2018届高考数学人教A版(理)二轮复习第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③夹角：cosθ＝ ＝ .
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ · .
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3.（2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是 ＋ ＋ ＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则 ＋ ＝2 ；
(3)对于平面上的任一点O， ， 不共线，满足 ＝x ＋y (x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
【答案】D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，A正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，B正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，C正确；
＋ ＋ ＝ ＋0＝ ＝ ≠ ，D错误，
故选：D．
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同

第五章平面向量与复数考情探究2022新高考Ⅱ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算2021新高考Ⅰ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算2021新高考Ⅱ，1复数的概念复数的几何意义运算求解基础性数学运算2020新高考Ⅱ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算2020新高考Ⅰ，2复数的运算复数的除法运算运算求解基础性数学运算【命题规律与备考策略】本章内容分为两部分，第一部分平面向量、第二部分复数．高考对第一部分内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模．试题以中低档题为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为5分．高考对部分的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想．高考对第二部分内容的考查，一般出现在选择题前2题中，比较简单，分值为5分．高考命题主要集中于：①复数的相关概念，如虚数、纯虚数、共轭复数等；②复数的几何意义及复数的模的最值问题；③复数的四则运算，常考查乘、除法运算；④虚数单位i的性质．备考时，要掌握常见的知识与解题方法，加强对复数的概念的理解，提高运算求解能力．第一讲平面向量的概念及其线性运算知识梳理知识点一向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．2．零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0.3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点二向量的线性运算三角形法则平行四边形法则三角形法则(1)模：|λa|＝|λ||a|；向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.归纳拓展1．零向量与任何向量共线．.2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±a|a|3．若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．4．首尾相连的一组向量的和为0.5．若P 为AB 的中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．6．若a 、b 不共线，且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．(√)(2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(×)(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(×)(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(√)题组二走进教材2．(必修2P 22T4改编)化简AB →＋BD →－AC →－CD →＝(B )A.AD →B ．0C ．BC→D ．DA→[解析]AB→＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0.3．(必修2P 15T3改编)八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则OA→－ED →＝(B )A.OD →B ．DO →C ．DA→D ．AD→[解析]OA→－ED →＝EO →－ED →＝DO →.故选B.4．(多选题)(必修2P 15T4改编)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中(BC )A ．向量CH →，DG →的模相等B ．|AE→|＝10C ．向量DG →，HF →共线D ．|DG→|＋|HF →|＝10[解析]对于ABD ，通过计算向量的模进行判断即可，对于C ，通过判断直线DG ，HF 的位置关系来判断两向量是否共线．因为|CH→|＝32＋12＝10，|DG →|＝22＋22＝22，所以|CH →|≠|DG →|，所以A 错误；因为|AE →|＝32＋12＝10，所以B 正确；因为∠CDG ＝∠CFH ＝45°，所以DG ∥HF ，所以向量DG→，HF →共线，所以C 正确；因为|DG →|＋|HF →|＝22＋22＋32＋32＝52≠10，所以D 错误，故选BC.题组三走向高考5．(2020·新高考Ⅱ，3,5分)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →＝(A )A ．2CD →－CA →B ．2CA →－CD →C ．2CD→＋CA →D ．2CA→＋CD →[解析]∵D 为△ABC 的边AB 的中点，∴CD →＝12(CA →＋CB →)，∴CB →＝2CD →－CA →.故选A.6．(2015·新课标2,13,5分)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝12.[解析]∵a 、b 不平行，∴a ＋2b ≠0，由题意可知存在唯一实数m ，使得λa＋b＝m(a＋2b)，即(λ－m)·a＝(2m－1)b，－m＝0，m－1＝0，解得λ＝12.向量的基本概念——自主练透1.(多选题)(2023·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为(BC)A．向量AB→的长度与向量BA→的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量[解析]A正确，AB→与BA→是相反向量，长度相等；B错误，当a，b其中之一为0时，不成立；C错误，当a，b其中之一为0时，不成立；D正确，因为零向量与任何一个向量共线．故选BC.2．设a，b都是非零向量，下列四个条件，使a|a|＝b|b|成立的充要条件是(D) A．a＝b B．a＝2bC．a∥b且|a|＝|b|D．a∥b且方向相同[解析]a|a|表示a方向的单位向量，因此a|a|＝b|b|的充要条件是a∥b且a与b 同向．名师点拨：1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．3．平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．4．非零向量a与a|a|的关系是：a|a|是a方向上的单位向量.