第一章能带理论138页PPT

2
k V k
II、能量的二级修正：
Ek(2)
k
Ek0 Ek0
kV k
a. k k n 2
a
kVka 10 aei2a nV()dVn
b. k kn2 kV k 0
a
2
二级微扰能：
E (2) k
k
kV k Ek0 Ek0
n
Vn 2
2 2m
k
2
(k
n a
2
)2
微扰下的电子能量就可写成：
有 N个具有相同能量 的束缚态波函数 ，所以在不考虑原 认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里—福克自洽场近似，也称为单电子近似。
二、近自由电子近似（Nearly Free Electron）模型
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较 小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电 子
的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是
它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来V求解。
（也称为弱周期V 场(近x)似）V。势场V(x)可用平均势 代替，
E
Ek0
Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
Ek0 Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E i：原来较低的
E
0 k
态微扰使它下降为：
E ii：原来较高的
E
0 k
态微扰使它更高为：
差别为 2 V n
——在近自由电子近似中，在晶体中运动的共有电子被看成
是近自由电子。所有电子及原子实产生的场是具有晶格周期
性的等效势场，周期性势场的起伏对共有化电子

因为价电子对晶体性能的影响最大，并且在结合成晶体时
原子中的价电子状态变化也最大，而原子内层电子状态变化
较小，所以，可以把内层电子和原子核看成是一个离子实。
一般温度下，离子实总是围绕其平衡位置做微小振动(晶格振 动)。但在零级近似下，晶格振动的影响可以忽略，价电子可 以看作是在固定不变的离子实势场中运动。
9
第110页/共169页
10
第112页/共169页
2、 能隙的起因
对于一维点阵（点阵常数为a），
电 界
子 时
的波函 （k 即 π n
数
e时ikx
若k ），
远离 电子
BZ边 波不受
Bragg反射a ，从各原子散射的波没有
确定的位相关系，对入射波的传播
无什么影响，与x-ray在晶体中的传
播是相同的。
=
k
(r )
即 面
波波T
k函 (r数) 相乘
为一k 的形
个r 式
周T期 ，其
性 中
函
数
与
一个平 是一
个具有晶体点阵周期性的函数。
28
第3209页/共169页
把
波函数
k (r T )
平=移点阵平移矢 e k = K
(r
T)
ik (
r
T
(r )
eik r
eik T
)
量可得：
=K
2
1 2
i j
e2
40r rij
U0
R1,R ,
U r1,ri ,; R1,R , r1,ri ,; R1,R ,
E r1,ri ,; R1,R ,
i ——电子系统； ——原子系统

42
1.7.5只有一种杂质的半导体
• 2、P型半导体
• 在杂质饱和电离的温度范围内有：p N a • 导带电子浓度为： n ni2 ni2
p Na
• 费米能级为
EF

EV
KT ln
NV Na
EF

Ei
KT
ln
Na ni
43
1.7.5只有一种杂质的半导体
• 结论：对于P型半导体，在杂质饱和电离 温度范围之内，费米能级位于价带顶之上， 本征费米能级之下。随着掺杂浓度提高， 费米能级接近价带顶；随着温度升高，费 米能级远离价带顶。
成共价键时，将因缺少一个价电子而形 成一个空穴，于是半导体中的空穴数目 大量增加。
22
1.6杂质能级
• Acceptor，掺入半导体的杂质原子向半导 体中提供导电的空穴，并成为带负电的 离子。
• 掺入受主杂质的半导体为P（Positive）型 半导体。施主杂质的浓度记为NA。
23
1.6杂质能级
• 受主接受电子称为受主杂 志，提供了一个局域化的 电子态，相应的能级称为 受主能级—Ea。
NV

2 2mdp KT
h3
3 2
• 称为价带有效状态密度
34
1.7.3能带中电子和空穴的浓度
• 导带电子浓度和价带空穴浓度之积
Eg
np Nc NV e KT • 式 把中它E写g为成禁经带验宽关度系。式与E温g 度有E关g0 ， 可T以
• 其 时中的Eg值为。禁带宽度温度系数，Eg0为0K
Chap1 半导体物理基础
1
1.2 能带
一、能带的形成 • 能级：电子所处的能量状态。 • 当原子结合成晶体时，原子最外层的价

