三角函数与向量专题

三角函数与向量1 三角函数——连接几何与数学三角函数是连接几何和数学的关键工具之一。

正弦、余弦、正切等三角函数是用来计算角度和距离的工具。

在三角学中，角度是通过弧度来计算的，而弧度是圆的弧长与其半径之比。

三角函数中，最重要的是正弦、余弦、正切三个函数。

它们是由直角三角形的边长比值定义的。

正弦是对于直角三角形，其斜边相对于一个锐角的对边长度与斜边的比值。

余弦是同样的三角形中，斜边相对于该锐角的邻边长度与斜边的比值。

正切函数是三角形的对边与邻边的比值。

三角函数不仅在三角学中有着广泛的应用，还应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

它们是用来描述振动、波动、电磁波等的重要工具。

它们也经常在声音、光学等领域中出现。

2 向量——描述方向和大小的数学工具向量是一个有方向的量，它可以用箭头表示。

箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量可以被加、减、缩放等操作。

向量广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

它们是用来描述物体的运动、力、速度等的重要工具。

它们还可以用于计算机图形、机器学习等领域中。

向量和三角函数密切相关。

向量可以用三角函数来描述和计算，而三角函数可以被表示成向量的内积和外积。

向量和三角函数一起形成了一个强大的数学工具箱，可以应用于各种领域的问题。

3 向量和三角函数的联系——使用向量描述三角形向量和三角函数之间有一个有趣的联系：可以用向量来描述三角形。

假设有一个三角形ABC，点A、B、C的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)。

可以用向量AB和AC来描述该三角形。

向量AB的坐标为 (x2-x1,y2-y1)，向量AC的坐标为 (x3-x1,y3-y1)。

可以计算出向量AB和AC的长度，然后使用三角函数来计算三角形的角度。

例如，可以使用余弦定理计算三角形的角度。

向量和三角函数是紧密相关的数学工具。

它们可以一起用来描述和计算各种物理和工程问题。

向量和三角函数的应用广泛，是数学和科学中必不可少的工具之一。

专题一三角与向量的交汇题型分析及解题策略On January 11, 2021, study hard and make progress every day.专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略命题趋向三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型,在高考中,主要出现在解答题的第一个试题位置上,其难度中等偏下,分值一般为12分,交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇,在高考中是一个热点.如08年安徽理科第5题5分,考查三角函数的对称性与向量平移、08年山东文第8题理第15题5分考查两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题12分考查三角函数的求值与向量积、07的天津文理第15题4分考查正余弦定理与向量数量积等.根据2009年考纲预计在09年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线平行与垂直的充要条件条件．主要考查题型：1考查纯三角函数函数知识,即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式,再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；2考查三角函数与向量的交汇,一般是先利用向量知识建立三角函数关系式,再利用三角函数知识求解；3考查三角函数知识与解三角形的交汇,也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.考试要求1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asinωx+φ的简图,理解A,ω,φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件．7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用．掌握平移公式．考点透视向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”,即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算,又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数,函数值体现为实数,因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题,其形式多样,解法灵活,极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像,特别是y=Asinx+的性质和图像及其图像变换.3．考查平面向量的基本概念,向量的加减运算及几何意义,此类题一般难度不大,主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标表示,向量的线性运算,并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算律包括坐标形式及非坐标形式,两向量平行与垂直的充要条件等问题.6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.典例分析题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同,但它们实质是一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：1平移的方向；2平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.例1把函数y＝sin2x的图象按向量错误!＝－错误!,－3平移后,得到函数y＝Asinωx＋A＞0,ω＞0,||＝错误!的图象,则和B的值依次为A．错误!,－3 B．错误!,3 C．错误!,－3 D．－错误!,3分析根据向量的坐标确定平行公式为错误!错误!,再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程,由此确定平移后的函数解析式,经对照即可作出选择.解析1由平移向量知向量平移公式错误!错误!,即错误!错误!,代入y＝sin2x得y＋3＝sin2x＋错误!,即到y＝sin2x＋错误!－3,由此知＝错误!,B＝－3,故选C.解析2由向量错误!＝－错误!,－3,知图象平移的两个过程,即将原函数的图象整体向左平移错误!个单位,再向下平移3个单位,由此可得函数的图象为y＝sin2x＋错误!－3,即y＝sin2x＋错误!－3,由此知＝错误!,B＝－3,故选C.点评此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起,主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力,同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键,也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二三角函数与平面向量平行共线的综合此题型的解答一般是从向量平行共线条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强,有利于考查学生的基础掌握情况,因此在高考中常有考查.例2已知A、B、C为三个锐角,且A＋B＋C＝π.若向量错误!＝2－2sinA,cosA＋sinA与向量错误!＝cosA－sinA,1＋sinA是共线向量.Ⅰ求角A；Ⅱ求函数y＝2sin2B＋cos错误!的最大值.分析首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得A角的正弦值,再根据角的范围即可解决第Ⅰ小题；而第Ⅱ小题根据第Ⅰ小题的结果及A、B、C三个角的关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式,再根据B的范围求最值.解Ⅰ∵错误!、错误!共线,∴2－2sinA1＋sinA＝cosA＋sinAcosA－sinA,则sin2A＝错误!,又A为锐角,所以sinA＝错误!,则A＝错误!.Ⅱy＝2sin2B＋cos错误!＝2sin2B＋cos错误!＝2sin2B＋cos错误!－2B＝1－cos2B＋错误!cos2B＋错误!sin2B＝错误!sin2B－错误!cos2B＋1＝sin2B－错误!＋1.∵B∈0,错误!,∴2B－错误!∈－错误!,错误!,∴2B－错误!＝错误!,解得B＝错误!,y max ＝2.点评本题主要考查向量共线平行的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：1利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；2根据条件确定B角的范围.