向量的线性运算——多维探究角度1向量加、减法的几何意义设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则(A )A ．a ⊥b B ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |[解析]解法一：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB→＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .解法二：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b .∴a ·b ＝0.∴a ⊥b .角度2向量的线性运算1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA→＝m ，CD →＝n ，则CB →＝(B )A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n[解析]CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.2.(2024·宣城模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC →＝a ，BA→＝b ，BE →＝3EF →，则BF →＝(B )A.1225a ＋925b B ．1625a ＋1225b C.45a ＋35b D ．35a ＋45b[解析]BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋34EA →＝BC →＋34(EB →＋BA →)＝BC →＋34－34BF →＋BA →，即BF →＝BC →＋34－34BF →＋BA →BF →＝1625BC →＋1225→，即BF →＝1625a ＋1225b .角度3根据向量线性运算求参数(2023·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 的中点，CE →＝－2DE→，若EF →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y ＝(C )A ．1B ．6C.16D ．13[解析]因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB→＝DC →，AD →＝BC →，因为CE→＝－2DE →，所以ED →＝－13DC →＝－13AB →，连接AF ，在△AEF 中，所以EF→＝EA →＋AF →＝ED →－AD →＋AB →＋BF →＝－13AB →－AD →＋AB →＋12BC →＝23AB →－12AD →，又因为EF→＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23，y ＝－12，故x ＋y ＝16.名师点拨：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略1．考查向量加法或减法的几何意义．2．求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．3．与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．4．与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【变式训练】1．(角度1)(2022·湖北宜昌一中月考)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是(D )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb [解析]因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以a 与b 共线同向，故D 正确．2．(角度2)(2022·长沙模拟)如图，在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设BA →＝a ，BC →＝b ，则BE →＝(D )A.12a ＋14b B ．13a ＋56bC.23a ＋23b D ．12a ＋34b[解析]解法一：如图所示，取BC 的中点F ，连接AF ，因为BC ＝2AD ，所以AD ＝CF ，又AD ∥CF ，所以四边形ADCF 为平行四边形，则AF ∥CD ，所以CD→＝F A →.因为DE ＝EC ，所以CE →＝12CD →＝12FA →，所以BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12F A →＝BC →＋12(BA →－BF →)＝BC →－12BC ＝12BA →＋34BC →＝12a ＋34b ，故选D.解法二：如图，连接BD ，因为DE ＝EC ，所以BE →＝12(BD →＋BC →)＝12(BA →＋AD →＋BC →)＋12BC →＋＝12BA →＋34BC →＝12a ＋34b ，故选D.3．(角度3)(2023·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN→＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝(A )A.13B ．12C ．－12D ．－13[解析]由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB→)＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.故选A.共线向量定理及其应用——师生共研设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[分析](1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；(2)利用共线向量定理求解．[解析](1)证明：∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，－λ＝0，－1＝0，解得k ＝±1.[引申]本例(2)中，若k a ＋b 与a ＋k b 反向，则k ＝－1；若k a ＋b 与a＋k b 同向，则k ＝1.[解析]由本例可知k a ＋b 与a ＋k b 反向时λ<0，从而k ＝－1；k a ＋b 与a ＋k b 同向时λ>0，从而k ＝1.名师点拨：平面向量共线的判定方法1．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．【变式训练】1．若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则实数k 等于(B )A ．－1B ．1C ．32D ．2[解析]由题意知，NQ→＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.故选B.2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于(D )A ．aB ．bC ．cD ．0[解析]解法一：∵a ＋b 与c 共线，∴a ＋b ＝λ1c .①又∵b ＋c 与a 共线，∴b ＋c ＝λ2a .②由①得：b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a .1＋1＝0，2＝－1，1＝－1，2＝－1.∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.故选D.解法二：①－②得a －c ＝λ1c －λ2a ∴λ1＝－1、λ2＝－1，∴a ＋b ＋c ＝0.易错警示——都是零向量“惹的祸”下列命题正确的是(D )A ．向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．若向量a ，b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线[解析]易知ABC 错误．对于D.