电阻率为 10-8Ω•m 以下的物体为导体 电阻率为108Ω•m以上的物体为绝缘体 电阻率介乎上面两者之间的为半导体
引子： ★孤立的原子，其轨道电子的能量由一系列分立 的能级所表征； ★原子结合成固体时，这些原子的能级变扩展而 形成能带； ∴★因一为个在固原体子是内否层导能电级取上决充于满同电价子电，子所能以级相相应对的应的 能内带层能→带价是带满是带否→被电不子参填与满导电；
由于N 很大，新能级中相邻两能级的能量差仅 为 10-22eV，几乎可以看成是连续的，N 个新能 级具有一定的能量范围，通常称为能带。 即：使本来处于同一能量状态的电子产生微小的 能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
通常采用与原子能级相同的符号来表示能带，如1s 带，2p 带等！
三、能带结构
1、能带
★通常情况下，价带为能量最高的 能带；
★价带可能被电子填满，成为满带； ★也可能未被电子填满，形成不满
带或半满带。
空带
带隙
价带
在绝缘体中，价电子刚好填满 最低的一系列能带，最上边的 满带 —— 价带
绝缘体
再高的各能带全部都是空的 —— 空带
导体中，一部分价电子存在于不满带中，这种能 带称为导带
导带
（1）导体：能带结构有三种形式
形式1：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用 下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较 高能级 —— 从而形成电流
导带中电子的转移
例如： 金属Li 电子排布1s22s1 每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只 能添满半个价带 —— 实际参与导电的是不满带中 的电子 —— 电子导电型导体
这些允许的范围称为能带 不能处于两个能带之间的区域，此区域称为禁带
关于能带的形成，还可以从晶体中各个原子的能级的 相互影响来说明： 能 级：

能带理论结合多尺度模拟方法，可以 更准确地描述和预测材料输运性质， 从原子到宏观尺度全面了解材料的性 能。
能带理论在材料输运性质研究中的挑战与问题
01
复杂系统模拟
能带理论在复杂系统输运性质模拟方面面临较大挑战，如 何准确描述相互作用、界面效应等问题是需要解决的关键 科学问题。
02 03
量子效应
在纳米尺度，量子效应对材料输运性质具有重要影响，如 何考虑量子效应并将之纳入能带理论框架内是当前研究的 热点问题。
02
CATALOGUE
能带理论的基本概念
能带理论的定义
能带理论是一种描述固体材料电子结构和物理性质的理论框架。它基于量子力学的原理，将材料的电子结构与宏观性质联系 起来。
能带理论主要关注的是材料的电子态和能量相关的性质，它可以用来解释和预测材料的许多物理和化学性质。
能带理论的基本原理
周期性边界条件
电子结构和能量有关。
03
CATALOGUE
材料输运性质的能带理论模型
玻色-爱因斯坦统计模型
01
玻色子
具有整数自旋的粒子，服从玻色-爱 因斯坦统计模型。
占据态
在能带理论中，电子占据的能级称 为占据态。
03
02
费米子
具有半整数自旋的粒子，服从费米狄拉克统计模型。
空占据态
在能带理论中，未被电子占据的能 级称为空占据态。
在能带理论中，假设固体材料具有周期性边界条件，即材料的电 子结构在空间中是重复的。
波矢
能带理论使用波矢来描述电子的动量，波矢与能量有关，不同的波 矢代表不同的电子态。
能带
在能带理论中，将材料的电子态按照能量进行分类，这些能量范围 被称为能带。不同的能带有不同的电子态和性质。