一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不多,也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.例3已知向量错误!＝3sinα,cosα,错误!＝2sinα,5sinα－4cosα,α∈错误!,2π,且错误!⊥错误!．Ⅰ求tanα的值；Ⅱ求cos错误!＋错误!的值．分析第Ⅰ小题从向量垂直条件入手,建立关于α的三角方程,再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第Ⅱ小题根据所求得的tanα的结果,利用二倍角公式求得tan错误!的值,再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．解Ⅰ∵错误!⊥错误!,∴错误!·错误!＝0．而错误!＝3sinα,cosα,错误!＝2sinα, 5sinα－4cosα,故错误!·错误!＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0,∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之,得tanα＝－错误!,或tanα＝错误!．∵α∈错误!,2π,tanα＜0,故tanα＝错误!舍去．∴tanα＝－错误!．Ⅱ∵α∈错误!,2π,∴错误!∈错误!,π．由tanα＝－错误!,求得tan错误!＝－错误!,tan错误!＝2舍去．∴sin错误!＝错误!,cos 错误!＝－错误!,∴cos错误!＋错误!＝cos错误!cos错误!－sin错误!sin错误!＝－错误!×错误!－错误!×错误!＝－错误!点评本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定,再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第Ⅰ小题的解答中用到“弦化切”的思想方法,这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|错误!|2＝错误!2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：1先进行向量运算,再代入向量的坐标进行求解；2先将向量的坐标代入向量的坐标,再利用向量的坐标运算进行求解.例3已知向量错误!＝cosα,sinα,错误!＝cosβ,sinβ,|错误!－错误!|＝错误!错误!.Ⅰ求cosα－β的值；Ⅱ若－错误!＜β＜0＜α＜错误!,且sinβ＝－错误!,求sinα的值.分析利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第Ⅰ小题；而第Ⅱ小题则可变角α＝α－β＋β,然后就须求sinα－β与cosβ即可.解Ⅰ∵|错误!－错误!|＝错误!错误!,∴错误!2－2错误!·错误!＋错误!2＝错误!,将向量错误!＝cosα,sinα,错误!＝cosβ,sinβ代入上式得12－2cosαcosβ＋sinαsinβ＋12＝错误!,∴cosα－β＝－错误!.Ⅱ∵－错误!＜β＜0＜α＜错误!,∴0＜α－β＜π,由cosα－β＝－错误!,得sinα－β＝错误!,又sinβ＝－错误!,∴cosβ＝错误!,∴sinα＝sinα－β＋β＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ＝错误!.点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：1化|错误!－错误!|为向量运算|错误!－错误!|2＝错误!－错误!2；2注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：1三角函数与向量的积直接联系；2利用三角函数与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化,再利用三角函数知识求解.例5设函数fx＝错误!·错误!.其中向量错误!＝m,cosx,错误!＝1＋sinx,1,x∈R,且f错误!＝2.Ⅰ求实数m的值；Ⅱ求函数fx的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式,将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”,从而,建立函数fx关系式,第Ⅰ小题直接利用条件f错误!＝2可以求得,而第Ⅱ小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.解：Ⅰfx＝错误!·错误!＝m1＋sinx＋cosx,由f错误!＝2,得m1＋sin错误!＋cos错误!＝2,解得m＝1.Ⅱ由Ⅰ得fx＝sinx＋cosx＋1＝错误!sinx＋错误!＋1,当sinx＋错误!＝－1时,fx的最小值为1－错误!.点评：平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,其解法都差不多,首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”,再利用三角函数的相关知识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的,说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标,要求根据向量的关系解答相关的问题.例6已知角A、B、C为△ABC的三个内角,其对边分别为a、b、c,若错误!＝－cos错误!,sin错误!,错误!＝cos错误!,sin错误!,a＝2错误!,且错误!·错误!＝错误!．Ⅰ若△ABC的面积S＝错误!,求b＋c的值．Ⅱ求b＋c的取值范围．分析第Ⅰ小题利用数量积公式建立关于角A的三角函数方程,再利用二倍角公式求得A角,然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c的方程组求取b＋c的值；第Ⅱ小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三角函数式,进而求得b＋c的范围.解Ⅰ∵错误!＝－cos错误!,sin错误!,错误!＝cos错误!,sin错误!,且错误!·错误!＝错误!,∴－cos2错误!＋sin2错误!＝错误!,即－cosA＝错误!,又A∈0,π,∴A＝错误!.又由S△ABC＝错误!bcsinA＝错误!,所以bc＝4,由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos错误!＝b2＋c2＋bc,∴16＝b＋c2,故b＋c＝4.Ⅱ由正弦定理得：错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝4,又B＋C＝－A＝错误!,∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin错误!－B＝4sinB＋错误!,∵0＜B＜错误!,则错误!＜B＋错误!＜错误!,则错误!＜sinB＋错误!≤1,即b＋c的取值范围是2错误!,4.点评本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第Ⅰ小题中求b＋c没有利用分别求出b、c的值为解,而是利用整体的思想,使问题得到简捷的解答；2第Ⅱ小题的求解中特别要注意确定角B的范围.专题训练一、选择题1．已知错误!＝cos40,sin40,错误!＝cos20,sin20,则错误!·错误!＝A．1 B．错误!C．错误!D．错误!2．将函数y＝2sin2x－错误!的图象按向量错误!,错误!平移后得到图象对应的解析式是A．2cos2x B．－2cos2x C．2sin2x D．－2sin2x3．已知△ABC中,错误!＝错误!,错误!＝错误!,若错误!·错误!＜0,则△ABC是A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．任意三角形4．设错误!＝错误!,sin,错误!＝cos,错误!,且错误!∥错误!,则锐角为A．30 B．45 C．60 D．755．已知错误!＝sinθ,错误!,错误!＝1,错误!,其中θ∈π,错误!,则一定有A．错误!∥错误!B．错误!⊥错误!C．错误!与错误!夹角为45°D．|错误!|＝|错误!| 6．已知向量错误!＝6,－4,错误!＝0,2,错误!＝错误!＋错误!,若C点在函数y＝sin错误!x 的图象上,实数＝A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!7．由向量把函数y＝sinx＋错误!的图象按向量错误!＝m,0m＞0平移所得的图象关于y 轴对称,则m的最小值为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!8．设0≤θ≤2π时,已知两个向量错误!＝cosθ,sinθ,错误!＝2＋sinθ,2－cosθ,则向量错误!长度的最大值是A．错误!B．错误!C．3错误!D．2错误!9．若向量错误!＝cos,sin,错误!＝cos,sin,则错误!与错误!一定满足A．错误!与错误!的夹角等于－B．错误!⊥错误!C．错误!∥错误!D．