离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)-数字信号处理

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。

同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。

1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。

时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。

)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。

上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。

FS，FT，DFS，DTFT，DFT，FFT的联系和区别对于初学数字信号处理（DSP）的人来说，这几种变换是最为头疼的，它们是数字信号处理的理论基础，贯穿整个信号的处理。

学习过《高等数学》和《信号与系统》这两门课的朋友，都知道时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点，这就是傅里叶级数展开（FS），它用于分析连续周期信号。

FT是傅里叶变换，它主要用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。

FS和FT 都是用于连续信号频谱的分析工具，它们都以傅里叶级数理论问基础推导出的。

时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点，但对于周期信号和非周期信号又有在频域离散和连续之分。

在自然界中除了存在温度，压力等在时间上连续的信号，还存在一些离散信号，离散信号可经过连续信号采样获得，也有本身就是离散的。

例如，某地区的年降水量或平均增长率等信号，这类信号的时间变量为年，不在整数时间点的信号是没有意义的。

用于离散信号频谱分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。

DTFT是离散时间傅里叶变换，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅里叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅里叶变换，用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。

当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅里叶分析。

我们知道周期离散信号是由无穷多相同的周期序列在时间轴上组成的，假设周期为N，即每个周期序列都有N个元素，而这样的周期序列有无穷多个，由于无穷多个周期序列都相同，所以可以只取其中一个周期就足以表示整个序列了，这个被抽出来表示整个序列特性的周期称为主值周期，这个序列称为主值序列。

数字信号处理实验三离散时间傅里叶变换DTFT及IDTFT一、实验目的：(1)通过本实验,加深对DTFT和IDFT的理解;(2)熟悉应用DTFT对典型信号进行频谱分析的方法;(3)掌握用MATLAB进行离散时间傅里叶变换及其逆变换的方法;二、实验内容：1自己生成正弦序列如矩形序列,正弦序列,指数序列等,对其进行频谱分析,观察其时域波形和频域的幅频特性;记录实验中观察到的现象,绘出相应的时域序列和幅频特性曲线;矩形序列：程序：M=10;N=2M+1;T=;n=-4M:4M;x=zeros1,3M,ones1,N,zeros1,3M;w=-15::15+1e-10;X=sinNwT./sinwT;subplot1,3,1;stemn,x,'.';axis-20,20,,,grid onxlabel'n',title'a序列幅度'subplot1,3,2,plotw,X,grid onxlabel'\Omega',title'b幅频特性'subplot1,3,3,plotw,X,grid onv=axis;axis-pi/T,pi/T,v3,v4;xlabel'\Omega',title'c横轴放大后幅频特性' setgcf,'color','w'正弦序列：程序:n=-10:10; x=sinnpi;k=-200:200; w=pi/100k;X=xexp-jpi/100.^n'k; magX=absX;angX=angleX;subplot3,1,1;stemn,x,'.k';title'xn=sinπn';subplot3,1,2;plotw/pi,magX,'.k';title'Xe^jw幅度谱';subplot3,1,3;plotw/pi,angX,'.k';title'Xe^jw相位谱';n=-10:10; x=sinnpi;k=-200:200;w=pi/100k;X=xexp-jpi/100.^n'k;magX=absX;angX=angleX;subplot3,1,1;stemn,x,'.k';title'xn=sinπn';subplot3,1,2;plotw/pi,magX,'.k'; title'Xe^jw幅度谱'; subplot3,1,3;plotw/pi,angX,'.k'; title'Xe^jw相位谱';波形如下:指数序列：程序：n=-5:5;x=.^n;k=-200:200;w=pi/100k;X=xexp-jpi/100.^n'k;magX=absX;angX=angleX;subplot2,1,1;plotw/pi,magX,'k';grid;axis-2,2,0,15xlabel'frequency in units of\pi';ylabel'｜x｜'gtext'Magnitde Part'subplot2,1,2;plotw/pi,angX,'k'/pi,grid;axis-2,2,-4,4xlabel'frequency in units of\pi';ylabel'radians\pi' gtext'Angle Part';2.对于理想的低通,高通滤波器,用IDTFT 求出它的逆变换所对应得离散时间序列;记录实验中观察到的现象,绘出相应的时域序列曲线;要求滤波器的截至频率可由用户在MATLAB 界面自行输入;程序：wc=pi;n=-10:10+1e-10;hd=sinnwc./npi;subplot1,2,1;plot-pi,-wc,-wc,wc,wc,pi,0,0,1,1,0,0xlabel'频率1/秒';ylabel'幅度';axis-pi,pi,,,grid onsubplot1,2,2;stemn,hd,grid onxlabel'n';ylabel'序列';axis-10,10,wc,wcsetgcf,'color','w'三、思考题离散时间信号的频谱分辨率在实验中能体现出来吗实序列的DTFT具有对称性吗若是,如何体现出来答：能,实序列的DTFT具有对称性;离散时间信号的频谱中,频谱分辨率体现在相同的坐标系下面,能表现信号的范围,当表现的范围越大,其分辨率越高。

