课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题
数字信号处理 第三版
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
习题
1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内， 序列定义为
(1) x(n)=1
(2) x(n)=δ(n)
(3) x(n)=δ(n－n0) 0n0N
(4) x(n)=Rm(n) 0mN
(5) n ) jNmn N x(=e,0 m
π 2 (6) n ) x(=cos mn ,0mN2π
(7) x(n)=ejω0nRN(n)
(8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)
(9) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
(10) x(n)=nRN(n)
2． 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFT［X(k)］
Njθ 2e N（1）X (k)= e jθ 2
0 N k=m k=N m其它k
Njθ j2e N jθ（2）X (k)= je 2 0 k=m k=N m 其它k
其中， m为正整数， 0mN/2, N为变换区间长度。
3． 已知长度为N=10的两个有限长序列：
做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。
， 4． 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFT［x(n)］
数字信号处理 第三版
证明 DFT［X(n)］=Nx(N－k)
5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理
1x(0)=N∑X(k)
k=0N 1
6． 设x(n)的长度为N， 且
X(k)=DFT［x(n)］ 0≤k≤N－1
令
h(n)=x((n))NRmN(n) m为自然数
离散傅里叶计算
离散傅里叶计算是数字信号处理中的一种重要技术，它被广泛应用于数据压缩、滤波器设计、信号分析、图像处理等领域。离散傅里叶计算是一种将时域信号转换为频域信号的方法，它基于傅里叶变换理论，可以将复杂的信号分解为简单的基频信号，从而更好地理解和处理信号。
离散傅里叶计算的基本思想是将离散的时间域信号X(n)表示为一组基频信号的加权和。具体地，设N为时间域信号X(n)的长度，K为频域信号Y(k)的长度，则有以下公式：
Y(k) = ∑n=0 to N-1 X(n) exp(-2πikn/N)
其中，exp(-2πikn/N)是旋转因子，n为时间序列的下标，k为频率序列的下标。公式表示了基频信号与时间域信号的对应关系，通过计算得到频域信号Y(k)，就能够发现信号中所有重要的频率成分。
离散傅里叶计算的具体步骤如下：
1.对于时间域信号X(n)，计算频域信号Y(k)的长度K。 2.对于每个频率下标k，计算离散傅里叶变换公式中的旋转因子和加权系数。
3.对于每个频率下标k，将时间域信号X(n)分别与旋转因子和加权系数相乘，并求和得到频域信号Y(k)。
4.由于Y(k)是复数，需要取模或计算模方得到频率幅度谱或频率功率谱。
在实际应用中，离散傅里叶计算的执行可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法实现，该算法能够在O(NlogN)的时间内完成离散傅里叶计算，大大提高了计算效率。
离散傅里叶计算在数字信号处理中有着广泛的应用，其中应用比较典型的包括：
1.数据压缩：采用离散傅里叶计算的方法可以将大量周期性信号的数据压缩到较小的存储空间中。
2.滤波器设计：采用离散傅里叶计算可以得到滤波器的频率响应，从而设计出具有特定频带特性的滤波器。 3.信号分析：离散傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，从而分析信号的高低频成分、频率分布等。
4.图像处理：图像的灰度值数据可以看作是空域数字信号，采用离散傅里叶计算可以将其转换为频域信号，从而实现图像滤波、去噪等图像处理操作。
一、傅立叶变换的由来
关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：
/pdfbook.htm
要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
二、傅立叶变换的提出
让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon
de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
傅里叶变换信号处理
一、傅里叶变换的基本概念
傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的数学工具，它可以将一个信号分解成一系列正弦波的和。傅里叶变换的基本公式为：
F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt
其中，F(ω)表示频域上的信号，f(t)表示时域上的信号，e^(-jωt)为复指数函数。
二、傅里叶变换与离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是对离散信号进行傅里叶变换的方法。它将有限长序列转化为有限长序列，适用于数字信号处理领域。DFT公式为：
X(k) = ∑(n=0)^{N-1}x(n)e^(-j2πkn/N)
其中，X(k)表示频域上的离散信号，x(n)表示时域上的离散信号。
三、傅里叶级数
傅里叶级数是将周期函数分解成一系列正弦波或余弦波之和的方法。它可以用于分析周期性现象，并且在通讯、电子等领域中有广泛应用。傅里叶级数公式为：
f(x) = a_0/2 + ∑(n=1)^{∞}[a_n*cos(nωx) + b_n*sin(nωx)]
其中，a_0、a_n、b_n为系数，ω为角频率。
四、傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理领域中有广泛应用，例如音频信号处理、图像处理等。在音频信号处理中，可以使用傅里叶变换将时域上的音频信号转化为频域上的声谱图，并且可以通过调整不同频率成分的强度来改变音色。在图像处理中，可以使用二维傅里叶变换将图像从空间域转化到频率域，并且可以通过调整不同频率成分的强度来进行滤波或增强特定区域。
五、总结
傅里叶变换是一种重要的数学工具，在信号处理领域中有广泛应用。它能够将一个信号从时域转化到频域，分解成一系列正弦波或余弦波之和。离散傅里叶变换适用于数字信号处理领域，而傅里叶级数适用于周期函数分解。在实际应用中，傅里叶变换被广泛应用于音频信号处理、图像处理等领域，具有重要的意义。