错误!＋错误!⊥错误!－错误!10．已知向量错误!＝cos25,sin25,错误!＝sin20,cos20,若t是实数,且错误!＝错误!＋t错误!,则|错误!|的最小值为A．错误!B．1 C．错误!D．错误!11．O是平面上一定点,A、B、C是该平面上不共线的3个点,一动点P满足：错误!＝错误!＋错误!＋错误!,∈0,＋∞,则直线AP一定通过△ABC的A．外心B．内心C．重心D．垂心12．对于非零向量错误!我们可以用它与直角坐标轴的夹角,0≤≤,0≤≤来表示它的方向,称,为非零向量错误!的方向角,称cos,cos为向量错误!的方向余弦,则cos2＋cos2＝A．1 B．错误!C．错误!D．0二、填空题13．已知向量错误!＝sin,2cos,错误!＝错误!,－错误!.若错误!∥错误!,则sin2的值为____________．14．已知在△OABO为原点中,错误!＝2cos,2sin,错误!＝5cos,5sin,若错误!·错误!＝－5,则S△AOB的值为_____________.15．将函数fx＝tan2x＋错误!＋1按向量a平移得到奇函数g x,要使|a|最小,则a＝____________.16．已知向量错误!＝1,1向量错误!与向量错误!夹角为错误!,且错误!·错误!＝－1.则向量错误!＝__________．三、解答题17．在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若错误!·错误!＝错误!·错误!＝kk∈R.Ⅰ判断△ABC的形状；Ⅱ若c＝错误!,求k的值．18．已知向量错误!＝sinA,cosA,错误!＝错误!,－1,错误!·错误!＝1,且A为锐角.Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ求函数fx＝cos2x＋4cosAsinxx∈R的值域．19．在△ABC中,A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知向量错误!＝1,2sinA,错误!＝sinA,1＋cosA,满足错误!∥错误!,b＋c＝错误!a.Ⅰ求A的大小；Ⅱ求sinB＋错误!的值．20．已知A、B、C的坐标分别为A4,0,B0,4,C3cosα,3sinα.Ⅰ若α∈－π,0,且|错误!|＝|错误!|,求角α的大小；Ⅱ若错误!⊥错误!,求错误!的值．21．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,错误!＝2b－c,a,错误!＝cosA,－cosC,且错误!⊥错误!．Ⅰ求角A的大小；Ⅱ当y＝2sin2B＋sin2B＋错误!取最大值时,求角B的大小.22．已知错误!＝cosx＋sinx,sinx,错误!＝cosx－sinx,2cosx,Ⅰ求证：向量错误!与向量错误!不可能平行；Ⅱ若fx＝错误!·错误!,且x∈－错误!,错误!时,求函数fx的最大值及最小值．专题训练参考答案一、选择题1．B解析：由数量积的坐标表示知错误!·错误!＝cos40sin20＋sin40cos20＝sin60＝错误!.2．D 解析y＝2sin2x－错误!→y＝2sin2x＋错误!－错误!＋错误!,即y＝－2sin2x.3．A 解析因为cos∠BAC＝错误!＝错误!＜0,∴∠BAC为钝角.4．B 解析由平行的充要条件得错误!×错误!－sincos＝0,sin2＝1,2＝90,＝45.5．B 解析错误!·错误!＝sinθ＋|sinθ|,∵θ∈π,错误!,∴|sinθ|＝－sinθ,∴错误!·错误!＝0,∴错误!⊥错误!．6．A 解析错误!＝错误!＋错误!＝6,－4＋2,代入y＝sin错误!x得,－4＋2＝sin错误!＝1,解得＝错误!.7．B 解析考虑把函数y＝sinx＋错误!的图象变换为y＝cosx的图象,而y＝sinx＋错误!＝cosx＋错误!,即把y＝cosx＋错误!的图象变换为y＝cosx的图象,只须向右平行错误!个单位,所以m＝错误!,故选B.8．C 解析|错误!|＝错误!＝错误!≤3错误!.9．D 解析错误!＋错误!＝cos＋cos,sin＋sin,错误!－错误!＝cos＋cos,sin－sin,∴错误!＋错误!·错误!－错误!＝cos2－cos2＋sin2－sin2＝0,∴错误!＋错误!⊥错误!－错误!．10．C 解析|错误!|2＝|错误!|2＋t2|错误!|2＋2t错误!·错误!＝1＋t2＋2tsin20cos25＋cos20sin25＝t2＋错误!t＋1＝t＋错误!2＋错误!,|错误!|错误!＝错误!,∴|错误!|min＝错误!.11．C 解析设BC的中点为D,则错误!＋错误!＝2错误!,又由错误!＝错误!＋错误!＋错误!,错误!＝2错误!,所以错误!与错误!共线,即有直线AP与直线AD重合,即直线AP一定通过△ABC的重心．12．A 解析设错误!＝x,y,x轴、y轴、z轴方向的单位向量分别为错误!＝1,0,错误!＝0,1,由向量知识得cos＝错误!＝错误!,cos＝错误!＝错误!,则cos2＋cos2＝1.二、填空题13．－错误!解析由错误!∥错误!,得－错误!sin＝2错误!cos,∴tan＝－4错误!,∴sin2＝错误!＝错误!＝－错误!．14．错误! 解析错误!·错误!＝－510coscos＋10sinsin＝－510cos－＝－5cos－＝－错误!,∴sin∠AOB＝错误!,又|错误!|＝2,|错误!|＝5,∴S△AOB＝错误!×2×5×错误!＝错误!．15．错误!,－1 解析要经过平移得到奇函数gx,应将函数fx＝tan2x＋错误!＋1的图象向下平移1个单位,再向右平移－错误!＋错误!k∈Z个单位．即应按照向量错误!＝－错误!＋错误!,－1 k∈Z进行平移．要使|a|最小,16．－1,0或0,－1 解析设错误!＝x,y,由错误!·错误!＝－1,有x＋y＝－1 ①,由错误!与错误!夹角为错误!,有错误!·错误!＝|错误!|·|错误!|cos 错误!,∴|错误!|＝1,则x2＋y2＝1 ②,由①②解得错误!错误!或错误!错误!∴即错误!＝－1,0或错误!＝0,－1 ．三、解答题17．解Ⅰ∵错误!·错误!＝bccosA,错误!·错误!＝cacosB,又错误!·错误!＝错误!·错误!,∴bccosA＝cacosB,∴由正弦定理,得sinBcosA＝sinAcosB,即sinAcosB－sinBcosA＝0,∴sinA－B＝0∵－π＜A－B＜π,∴A－B＝0,即A＝B,∴△ABC为等腰三角形.Ⅱ由Ⅰ知ba ,∴错误!·错误!＝bccosA＝bc·错误!＝错误!,∵c＝错误!,∴k＝1.18．解Ⅰ由题意得错误!·错误!＝错误!sinA－cosA＝1,2sinA－错误!＝1,sinA－错误!＝错误!,由A为锐角得A－错误!＝错误!,A＝错误!.Ⅱ由Ⅰ知cosA＝错误!,所以fx＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2sinx－错误!2＋错误!,因为x∈R,所以sinx∈－1,1,因此,当sinx＝错误!时,fx有最大值错误!．当sinx＝－1时,fx有最小值－3,所以所求函数fx的值域是－3,错误!．19．解Ⅰ由错误!∥错误!,得2sin2A－1－cosA＝0,即2cos2A＋cosA－1＝0,∴cosA＝错误!或cosA＝－1.∵A是△ABC内角,cosA＝－1舍去,∴A＝错误!.Ⅱ∵b＋c＝错误!a,由正弦定理,sinB＋sinC＝错误!sinA＝错误!,∵B＋C＝错误!,sinB＋sin错误!－B＝错误!,∴错误!cosB＋错误!sinB＝错误!,即sinB＋错误!＝错误!．20．解Ⅰ由已知得：错误!＝错误!,则sinα＝cosα,因为α∈－π,0,∴α＝－错误!.Ⅱ由3cosα－4·3cosα＋3sinα·3sinα－4＝0,得sinα＋cosα＝错误!,平方,得sin2α＝－错误!.而错误!＝错误!＝2sinαcosα＝sin2α＝－错误!．21．解Ⅰ由错误!⊥错误!,得错误!·错误!＝0,从而2b－ccosA－acosC＝0,由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0∴2sinBcosA－sinA＋C＝0,2sinBcosA－sinB＝0,∵A、B∈0,π,∴sinB≠0,cosA＝错误!,故A＝错误!.Ⅱy＝2sin2B＋2sin2B＋错误!＝1－cos2B＋sin2Bcos错误!＋cos2Bsin错误!＝1＋错误!sin2B－错误! cos2B＝1＋sin2B－错误!.由Ⅰ得,0＜B＜错误!,－错误!＜2B－错误!＜错误!,∴当2B－错误!＝错误!,即B＝错误!时,y取最大值2.22．解Ⅰ假设错误!∥错误!,则2cosxcosx＋sinx－sinxcosx－sinx＝0,∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0,2·错误!＋错误!sin2x＋错误!＝0,即sin2x＋cos2x＝－3,∴错误!sin2x＋错误!＝－3,与|错误!sin2x＋错误!|≤错误!矛盾,故向量错误!与向量错误!不可能平行．Ⅱ∵fx＝错误!·错误!＝cosx＋sinx·cosx－sinx＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝错误!错误!cos2x＋错误!sin2x＝错误!sin2x＋错误!,∵－错误!≤x≤错误!,∴－错误!≤2x＋错误!≤错误!,∴当2x＋错误!＝错误!,即x＝错误!时,fx有最大值错误!；当2x＋错误!＝－错误!,即x＝－错误!时,fx有最小值－1．。