dtft,dft和z变换的关系
DTFT、DFT和Z变换都是信号处理领域中常见的变换方法。

它们可以将时域信号转换为频域信号，或将离散时间域信号转换为复平面上的Z域信号。

虽然它们之间有些区别，但它们的本质都是通过数学方法来描述信号的频域特性。

DTFT是离散时间傅里叶变换的一种形式，可以将一个离散时间域信号转化为连续频域信号。

通过DTFT可以得到一个信号的频谱，从而分析信号的频域特性。

DTFT的公式是一个无限长的求和式，需要对信号进行无限次的积分，因此需要消耗大量的计算资源。

DFT是离散傅里叶变换的一种形式，它可以将一个N点离散时间域信号转化为N点频域信号。

相比于DTFT，DFT的计算量更小，因为它只需要对N个采样点进行有限次的计算。

因此，DFT常常用于实际信号处理中，比如在数字音频中进行频谱分析。

Z变换是一种复变函数的变换，可以将一个离散时间域信号转换为复平面上的Z域信号。

Z变换的主要应用是在数字控制系统和数字滤波器中。

通过Z变换，可以将差分方程转换为代数方程，从而进行系统分析和设计。

Z变换的公式类似于DTFT的无限长求和式，需要进行无限次的积分或求和。

综上所述，DTFT、DFT和Z变换都是信号处理中常用的变换方法，它们可以将时域信号转换为频域信号或复平面上的Z域信号。

虽然它们的应用场景和计算方法略有不同，但它们的本质都是描述信号的频域特性。

离散时间傅里叶变换对离散时间傅里叶变换对序言在信号处理中，傅里叶变换、傅里叶级数等都是不可或缺的基本概念。

而在数字信号处理中，离散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）也是一个重要概念。

本文将会介绍离散时间傅里叶变换对及其在信号处理中的应用。

正文一、离散时间傅里叶变换的定义离散时间傅里叶变换是定义在有限时间序列上的傅里叶变换，通俗的说就是对一个离散的时间序列进行傅里叶变换。

在时间域中，序列与函数十分相似，因此离散时间傅里叶变换也可以看作是傅里叶变换的离散形式。

二、离散时间傅里叶变换对的定义离散时间傅里叶变换对通常用来描述信号在不同虚拟频率下的频率响应。

设序列 x(n) 的离散时间傅里叶变换为X(ω)。

序列 h(n) 的离散时间傅里叶变换为H(ω)。

则它们的离散时间傅里叶变换对为：Y(ω) = X(ω) × H(ω)其中，ω 是频率，Y(ω) 是序列 hx(n) 的离散时间傅里叶变换，也就是信号的频率响应。

离散时间傅里叶变换对也被称为卷积定理，因为在频域中，序列与函数之间的乘积就相当于卷积。

三、离散时间傅里叶变换在信号处理中的应用1.信号滤波离散时间傅里叶变换对可以用于对信号进行滤波。

将信号在频域上与一个滤波器的频率响应进行相乘，再进行逆傅里叶变换，就可以得到滤波后的信号。

在数字图像处理、语音识别等应用中，信号滤波是一个十分重要的环节。

2.降噪离散时间傅里叶变换对也可以用于降噪。

通过对干扰信号与被测信号进行相除，就可以在频域上将干扰信号滤除。

在机器学习领域，降噪是一个十分重要的预处理步骤，它可以提高模型的准确性。

3.谱分析因为离散时间傅里叶变换可以将序列从时间域转换到频域，所以它也可以用于信号的谱分析。

例如，对于语音信号的谱分析，可以通过离散时间傅里叶变换将语音信号的频率信息解析出来。

四、总结本文介绍了离散时间傅里叶变换对及其在信号处理中的应用。

第三章离散时间信号的傅里叶变换课程：数字信号处理目录第三章离散时间信号的傅里叶变换 (3)教学目标 (3)3.1引言 (3)3.2傅里叶级数CFS (4)3.2.1傅里叶级数CFS定义 (4)3.2.2傅里叶级数CFS性质 (6)3.3傅里叶变换CFT (7)3.3.1傅里叶变换CFT定义 (7)3.3.2傅里叶变换CFT的性质 (8)3.4离散时间信号傅里叶变换DTFT (9)3.