分布向电场反方向移动。因为有
dk
e
dt
•
（a）布洛赫振荡：刚有外场时，由于
v(k )
是
k
的周
期函数，故电子速度发生周期性振荡，电子在实空
间位置也发生振荡，此效应称为布洛赫振荡。
• （b）当电子运动时，受到晶格振动、杂质和缺陷 的散射，达到一个稳定的不对称分布，不再振荡。 此时，沿电场正反方向电子数不相等，总的电流不
(1)研究离子运动时，认为电子能跟上离子位置变化，不考 虑其影响——即晶格振动问题，描述原子或离子围绕平衡
位置的小振动问题。
(2)研究电子运动时，假定离子实静止在平衡位置上，晶格 具有严格周期性，而晶格振动对电子影响当作微扰来处
理——即能带理论，研究固体中的电子状态。
单电子近似：含有大量电子的体系中，每个电子受到其
•
出,
l1,
k
l2,l3 为整数），
相邻取值相差很小。
最新版整理ppt
12
•
2． 能带： 对于同一个n的
En(k)
由不同的
k
组成许多靠得很
近的能级组，称为能带。
• 3． 能带结构 对于不同的n，En(k) 形成单电子能谱。En(k) 的总体 称为晶体的能带结构。
1．
所以单电子能谱是由许多能带组成（每个n对应 一个能带）。 • 对值一，个靠能得带很中近的为准En(k连)是续）k 相的邻准能连带续E函n(k)数和（分立 En1(k) 之间可以相接，重叠或分开。
23
紧束缚近似的晶格势场
A
rRm
注：
V(rR m)
r
Rm
Rm 处格点对A处
电子的作用；
a
V

设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 l +1)个电子。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
6
2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。
所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。
26
从 E ~ k 曲线还可以
E
看出： k 值越大，
相应的能带越宽。
E7
k n 2 n 2
Na L (n 0,1,2,)
maU 2
0b
sin
a
a
cos
(
a)
cos(ka)
(4)
式中
2mE
而 k 2 是电子波的角波数*。
（4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子
能量 E与角波数 k 之间的关系式。
注*：有兴趣的读者可参阅〈固体物理基础〉
蔡伯熏编（1990）P 268。
21
maU 2
0b
s
in
a
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的
波数 k 只能取一些特定的分立值。
13
证明如下:
由周期性边界条件 k ( x) k ( x Na)
(3)
按照布洛赫定理：
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )

i 2 l 1
N1 = 1
cos 2 l1
l1 是任意整数
ix i 2l1
又e cosx cos2l1
2 il 1
又 e cos x i sin xe
ix
e cos 2 l 1 N 1
e 1
1 e
l1 2i N1
2 e
l2 2i N2
3 e
l3 2i N3
其中 l1 , l2 , l3 为整数 如果引入矢量:
l l l 3 2 k 1 b b b 1 2 3 N N N 1 2 3
T r a f r a a T T f r

T T T T


2 m 2 2 2 m 22 2 2 2 2 h rr h r 证明：T r ff f r Hf r TT T VV r TT Hf r r r Hf r V r r 2 2 2 2 m 2 2 m 2 m h h r a r a 2 2 h V r a f 2 2 2 2 V r a 2 h 2 r a h r r a f a rr aa a V r 2 m r r VV a f r a a 2 m a f r 2 m 2 m 2 m 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 h h r r r h h rr f r T rr f VV r TT r V r f r V r T f r 2m m 2 V r T f 2 m 2 m 2 m HT HT f f r r HT r f f r HT TT H H HT HT T Hf