高考专题：三角函数、解三角形及平面向量一、知识点1、三角函数的定义:设角α终边与单位圆相交于点),(y x P ，则____sin =α，_____cos =α，_____tan =α．2、特殊角的三角函数值3、三角函数在各象限的符号：αs i n αc o s αt a n4、同角三角函数的基本关系：(1) (2) 5、三角函数的诱导公式：（1）=+)2sin(παk ___________，=+)2cos(παk ___________，=+)2tan(παk ___________． （2）=-)sin(απ___________，=-)cos(απ___________，=-)tan(απ___________． （3）=+)sin(απ___________，=+)cos(απ___________，=+)tan(απ___________． （4）=-)sin(α___________，=-)cos(α___________，=-)tan(α___________．（5）=-)2sin(απ___________，=-)2cos(απ___________，=-)2tan(απ___________．（6）=-)2sin(απ_______，=-)2cos(απ_______．=+)2sin(απ_______，=+)2cos(απ_______．8、函数sin 0,0y x ωϕω=A +A >>：1）概念：①振幅：_______；②周期：________；③频率：________；④相位：________；⑤初相：________． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，最小值m in y =_________；最大值为max y =_________， 2）图像的平移伸缩 （1）先平移后伸缩sin sin ()sin (2)2sin (2)2sin (2)13333y x y x x x x ππππ=⇒=+⇒+⇒+⇒++（2）先伸缩后平移sin sin 2sin (2)2sin (2)2sin (2)1333y x y x x x x πππ=⇒=⇒+⇒+⇒++9、和角公式与差角公式sin()___________________A B += ___________________)sin(=-B A _________________)c o s (=+B A _________________)c o s (=-B A _________________)t a n (=+B A _________________)t a n (=-B A 倍角公式sin 2_______A =，cos 2_____________________A ===，____________2tan =A降幂公式：2sin α=______________．2cos α=______________． 10、归一公式： ；__________________cos sin =+A b A a 其中ab ＝ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈如：（1）sin ___________x x += （2）sin ___________x x -= （3）sin ___________x x -+= （4）sin ___________x x --=11、解三角形（1）正弦定理：Aa sin =___________________________（R 为△ABC 外接圆半径）正弦定理的三种变形：①边化为角：_____________________________________②角化为边：_____________________________________ ③比例关系：_____________________________________（2）余弦定理： 2__________________a =⇔cos ____________________A =2__________________b =⇔cos ____________________B = 2__________________c =⇔cos ____________________C =（3）解三角形常用结论：1、三角形面积公式：______________________________ABC S ∆===2、在△ABC 中：︒=++180C B A ， 即C B A -︒=+180，则sin()__________A B +=；cos()__________A B +=；tan()__________A B +=12、平面向量(1)设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，则=AB __________________．. (2)向量运算公式定义运算：（1） =∙b a __________，],0[πθ∈；（2）⇔⊥b a __________，（3）⇔b a //__________坐标运算：),(11y x a =，),(22y x b =，则（1） =∙b a __________________ （2）⇔⊥b a ______________ （3）⇔b a //________________ （4）=||a ______________二、巩固练习1、)629tan(π-的值得为（ ）A 、33- B 、33 C 、3 D 、3-2、7sin6π的值等于（ ）A 、21 B 、23 C 、－21 D 、－233、53sin -=α，α是第二象限角，则=αtan ( )A 、34-B 、34 C 、43-D 、434、已知3sin()5πα+=-，且α是第二象限角，则)cos(απ-的值是( ) A 、54 B 、54-C 、53 D 、53-5、2sin x y =是（ ）A 、周期为π4的奇函数B 、周期为π2的奇函数C 、周期为π4的偶函数D 、周期为π2的偶函数6、函数2sin(2)6y x π=-的一条对称轴为（ ）A 、12x π=B 、6x π=C 、3x π=D 、2x π=7、在A B C ∆中，若向量2cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ , n = cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,且1m n ⋅=- ，则A =（ ）A 、6π B 、56π C 、3πD 、23π8、已知A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A =3π，a =3，b =1，则c =（ ）A 、1B 、2C 、3—1D 、39、已知tan 2,α=-且2παπ<<，则cos α=______________；10、已知312sin(),sin()5413παββ+=--=，3,(,),4παβπ∈则=+)4cos(πα______________；11、已知向量cos sin m x x = （，），],0[π∈x ，(1,n =，且||m n -=，则x =__________；12、将函数()sin 2f x x =的图像向左平移3π个单位，再将所得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的2倍，那么最后所得图像的函数表达式为__________.13、已知向量)sin ,(cos αα=a, )sin ,(cos ββ=b , 552||=-b a .（1）求cos()αβ-的值； （2）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5sin 13β=-, 求sin α．14、已知函数2()sin(2)sin(2)2sin 66f x x x x ππ=++-+，（1）若R x ∈，求)(x f 的单调递减区间；（2）若x ∈ [,]36ππ-，求函数)(x f 的值域。