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义 (9)3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质 (10)3.5周期序列的离散傅里叶级数(DFS) (14)3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义 (14)3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质 (18)3.6离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.1离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.2离散傅里叶变换的性质 (23)3.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系 (25)3.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析 (28)3.9实验 (30)本章小结 (32)习题 (33)参考文献： (36)第三章离散时间信号的傅里叶变换教学目标本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。

通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。

3.1引言一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。

离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统是数字信号处理领域中的重要分支，其研究对象是以离散时间为变量的信号和系统。

在离散时间信号和系统理论中，信号的变量只在离散时间点上取值，而系统对信号的处理也是在离散时间点上进行的。

离散时间信号和系统的研究为数字信号处理提供了理论基础和工具。

离散时间信号可以表示为x(n)，其中n是一个整数，代表信号的时间变量。

离散时间信号可以是有限长度的序列，也可以是无限长度的序列。

离散时间信号的幅度可以是实数或复数，表示信号在不同时间点上的取值。

离散时间信号可以用图形表示，横轴表示时间变量n，纵轴表示信号的幅度。

离散时间信号有几个重要的性质。

1. 周期性：如果对于某个正整数N，有x(n) = x(n+N)，那么离散时间信号是周期性的，其最小周期是N。

2. 偶对称性：如果对于任意的n，有x(n) = x(-n)，那么离散时间信号是偶对称的。

3. 奇对称性：如果对于任意的n，有x(n) = -x(-n)，那么离散时间信号是奇对称的。

4. 单位冲激响应：单位冲激响应是一个离散时间信号h(n)，在n=0时为1，其他时间点为0。

单位冲激响应在离散时间系统中起着重要的作用，可以用来表示系统对单位冲激信号的响应。

离散时间系统是对离散时间信号进行处理的数学模型。

离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。

线性系统具有叠加性和比例性质，即对于系统的输入信号x1(n)和x2(n)，系统的输出信号y1(n)和y2(n)，有以下关系：1. 叠加性：系统对输入信号的响应是可叠加的，即y(n) = y1(n) + y2(n)。

2. 比例性：系统对输入信号的响应是可比例的，即y(n) =k1y1(n) = k2y2(n)，其中k1和k2是常数。

离散时间系统可以用差分方程表示：y(n) = a0x(n) + a1x(n-1) + ... + an-1x(1) + anx(0)，其中ai是系统的系数。

离散时间系统的输入和输出信号也可以用离散时间卷积进行描述：y(n) = x(n) * h(n)，其中*表示离散时间卷积运算，h(n)是系统的单位冲激响应。

FFT算法的历史及发展现状——《数字信号处理》结课论文学院通信工程学院专业信息工程摘要传统的算W变换(哈特1设x(n)是一个长度为N的有限长序列，定义x(n)的N点离散傅立叶变换为其中，k=0,1,2,...,N-1.X?(k)?的傅立叶反变换为其中，n=0,1,2,...,N-1.2传统快速傅里叶变换（FFT）FFT(快速傅里叶变换)算法与DFT(离散傅里叶变换)算法比较，其运算量显着减少，用计算机实现时速度大为提高。