∵向量a 与b 不共线，∴向量a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量．若a ＋b 与a －b 共线，则存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，－1＝0，＋λ＝0，此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．故D正确．名师点拨：在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．【变式训练】下列叙述正确的是(D)A．若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同B．|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b的方向相同C.AB→＋BA→＝0D．若λ≠0，λa＝λb，则a＝b[解析]对于A，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同；对于B，当a，b中有一个为零向量时结论不成立；对于C，因为两个向量之和仍是一个向量，所以AB→＋BA→＝0；对于D，λ(a－b)＝0时，∵λ≠0，∴此时一定有a＝b.故选D.提能训练练案[30]A组基础巩固一、单选题1．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边的中点，则下列结论成立的是(B)A.DE →＝DF →B ．EF→＝12BC →C.EF →＝CD →D ．2DE →＝AC →[解析]本题可通过相等向量的性质得出结果.DE→与DF →方向不同，A 错误；因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF ∥BC 且EF ＝12BC ，故EF→＝12BC →，B 正确；EF →与CD →方向相反，C 错误；DE →与AC →方向相反，D 错误．故选B.2.如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是(D )A.AP→＝13AB →B ．AQ→＝23AB →C.BP→＝－23AB →D ．AQ→＝BP →[解析]由数乘向量的定义可以得到A ，B ，C 都是正确的，只有D 错误．3．(2022·四川成都七中一诊)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则(B )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上[解析]∵2OP →＝2OA →＋BA →，∴2OP →－2OA →＝BA →，即2AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.4．(2018·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝(A )A.AD →B ．12AD→C ．BC→D ．12BC→[解析]EB→＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.5．(2022·辽宁丹东模拟)设平面向量a ，b 不共线，若AB→＝a ＋5b ，BC →＝－2a＋8b ，CD→＝3(a －b )，则(A )A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线[解析]∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋5b )＋(－2a ＋8b )＋3(a －b )＝2(a ＋5b )＝2AB →，∴AD →与AB →共线，即A ，B ，D 三点共线，故选A.6．(2024·南昌质检)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(A )A ．λμ＝1B ．λμ＝－1C ．λ－μ＝－1D ．λ＋μ＝2[解析]∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数t ，使AB→＝tAC →，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ＝t ，＝1消去参数t ，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB →＝1μa ＋b ＝1μ(a ＋μb )＝1μAC →，此时存在实数1μ使AB →＝1μAC →，故AB→和AC →共线．∵AB →与AC →有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线，故选A.7．如图所示，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 上，且AD→＝3AE →，则下面不正确的是(C )A.AD→＝13AC →＋23AB →B ．CE→＝13AD →－AC →C.CE →＝29AB →＋89AC →D ．CE→＝29AB →－89AC →[解析]∵CD ＝2DB ，点E 在AD 上，AD →＝3AE →，∴AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋23CB→＝AC →＋23(AB →－AC →)＝13AC →＋23AB →，∴CE →＝AE →－AC →＝13AD →－AC →＝19AC →＋29AB →－AC →＝29AB →－89AC →.故选C.8.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于(C )A.34B ．23C ．12D ．14[解析]连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点，所以AF→＝12(AD →＋AE →)，而AE→＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＋AB →＋12AD ＝12AB →＋34AD →，又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.二、多选题9．(2023·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是(BC )A ．单位向量都相等B ．模为0的向量与任意向量共线C ．平行向量一定是共线向量D ．任一向量与它的相反向量不相等[解析]对于A ，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A 错误；对于B ，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B 正确；对于C ，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C 正确；对于D ，零向量与它的相反向量相等，所以D 错误，故选BC.10．下列选项中的式子，结果为零向量的是(AD )A.AB→＋BC →＋CA →B.AB →＋MB →＋BO →＋OM →C.OA→＋OB →＋BO →＋CO →D.AB →－AC →＋BD →－CD→[解析]利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．11．(2023·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是(AC )A ．|AB →|＝|AD →|一定成立B.AC→＝AB →＋AD →一定成立C.AD→＝CB →一定成立D.BD →＝AD →－AB →一定成立[解析]在平行四边形ABCD 中，AC→＝AB →＋AD →一定成立，AD →＝CB →一定不成立，BD →＝AD →－AB →一定成立，但|AB →|＝|AD →|不一定成立，故选AC.三、填空题12．已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA ＝a ，OB →＝b ，则DC→＝b －a ，BC→＝－a －b .