[析考情·明重点]第一讲 小题考法——平面向量[典例感悟][典例] (1)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( ) A ．4 B ．－5 C ．6D ．－6(2)(2018·浙江三模)已知向量e 1＝(1,2)，e 2＝(3,4)，且x ，y ∈R ，x e 1＋y e 2＝(5,6)，则x －y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1(3)(2019届高三 ·浙江名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为( )A.12B ．－12C ．－1D ．1[解析] (1)a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.故选D.(2)∵向量e 1＝(1,2)，e 2＝(3,4)，且x ，y ∈R ，x e 1＋y e 2＝(5,6)，则(x ＋3y,2x ＋4y )＝(5,6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝5，2x ＋4y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴x －y ＝－3.故选B. (3)设AB 的中点为D ，则PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→.因为PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，所以2PD ―→＋λPC ―→＝0，所以向量PD ―→，PC ―→共线．又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB .因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝PC ―→，所以2PD ―→＋λPC ―→＝PC ―→＋λPC ―→＝0，所以λ＝－1，故选C.[答案] (1)D (2)B (3)C[方法技巧]掌握平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．[演练冲关]1．(2019届高三·台州检测)已知e 1，e 2是平面内两个不共线向量，AB ―→＝e 1－k e 2，CB ―→＝2e 1－e 2，CD ―→＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A ．2B ．－3C ．－2D ．3解析：选A ∵CB ―→＝2e 1－e 2，CD ―→＝3e 1－3e 2， ∴BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(3e 1－3e 2)－(2e 1－e 2)＝e 1－2e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB ―→与BD ―→共线，∴存在唯一的实数λ，使得e 1－k e 2＝λ(e 1－2e 2)．即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－k ＝－2λ，解得k ＝2. 2.(2018·浙江模拟)如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD ―→＋AE ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则1x ＋4y的最小值为( )A ．32B ．2C ．52D ．92解析：选D 设AD ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1. ∵AD ―→＋AE ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＋y ＝2， ∴1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝92.则1x ＋4y 的最小值为92. 3．(2018·衢州期中)已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在DC 上满足5AM ―→＝AB ―→＋3AC ―→，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C 因为D 是AB 的中点，所以AB ―→＝2AD ―→， 因为5AM ―→＝AB ―→＋3AC ―→，所以2AM ―→－2AD ―→＝3AC ―→－3AM ―→，即2DM ―→＝3MC ―→， 所以5DM ―→＝3DM ―→＋3MC ―→＝3DC ―→，所以DM ―→＝35DC ―→，设h 1，h 2分别是△ABM ，△ABC 的AB 边上的高， 所以S △ABM S △ABC ＝12×AB ×h 112×AB ×h 2＝h 1h 2＝DM DC ＝|DM ―→||DC ―→|＝35.[典例感悟][典例] (1)(2018·遂宁模拟)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ―→＝3 BD ―→，|AD ―→|＝1，则AC ―→·AD ―→的值为( ) A ．23 B ．32C ．33D ． 3(2)向量a ，b 满足|a |＝4，b ·(a －b )＝0.若|λa －b |的最小值为2(λ∈R )，则a ·b ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8D ．16(3)(2018·杭州二模)记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min .若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝c ·(a ＋2b －2c )＝2，则( )A ．|a －c |max ＝3＋72 B ．|a ＋c |max ＝7－32 C ．|a －c |min ＝3＋72D ．|a ＋c |min ＝7－32[解析] (1)∵在△ABC 中，AD ⊥AB ， ∴AB ―→·AD ―→＝0，AC ―→·AD ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·AD ―→ ＝AB ―→·AD ―→＋BC ―→·AD ―→ ＝BC―→·AD ―→ ＝ 3 BD ―→·AD ―→ ＝3(AD ―→－AB ―→)·AD ―→＝ 3 AD ―→·AD ―→－ 3 AB ―→·AD ―→ ＝ 3.(2)法一：由已知得a ·b ＝b 2，则|λa －b |＝a 2λ2－2λa ·b ＋b 2＝16λ2－2λa ·b ＋a ·b (λ∈R )，当且仅当λ＝a ·b 16时，|λa －b |有最小值2，所以16⎝⎛⎭⎫a ·b 162－2⎝⎛⎭⎫a ·b 16a ·b ＋a ·b ＝4，所以(a ·b －8)2＝0，故a ·b ＝8.故选C.法二：向量a ，b 满足|a |＝4，b ·(a －b )＝0，即a ·b ＝b 2.由题意知|λa －b |＝a 2λ2－2λa ·b ＋b 2＝16λ2－2λa ·b ＋a ·b ≥2(λ∈R )，即16λ2－2λa ·b ＋a ·b －4≥0对于λ∈R 恒成立，所以对于方程16λ2－2λa ·b ＋a ·b －4＝0，Δ＝4(a ·b )2－64(a ·b －4)≤0，即(a ·b －8)2≤0，所以(a ·b －8)2＝0，所以a ·b ＝8.故选C.(3)由a ·b ＝2×2cos 〈a ，b 〉＝2， 可得cos 〈a ，b 〉＝12，sin 〈a ，b 〉＝32，设OA ―→＝a ＝(2,0)，OB ―→＝b ＝(1，3)，OC ―→＝c ＝(x ，y )， 可得(x ，y )·(4－2x,23－2y )＝2， 即x (4－2x )＋y (23－2y )＝2， 可化为x 2＋y 2－2x －3y ＋1＝0， 则C 在以圆心P ⎝⎛⎭⎫1，32，半径r ＝32的圆上运动，且|a －c |表示点A 与点C 的距离， 显然最大值为|AP |＋r ＝1＋34＋32＝3＋72， 最小值为|AP |－r ＝1＋34－32＝7－32. 设D (－2,0)，则|a ＋c |＝|OA ―→＋OC ―→|＝|－OD ―→＋OC ―→|＝|DC ―→|， 则|a ＋c |表示点D (－2,0)与点C 的距离， 显然最大值为|DP |＋r ＝9＋34＋32＝39＋32，最小值为|DP |－r ＝39－32.[答案] (1)D (2)C (3)A[方法技巧]在求解与向量的模有关的问题时，往往会涉及“平方”技巧，注意对结论(a ±b )2＝|a |2＋|b |2±2a ·b ，(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋a ·c )的灵活运用．另外，向量作为工具性的知识，具备代数和几何两种特征，求解此类问题时可以使用数形结合的思想，从而加快解题速度．[演练冲关]1．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC ―→＝13AB ―→，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，若AO ―→·AE ―→＝8，则AC ―→·BD ―→＝( )A ．－9B ．－293 C ．－10D ．－323解析：选D 由DC ―→＝13AB ―→，可得DC ∥AB ，且DC ＝2，则△AOB ∽△COD ，AO ―→＝34AC ―→＝34⎝⎛⎭⎫AD ―→＋13AB ―→ ＝34AD ―→＋14AB ―→，又E 是BD 的中点，所以AE ―→＝12AD ―→＋12AB ―→，则AO ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫34AD ―→＋14AB ―→ ·⎝⎛⎭⎫12AD ―→＋12AB ―→ ＝38AD 2―→＋18AB 2―→＋12AD ―→·AB ―→＝32＋92＋12AD ―→·AB ―→＝8，则AD ―→·AB ―→＝4，则AC ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋13AB ―→ ·()AD ―→－AB ―→＝AD 2―→－13AB 2―→－23AD ―→·AB ―→＝4－13×36－23×4＝－323.2．(2018·温州二模)已知向量a ，b 满足|a |＝1，且对任意实数x ，y ，|a －x b |的最小值为32，|b －y a |的最小值为3，则|a ＋b |＝( ) A.7 B.5＋2 3C.7或 3D.5＋23或5－2 3解析：选C 取a ＝(1,0)，b ＝(c ，d )， 则|a －x b |＝(1－xc )2＋x 2d 2＝(c 2＋d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c c 2＋d 22＋1－c 2c 2＋d 2≥32， ∴1－c 2c 2＋d 2＝34，又|b －y a |＝(c －y )2＋d 2≥3，可得d 2＝3，解得c 2＝1. ∴|a ＋b |＝(1＋c )2＋d 2＝5＋2c ＝3或7.3．(2019届高三·湖州五校模拟)设a ，b 满足|a |＝1，|a ＋2b |＝2，则|2a －b |的取值范围是________．解析：设|2a －b |＝t ，则4a 2－4a ·b ＋b 2＝t 2， ∵|a ＋2b |＝2，则a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4， ∴5a 2＋5b 2＝t 2＋4， ∵|a |＝1，∴t 2＝1＋5b 2， ∵|a ＋2b |＝2，|a |＝1，∴由|a ＋2b |≤|a |＋2|b |＝1＋2|b |，得|b |≥12，由|2b ＋a |≥2|b |－|a |＝2|b |－1，得|b |≤32，∴14≤b 2≤94， ∴t 2＝1＋5b 2∈⎣⎡⎦⎤94，494， ∴32≤t ≤72， ∴|2a －b |∈⎣⎡⎦⎤32，72. 答案：⎣⎡⎦⎤32，72[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. (4)|a ·b |≤|a |·|b |. (二) 二级结论要用好 1．三点共线的判定(1)A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC ―→共线．(2)向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[针对练1] 在▱ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→(m ，n ∈R )，则m n ＝________.解析：如图，∵AD ―→＝2AE ―→，EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，∴AF ―→＝AE ―→＋EF ―→＝m AB ―→＋(2n ＋1)AE ―→，∵F ，E ，B 三点共线，∴m ＋2n ＋1＝1，∴mn ＝－2. 