第六章 能带实际〔一〕
第六章 能带实际
6.1 周期场中单电子形状的普通特征〔Bloch定理〕 6.2 一维周期场中电子运动的近自在电子近似 6.3 三维周期场中电子运动的近自在电子近似 6.4 紧束缚近似〔TBA〕 6.5 克勒尼希-彭尼〔Kronig-Penny〕 模型 6.6 能带构造的计算方法 6.7 晶体能带的对称性 6.8 能态密度和费米面 6.9 晶体中电子的运动特征 6.10 在恒定电场作用下电子的运动 6.11 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 6.12 在恒定磁场中电子的运动 6.13 能带构造的实验研讨
k rRn eikRn k r
它阐明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子
eikRn， 它不影响波函数的大小，所以电子出如今不同原胞的
对应点上几率是一样的。这是晶体周期性的反映。
Bloch 定理：
周期势场中 的电子波函 数必定是按 晶格周期函 数调幅的平 面波。
Bloch 定理的物理证明〔定性阐明〕： 周期势场中的波函数也应具有周期性是无疑的，因此方程
能带论虽比自在电子论有所严厉，但依然是一个近似实际。
假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷 Ze 的离子实，相应 地有 NZ 个价电子，那么该系统的哈密顿量为:
Hˆ
NZ
i1
2
2mi2
1 2
i, j
'1
40
e2 ri rj
N2
n1 2M n2
1 ' 1
(Ze)2
NZ N
1
Ze2
2 m,n 40 Rn Rm
黄昆 书 4.1节 p154-157
虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下 的单电子薛定谔方程，但详细求解仍是困难的，而且不同 晶体中的周期势场方式和强弱也是不同的，需求针对详细 问题才干进展求解。

Ａ3型堆积可抽出六方晶胞，晶胞中心两个球的分数坐标01）。（如图4（b）（c））
（b）
六 方 晶 胞
a
b
1b 3
2a
3
(C)六方晶胞中的圆球位置
金属晶体及晶体结构的能带理论
由下面的(d)、(e)图我们可清楚看出A3型堆积 中的四面体空隙和八面体空隙 在立方面心晶胞中，有8个四面体空隙，4个八面体空隙，见图5 (e)、(f)
图3（a）
金属晶体及晶体结构的能带理论
在密置双层中可形成两种空隙：即四面体空隙（ 3个相邻的 A球+1个B球或3B+A）和八面体空隙（由3个A球和3个B球结合 而成，两层球的投影位置相互错开60º，连接这六个球的球心得 到一个正八面体3A+3B)。 如下图所示
(b)正四面体空隙
(c)正八面体空隙
金属晶体及晶体结构的能带理论
图2：等径圆球的密置层 2、密置列、密置层和密置双层 （图如2：图等2）径在圆密球置的层密中置每层个球都与周围六个球紧密接触，配位数为6，三个球形成一个三角形空隙，因此每个球分摊两个三角形空隙。 二（、如金 图属2）晶在体密结置构层密中堆每积个的球几都种与常周见围形六式个球紧密接触，配位数为6，三个球形成一个三角形空隙，因此每个球分摊两个三角形空隙。 面晶心胞立 中方球最的密配堆位积数（为A121，）球型的半径r与晶胞参数a的关系为 图4、2： 面等心径立圆方球最的密密堆置积层（A1)型 在（立如方 图面4（心b晶）胞（中c），）有8个四面体空隙，4个八面体空隙，见图5 (e)、(f) （这d种）自晶由胞电参子数我与们圆用球三半维径势的箱关模系型和电子能带理论进行处理。 4本、节面课心我立们方专最门密讨堆论积怎（样A用1)等型径圆球的密堆积模型来形成这种骨架。 叠以合后过 第程四为、：五将、第六二层层的球投的影球位心置投分影别到与第一层、中二由、三个层球重所合围。成的三角形空隙的中心上，及上、下两层密置层相互接触并平行地互相 错4、开面。心立方最密堆积（A1)型 二、金属晶体结构密堆积的几种常见 形式 2、密金置属列的、晶密体置结层构和，密除置A1双、层A3型外，还有体心立方堆积A2型。 二以、后金 第属四晶、体五结、构六密层堆的积投的影几位种置常分见别形与式第一、二、三层重合。 这在种由自 无由方电向子的我金们属用键三力维、势离箱子模键型力和电范子德能华带力理等论化进学行键处力理结。合的晶体中，原子、离子和分子等微粒总是趋向于相互配位数高，能充分 晶利胞用中 空球间的配堆位积数密为度大12的，那球些的结半构径。r与晶胞参数a的关系为 叠合过程为：将第二层球的球心投影到第一层中由三个球所围成的三角形空隙的中心上，及上、下两层密置层相互接触并平行地互相 错开。 （d）晶胞参数与圆球半径的关系