能带理论的基础

V (r a )] f (r a )
2 r a
和
2 x 2 ,
2 y2 ,
2 z 2
微分结果一样
T
Hˆ f
(r)

[
2 2m

2 r

V
(r)]
f
(r

a
)


Hf (r a ) HT f (r )
T H HT
布洛赫定理：当势场
V
(r )
具有晶格周期性时，波动
方程的解具有以下性质

(r

Rn
)

e

ik Rn
(r )


k 为一矢量。当平移晶格矢量为
了位相因子
e
ik

Rn
Rn
，波函数只增加
根据布洛赫定理，波函数可以写成

(r )

e
ik r
uk
(r )
布洛赫函数
H Hi
i
H i ( ri ) Ei ( ri )
能带理论的基本近似和假设:
3)周期性势场假设: 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
V ( r ) ( r ) u( r )
V ( r ) V ( r Rn )
在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多
电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子
TT T T



平移任意晶格矢量 Rm m1a1 m2a2 m3a3
对应的平移算符
T
(
Rm
)

T m1 1

能带理论能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。

固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。

为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。

能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出。

具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。

前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。

能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。

每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。

为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。

能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。

致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。

从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。

禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。

原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。

被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。

价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。

V (r ) V (r R
n
)
式中，Rn 为晶格周期性平移矢量，
则，薛定鄂方程
2 2m
2
V ( r ) ( r ) E ( r )
的本征函数 (r) 具有调幅平面波的形式：
(r ) u k (r )e
i k r
其中 称
u k (r )
E ' (... r i ... R ...)
这种把电子系统与原子核 (离子实) 分开处理的方法称为绝热近似。
上述方程虽然经过简化，但仍然是多电子体系的薛定鄂方程，精 确求解仍然非常困难。
因为，所有电子的状态都是相互关联的，任一电子的状态不仅与 自身位置有关，而且和所有其它电子位置有关。
是以晶格为周期的函数, 即： u k ( r )
(r )
u k (r R l )
,
k 是一个实矢量，
(r )
为布洛赫波，称由
描述的电子为布洛赫电子。
4.2 周期场中单电子状态的一般属性
4.2.1 布洛赫定理
布洛赫定理证明：
T (R
引入平移符， n )， T ( R n ) 作用于任意函数 f ( r ), 得 T ( R n ) f( r ) f ( r R n ) 根据定义 T ( R m )T ( R n ) f (r ) T ( R m ) f (r R
n
m
) A(R
) ( r )
即有，
A(R
R
m
) A(R
2
) A(R
)
(2)
由以上结果
和上式
(1)
(2) ， 得到
A(R n )

能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，定性的阐明了晶体中电子运动的普遍性特点。

在本章中主要学习了布洛赫定理和近自由电子近似等相关知识。

一、布洛赫定理1.晶格的周期性势场(1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和；(2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子；(3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性；(4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。

2. 布洛赫定理当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：),(e )(r R r n R k i n ψψ⋅=+其中k 为电子波矢，332211n a n a n a n R ++=是格矢。

布洛赫函数的具体形式为： ()()r u r k r k i k ⋅=e ψ，()()n k k R r u ru +=。

3.近自由电子近似近自由电子近似是指如下的近似方法：依据能带理论，可以认为固体内部电子不再束缚在单个原子周围，而是在整个固体内部运动，仅仅受到离子实势场的微扰。

在远离布里渊区边界时，本征波函数的主部是动量的本征态，散射仅仅提供一阶修正。

近自由电子近似应用范围有限，只对碱金属适用。

正因为如此，这一类晶体的费米面近似为球形。

本章中近自由电子近似包括一维周期场和三维周期场中电子运动的近自由电子近似。

二、相关概念赝势指把离子实的内部势能用假想的势能取代真实的势能，但在求解波动方程时，不改变能量本征值和离子实之间区域的波函数。

费米面指金属中的自由电子满足泡利不相容原理，其在单粒子能级上分布几率遵循费米统计分布。

实际上，费米面可以理解为是最高占据能级的等能面，是当T=0时电子占据态与非占据态的分界面。