答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝a2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0. (三) 易错易混要明了1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R )，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．2．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等，(a ·b )·c 与c 平行，而a ·(b ·c )与a 平行．3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价． [针对练2] 已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．解析：依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ·b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12.而当a 与b共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，此时a 与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) [课时跟踪检测]A 组——10＋7提速练一、选择题1．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝⎛⎭⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 为( ) A ．－23B ．23C ．38D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38，故选C.2．(2019届高三·杭州六校联考)已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．13解析：选D ∵向量a 和b 的夹角为120°， 且|a |＝2，|b |＝5，∴a ·b ＝2×5×cos 120°＝－5，∴(2a －b )·a ＝2a 2－a ·b ＝2×4＋5＝13， 故选D.3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( ) A.34AB ―→－14AC ―→ B.14AB ―→－34AC ―→ C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→解析：选A 作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A. 4．设向量a ＝(－2,1)，a ＋b ＝(m ，－3)，c ＝(3,1)，若(a ＋b )⊥c ，则cos 〈a ，b 〉＝( ) A ．－35B ．35C ．55D ．－255解析：选D 由(a ＋b )⊥c 可得，m ×3＋(－3)×1＝0，解得m ＝1.所以a ＋b ＝(1，－3)，故b ＝(a ＋b )－a ＝(3，－4)．所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝－2×3＋1×(－4)(－2)2＋12×32＋(－4)2＝－255，故选D. 5．P 是△ABC 所在平面上一点，满足|PB ―→－PC ―→|－|PB ―→＋PC ―→－2PA ―→|＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选B ∵P 是△ABC 所在平面上一点，且|PB ―→－PC ―→|－|PB ―→＋PC ―→－2PA ―→|＝0， ∴|CB ―→|－|(PB ―→－PA ―→)＋(PC ―→－PA ―→)|＝0， 即|CB ―→|＝|AB ―→＋AC ―→|， ∴|AB ―→－AC ―→|＝|AB ―→＋AC ―→|，两边平方并化简得AB ―→·AC ―→＝0， ∴AB ―→⊥AC ―→，∴∠A ＝90°， 则△ABC 是直角三角形．6.(2018·浙江二模)如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO ―→·CB ―→的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,3]C ．[－3，－1]D ．[－3,1]解析：选A 建立平面直角坐标系如图所示，可得O (0,0)，A (－2,0)，C (－1,0)，设B (2cos θ，2sin θ)．θ∈[0,2π)． 则CO ―→·CB ―→＝(1,0)·(2cos θ＋1，2sin θ)＝2cos θ＋1∈[－1,3]． 故选A.7．(2019届高三·浙江名校联考)已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP ―→＝1a AC ―→＋a －1a AD ―→，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－72解析：选C 由AP ―→＝1a AC ―→＋a －1a AD ―→知点P 在直线CD 上，以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0,0)，A (0,2)，B (23，0)，D (3，1)，∴直线CD 的方程为y ＝33x ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，33x ，则PA ―→＝⎝⎛⎭⎫－x ，2－33x ，PB ―→＝⎝⎛⎭⎫23－x ，－33x ，PC ―→＝⎝⎛⎭⎫－x ，－33x ，∴PB ―→＋PC ―→＝⎝⎛⎭⎫23－2x ，－233x ，∴PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝－x (23－2x )＋23x 2－433x ＝83x 2－1033x ＝83⎛⎭⎫x －5382－258，∴当x ＝538时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值－258. 8．已知单位向量a ，b ，c 是共面向量，a ·b ＝12，a ·c ＝b ·c <0，记m ＝|λa －b |＋|λa －c |(λ∈R )，则m 2的最小值是( )A ．4＋ 3B ．2＋ 3C ．2＋ 2D ．4＋ 2解析：选B 由a ·c ＝b ·c ，可得c ·(a －b )＝0，故c 与a －b 垂直，又a ·c ＝b ·c <0，记OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，以O 为坐标原点，OA ―→的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，设OD ―→＝λa ，则|λa －b |＋|λa －c |＝|BD ―→|＋|CD ―→|≥|b －c |＝|BC ―→|，由图可知最小值为BC ，易知∠OBC ＝∠BCO ＝15°，所以∠BOC ＝150°，在△BOC 中，BC 2＝BO 2＋OC 2－2BO ·OC ·cos ∠BOC ＝2＋ 3.所以m 2的最小值是2＋ 3.9．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.10．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，设AD ―→·BC ―→＝m ，AC ―→·BD ―→＝n .若AB ＝2，EF ＝1，CD ＝3，则( )A ．2m －n ＝1B ．2m －2n ＝1C ．m －2n ＝1D ．2n －2m ＝1解析：选D AC ―→·BD ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·(－AB ―→＋AD ―→)＝－AB ―→2＋AB ―→·AD ―→－AB ―→·BC ―→＋AD ―→·BC ―→＝－AB ―→2＋AB ―→·(AD ―→－BC ―→)＋m ＝－AB ―→2＋AB ―→·(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→－BC ―→)＋m ＝AB ―→·CD ―→＋m .又EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→，EF ―→＝ED ―→＋DC ―→＋CF ―→，两式相加，再根据点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，化简得2EF ―→＝AB ―→＋DC ―→，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB ―→·DC ―→，所以AB ―→·DC ―→＝－12，则AB ―→·CD ―→＝12，所以n ＝12＋m ，即2n －2m ＝1，故选D.二、填空题11．(2018·龙岩模拟)已知向量a ，b 夹角为60°，且|a |＝1，|2a －b |＝23，则|b |＝________. 解析：∵|2a －b |＝23，∴4a 2－4a ·b ＋b 2＝12， ∴4×12－4×1×|b |cos 60°＋|b |2＝12， 即|b |2－2|b |－8＝0， 解得|b |＝4. 答案：412.(2019届高三·宁波效实模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，则(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝________.解析：∵在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，∴AB ―→＋DC ―→＝AC ―→＋CB ―→＋DB ―→＋BC ―→＝AC ―→＋DB ―→＝AC ―→－BD ―→， BC ―→＋AD ―→＝BD ―→＋DC ―→＋AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋BD ―→，∴(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝(AC ―→－BD ―→)(AC ―→＋BD ―→)＝AC ―→2－BD ―→2＝9－16＝－7. 答案：－713．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝2|a －b |，|a |＝3，则|b |的最大值是________；最小值是________．解析：由|a ＋b |＝2|a －b |两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4(a 2－2a ·b ＋b 2)，化简得到3a 2＋3b 2＝10a ·b ≤10|a ||b |，|b |2－10|b |＋9≤0，解得1≤|b |≤9.答案：9 114．(2018·嘉兴期末)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且ADBD ＝2，则CD ―→·CA ―→＝________；若CD ―→＝x CA ―→＋y CB ―→，则xy ＝________.解析：以A 为坐标原点，AB ―→，AC ―→分别为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，D ⎝⎛⎭⎫43，0，所以CD ―→·CA ―→＝⎝⎛⎭⎫43，－2·(0，－2)＝4.由CD ―→＝x CA ―→＋y CB ―→，得⎝⎛⎭⎫43，－2＝x (0，－2)＋y (2，－2)，所以43＝2y ，－2＝－2x －2y ，解得x ＝13，y ＝23，所以xy ＝29.答案：42915．(2018·温州二模)若向量a ，b 满足(a ＋b )2－b 2＝|a |＝3，且|b |≥2，则a ·b ＝________，a 在b 方向上的投影的取值范围是________．解析：向量a ，b 满足(a ＋b )2－b 2＝|a |＝3， ∴a 2＋2a ·b ＋b 2－b 2＝3， ∴9＋2a ·b ＝3，∴a ·b ＝－3；则a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a ·b |b|＝－3|b|，又|b |≥2，∴－32≤－3|b |<0，∴a 在b 方向上的投影取值范围是⎣⎡⎭⎫－32，0. 答案：－3 ⎣⎡⎭⎫－32，0 16．(2018·温州适应性测试)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝2，向量x ＝λa ＋(1－λ)b ，向量y ＝m a ＋n b ，其中λ，m ，n ∈R ，且m >0，n >0.若(y －x )·(a ＋b )＝6，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：法一：依题意得，[ma ＋nb －λa －(1－λ)b ]·(a ＋b )＝6，所以[(m －λ)a ＋(n －1＋λ)b ]·(a ＋b )＝6，因为|a |＝|b |＝a ·b ＝2，所以4(m －λ)＋4(n －1＋λ)＋2[(m －λ)＋(n －1＋λ)]＝6， 所以m ＋n －1＝1，即m ＋n ＝2，所以m 2＋n 2＝m 2＋(2－m )2＝2m 2－4m ＋4＝2(m －1)2＋2≥2，当且仅当m ＝1时取等号， 所以m 2＋n 2的最小值为2.