(用a ，b 表示)[解析]如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .13．如图所示，下列结论正确的是①③.①PQ→＝32a ＋32b ；②PT →＝－32－32；③PS →＝32a －12b ；④PR→＝32a ＋b .[解析]由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS→＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．故正确的为①③.14．设a 和b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于－4.[解析]∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →∥BD →.∵AB →＝2a ＋k b ，BD →＝BC →＋CD →＝a －2b ，∴k ＝－4.故填－4.15.如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ，若用OA→和OB →来表示向量OC →，则OC →＝34OA →＋14OB →.[解析]易知OC→＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →.四、解答题16．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.[证明](1)若m ＋n ＝1，则OP→＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP→－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP→与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP→－OB →＝λ(OA →－OB →)．∴OP→＝λOA →＋(1－λ)OB →，①又OP →＝mOA →＋nOB →，②由①②得λOA →＋(1－λ)OB →＝mOA →＋nOB →，∵OA →，OB →不共线，＝m ，－λ＝n ，∴m ＋n ＝1.B 组能力提升1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是(C )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形[解析]∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，∴AD→∥BC →.又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形．2．(2022·广西玉林高中模拟)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA→＋2EB →＋3FC →＝(D )A.12AD →B ．32AD→C ．12→D ．32AC→[解析]∵D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，∴DA →＋2EB →＋3FC→＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12(AC →＋BC →)＝12BA →＋12CA →＋AB →＋CB →＋32AC →＋32BC →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝32AC →.3．(2023·衡水调研)如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF →＝(D )A ．－12AB →＋34AD→B ．12AB →＋23AD→C.13AB →－12AD →D ．12AB →－34AD→[解析]DF→＝AF →－AD →，AE →＝AB →＋BE →.∵E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，∴AF →＝12AE →，BE →＝12BC →，∴DF→＝AF →－AD →＝12AE →－AD →＝12(AB →＋BE →)－AD →＝12AB →＋14BC →－AD →，又BC →＝AD →，∴DF →＝12AB →－34AD →.4．在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点G 在AD 上，且是△ABC 的重心，则用向量AB→、AC →表示BG →为(B )A.BG →＝－13AB →＋23AC→B ．BG →＝－23AB →＋13AC→C.BG→＝－23AB →－13AC →D ．BG →＝23AB →＋13AC →[解析]根据三角形重心关系有AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，BG →＝AG →－AB →，即可化简得解．在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点G 在AD 上，且是△ABC的重心，所以AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，BG →＝AG →－AB →＝13(AB →＋AC →)－AB →＝－23AB →＋13AC →.故选B.5.(多选题)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是(ACD )A ．若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点B ．若AM→＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上C ．若AM→＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D ．若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12[解析]若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点，故A 正确；若AM→＝2AB →－AC →，即有AM →－AB →＝AB →－AC →，即BM →＝CB →，则点M 在边CB 的延长线上，故B 错误；若AM→＝－BM →－CM →，即AM →＋BM →＋CM →＝0，则点M 是△ABC 的重心，故C 正确；如图，AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，可得2AM→＝2xAB →＋2yAC →，2x ＋2y ＝1，得B 、N 、C 三点共线．设AN →＝2AM →，则M 为AN 的中点，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12，故D 正确．故选ACD.6．(1)设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.①求证：A ，B ，D 三点共线；②若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求实数k 的值；(2)已知a ，b 不共线，若向量2k a －b 与a －k b 共线反向，求实数k 的值．[解析](1)①证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →，又AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．②由①可知BD →＝e 1－4e 2，又BF →＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线，得BF →＝λBD →，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，＝3，k ＝－4λ，解得k ＝12，(2)∵2k a －b 与a －k b 共线反向，∴存在实数λ使2k a －b ＝λ(a －k b )(λ<0)．k ＝λ，＝1，∴k ＝±22.又λ<0，∴k ＝－22.。