其思想是利用2点DFT运算无需乘法的特点，以减少过程在乘法运算上的时间开销。

在FFT被提出的这50年中，最为人所熟知的FFT算法有基2、基4等。

下面为就以这两种FFT算法为例，简要介绍传统FFT的思路与大致算法。

2.1基2FFT正如上文所说，直接计算DFT的算法，对于X（K）的每个K值，需要进行4N次实数相乘和（4N-2）次相加，对于N个k值，共需N*N乘和N（4N-2）次实数相加。

改进DFT算法，减小它的运算量，利用DFT中的周期性和对称性，使整个DFT的计算变成一系列迭代运算，可大幅度提高运算过程和运算量，这就是FFT的基本思想。

设N点序列x(n),.将x(n)按奇偶分组，公式如下改写为：，一个N点DFT分解为两个N/2点的DFT，继续分解，迭代下去，其运算量约为。

下图为按时间抽取的8点的FFT蝶形图：2.2基4FFT当N等于4时的四点DFT运算为：可以看到，类似2点DFT，4点DFT运算也无需乘法，可以简少运算量。

对式进行分解：由上式可得如下矩阵变换过程：可以看到，第一步先对最开始的采样点矩阵每一行进行K点DFT，然后第二步每项对应乘以旋转因子，n0为行（0到3行），m 为列（0到K-1列），最后按列做4点DFT，得到一个按行顺序排列的最终结果。

于是我们可以得到如下信号流图：3当今流行的FFT算法虽然传统的FFT算法已经能解决大多数数字信号的频谱分析问题，但是随着图像处理技术发展，传统的算法在处理新的数字信号频谱问题时已显得有所不足。

实验三：离散时间信号的频域分析一．实验目的1．在学习了离散时间信号的时域分析的基础上，对这些信号在频域上进行分析，从而进一步研究它们的性质。

2．熟悉离散时间序列的3种表示方法：离散时间傅立叶变换（DTFT）,离散傅立叶变换（DFT）和Z变换。

二．实验相关知识准备1．用到的MATLAB命令运算符和特殊字符：< > .* ^ .^语言构造与调试：error function pause基本函数：angle conj rem数据分析和傅立叶变换函数：fft ifft max min工具箱：freqz impz residuez zplane三．实验内容1．离散傅立叶变换在MATLAB中，使用fft可以很容易地计算有限长序列x[n]的离散傅立叶变换。

此函数有两种形式：y=fft(x)y=fft(x,n) 求出时域信号x的离散傅立叶变换n为规定的点数，n的默认值为所给x的长度。

当n取2的整数幂时变换的速度最快。

通常取大于又最靠近x的幂次。

（即一般在使用fft函数前用n=2^nextpow2(length(x))得到最合适的n)。

当x的长度小于n时，fft函数在x的尾部补0，以构成长为n点数据。

当x的长度大于n时，fft函数将序列x截断，取前n点。

一般情况下，fft求出的函数多为复数，可用abs及angle分别求其幅度和相位。

注意：栅栏效应，截断效应（频谱泄露和谱间干扰），混叠失真例3－1：fft函数最通常的应用是计算信号的频谱。

考虑一个由100hz和200hz正弦信号构成的信号，受零均值随机信号的干扰，数据采样频率为1000hz。

通过fft函数来分析其信号频率成分。

t=0:0.001:1;%采样周期为0.001s，即采样频率为1000hzx=sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*200*t)+1.5*rand(1,length(t));%产生受噪声污染的正弦波信号subplot(2,1,1);plot(x(1:50));%画出时域内的信号y=fft(x,512);%对x进行512点的fftf=1000*(0:256)/512;%设置频率轴（横轴）坐标，1000为采样频率subplot(2,1,2);plot(f,y(1:257));%画出频域内的信号实验内容3－2：频谱泄漏和谱间干扰假设现有含有三种频率成分的信号x(t)=cos(200πt)+sin(100πt)+cos(50πt)用DFT分析x(t)的频谱结构。