法二：依题意得，[ma ＋nb －λa －(1－λ)b ]·(a ＋b )＝6， 即[(m －λ)a ＋(n －1＋λ)b ]·(a ＋b )＝6，因为|a |＝|b |＝a ·b ＝2，所以4(m －λ)＋4(n －1＋λ)＋2[(m －λ)＋(n －1＋λ)]＝6，所以m ＋n －1＝1，即m ＋n ＝2，所以m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，所以m 2＋n 2的最小值为2.答案：217．已知在△ABC 中，AC ⊥AB ，AB ＝3，AC ＝4.若点P 在△ABC 的内切圆上运动，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值为________，此时点P 的坐标为________．解析：因为AC ⊥AB ，所以以A 为坐标原点，以AB ，AC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)．由题意可知△ABC 内切圆的圆心为D (1,1)，半径为1.因为点P 在△ABC 的内切圆上运动，所以可设P (1＋cos θ，1＋sin θ)(0≤θ<2π)．所以PA ―→＝(－1－cos θ，－1－sin θ)，PB ―→＋PC ―→＝(1－2cos θ，2－2sin θ)，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－1－cos θ)(1－2cos θ)＋(－1－sin θ)(2－2sin θ)＝－1＋cos θ＋2cos 2 θ－2＋2sin 2 θ＝－1＋cos θ≥－1－1＝－2，当且仅当cos θ＝－1，即P (0,1)时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取到最小值，且最小值为－2.答案：－2 (0,1)B 组——能力小题保分练1．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )A ．－58B.18C.14D.118解析：选B 如图所示，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF ―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→·BC ―→＝⎝⎛⎭⎫12AB ―→＋34AC ―→·(AC ―→－AB ―→) ＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→＝34|AC ―→|2－12|AB ―→|2－14×|AC ―→|×|AB ―→|×cos ∠BAC . 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18.2.如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝12λBC ―→，DF ―→＝λDC ―→，则AE ―→·BF ―→的最小值是( ) A ．46＋13 B ．46－13 C ．46＋132D ．46－132解析：选B 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，∠ADC ＝120°，易得AD ＝BC ＝2.由动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上得，⎩⎪⎨⎪⎧0<12λ<1，0<λ<1，所以12<λ<1.所以AE ―→·BF ―→＝(AB ―→＋BE ―→)·(BC ―→＋CF ―→)＝AB ―→·BC ―→＋BE ―→·BC ―→＋AB ―→·CF ―→＋BE ―→·CF ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|cos 120°＋|BE ―→|·|BC ―→|－|AB ―→|·|CF ―→|＋|BE ―→|·|CF ―→|cos 60°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＋1λ×2－4×(1－λ)×2＋1λ×(1－λ)×2×12＝－13＋8λ＋3λ≥－13＋28λ×3λ＝46－13，当且仅当λ＝64时取等号．所以AE ―→·BF ―→的最小值是46－13.3．(2018·台州一模)已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则|a |的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤2－32，2＋32B.⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12 C.⎝⎛⎦⎤0，2＋12 D.⎝⎛⎦⎤0，2＋32 解析：选B ∵单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，∴〈e 1，e 2〉＝120°， ∴|e 1＋e 2|＝1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫－12＝1. 若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则a 2－a ·(e 1＋e 2)＋e 1·e 2＝54，∴|a |2－a ·(e 1＋e 2)＝74，∴|a |2－|a |·cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝74，即cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝|a |2－74|a |.∵－1≤cos 〈a ，e 1＋e 2〉≤1， ∴－1≤|a |－74|a |≤1，解得2－12≤|a |≤2＋12，∴|a |的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12. 4．(2017·丽水模拟)在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，BC ＝6，CA ＝33，若AB ―→·AE ―→＋AC ―→·AF ―→＝2，则EF ―→与BC ―→的夹角的余弦值等于________．解析：由题意可得BC ―→2＝(AC ―→－AB ―→)2＝AC ―→2＋AB ―→2－2AC ―→·AB ―→＝33＋1－2AC ―→·AB ―→＝36，∴AC ―→·AB ―→＝－1.由AB ―→·AE ―→＋AC ―→·AF ―→＝2，可得AB ―→·(AB ―→＋BE ―→)＋AC ―→·(AB ―→＋BF ―→) ＝AB ―→2＋AB ―→·BE ―→＋AC ―→·AB ―→＋AC ―→·BF ―→ ＝1－AB ―→·BF ―→＋(－1)＋AC ―→·BF ―→ ＝BF ―→·(AC ―→－AB ―→) ＝12EF ―→·BC ―→＝2， 故有EF ―→·BC ―→＝4.再由EF ―→·BC ―→＝1×6×cos 〈EF ―→，BC ―→〉，可得6×cos 〈EF ―→，BC ―→〉＝4，∴cos 〈EF ―→，BC ―→〉＝23.答案：235．(2019届高三·镇海中学模拟)已知向量a ，b 的夹角为π3，|b |＝2，对任意x ∈R ，有|b＋x a |≥|a －b |，则|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪tb －a2(t ∈R )的最小值为________． 解析：向量a ，b 夹角为π3，|b |＝2，对任意x ∈R ，有|b ＋x a |≥|a －b |，两边平方整理可得x 2a 2＋2x a ·b －(a 2－2a ·b )≥0， 则Δ＝4(a ·b )2＋4a 2(a 2－2a ·b )≤0， 即有(a 2－a ·b )2≤0，即为a 2＝a ·b ， 则(a －b )⊥a ，由向量a ，b 夹角为π3，|b |＝2，由a 2＝a ·b ＝|a |·|b |·cos π3，得|a |＝1，则|a －b |＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，画出AO ―→＝a ，AB ―→＝b ，建立平面直角坐标系，如图所示： 则A (1,0)，B (0，3)，∴a ＝(－1,0)，b ＝(－1，3)； ∴|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪tb －a 2 ＝(1－t )2＋(3t )2＋ ⎝⎛⎭⎫12－t 2＋(3t )2＝4t 2－2t ＋1＋4t 2－t ＋14＝2⎝⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫t －142＋⎝⎛⎭⎫0－342＋ ⎝⎛⎭⎫t －182＋⎝⎛⎭⎫0＋382 表示P (t,0)与M ⎝⎛⎭⎫14，34，N ⎝⎛⎭⎫18，－38的距离之和的2倍，当M ，P ，N 共线时，取得最小值2|MN |. 即有2|MN |＝2⎝⎛⎭⎫14－182＋⎝⎛⎭⎫34＋382＝72. 答案：726．已知定点A ，B 满足|AB ―→|＝2，动点P 与动点M 满足|PB ―→|＝4，AM ―→＝λAB ―→＋(1－λ)AP ―→(λ∈R )，且|MA ―→|＝|MP ―→|，则AP ―→·AM ―→的取值范围是________；若动点C 也满足|CB ―→|＝4，则AC ―→·AM ―→的取值范围是________．解析：因为AM ―→＝λAB ―→＋(1－λ)AP ―→(λ∈R )，λ＋1－λ＝1，所以根据三点共线知，点M 在直线PB 上，又|MA ―→|＝|MP ―→|，记PA 的中点为D ，连接MD ，如图，则MD ⊥AP ，AP ―→·AM ―→＝AP ―→·(AD ―→＋DM ―→)＝AP ―→·AD ―→＋0＝12AP ―→2，因为|PB ―→|＝4，所以点P 在以B 为圆心，4为半径的圆上，则|AP ―→|∈[2,6]，则AP ―→·AM ―→＝12AP ―→2∈[2,18]． 由于|MA |＋|MB |＝|MP |＋|MB |＝4，所以点M 在以A ，B 为焦点，长轴的长为4的椭圆上，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为x 24＋y 23＝1，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝16上，A (－1,0)，设M (2cos α，3sin α)，C (4cos β＋1，4sin β)，则AC ―→＝(4cos β＋2,4sin β)，AM ―→＝(2cos α＋1，3sin α)，AC ―→·AM ―→＝(8cos α＋4)cos β＋43sin αsin β＋4cos α＋2 ＝(8cos α＋4)2＋(43sin α)2sin(β＋φ)＋4cos α＋2＝(4cos α＋8)sin(β＋φ)＋4cos α＋2，最大值是(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝8cos α＋10≤18， 最小值是－(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝－6， 所以AC ―→·AM ―→∈[－6,18]． 答案：[2,18] [－6,18]第二讲 小题考法——三角函数的图象与性质[典例感悟][典例] (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度(2)已知函数g (x )＝sin 2x －cos 2x ，如图是函数f (x )＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，为了得到f (x )的图象，只需将g (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度(3)将函数f (x )＝2sin x 2cos x 2cos φ＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1sin φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的图象关于y 轴对称，则g ⎝⎛⎭⎫π6的值为( )A.32B ．－32C.12 D ．－12[解析] (1)先将函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin 2x ＋1的图象，故选B.(2)设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象知A ＝1，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×43＝π＝2πω，所以ω＝2.因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.将g (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.故选B. (3)将函数f (x )＝2sin x 2cos x2cos φ＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1·sin φ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ.