第四章 能带理论1

V (r ) V (r R
n
)
式中，Rn 为晶格周期性平移矢量，
则，薛定鄂方程
2 2m
2
V ( r ) ( r ) E ( r )
的本征函数 (r) 具有调幅平面波的形式：
(r ) u k (r )e
i k r
其中 称
u k (r )
E ' (... r i ... R ...)
这种把电子系统与原子核 (离子实) 分开处理的方法称为绝热近似。
上述方程虽然经过简化，但仍然是多电子体系的薛定鄂方程，精 确求解仍然非常困难。
因为，所有电子的状态都是相互关联的，任一电子的状态不仅与 自身位置有关，而且和所有其它电子位置有关。
是以晶格为周期的函数, 即： u k ( r )
(r )
u k (r R l )
,
k 是一个实矢量，
(r )
为布洛赫波，称由
描述的电子为布洛赫电子。
4.2 周期场中单电子状态的一般属性
4.2.1 布洛赫定理
布洛赫定理证明：
T (R
引入平移符， n )， T ( R n ) 作用于任意函数 f ( r ), 得 T ( R n ) f( r ) f ( r R n ) 根据定义 T ( R m )T ( R n ) f (r ) T ( R m ) f (r R
n
m
) A(R
) ( r )
即有，
A(R
R
m
) A(R
2
) A(R
)
(2)
由以上结果
和上式
(1)
(2) ， 得到
A(R n )

ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。

电阻率为 10-8Ω•m 以下的物体为导体 电阻率为108Ω•m以上的物体为绝缘体 电阻率介乎上面两者之间的为半导体
引子： ★孤立的原子，其轨道电子的能量由一系列分立 的能级所表征； ★原子结合成固体时，这些原子的能级变扩展而 形成能带； ∴★因一为个在固原体子是内否层导能电级取上决充于满同电价子电，子所能以级相相应对的应的 能内带层能→带价是带满是带否→被电不子参填与满导电；
由于N 很大，新能级中相邻两能级的能量差仅 为 10-22eV，几乎可以看成是连续的，N 个新能 级具有一定的能量范围，通常称为能带。 即：使本来处于同一能量状态的电子产生微小的 能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
通常采用与原子能级相同的符号来表示能带，如1s 带，2p 带等！
三、能带结构
1、能带
★通常情况下，价带为能量最高的 能带；
★价带可能被电子填满，成为满带； ★也可能未被电子填满，形成不满
带或半满带。
空带
带隙
价带
在绝缘体中，价电子刚好填满 最低的一系列能带，最上边的 满带 —— 价带
绝缘体
再高的各能带全部都是空的 —— 空带
导体中，一部分价电子存在于不满带中，这种能 带称为导带
导带
（1）导体：能带结构有三种形式
形式1：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用 下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较 高能级 —— 从而形成电流
导带中电子的转移
例如： 金属Li 电子排布1s22s1 每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只 能添满半个价带 —— 实际参与导电的是不满带中 的电子 —— 电子导电型导体
这些允许的范围称为能带 不能处于两个能带之间的区域，此区域称为禁带
关于能带的形成，还可以从晶体中各个原子的能级的 相互影响来说明： 能 级：

二、布洛赫定理
当平移晶格矢量时，同一能量本征值的波函数只增加相位因子
§4布洛赫定理和布洛赫波
重要推论 1. 晶格电子可用通过晶格周期性调幅的平面波表示。 2. 只需将k值限制在一个包括所有不等价k的区域求解 薛定谔方程，这个区域称为布里渊区。 三、布洛赫波能谱特征 1.对于一个确定的 ，有无穷多个分立的能量本征 本征函数 和相应的
2 2 V ( r ) ( r ) E ( r ) 2m
这种建立在单电子近似基础上的固体电子理论称为能带论
§4 布洛赫定理和布洛赫波
一、平移算符、周期场中单电子状态的标志 在量子力学中，量 1.平移算符 子态如何标记？
第 四 章 能 带 论
一狄喇克统计。
1928 年，索末菲借鉴德鲁德模型的假设，重新考虑了金属中的电子气的性质。从 量子力学的观点看，电子是服从泡利不相容原理的费密子（ Fermion ) ，那么由全同 的电子组成的电子气体，应服从费密一狄喇克（Fermi 一 Dira）统计，而不是遵循经 典统计物理中的麦克斯韦一玻耳兹曼（ Maxwen 一 Boltzmann）统计。
§4布洛赫定理和布洛赫波
§1布洛赫定理和布洛赫波
§4布洛赫定理和布洛赫波
§4布洛赫定理和布洛赫波
§4布洛赫定理和布洛赫波
§4布洛赫定理和布洛赫波
2维方格子的布里渊区
二维长方晶格的布里渊区
二维正方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
面心立方晶格的第一布里渊区
u s u（0）e i（t ska）
当
k k G时
u u（0）e
i[（k
2 2 n）t s（k n] a a