离散时间傅里叶变换有时也称为序列傅里叶变换。

离散时间傅里叶变换实质上就是单位圆上的(双边)Z变换。

当时域信号为连续信号时，用连续时间傅里叶变换；为离散信号时，用离散时间傅里叶变换。

离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete Time Fourier Transform）使我们能够在频域（数字频域）分析离散时间信号的频谱和离散系统的频响特性。

但还存在两个实际问题：1. 数字频率是一个模拟量，为了便于今后用数字的方法进行分析和处理，仅仅在时域将时间变量t离散化还不够，还必须在频域将数字频率离散化。

2. 实际的序列大多为无限长的，为了分析和处理的方便，必须把无限长序列截断或分段，化作有限长序列来处理。

DTFT是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT 是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT的特点是无论在时域还是频域都是有限长序列。

DFT提供了使用计算机来分析信号和系统的一种方法，尤其是DFT的快速算法FFT，在许多科学技术领域中得到了广泛的应用，并推动了数字信号处理技术的迅速发展。

1》x(n) 做DTFT(离散时间信号的傅里叶变换)得X（ejω），它是连续周期的。

2》对X（ejω）采样，造成x(n)周期沿拓。

即DFS变换对：X1(k)→x1(n)。

X1(k)是X（ejω）采样后的序列，也是周期的。

x1(n)是x(n)周期延拓后的序3》对DFS变换对各取一个周期就得到DFT变换对。

正因为此DFT隐含有周期性。

序列的傅立叶变换(DTFT)与离散傅立叶变换(DFT)是两个不同的定义（他们的关系从上可知），计算公式不一样。

两者变换后一般是复数，纵轴可以代表幅度，也可带变相位，即有幅度谱和相位谱。

当然也能按实部，虚部分。

提问者评价离散时间信号的傅里叶，由于时域是非周期导致频域连续。

刚说错了，下午我往后看了下书，果然是这么回事。

、不是能不能，而是只能得到连续的频谱。

数字信号处理实验三离散时间傅里叶变换DＴFT及ＩDTFＴ一、实验目的：(1)通过本实验,加深对DTFＴ和IＤＦT的理解。

(2)熟悉应用DTFT对典型信号进行频谱分析的方法.(3)掌握用MATLＡB进行离散时间傅里叶变换及其逆变换的方法。

二、实验内容：(1）自己生成正弦序列(如矩形序列，正弦序列，指数序列等），对其进行频谱分析,观察其时域波形和频域的幅频特性。

记录实验中观察到的现象,绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。

矩形序列：程序：Ｍ=１0；N=2*M+1；T=０.5;n=—４＊M：4＊M；x=［zeros(1，3＊M)，ｏnes(1,N）,zｅros（1，3*M)];w＝［-1５:0。

1：15]+1ｅ—10；X=sin（0．5*N＊ｗ＊T）./siｎ（0。

5*w＊T）;subplot（1，3,1）;stem（ｎ，x,'.＇）;axis（[－2０，20,-0。

1,1．1]），grｉd oｎxｌａｂｅl(＇n’），titlｅ(＇（a)序列幅度'）ｓuｂplｏt(１，3，２)，plot（w,X）,griｄｏnxlabｅl（'＼Omegａ’），titｌe（＇(b）幅频特性')subｐlｏｔ（1,3，3)，plｏｔ(w，Ｘ),ｇrｉｄonv=axis；axｉｓ([-pi/Ｔ,pi/T，v（３），ｖ(４)］）；ｘlabeｌ（’\Ｏｍｅga’），titｌe（＇（c）横轴放大后幅频特性'）sｅt（ｇcf,'color'，＇w＇）正弦序列：程序：n＝-10：1０；ｘ=sｉn（n*pi）；k＝－200：200;w＝（pi／１00）*ｋ;X=ｘ*(eｘｐ(—j＊pi／1０0)）．＾（n＇＊ｋ）;mａgX＝ａbs（X）;aｎgＸ=angｌe（X)；subplot(３，1,1);sｔem(ｎ，x，’。

ｋ＇）；titlｅ（＇x(n)=ｓin（πn）’）；subplot（３,１,2)；plｏｔ(w/ｐｉ,ｍagＸ,＇。