积，再求和．本题显然不能转化，尝试分割，若连接NC，则△NMC的面积不好求，所以连接MD．例3：解析：初次拿到这样的题目，很难下手，没有具体的底边和高长，我们求不出各图形的面积，但既然平行四边形对边平行，我们不妨过点P再作一次平行．如图，过点P作EF∥AD，则EF∥BC，四边形AEFD，四边形EBCF均为平行四边形．本题重要结论：S1＋S3＝S2＋S4三、矩形正方形线段和的计算、菱形中面积，最值类问题例1：在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4，对角线AC，BD交于点O，点P是BC边上的一点，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．解析：拿到题目，有些同学立刻反应，说是“将军饮马”问题，但这里是求值，是定值，而将军饮马属于求最值问题．PE，PF分别是高，则想到面积，这才应该是第一反应．如图，连接OP变式：1.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，对角线长为10，P是BC边上的一点，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．解析：本题同样也能用上题思路，PE＋PF＝BO＝5，也能证明四边形EPFO是矩形，PF＝EO，∠EBP＝∠EPB＝45°，则BE＝PE，PE＋PF＝BE＋EO＝BO＝5例2：已知菱形ABCD的周长为20，面积为20，求对角线AC，BD的长．解析：由周长为20，我们可以知道，边长是5，由面积是20，我们可以知道对角线乘积的一半是20，因此，不妨设AC＝2x，BD＝2y，x＞y，例3：如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM＋PN的最小值是________．解析：这才是标准的将军饮马问题，作点M关于AC的对称点M’，则PM＋PN＝P M’＋PN≥M’N(当M’，P，N三点共线时可取等号)，则最小值即为M’N＝5变式：1.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P、N是AC，BC上的一个动点，点M是边AB的中点，则PM＋PN的最小值是________．解析：变成了一定(点M)一动问题(点N)，方法与之前一致，确定AD边上的点M’，则当M’N⊥BC时，M’N最短，过点M’作M’Q⊥BC，利用面积法，S菱形ABCD ＝24，BC＝5，M’Q＝4.8，PM＋PN的最小值是4.8。