平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。

例如，物理学中的力、位移等都是向量。

我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。

字母表示：用小写字母a、b、c等表示。

2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。

模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。

3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。

零向量的方向是任意的。

4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。

对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。

例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。

5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。

规定：零向量与任意向量平行。

若向量a与b平行，记作a。

例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。

6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。

平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。

结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。

向量减法的定义：ab=a+(b)。

其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。

3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。

高考数学第一轮复习 第五章 平面向量第1讲 平面向量的概念及线性运算 平面向量的基本定理考点一 平面向量的线性运算及几何意义入门测1．思维辨析(1)单位向量只与模有关，与方向无关．( ) (2)零向量的模等于0，没有方向．( ) (3)若两个向量共线，则其方向必定相同．( ) (4)若a ∥b ，b ∥c ，则必有a ∥c .( ) (5)AB →＋BA →＝0.( )2．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，AB →＋BO →＋OC →＝( )A ．0 B.AD →C.AC →D.BD →3．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．解题法命题法 对概念的理解、运算和共线定理的应用 典例 (1)下列说法中： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤(2)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →(3)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果 c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向对点练1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →2．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．93．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 24．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |25．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.6．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.7.设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.考点二 平面向量的基本定理及坐标表示入门测1．思维辨析(1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( ) (2)平面内任何两个不共线的向量均可作为一组基底．( )(3)向量AB →与BC →的夹角为∠ABC .( )(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的．( )2．已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8 3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)解题法命题法 向量共线，垂直的条件和共线向量基本定理的应用典例 (1)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)(2)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，则2a －b ＝( ) A ．(4,0) B ．(0,4) C ．(4，－8)D ．(－4,8)(3)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM→＋μAN →，则λ＋μ＝________.【解题法】 平面向量基本定理的应用及其坐标运算技巧 (1)共线问题的解题策略①向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．②证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．③若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.④直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t∈R )．⑤OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路①先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．②在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．(3)坐标运算的技巧向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则，以向量为载体，可以解决三角函数、解析几何中的有关问题．对点练1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3) 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 3.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝_______；y ＝_______.4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 5.设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．7. 如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE →＝________.微型专题 以向量坐标运算为载体的创新问题创新考向以向量的坐标运算为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，综合考查向量与函数等知识，考查学生的应变能力与创新能力．创新例题在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．课时练 基础组1已知非零向量a ，b ，则“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及其所在平面内一点P 满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．P 在△ABC 内B ．P 在△ABC 外 C ．P 在直线AB 上D ．P 是AC 边的一个三等分点3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →＝( )A.12a ＋14b B.14a ＋12b C.12a －14b D.14a －12b 4．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C.53D.32 5．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．0 6．[2016·武邑中学模拟]已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.137.如图，已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在线段AB 上，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn＝( )A.13 B ．3 C.33D. 38.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP→＝OA→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心9．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．10. △ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n ，则cos A ＝________.11．已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？P 在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 12．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．能力组13设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 14．已知向量OA →＝(1,3)，OB →＝(3，－1)，且AP →＝2PB →，则点P 的坐标为( ) A ．(2，－4) B.⎝⎛⎭⎫23，－43 C.⎝⎛⎭⎫73，13D ．(－2,4)15．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA→－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．16．如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．。