由g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ的图象关于y 轴对称，可得g (x )为偶函数，故φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又|φ|<π2，故φ＝π6，可得函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g ⎝⎛⎭⎫π6＝sin 2π3＝32. [答案] (1)B (2)B (3)A[方法技巧]1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2. 2．(2019届高三·金华十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)与g (x )＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象，只需将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：选A 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3与g (x )＝cos(2x ＋φ)的对称轴完全相同， 则ω＝2，且f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 又h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 把f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度， 可得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝h (x )的图象．3.(2019届高三·镇海区校级模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________，为了得到g (x )＝A cos ωx 的图象，需将函数y ＝f (x )的图象最少向左平移________个单位长度．解析：由图象可得A ＝2， ∵T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2， ∴T ＝π，ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1， ∵－π<φ<0，∴φ＝－π6，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝2cos 2x ＝g (x )， ∴可将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度得到g (x )的图象，故答案为－π6，π3.答案：－π6 π34.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，则φ＝π2，∴f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3. 答案：－ 3[典例感悟][典例] (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，x ∈[－1,1]，则( ) A ．f (x )为偶函数，且在[0,1]上单调递减 B ．f (x )为偶函数，且在[0,1]上单调递增 C ．f (x )为奇函数，且在[－1,0]上单调递增 D ．f (x )为奇函数，且在[－1,0]上单调递减(2)已知函数f (x )＝sin x cos 2x ，则下列关于函数f (x )的结论中，错误的是( ) A ．最大值为1B ．图象关于直线x ＝－π2对称C ．既是奇函数又是周期函数D ．图象关于点⎝⎛⎭⎫3π4，0中心对称(3)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5[解析] (1)∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cos πx ，故函数f (x )为偶函数，故排除C 、D.当x ∈[0,1]时，πx ∈[0，π]，函数y ＝cos πx 是减函数，故排除B ，选A.(2)∵函数f (x )＝sin x cos 2x ，当x ＝3π2时，f (x )取得最大值为1，故A 正确；当x ＝－π2时，函数f (x )＝1，为函数的最大值，故图象关于直线x ＝－π2对称；故B 正确；函数f (x )满足f (－x )＝sin(－x )cos(－2x )＝－sin x cos 2x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，再根据f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)cos [2(x ＋2π)]＝sin x cos 2x ，故f (x )的周期为2π，故C 正确；由于f ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＋f (x )＝－cos x ·cos(3π－2x )＋sin x cos 2x ＝cos x cos 2x ＋sin x cos 2x ＝cos 2x (sin x ＋cos x )＝0不一定成立，故f (x )图象不一定关于点⎝⎛⎭⎫3π4，0中心对称，故D 不正确，故选D.(3)由题意得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，且|φ|≤π2，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.对比选项，将选项各值依次代入验证：若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调； 若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，故选B.[答案] (1)A (2)D (3)B[方法技巧]1．求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan ()ωx ＋φ的最小正周期为π|ω|. (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．[演练冲关]1．(2018·浙江十校联考)下列四个函数中，以π为最小正周期，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|tan x |D ．y ＝－ln|sin x |解析：选D 由题意知函数y ＝sin|x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，y ＝cos|x |的最小正周期为2π，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，故排除A 、B 、C.因为f (x )＝|sin x |为偶函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时单调递增，所以y ＝－ln|sin x |为偶函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时单调递减，又g (x )＝sin x 的最小正周期为2π，所以f (x )＝|sin x |的最小正周期为π，则函数y ＝－ln|sin x |的最小正周期为π.故选D.2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数f (x )的单调递增区间为________．解析：由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z . 答案：⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z 3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，则ω＝________，若f (x )>1对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，∴2πω＝2π，ω＝1，f (x )＝2sin(x ＋φ)． ∵当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3，即x ＋φ∈⎝⎛⎭⎫－π12＋φ，π3＋φ时，f (x )>1恒成立， ∴当x ＋φ∈⎝⎛⎭⎫－π12＋φ，π3＋φ时，sin(x ＋φ)>12恒成立，又|φ|≤π2，∴－π12＋φ≥π6，且π3＋φ≤5π6，解得π4≤φ≤π2.答案：1 ⎣⎡⎦⎤π4，π2[典例感悟][典例] (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7(2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． (3)(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112， 又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1. (3)由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.[答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤－32，1 (3)⎣⎡⎦⎤π3，π [方法技巧]求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法[演练冲关]1．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.2．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 解析：y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78.∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：7823．(2018·南宁模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤ π6，m ⎝⎛⎭⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________． 解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，即2π9≤m ≤5π18.答案：⎣⎡⎦⎤2π9，5π18[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1．三角函数的图象及常用性质(二) 二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．(三) 易错易混要明了求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．如求函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 的单调减区间，应将函数化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，转化为求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调增区间． [课时跟踪检测]A 组——10＋7提速练一、选择题1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 2．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度解析：选B 将y ＝3sin x 的图象上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin 2x 的图象，再将y ＝3sin 2x 的图象再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin 2x ＋1的图象，故选B.3.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝⎛⎭⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π8，1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故选A.4．(2018·宁波模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝2π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选A 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3。